Receuil CCs 3 pour Math 111A/B 2008-2009

CC3 M111 — Mat111b 12/08
Exercice 1
Questions de cours. Donner l’exemple correcte (peut-etre avec une justification succincte) suffit.
1) Donner un example de nombre entier qui n’est pas naturel.
2) Donner un example d’une fonction continue qui n’est pas derivable.
3) Donner un example d’une primitive de la fonction f: ]0, π[→R, f(x) = cos(x).
4) Voici une d´efinition incomplete de valeur propre de la matrice A∈Mn(R) :
“Le nomber r´eel λest un valeur propre de Asi et seulement si
~v ∈Rn\ {~ 0}, A~v =λ~v. ”
Remplacer “” par le bon symbole : ∋,∀,∃,∈,≤,∃!, P,♠ou ♥?
Exercice 2
1) Donner toutes les solutions de l’´equation diff´erentielle u′=u+ 1.
2) Donner toutes les solutions de l’´equation diff´erentielle u′=u+et
(utiliser la m´ethode de variation de la constante).
3) D´eduire de (1) et (3) toutes les solutions de l’´equation diff´erentielle
u′=u+ 1 + et.
4) Donner l’unique solution de l’´equation pr´ecedente qui satisfait u(0) = 0 et dessiner son graphe (si
vous n’avez pas repondu `a la question pr´ecedente, faire cela pour la derni`ere reponse que vous avez donn´e
au point (2) ou (1)).
Exercice 3
1) Calculer
Zex
4 + e2xdx
(si vous avez une envie soudaine de faire une substitution de variable, essayez avec u=ex
2).
V´erifier votre calcul : a-t-on vraiment trouv´e une primitive de ex
4+e2x?
2) Calculer
Z1
0
ex
4 + e2xdx.
3) Calculer
Z2
x3−6x2+ 11x−6dx
(psst ! ´ecrire sous la forme A/(x−1) + B/(x−2) + C/(x−3).)
4) Calculer
Z0
−1
2
x3−6x2+ 11x−6dx.
Notez que le graphe de f: [−1,0] →R,f(x) = 2
x3−6x2+11x−6que j’ai dessin´e `a la fin (Fig 1) montre que
la fonction est n´egative. V´erifier que l’integral obtenu est bien un nombre n´egatif.
Exercice 4.
1)V´erifier que
P=
1 4 29/2
0 1 6
0 0 1
est inversible.
1

2) Calculer
1−4 19/2
0 1 −6
0 0 1
P
3) Calculer P−1AP pour
A=
1 4 5
0 2 6
0 0 3
.
4) Diagonaliser Adonner ses valeurs propres et ses vecteurs propres (sans faire aucun calcul).
5) Diagonaliser Aen faisant les calculs avec la methode usuelle (resoudre det(A−λI3) = 0 etc...).
Fig. 1 – le graphe de f: [−1,0] →R,f(x) = 2
x3−6x2+11x−6
.
2

CC3, MAT111
Pas de documents ni de calculette
Le contrˆole dure 1 heure.
Question de cours.
(1) Donner la d´efinition d’une fonction ´etag´ee sur un intervalle [a, b]. Donner un
exemple d’une fonction ´etag´ee sur l’intervalle [0,1].
(2) Donner le formule d’int´egration par parties pour des fonctions d´erivables u
et vd´efinies sur R.
(3) Soient θet φdeux nombres r´eels. Donner les formules de lin´earisation per-
mettant d’´ecrire les produits sin (θ) cos (φ), cos (θ) cos (φ) et sin (θ) sin (φ)
comme des sommes.
Exercice 1.
(1) Ecrire les produits sin (t) cos (2t) et cos3(2t) comme des sommes.
(2) En d´eduire les int´egrales Rπ
0sin (t) cos (2t)dt et Rπ
0cos3(2t)dt.
Exercice 2.
(1) Calculer l’int´egrale
Zπ
0
tcos (t)dt
en utilisant une int´egration par parties.
(2) Calculer l’int´egrale
Zπ
0
etcos (t)dt
en utiilisant deux int´egrations par parties.
Exercice 3.
(1) Calculer la primitive
Z2t+ 2
t2+ 2t+ 2dt
par un changement de variables s=t2+ 2t+ 2.
(2) Calculer la primitive
Z1
t2+ 2t+ 2dt
par le changement de variables s=t+ 1.
(3) En d´eduire la primitive
Z3t−1
t2+ 2t+ 2dt.
1

