énoncé et correction

Exercice à rendre no 14 – mardi 21 février
Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
Énergie mécanique
Vous êtes invités à porter une attention particulière à la rédaction et au soin de votre copie. Les numéros des
questions doivent être mis en évidence et les résultats encadrés.
Travailler avec votre cours ouvert et les exercices faits en classe à portée de main est chaudement recommandé.
Utiliser votre calculatrice ou un logiciel comme Geogebra ou Python est possible, et peut parfois vous aider.
Travailler en groupe est autorisé mais le travail de rédaction doit être individuel. Rappelons également qu’un
travail de groupe est un travail à plusieurs, et pas le travail d’une personne recopié plusieurs fois.
Angry birds
Angry Birds est une application de jeu de type casse-tête développée
par la société finlandaise Rovio Mobile. Lancé à l’origine sur iOS en
décembre 2009, il est par la suite disponible sur de multiples platesformes. Angry Birds a remporté un large succès grâce à sa jouabilité,
son graphisme et son prix faible. Sa popularité a conduit à la création
de versions pour ordinateurs, consoles de jeux, d’une version en ligne,
de produits dérivés, d’une bande dessinée, d’une série et même d’un
long-métrage. De multiples extensions et versions ont été et sont
toujours développées, certaines étant en projet pour 2017 1 .
Dans le jeu, les joueurs utilisent un lance-pierre pour lancer des « oiseaux furieux » sur des cochons verts placés
sur ou à l’intérieur de différentes structures, dans l’intention de détruire tous les cochons présents dans l’aire de jeu.
On étudie dans un premier temps la phase de lancer de l’oiseau. Le mouvement de l’oiseau est étudié par rapport
à un référentiel galiléen lié au décor du jeu. On suppose que le mouvement est restreint au plan de l’image, c’est-à-dire
y = Y = 0 sur le repérage figure 1.
z
⊗ #”
g
#”
g
Y
OZ
Z
`0
X
⊗
X
α
xc
OY
x
butée
zc
cochon
(a) Vue de dessus
(b) Vue de côté
Figure 1 – Dispositif de lancer des Angry Birds. Version couleur sur le site de la classe, sans doute plus simple pour
distinguer les différents repérages.
Le lance-pierre est constitué d’un élastique attaché aux deux extrémités d’un manche en forme de Y. On le
modélise par deux ressorts identiques (raideur k, longueur `0 ) fixés à une butée de masse m0 . Comme l’élastique est
tendu entre les deux extrémités du manche lorsqu’il n’est pas étiré, on suppose que la distance les séparant est égale
à 2`0 . L’oiseau, de masse m, est appuyé sur la butée. Pour le lancer, et il suffit d’étirer l’élastique puis de le lâcher.
Plusieurs hypothèses sont nécessaires pour simplifier les calculs. On suppose d’abord le mouvement de l’oiseau
guidé par une tige le contraignant à se déplacer sans frottement le long de l’axe (OX). Par ailleurs, on modélise
l’oiseau et la butée par des points matériels situés à la même abscisse X. Attention cependant, ils ne sont pas
#”
équivalents : en particulier, les ressorts sont fixés à la butée, pas à l’oiseau, et on note R = RX #”
e X la force exercée
par la butée sur l’oiseau lorsqu’ils sont en contact.
1. Ou comment s’instruire utilement en faisant son DM de physique ... vive Wikipedia :)
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Étienne Thibierge, 27 février 2017, www.etienne-thibierge.fr
Exercice à rendre no 14 : Énergie mécanique
Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
On note X0 = −L < 0 la position initiale de l’oiseau et de la butée, juste avant que la butée ne soit lâchée sans
vitesse initiale.
1 - Montrer que la résultante des forces exercés par les deux ressorts sur la butée s’écrit
!
`0
#”
#”
eX .
F = −2kX 1 − p
X 2 + `02
#”
Vérifier explicitement la cohérence de cette expression en analysant le sens de F .
