Dérivation et Intégration Formelle/AN1@enib2002 Notations

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plan du cours
D´erivation et Int´egration Formelle/AN1@enib2002
enib c °mp2002 . . . . . . 55
Notations Fonctionnelles ....................................... 56
D´erivation : R`egles de Progression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
D´erivation : R`egles Terminales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
D´erivation : Application des R`egles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
D´erivation : Exemples de Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Notion de Diff´erentielle Formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Primitive et Int´egration Formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Calcul des Primitives .......................................... 67

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calcul fonctionnel
Notations Fonctionnelles
enib c °mp2002 . . . . . . 56
– Distinguer “f” de “f(x)”, “f=g” de “f(x) = g(x)”
–f:¯¯¯¯
IR →lC
x7→ e2iπx ............................f0=³x7→ df(x)
dx (x)´=df(x) dx
– (x7→ e2iπx) .....................................de2iπx
dx =³x7→ de2iπx dx (x)´
–fune fonction `a valeur complexe d´efinie pour xr´eel par :
f(x) = e2iπx ........................................ f0=³x7→ df(x)
dx (x)´

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d´erivation formelle
R`egles de Progression
enib c °mp2002 . . . . . . 57
– On admet l’existence de fonctions d´erivables
– Si fet gsont deux fonctions d´erivables, alors leur somme leur produit,
leur compos´ee sont d´erivables et l’on dispose des r`egles suivantes :
(f+g)0=f0+g0;d(f(x) + g(x))
dx (x) = df (x) dx (x) + dg(x) dx (x)
(f·g)0=f0·g+f·g0;d(f(x)·g(x))
dx (x) = df(x) dx (x)·g(x) + f(x)·dg(x) dx (x)
(fog)0=g0·f0og ;d(f(g(x)))
dx (x) = dg(x) dx (x)·df(x) dx (g(x))

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d´erivation formelle
R`egles Terminales
enib c °mp2002 . . . . . . 58
f f0
x7→ k x 7→ 0
x7→ xαx7→ αxα−1
x7→ exx7→ ex
x7→ ln x x 7→ x−1
x7→ sin x x 7→ cos x
x7→ cos x x 7→ −sin x
O`u ket αsont des nombres ind´ependants de x.

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d´erivation formelle
Application des R`egles, Calcul Formel de D´eriv´ee
enib c °mp2002 . . . . . . 59
– Calcul de D´eriv´ee :
appliquer les r`egles de progression tant que c’est possible,
puis une fois les r`egles terminales
– Mise en forme pr´ealable d’une expression :
consid´erer tout quotient f
gcomme le produit f·g−1
consid´erer λ·fcomme (x7→ λ)·fet −fcomme (−1) ·f
consid´erer axcomme exln a