énoncé et correction

Exercice à rendre no14 – mardi 21 février Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
Énergie mécanique
Exercice à rendre no14 – mardi 21 février Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
Énergie mécanique
Vous êtes invités à porter une attention particulière à la rédaction et au soin de votre copie. Les numéros des
questions doivent être mis en évidence et les résultats encadrés.
Travailler avec votre cours ouvert et les exercices faits en classe à portée de main est chaudement recommandé.
Utiliser votre calculatrice ou un logiciel comme Geogebra ou Python est possible, et peut parfois vous aider.
Travailler en groupe est autorisé mais le travail de rédaction doit être individuel. Rappelons également qu’un
travail de groupe est un travail à plusieurs, et pas le travail d’une personne recopié plusieurs fois.
Angry birds
Angry Birds est une application de jeu de type casse-tête développée
par la société finlandaise Rovio Mobile. Lancé à l’origine sur iOS en
décembre 2009, il est par la suite disponible sur de multiples plates-
formes. Angry Birds a remporté un large succès grâce à sa jouabilité,
son graphisme et son prix faible. Sa popularité a conduit à la création
de versions pour ordinateurs, consoles de jeux, d’une version en ligne,
de produits dérivés, d’une bande dessinée, d’une série et même d’un
long-métrage. De multiples extensions et versions ont été et sont
toujours développées, certaines étant en projet pour 2017 1.
Dans le jeu, les joueurs utilisent un lance-pierre pour lancer des « oiseaux furieux » sur des cochons verts placés
sur ou à l’intérieur de différentes structures, dans l’intention de détruire tous les cochons présents dans l’aire de jeu.
On étudie dans un premier temps la phase de lancer de l’oiseau. Le mouvement de l’oiseau est étudié par rapport
à un référentiel galiléen lié au décor du jeu. On suppose que le mouvement est restreint au plan de l’image, c’est-à-dire
y=Y= 0 sur le repérage figure 1.
X
Y
OZ
0
(a) Vue de dessus
⊗#” g
x
z
α
#”
g
X
Z
⊗OY
butée
zc
xc
cochon
(b) Vue de côté
Figure 1 –Dispositif de lancer des Angry Birds. Version couleur sur le site de la classe, sans doute plus simple pour
distinguer les différents repérages.
Le lance-pierre est constitué d’un élastique attaché aux deux extrémités d’un manche en forme de Y. On le
modélise par deux ressorts identiques (raideur k, longueur 0) fixés à une butée de masse m0. Comme l’élastique est
tendu entre les deux extrémités du manche lorsqu’il n’est pas étiré, on suppose que la distance les séparant est égale
à20. L’oiseau, de masse m, est appuyé sur la butée. Pour le lancer, et il suffit d’étirer l’élastique puis de le lâcher.
Plusieurs hypothèses sont nécessaires pour simplifier les calculs. On suppose d’abord le mouvement de l’oiseau
guidé par une tige le contraignant à se déplacer sans frottement le long de l’axe (OX). Par ailleurs, on modélise
l’oiseau et la butée par des points matériels situés à la même abscisse X. Attention cependant, ils ne sont pas
équivalents : en particulier, les ressorts sont fixés à la butée, pas à l’oiseau, et on note #” R=RX
#”
eXla force exercée
par la butée sur l’oiseau lorsqu’ils sont en contact.
1. Ou comment s’instruire utilement en faisant son DM de physique ... vive Wikipedia :)
1/2 Étienne Thibierge, 27 février 2017, www.etienne-thibierge.fr