#”
2 - Justifier que F dérive d’une énergie potentielle et déterminer son expression. Il n’est pas interdit d’être astucieux :
le calcul prend une ligne. Vérifier par un calcul explicite de dérivée (qui lui prend plus d’une ligne) que votre expression
est cohérente avec celle de la force établie à la question précédente.
3 - Par application de la loi de la quantité de mouvement à deux systèmes bien choisis, établir un système de deux
équations différentielles portant sur X et impliquant RX .
4 - En déduire que
RX
m
X
= −2k
m + m0
1− p
`0
!
X 2 + `02
Commenter son signe. Conclure : à quelle position Xd l’oiseau décolle-t-il du lance pierre ?
5 - Déterminer la vitesse #”
v de l’oiseau à l’instant où il quitte le lance-pierre. Si jamais cela vous tentait, sachez qu’il
d
est vain de vouloir résoudre analytiquement les équations issues de la loi de la quantité de mouvement ... mais qu’on
a vu d’autres façons de déterminer une vitesse. Compte tenu du mouvement souhaité de l’oiseau, quelle hypothèse
peut-on proposer pour simplifier cette expression ?
On s’intéresse maintenant à la phase de chute libre de l’oiseau une fois qu’il a été lancé. Le cochon se trouve en
un point de coordonnées (xc , zc ).
6 - En supposant la norme vd fixée, déterminer l’équation que l’angle α doit vérifier pour que l’oiseau atteigne sa
cible. L’écrire sous forme d’un polynôme en tan α. On pourra garder vd dans les calculs sans la remplacer par son
expression.
Rappel : 1 + tan2 u = 1/ cos2 u
Remonte-pente
Un remonte-pente est constitué d’un câble auquel les skieurs s’accrochent pour remonter. Déterminer la puissance du moteur qui entraîne le câble.
Il est attendu que vous détailliez les différentes étapes de votre raisonnement, et que
vous proposiez des valeurs numériques raisonnables au besoin.
Données :
. Longueur totale du câble : 200 m ;
. Distance séparant deux skieurs : 5 m ;
. Dénivelé entre les extrémités du câble : 5 m ;
. Vitesse du câble : 5 km · h−1 .
#”
#”
. Lorsque le ski glisse sur la neige, la réaction tangentielle R T du sol sur le ski est reliée à la réaction normale R N
#”
#”
par || R T || = f || R N || avec f ' 0,1.
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Étienne Thibierge, 27 février 2017, www.etienne-thibierge.fr
Correction de l’exercice à rendre no 14
Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
Énergie mécanique
Angry birds
1 Commençons par un schéma, figure 2, moins stylisé que ceux de l’énoncé mais permettant d’introduire les
notations et de représenter les forces. Les ressorts y sont représentés par de simples traits. Comme ils sont étirés par
hypothèse, on peut orienter les forces sans difficulté.
Y
#”
u1
#”
u2
#”
F1
`0
OZ
β
X
#”
F2
Figure 2 – Résultante de la force exercée sur la butée. Version couleur sur le site de la classe.
La résultante des forces exercées par les ressorts sur la butée vaut simplement
#” #”
#”
F = F1 + F2 .
p
D’après le théorème de Pythagore, les deux ressorts ont pour longueur ` = X 2 + `02 , et ainsi
q
q
#”
#”
2
2
2
2
F 1 = −k
X + `0 − `0 u 1 = −k
X + `0 − `0 (− cos β #”
e X − sin β #”
eY )
et de même
#”
F 2 = −k
q
q
#”
2
2
2
2
X + `0 − `0 u 2 = −k
X + `0 − `0 (− cos β #”
e X + sin β #”
eY ) .
Il reste donc
#”
F = +2k
q
2
2
X + `0 − `0 cos β #”
eX .
De la trigonométrie du triangle permet d’exprimer simplement
cos β = p
|X|
X 2 + `02
= −p
X
X 2 + `02
ce qui conduit au résultat souhaité,
#”
F = −2kX
1− p
`0
X 2 + `02
!
#”
eX .
