Leçon 8 Les fonctions numériques les limites

Leçon 8
Les fonctions numériques
les limites
Cette leçon sera rapidement faîte, nous avons déjà rencontré l’écriture des limites : limite
d’une fonction quand x tend vers + ou − ∞, ou bien limite d’une fonction autour d’une valeur
interdite. Les études de limites permettent essentiellement de détecter les asymptotes.
Je pense qu’il faut connaître quelques théorèmes simples qui facilitent le travail avec les
limites. Si ton professeur ne les donne pas cette année, forcement, ils apparaîtront en
terminale.
Théorème 1 : La limite d’un polynôme lorsque x tend vers + ou − ∞ est donnée par la limite
de son terme de plus haut degré.
Théorème 2 : La limite d’une fonction rationnelle (Quotient de deux polynômes) lorsque x
tend vers + ou − ∞ est donnée par la limite du rapport des termes de plus haut
degré.
Théorème 3 : La limite d’une fonction irrationnelle de la forme )x(f quand f(x) tend vers
+ ∞ est égale à + ∞ .
Il est recommandé de bien connaître les limites des fonctions de référence.
Cette leçon sur les limites sera prolongée en terminale par l’étude des formes indéterminées,
« (0) (
∞
+
) ; ∞−∞
∞
∞
et;
0
0 ».
Voyons la fiche :

Lycée Première ES
Elève :
Classe :
Fiche Leçon 8
Les limites
Exercice 1
Chercher lim
3
x
x4
−
= ; lim x
1 = ;
x 3 x 0+
lim x
2
– 5x = ; lim
5
x
x2− .
x 1 x + ∞
Indiquer dans chaque cas les conséquences graphiques pour la courbe (Cf) que l’on observera
à la calculette. Pour la dernière limite, on fera aussi la fonction obtenue en prenant 2x
2
à la
place de 2x.
Exercice 2 (Les formes indéterminées. Pour préparer la terminale)
Chercher lim =
−
−
x
x
1x
2
; lim =
+ 1x
x3 ;
x 1 x + ∞
lim =−
x
1
x
1
2
; lim x =
2
x
3
x 0 x 0
lim =
−
−+
4
x
6xx
2
2
x2
Même chose, regarder les conséquences graphiques.

Correction
Exercice 1
a) f(x) =
3
x
x4
−
Df = R\{3}, f est discontinue pour x = 3 et nous voulons étudier ce qui se
passe autour de cette valeur. Nous allons faire la limite à droite et à gauche de 3 :
lim 4x = 13 lim 4x = 12 lim f(x) = − ∞
x 3
−
x 3
+
x 3
−
lim x − 3 = 0
−
lim x − 3 = 0
+
lim f(x) = + ∞
x 3
−
x 3
+
x 3
+
Nous avons ici une asymptote verticale d’équation x = 3 qui partage la courbe en deux
branches (à voir sur calculette).
b) f(x) = x
1 Df = R
+*
. lim x
1 = +
∞ . Nous avons une asymptote verticale x = 0.
x 0
+
c) f(x) = x
2
– 5x Df = R. lim x
2
− 5x = − 4.
x 1
Graphiquement, il ne se passe rien, la courbe passe par le point I de coordonnées(1 ; − 4).
Ce genre de limite n’est plus étudié par la suite. La fonction f est continue sur R.
d) f(x) =
5
x
x2
−
Df = R\{5}. Nous utilisons le théorème 2 et donc lim
5
x
x2
−
= 2.
x + ∞
Nous pouvons aussi démontrer sans le théorème pour une fois :
lim
5
x
x2
−
= lim 2
x
5
1
2
lim
x
5
1x
x2 =
−
=
−
car lim 0
x
5= quand x tend vers +∞.
Nous avons ici une asymptote horizontale y = 2.
Si nous traitons maintenant avec f(x) =
5
x
x2
2
−
, la limite sera +∞.
Nous disons qu’il y a une branche infinie et par décomposition, division par exemple,
nous allons faire apparaître une asymptote oblique :
x+
∞
x+
∞
x+
∞

2x
2
x − 5 f(x) =
5
x
50
10x2
−
++
− (2x
2
− 10x) 2x + 10
10x lorsque x tend vers +∞ alors
− (10x − 50)
5
x
50
−
tend vers 0
50
La courbe se rapproche de la droite d’équation y = 2x + 10.
Nous avons bien une asymptote oblique.
Exercice 2
a) f(x) =
x
x
1x
2
−
− Df = R
+*
\ {1}
En effet, il faut x ≥ 0 et x
2
− x ≠ 0 soit 0 et 1 exclus.
Nous allons transformer f(x) car pour x tendant vers 1, nous avons une forme
indéterminée :
f(x) =
)1x)(1x(x
)1x)(1x( +− +− =
)1x)(1x(x
1x +−
−
=)1x(x
1+
Nous avons utilisé l’expression conjuguée du numérateur.
lim f(x) = lim 2
1
)1x(x
1=
+ (graphiquement, c’est une situation nouvelle)
x 1 x 1
y = 2x +10

b) f(x) = 1x
x3 + Df = R
+
. Quand x tend vers +∞, nous avons encore une forme
indéterminée.
Il faut factoriser x .
f(x) = =
+)
x
1
1(x
xx3
+x
1
1
x3
; lim 1
x
1
1=
+ et donc lim f(x) = +∞
Nous avons ici une branche infinie.
Il y a deux sortes de branches infinies : celles qui donnent des asymptotes obliques et celles
qui donnent des branches paraboliques de direction l’axe des abscisses ou celui des
ordonnées.
c) f(x) = x
1
x
1
2
− Df = R
*
, la forme indéterminée constatée ici quand x tend vers 0 peut se
résoudre en transformant l’écriture de f(x).
f(x) =
2
x
x1
−
, lim 1 − x = 1 et lim x
2
= 0
+
et donc lim f(x) = + ∞
∞∞
∞
Nous avons une asymptote verticale x = 0.
d) f(x) = x 
2
x
3 Df = R*, ici aussi, il suffit de transformer l‘écriture de f(x). Nous savons
que xx
2
= et donc nous pouvons faire la limite à droite de 0 puis à gauche :
Si x tend vers 0
+
, alors f(x) s’écrit f(x) 3
x
x3 == car |x| = x (x étant positif).
lim f(x) = 3.
x 0
+
Mais si x tend vers 0
−
, alors f(x) = 3
x
x3 −=
−
car |x| = − x ( x ≤ 0 ) et donc lim f(x) = −
−−
− 3.
x
0
−
−−
−
La courbe possède
un point isolé
A . C’est-à-dire il y a une coupure
(« un trou ») dans la courbe, une
discontinuité pour x = 1.
(Attention, ceci ne se voit pas à la
calculette)
x
+
∞
x +
∞
x 0 x 0 x 0