MECANIQUE : TD n°3 - Les CPGE de Loritz

L.PIETRI – Théorème de Gauss - Lycée Henri Loritz – PCSI 2 – Année Scolaire 2006/2007
ELECTROSTATIQUE : TD n°2
A – APPLICATIONS DU COURS
1°) LIGNE INFINIE UNIFORMEMENT CHARGEE
Considérons une droite uniformément chargée coïncidant avec l’axe Oz et portant la charge =dQ/dz par
unité de longueur.
1°) A l’aide du théorème de Gauss calculer le champ créé en un point M.
2°) En déduire une valeur du potentiel électrostatique.
Rép : 1°) E(M)=/20r.er 2°) V(M)=-/20.Ln(r/a)
2°) CYLINDRE INFINI CHARGE EN VOLUME
Considérons l’espace défini par x²+y²<a² portant la charge volumique =cste.
1°) A l’aide du théorème de Gauss calculer le champ créé en un point M (extérieur ou intérieur au
cylindre).
2°) En déduire une valeur du potentiel électrostatique.
Rép : 1°) E(r>a)=a²/20r.er E(r<a)=r/20.er 2°) V(r<a)=(a²-r²)/40+V(a) et V(r>a)=a²/20.Ln(a/r)+V(a)
3°) SPHERE CHARGEE EN SURFACE
Considérons une sphère de centre O et de rayon R portant la charge surfacique uniforme . Sa charge est
notée q=4R².
1°) A l’aide du théorème de Gauss calculer le champ créé en un point M (extérieur ou intérieur à la
sphère).
2°) En déduire une valeur du potentiel électrostatique.
Rép : 1°) E(r>R)=0(R/r)².er E(r<R)=0 2°) V(r>R)=R²/0r et V(r<R)=R/0
4°) UTILISATION DU PRINCIPE DE SUPERPOSITION
Une boule de rayon a et de centre O portant la charge volumique uniformément répartie  possède une
cavité sphérique de rayon b de centre O1 vide de charges. Déterminer le champ dans la cavité.
Rép : E2(M)=/30.OO1
B – TRAVAUX DIRIGES
I – FAISCEAU DE PARTICULES CHARGEES A SYMETRIE CYLINDRIQUE
1°) A l’intérieur d’un cylindre infini, d’axe z’z, de rayon R, se trouve un faisceau de particules chargées
réparties avec une densité volumique de charge . Déterminer le module du champ électrique E(r) en un point
intérieur et extérieur au faisceau cylindrique dans les deux hypothèses:
a) =0=constante
b) =0[1+(r/R)²]
2°) En déduire le champ E créé par un conducteur filiforme infini, uniformément électrisé avec une densité
linéique .
3°) On considère maintenant le faisceau de particules chargées, réparties uniformément avec une densité
volumique de charge 0, entre deux cylindres de même axe z’z et de rayons R1 et R2 (R2>R1). Calculer le champ
électrique en un point M à la distance r de l’axe z’z, r variant de 0 à l’infini.
4°) En déduire le champ créé en un point M par un tube cylindrique de rayon R1, uniformément électrisé
avec une densité surfacique .
Rép : 1°) a) E(r<R)=0/20.r et E(r>R)=0R²/20r.er b) E(r<R)=0/20.r(1+r²/2R²).er et E(r>R)=3/4.0R²/0r.er
2°) E(r)=/20r.er 3°) Si 0<r<R1 : E(r)=0, si R1<r<R2 : E(r)=0/20(r-R1²/r).er, si r>R2 : E(r)=0/20r.(R2²-R1²).er
4°) E(r<R1)=0 et E(r>R1)=R1/0
II – RECHERCHE D’UNE DISTRIBUTION DE CHARGES
Le potentiel créé par une distribution de charges a pour expression, en coordonnées sphériques :
V(r)=Q/40.e-r/a/r.
1°) Quelles sont les dimensions de Q et de a ?
2°) Déterminer le champ E résultant.
3°) Déterminer le distribution de charges associée à ce potentiel.
Rép : 1°) [a]=L et [Q]=AT 2°) E(r)=Q/40.e-r/a/r.[1/r+1/a] 3°) (r)=-Qe-r/a/4a²r+une charge Q en r=0

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III – L’ATOME DE THOMSON
En 1902, l’anglais Sir Joseph-John Thomson propose de représenter l’atome d’hydrogène comme une
boule homogène fixe de rayon a, porteuse d’une charge positive e, à l’intérieur de laquelle peut se déplacer
librement un électron ponctuel de charge -e et de masse m.
1°) En un point M intérieur à la boule, calculer le champ E ayant celle-ci pour source.
2°) Etudier le mouvement d’un électron abandonné sans vitesse initiale en un point M0 intérieur à la boule.
3°) Donner la valeur de la longueur d’onde =c/ correspondant à la fréquence  de ce mouvement et
situer celle-ci dans le spectre électromagnétique.
4°) Un tel modèle semble t’il rendre compte des faits observés sur les spectres des atomes?
Rép : 1°) E(r)=e/40a3.r 2°) 02=e²/40a3m 3°) =46nm 4°) Cela n’explique pas les spectres de raies
C – EXERCICES SUPPLEMENTAIRES
I - THEOREME DE GAUSS DE LA GRAVITATION
1°) En un point P de l’espace, on place une charge ponctuelle q. Donner l’expression du champ
électrostatique E(M) créé par cette charge en un point M tel que PM=ru
2°) En un point P de l’espace, on place une masse ponctuelle m. Donner l’expression du champ
gravitationnel G(M) créé par cette masse en un point M tel que PM=ru
3°) Mettre en évidence les analogies mathématiques entre les grandeurs caractéristiques de ces champs.
Cette analogie entre gravitation et interaction électrostatique est-elle cependant totale?
4°) Enoncer le théorème de Gauss. Soit alors une distribution de masse créant un champ gravitationnel.
En utilisant les analogies relevées à la question 1°), justifier que le flux du champ gravitationnel sortant d’une
surface fermée est égal au produit de la somme des masses intérieures à cette surface par une constante que l’on
explicitera : cette loi est le théorème de Gauss de la gravitation.
5°) Donner l’expression du champ de gravitation créé par un astre sphérique de masse volumique =cste à
l’intérieur et à l’extérieur.
6°) Conclure sur le fait de considérer les planètes comme des masses ponctuelles dans la plupart des
problèmes.
Rép : 1°) E(M)=q/40.PM/PM3=q/40r².u 2°) G(M)=-Gm/r².u 3°) G-1/40 et mq 4°) =G.dS=-4Gmint
5°) G(r>R)=-GM/r².er G(r<R)=-GMr/R3.er 6°) Pour r>R on retrouve le champ d’une masse ponctuelle…
II – EQUATION DE POISSON
Considérons le parallélépipède rectangle élémentaire représenté par les points A(x,y,z) et
B(x+dx,y+dy,z+dz). La charge volumique du milieu est notée .
En appliquant le théorème de Gauss au parallélépipède établir : Ex/x+EY/y+Ez/z=/0. En déduire
une équation liant les variations V à .
Rép : 1°) En effectuant un D.L à l’ordre un… 2°) V=/0
III – DISTRIBUTION CYLINDRIQUE CORRESPONDANT A UN CHAMP DONNE
Un champ à symétrie cylindrique a pour expression E(r<a)=Ar.er et E(r>a)=B/r.er. Déterminer la distribution
de charges qui créé ce champ.
Rép : (r<a)=20A et (r>a)=0 avec =0(B/a-Aa)