#”
Comme X < 0, alors F est dirigée selon + #”
e X , ce qui est cohérent : l’élastique cherche à retrouver la situation
d’équilibre où il est tendu entre les deux extrémités du manche.
#”
2 La force F est la somme de deux forces de rappel élastique. Elle dérive donc d’une énergie potentielle égale à la
somme des deux énergies potentielles élastiques, qui sont égales car les ressorts sont identiques et ont même longueur.
Ainsi,
q
2
q
2
1
X 2 + `02 − `0
soit
Ep = k
X 2 + `02 − `0
.
Ep = 2 × k
2
Un calcul direct par le travail élémentaire n’est pas très difficile non plus, mais dans ce cas il ne faut
pas oublier la constante d’intégration.
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Étienne Thibierge, 27 février 2017, www.etienne-thibierge.fr
Correction DM 14 : Énergie mécanique
Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
Vérifions explicitement que cette expression est cohérente avec celle de la force.
q
q
d
dEp
= 2k
X 2 + `02 − `0 ×
X 2 + `02 − `0
dX
dX
q
q
d
= 2k
X 2 + `02 − `0 ×
X 2 + `02
dX
q
2X
X 2 + `02 − `0 × p
= 2k
2 X 2 + `02
!
`0
= 2kX 1 − p
X 2 + `02
ce qui donne bien comme attendu
FX = −
dEp
.
dX
3 Considérons dans un premier temps l’oiseau. Les forces qu’il subit sont :
#”
. son poids P = m #”
g = −mg #”
e z = −mg cos α #”
e Z − mg sin α #”
eX ;
#”
. la force de réaction de la tige guidant l’oiseau, normale à la tige car il n’y a pas de frottement : N = NZ #”
eZ ;
#”
. la force exercée par la butée sur l’oiseau R = RX #”
eX .
D’après la loi de la quantité de mouvement,
d #”
p ois
#” #” #”
= P +N +R
dt
soit compte tenu de la contrainte de mouvement à une dimension le long de l’axe X,
d2 X #”
e X = −mg cos α #”
e Z − mg sin α #”
e X + NZ #”
e Z + RX #”
eX
dt2
d’où on déduit la première équation par projection sur #”
eX ,
m
mẌ = −mg sin α + RX .
Considérons maintenant la butée comme deuxième système. Les forces qu’elle subit sont :
#”
. son poids P = m0 #”
g = −m0 g #”
e z = −m0 g cos α #”
e Z − m0 g sin α #”
eX ;
#”
. la force de réaction de la tige servant de guide, normale à la tige car il n’y a pas de frottement : N 0 = NZ0 #”
eZ ;
#”
#”
. la force exercée par l’oiseau sur la butée, R 0 = − R = −RX #”
e X d’après le principe des actions réciproques ;
#”
. les forces exercées par chaque ressort, dont la résultante F a été déterminée précédemment.
D’après la loi de la quantité de mouvement,
d #”
p butée
#” #”
#”
#”
= P + N 0 + R0 + F
dt
soit en développant les expressions des différentes forces
d2 X
m0 2 #”
e X = −m0 g cos α #”
e Z − m0 g sin α #”
e X + NZ0 #”
e Z − RX #”
e X − 2kX
dt
1− p
`0
X 2 + `02
!
#”
eX .
La deuxième équation cherchée s’obtient à nouveau par projection sur #”
eX ,
0
0
m Ẍ = −m g sin α − RX − 2kX
1− p
`0
!
X 2 + `02
Considérer comme système l’ensemble butée + oiseau est hasardeux, car il s’agit d’un système déformable. Les lois usuelles des solides s’appliquent tant qu’il y a contact, mais pas au delà.
4 Pour aboutir à l’expression de RX , il faut éliminer Ẍ des deux équations différentielles obtenues ci-dessus. Pour
cela, multiplions la première par m0 , la deuxième par m et soustrayons-les l’une à l’autre. Cela simplifie non seulement
l’accélération mais aussi le poids. Il vient donc
!