Exercice à rendre no14 : Énergie mécanique Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
On note X0=−L < 0la position initiale de l’oiseau et de la butée, juste avant que la butée ne soit lâchée sans
vitesse initiale.
1 - Montrer que la résultante des forces exercés par les deux ressorts sur la butée s’écrit
#”
F=−2kX 1−0
pX2+2
0!#”
eX.
Vérifier explicitement la cohérence de cette expression en analysant le sens de #” F.
2 - Justifier que #” Fdérive d’une énergie potentielle et déterminer son expression. Il n’est pas interdit d’être astucieux :
le calcul prend une ligne. Vérifier par un calcul explicite de dérivée (qui lui prend plus d’une ligne) que votre expression
est cohérente avec celle de la force établie à la question précédente.
3 - Par application de la loi de la quantité de mouvement à deux systèmes bien choisis, établir un système de deux
équations différentielles portant sur Xet impliquant RX.
4 - En déduire que
RX=−2km
m+m0X 1−0
pX2+2
0!
Commenter son signe. Conclure : à quelle position Xdl’oiseau décolle-t-il du lance pierre ?
5 - Déterminer la vitesse #” vdde l’oiseau à l’instant où il quitte le lance-pierre. Si jamais cela vous tentait, sachez qu’il
est vain de vouloir résoudre analytiquement les équations issues de la loi de la quantité de mouvement ... mais qu’on
a vu d’autres façons de déterminer une vitesse. Compte tenu du mouvement souhaité de l’oiseau, quelle hypothèse
peut-on proposer pour simplifier cette expression ?
On s’intéresse maintenant à la phase de chute libre de l’oiseau une fois qu’il a été lancé. Le cochon se trouve en
un point de coordonnées (xc, zc).
6 - En supposant la norme vdfixée, déterminer l’équation que l’angle αdoit vérifier pour que l’oiseau atteigne sa
cible. L’écrire sous forme d’un polynôme en tan α. On pourra garder vddans les calculs sans la remplacer par son
expression.
Rappel : 1 + tan2u= 1/cos2u
Remonte-pente
Un remonte-pente est constitué d’un câble auquel les skieurs s’accrochent pour remon-
ter. Déterminer la puissance du moteur qui entraîne le câble.
Il est attendu que vous détailliez les différentes étapes de votre raisonnement, et que
vous proposiez des valeurs numériques raisonnables au besoin.
Données :
Longueur totale du câble : 200 m ;
Distance séparant deux skieurs : 5 m ;
Dénivelé entre les extrémités du câble : 5 m ;
Vitesse du câble : 5 km ·h−1.
Lorsque le ski glisse sur la neige, la réaction tangentielle #” RTdu sol sur le ski est reliée à la réaction normale #” RN
par ||#” RT|| =f||#” RN|| avec f'0,1.
2/2 Étienne Thibierge, 27 février 2017, www.etienne-thibierge.fr

Correction de l’exercice à rendre no14 Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
Énergie mécanique
Correction de l’exercice à rendre no14 Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
Énergie mécanique
Angry birds
1Commençons par un schéma, figure 2, moins stylisé que ceux de l’énoncé mais permettant d’introduire les
notations et de représenter les forces. Les ressorts y sont représentés par de simples traits. Comme ils sont étirés par
hypothèse, on peut orienter les forces sans difficulté.
X
Y
OZ
β
0
#”
F1
#”
F2
#”
u1
#”
u2
Figure 2 –Résultante de la force exercée sur la butée. Version couleur sur le site de la classe.
La résultante des forces exercées par les ressorts sur la butée vaut simplement
#”
F=#” F1+#” F2.
D’après le théorème de Pythagore, les deux ressorts ont pour longueur =pX2+2
0, et ainsi
#”
F1=−kqX2+2
0−0#”
u1=−kqX2+2
0−0(−cos β#”
eX−sin β#” eY)
et de même
#”
F2=−kqX2+2
0−0#”
u2=−kqX2+2
0−0(−cos β#”
eX+ sin β#” eY).
Il reste donc
#”
F= +2kqX2+2
0−0cos β#”
eX.
De la trigonométrie du triangle permet d’exprimer simplement
cos β=|X|
pX2+2
0
=−X
pX2+2
0
ce qui conduit au résultat souhaité,
#”
F=−2kX 1−0
pX2+2
0!#”
eX.
Comme X < 0, alors #” Fest dirigée selon +#” eX, ce qui est cohérent : l’élastique cherche à retrouver la situation
d’équilibre où il est tendu entre les deux extrémités du manche.
2La force #” Fest la somme de deux forces de rappel élastique. Elle dérive donc d’une énergie potentielle égale à la
somme des deux énergies potentielles élastiques, qui sont égales car les ressorts sont identiques et ont même longueur.
Ainsi,
Ep= 2 ×1
2kqX2+2
0−02
soit Ep=kqX2+2
0−02
.
Un calcul direct par le travail élémentaire n’est pas très difficile non plus, mais dans ce cas il ne faut
pas oublier la constante d’intégration.
1/5 Étienne Thibierge, 27 février 2017, www.etienne-thibierge.fr