Université Grenoble I Mathématiques
Cours Mat111a Année 2008-2009
Mardi 9 décembre 2008 9H45-10H45
Contrôle continu n◦3
Durée : 1 H
Avertissement : La qualité de la rédaction sera prise en compte dans la note finale. Je rappelle
qu’en Mathématique toute affirmation doit être justifiée, soit en faisant appel au cours, soit par
équivalence avec un énoncé plus simple, clairement vrai. Et tout cela avec une extrême rigueur !
Exercice 1.
1) Question de cours : Soit u:R→Rune fonction dérivable. Calculer les dérivées des fonctions
suivantes :
eu(x),ln |u(x)|, u(x)α(α∈R),pu(x).
2) Calculer les dérivées de
f(x) = xln(2x+ 1), g(x) = 1
1 + 2x2et de h(x) = e√x.
3) Calculer les dérivées partielles ∂f
∂x (x, y)et ∂f ∂y (x, y)de f(x, y) = 1 y−3x.
Exercice 2.
1) Question de cours : Rappeler la formule d’intégration par partie pour deux fonctions f, g :
[a, b]→Rdérivables.
2) Calculer les intégrales suivantes :
Zπ
0
xcos(x) dx, Z1
0
arctan(x) dx, Z1
0
x2exdx.
Exercice 3.
1) À l’aide du changement de variable u(t) = ln(t), montrer que, pour tout x≥0, on a
I(x) := Zx
0
et−1
et+ 1 dt=Zex
1
t−1
t(t+ 1) dt.
2) Déterminer deux nombres réels a, b tels que, pour tout t∈R\ {0,−1}, on a
t−1
t(t+ 1) =a t+b t+ 1
.
3) En déduire la valeur de I(x)pour tout x≥0.

UNIVERSIT´ E JOSEPH FOURIER Ann´ ee 2008/09
MATH´ EMATIQUES Mat111b BIO 06
Interrogation ´ecrite
8 d´ecembre 2008
Les calculatrices sont interdites. On justifiera toutes les r´eponses.
On apportera le plus grand soin `a la r´edaction.
Exercice 1. On consid`ere la fonction fd´efinie sur l’intervalle ]0,+∞[ et donn´ee
par la formule suivante :
f(x) = Arctan(x) + Arctan 1
x.
a) Calculer la d´eriv´ee de la fonction f(bien simplifier l’expression obtenue).
b) Donner la valeur de f(1).
c) D´eduire des deux questions pr´ec´edentes la valeur de f(π).
Exercice 2. Calculer les valeurs suivantes.
A=Zπ
0
cos x dx, B =Z4
1
√t dt, C =Zπ/2
0
(cos x)(sin x)7dx.
Exercice 3. Calculer la valeur suivante (indication : on pourra par exemple
effectuer le changement de variables u=√tpuis int´egrer par parties ; la valeur
finale doit ˆetre de la forme (e2+ 1)/m o`u mest un entier).
D=Ze
1
tln(√t)dt.
Exercice 4. Donner une primitive de la fonction
n(t) = t3+ 4t2+ 7t+ 6
(t+ 1)2(t2+ 4t+ 5)
(indication : on pourra ´ecrire n(t) sous la forme A/(t+ 1)2+ (Bt +C)/(t2+ 4t+ 5)).