`
0
0 = |{z}
0 +(m + m0 )RX + 2kmX 1 − p
|{z}
X2 + ` 2
accél.
0
poids
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Étienne Thibierge, 27 février 2017, www.etienne-thibierge.fr
Correction DM 14 : Énergie mécanique
Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
d’où
RX
m
= −2k
X
m + m0
1− p
!
`0
X 2 + `02
.
p
Comme X 2 + `02 > `0 alors le terme dans la parenthèse est positif, mais comme X est négatif alors RX > 0, ce
qui signifie que la force exercée par la butée sur l’oiseau est orientée dans le sens de + #”
e X , ce qui est conforme à
l’intuition : les ressorts cherchent à retrouver leur longueur naturelle.
L’oiseau décolle du lance-pierre lorsque la force RX qu’il subit de la part de la butée s’annule : l’annulation d’une
force de liaison est synonyme de rupture de la liaison. Ainsi, l’oiseau quitte le lance-pierre lorsque
q
`0
=0
soit
`0 = Xd 2 + `02
d’où
`02 = Xd 2 + `02
donc
Xd = 0
1− q
2
2
Xd + `0
5 Appliquons le théorème de l’énergie cinétique à l’oiseau entre sa position initiale X = X0 < 0 et la position où
il quitte le lance pierre X = Xd = 0. On a alors
X
1
mvd2 − 0 =
Wi .
2
i
Calculons les travaux Wi des différentes forces.
. Le poids de l’oiseau dérive de l’énergie potentielle Epp = mgz + cte (l’axe z est orienté vers le haut), donc son
travail au cours de la trajectoire vaut
#”
W (P ) = −∆Epp = −mg(zd − z0 ) = +mgz0 = −mgL sin α
#”
. La force N est constamment perpendiculaire à la trajectoire et ne travaille donc pas ;
#”
m #”
. La force R est égale à m+m
0 F et son travail peut donc se calculer à partir de Ep ,
#”
W ( R) = −
m
m
∆Ep = −0 +
k
m + m0
m + m0
Finalement,
vd2
2
k
= −2gL sin α +
m + m0
q
L 2 + `02 − `0
2
q
2
2
2
L + `0 − `0
et ainsi
s
vd =
−2gL sin α +
2
k
m + m0
q
L 2 + `02 − `0
2
.
L’objectif du lance pierre est de donner beaucoup de vitesse à l’oiseau : il faut donc que le travail du poids au cours
du trajet dans le lance-pierre, qui est résistant, soit aussi faible que possible. Si on décide de le négliger, l’expression
précédente devient
s
q
2
q
r
2
2k
2
2
vd =
L 2 + `0 − `0
L 2 + `0 − `0
k
soit
vd =
.
m + m0
m + m0
6 Une fois que l’oiseau quitte le lance-pierre, il a un mouvement de chute libre à partir du point O. Sa trajectoire
a pour équation celle établie en cours, à savoir
z(x) = −
qui peut s’écrire aussi
z(x) = −
2vd2
g
x2 + tan α x
cos2 α
g
1 + tan2 α x2 + tan α x .
2
2vd
L’oiseau touche donc le cochon s’il existe une valeur de α telle que le point de coordonnées (xc , zc ) appartienne à sa
trajectoire. Il faut donc que tan α soit solution de l’équation du second degré
g xc2
g
2
tan α + xc tan α + zc +
= 0.
2vd2
2vd2
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Étienne Thibierge, 27 février 2017, www.etienne-thibierge.fr
Correction DM 14 : Énergie mécanique
Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
Remonte-pente
[oral CCP]
La puissance du moteur doit être telle qu’elle puisse entraîner tous les skieurs. L’approche probablement la plus
simple consiste donc à commencer par déterminer la puissance motrice nécessaire pour tirer un skieur de masse m à
une vitesse constante égale à la vitesse du câble, v = 5 km · h−1 .