Correction DM 14 : Énergie mécanique Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
Vérifions explicitement que cette expression est cohérente avec celle de la force.
dEp
dX= 2kqX2+2
0−0×d
dXqX2+2
0−0
= 2kqX2+2
0−0×d
dXqX2+2
0
= 2kqX2+2
0−0×2X
2pX2+2
0
= 2kX 1−0
pX2+2
0!
ce qui donne bien comme attendu
FX=−dEp
dX.
3Considérons dans un premier temps l’oiseau. Les forces qu’il subit sont :
son poids #” P=m#” g=−mg #” ez=−mg cos α#” eZ−mg sin α#” eX;
la force de réaction de la tige guidant l’oiseau, normale à la tige car il n’y a pas de frottement : #” N=NZ
#”
eZ;
la force exercée par la butée sur l’oiseau #” R=RX
#”
eX.
D’après la loi de la quantité de mouvement,
d#” pois
dt=#”
P+#” N+#” R
soit compte tenu de la contrainte de mouvement à une dimension le long de l’axe X,
md2X
dt2
#”
eX=−mg cos α#” eZ−mg sin α#” eX+NZ
#”
eZ+RX
#”
eX
d’où on déduit la première équation par projection sur #” eX,
m¨ X=−mg sin α+RX.
Considérons maintenant la butée comme deuxième système. Les forces qu’elle subit sont :
son poids #” P=m0#” g=−m0g#” ez=−m0gcos α#” eZ−m0gsin α#” eX;
la force de réaction de la tige servant de guide, normale à la tige car il n’y a pas de frottement : #” N0=N0
Z
#”
eZ;
la force exercée par l’oiseau sur la butée, #” R0=−#” R=−RX
#”
eXd’après le principe des actions réciproques ;
les forces exercées par chaque ressort, dont la résultante #” Fa été déterminée précédemment.
D’après la loi de la quantité de mouvement,
d#” pbutée
dt=#”
P+#” N0+#” R0+#” F
soit en développant les expressions des différentes forces
m0d2X
dt2
#”
eX=−m0gcos α#” eZ−m0gsin α#” eX+N0
Z
#”
eZ−RX
#”
eX−2kX 1−0
pX2+2
0!#”
eX.
La deuxième équation cherchée s’obtient à nouveau par projection sur #” eX,
m0¨ X=−m0gsin α−RX−2kX 1−0
pX2+2
0!
Considérer comme système l’ensemble butée + oiseau est hasardeux, car il s’agit d’un système défor-
mable. Les lois usuelles des solides s’appliquent tant qu’il y a contact, mais pas au delà.
4Pour aboutir à l’expression de RX, il faut éliminer ¨ Xdes deux équations différentielles obtenues ci-dessus. Pour
cela, multiplions la première par m0, la deuxième par met soustrayons-les l’une à l’autre. Cela simplifie non seulement
l’accélération mais aussi le poids. Il vient donc
0
|{z}
accél.
= 0
|{z}
poids
+(m+m0)RX+ 2kmX 1−0
pX2+2
0!
2/5 Étienne Thibierge, 27 février 2017, www.etienne-thibierge.fr

Correction DM 14 : Énergie mécanique Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
d’où
RX=−2km
m+m0X 1−0
pX2+2
0!.
Comme pX2+2
0> 0alors le terme dans la parenthèse est positif, mais comme Xest négatif alors RX>0, ce
qui signifie que la force exercée par la butée sur l’oiseau est orientée dans le sens de +#” eX, ce qui est conforme à
l’intuition : les ressorts cherchent à retrouver leur longueur naturelle.
L’oiseau décolle du lance-pierre lorsque la force RXqu’il subit de la part de la butée s’annule : l’annulation d’une
force de liaison est synonyme de rupture de la liaison. Ainsi, l’oiseau quitte le lance-pierre lorsque
1−0
qXd2+2
0
= 0 soit 0=qXd2+2
0d’où 2
0=Xd2+2 0donc Xd= 0
5Appliquons le théorème de l’énergie cinétique à l’oiseau entre sa position initiale X=X0<0et la position où
il quitte le lance pierre X=Xd= 0. On a alors
1
2mv 2
d−0 = X
i
Wi.
Calculons les travaux Wides différentes forces.
Le poids de l’oiseau dérive de l’énergie potentielle Epp =mgz +cte (l’axe zest orienté vers le haut), donc son
travail au cours de la trajectoire vaut
W(#” P) = −∆Epp =−mg(zd−z0)=+mgz0=−mgL sin α
La force #” Nest constamment perpendiculaire à la trajectoire et ne travaille donc pas ;
La force #” Rest égale à m
m+m0
#”
Fet son travail peut donc se calculer à partir de Ep,
W(#” R) = −m
m+m0∆Ep=−0 + m m+m0kqL2+2
0−02
Finalement,
v2
d=−2gL sin α+2
m+m0kqL2+2
0−02
et ainsi
vd=s−2gL sin α+2
m+m0kqL2+2
0−02
.
L’objectif du lance pierre est de donner beaucoup de vitesse à l’oiseau : il faut donc que le travail du poids au cours
du trajet dans le lance-pierre, qui est résistant, soit aussi faible que possible. Si on décide de le négliger, l’expression
précédente devient
vd=s2
m+m0kqL2+2
0−02
soit vd=qL2+2
0−0r2k
m+m0.
6Une fois que l’oiseau quitte le lance-pierre, il a un mouvement de chute libre à partir du point O. Sa trajectoire
a pour équation celle établie en cours, à savoir
z(x) = −g
2v2
dcos2αx2+ tan α x
qui peut s’écrire aussi
z(x) = −g
2v2
d1 + tan2αx2+ tan α x .
L’oiseau touche donc le cochon s’il existe une valeur de αtelle que le point de coordonnées (xc, zc)appartienne à sa
trajectoire. Il faut donc que tan αsoit solution de l’équation du second degré
g x 2
c
2v2
d
tan2α+xctan α+zc+g
2v2
d= 0 .
3/5 Étienne Thibierge, 27 février 2017, www.etienne-thibierge.fr