#”
Étudions le skieur dans le référentiel terrestre, considéré galiléen. Il est soumis à son poids P , à la réaction de la
#” #”
#”
#”
piste R = R N + R T et à la force de traction T du câble auquel il s’attache. Ces forces sont représentées figure 3.
#”
T
β
#”
RN
#”
ey
#”
ex
#”
v
#”
RT
#”
P
α
Figure 3 – Skieur entraîné par une remontée mécanique.
Calculons leur puissance.
. Par définition, on note P1 = T v cos β la puissance exercée par le câble sur le skieur.
. Puissance développée par le poids :
#”
P(P ) = m #”
g · #”
v = −mgv sin(α)
#”
. Puissance développée par la réaction normale : P( R N ) = 0 car elle est orthogonale à #”
v.
#”
. Puissance développée par la réaction tangentielle : on ne peut que dire que P( R T ) = −RT v mais c’est ensuite plus
#”
compliqué car R T est a priori inconnue.
#”
Il nous faut donc déterminer R T . Comme le mouvement du skieur est par hypothèse rectiligne uniforme, alors
par application de la loi de la quantité de mouvement,
#” #”
#”
#” #”
P + RN + RT + T = 0 .
En la projetant sur l’axe y incliné, on en déduit
−mg cos α + RN + 0 + T sin β = 0
RN = mg cos α − T sin β .
soit
D’après la loi de Coulomb du frottement,
RT = f RN = f mg cos α − f
P1
sin β
v cos β
d’où on déduit la puissance développée par la force tangentielle,
#”
P( R T ) = −f mgv cos α − f P1 tan β .
Comme le mouvement du skieur se fait à vitesse constante, alors la somme des puissances qu’il reçoit est nulle
d’après le théorème de l’énergie cinétique. On en déduit
#”
#”
#”
P1 + P(P ) + P( R N ) + P( R T ) = 0
soit en remplaçant les puissances par leurs expressions
P1 − mgv sin α + 0 − f mgv cos α − f P1 tan β = 0
On en déduit alors
P1 =
soit
P1 (1 − f tan β) − mgv(sin α + f cos α) = 0 .
mgv(sin α + f cos α)
1 − f tan β
Estimons numériquement sa valeur, et pour cela commençons par estimer les différents angles. L’angle α se trouve
grâce au dénivelé h et à la longueur totale L du câble, qui fait un aller-retour. On a donc
sin α =
h
= 0,05
L/2
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Étienne Thibierge, 27 février 2017, www.etienne-thibierge.fr
Correction DM 14 : Énergie mécanique
Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
Compte tenu de la valeur numérique, on a clairement α 1 et on peut faire l’approximation cos α ' 1. Comme
cos α est en plus multiplié par f et qu’on ne cherche qu’un ordre de grandeur, cette approximation est tout à fait
adaptée ... en faisant le calcul rigoureusement on trouve cos α = 0,9987. Estimer l’angle β (ou plutôt sa tangente)
est beaucoup moins simple. On se contentera donc de prendre tan β ' 1 (c’est-à-dire β ' π/4), ce qui est sans doute
une approximation grossière mais ne change à nouveau pas grand chose au résultat. Enfin, il faut également estimer
la masse du skieur et de son équipement que l’on prendra égale par exemple à m = 80 kg. Numériquement, on a donc
80 × 10 ×
P1 =
5
× (0,05 + 0,1)
3,6
' 2 · 102 W .
1 − 0,1
C’est peu, mais les frottements ne sont pas énormes et la pente pas si raide non plus.
Pour déterminer la puissance totale à fournir par le moteur, on peut faire l’hypothèse que les frottements internes
aux mécanismes sont négligeables, si bien que toute la puissance fournie par le moteur sert à tracter les skieurs. Il y
a un skieur tous les cinq mètres sur une distance totale de 100 mètres : on en déduit qu’il y a 20 skieurs à la fois sur
le remonte-pente. La puissance totale du moteur qui entraîne le remonte-pente est donc égale à
P = 20 P1
soit
5/5
P = 4 kW .
Étienne Thibierge, 27 février 2017, www.etienne-thibierge.fr