Couples de variables aléatoires - Page de M. Bailloeuil

Chapitre 26
Couples de variables aléatoires
26.1
Lois de couples
26.1.1 Loi conjointe
Dénition ( Couple de VAR )
Soit Ω un ensemble ni.
Un couple de VAR (X, Y ) sur un espace probabilisé ni (Ω, A, P ) est une application de Ω dans
E × E 0 où E et E 0 sont des ensembles :
(
Ω → E × E0
ω 7→ (X(ω), Y (ω))
telles que X et Y soient des VAR dénies sur (Ω, A).
Si E × E 0 = R2 , (X, Y ) est un couple de variables aléatoires réelles (discrètes nies).
Th.
. S.C.E. associé à un couple de VAR
Soit un couple de VAR
(X, Y )
sur un espace probabilisé ni
(Ω, A, P ).
Alors la famille
d'événements
((X = x) ∩ (Y = y))(x,y)∈X(Ω)×Y (Ω)
est un système complet d'événements de
Ω.
Dénition ( Loi conjointe )
Soient (X, Y ) un couple de var sur un espace probabilisé ni (Ω, A, P ).
On appelle loi du couple (X, Y ) (ou loi de (X, Y ) ou loi conjointe de X et Y ) l'ensemble
{((x, y), P [(X = x) ∩ (Y = y)]), x ∈ X(Ω) et y ∈ Y (Ω)}
Remarque
Test 635
Déterminer la loi conjointe revient à déterminer les probabilités de chacune
des intersections.
Pour bien démarrer, il faut donc déterminer les valeurs prises par X et par
Y.
Une urne contient 2 boules blanches, 3 boules rouges et 4 boules bleues.
On extrait 3 boules de l'urne.
On note X le nombre de boules blanches parmi ces 3 boules et Y le nombre de boules
rouges.
Déterminer la loi du couple (X, Y ).
26.1.2 Lois marginales
Dénition ( Lois marginales )
Les variables X et Y sont appelées variables marginales du couple (X, Y ).
La loi de la var X (resp. Y ) s'appelle la loi marginale de X (resp. Y ) du couple (X, Y ).
557
CHAPITRE 26.
Th.
COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES
. Calcul des lois marginales
Soit
(X, Y )
un couple de variables aléatoires sur un espace probabilisé ni
On a :
∀x ∈ X(Ω), P (X = x) =
X
(ω, A, P ).
P [(X = x) ∩ (Y = y)]
y∈Y (Ω)
∀y ∈ Y (Ω), P (Y = y) =
X
P [(X = x) ∩ (Y = y)]
x∈X(Ω)
Remarque
Test 636
On applique la formule des probabilités totales en utilisant tantôt le S.C.E.
(Y = y)y∈Y (Ω) , tantôt le S.C.E. (X = x)x∈X(Ω) .
Déterminer les lois marginales des VAR du test précédent
Un atelier fonctionne avec 2 équipes d'ouvriers : une du matin et une du soir. Chaque
jour on note le nombre d'ouvriers absents.
Soit X VAR égale au nombre d'absences de l'équipe du matin.
Soit Y VAR égale au nombre d'absences de l'équipe de soir.
La loi du couple (X, Y ) est donnée dans le tableau suivant :
Test 637
X\Y
0
1
2
3
0
0.25
0.20
0.05
0
1
0.20
0.10
0.05
0.05
2
0.05
0.02
0.02
0.01
1. Donner les lois de X et Y.
2. Calculer E(X), E(Y ), σ(X) et σ(Y ).
3. Une absence coûte 100 euros à l'usine. Quelle est la perte journalière moyenne due
aux absences ?
Attention
Connaître les lois marginales ne permet pas de retrouver la loi conjointe.
26.1.3 Lois conditionnelles
Dénition ( Dénition )
Soit (X, Y ) un couple de VAR discrètes sur un espace probabilisé ni (Ω, A, P ) et soit y ∈ Y (Ω)
tel que P (Y = y) 6= 0.
On appelle loi conditionnelle à [Y = y] de X l'ensemble des couples
(xi , P[Y =y] (X = xi ))i∈I
On dénit de même pour x ∈ X(ω) la loi conditionnelle à [X = x] de Y .
Test 638
En reprenant le premier test du chapitre, déterminer la loi conditionnelle à [Y = 2] de
X.
Remarque
On aurait ici pu déterminer la loi conditionnelle à [Y = 2] de X directement
sans se servir de la loi du couple.
26.1.4 Liens entre ces lois
Jonglage
Il est important de bien savoir jongler entre loi du couple, lois marginales
et lois conditionnelles. Il s'agit uniquement d'appliquer la dénition des
probabilités conditionnelles ou alors d'appliquer la formule des probabilités
totales mais voici tout de même une propriété générale qui reprend tout
cela.
Lycée Châtelet Douai
Page 558
26.2.
Th.
FONCTIONS DE COUPLES
. Liens entre loi du couple, lois marginales et lois conditionnelles
Soit
(X, Y ) un couple de VAR sur un espace probabilisé ni (Ω, A, P ) .
x ∈ X(Ω) et y ∈ Y (Ω) tels que P (X = x) 6= 0 et P (Y = y) 6= 0
Pour tout
•
Loi conditionnelle à partir de la loi du couple :
P[X=x] (Y = y) =
•
P ([X = x] ∩ [Y = y])
P (X = x)
P[Y =y] (X = x) =
X
P ((X = x) ∩ (Y = y))
X
P (Y = y) =
y∈Y (Ω)
P ((X = x) ∩ (Y = y))
x∈X(Ω)
Lois marginales à partir des lois conditionnelles :
P (X = x) =
X
P[Y =y] (X = x)P (Y = y)
y∈Y (Ω)
Test 639
P ((X = x) ∩ (Y = y)) = P[Y =y] (X = x)P (Y = y)
Lois marginales à partir de la loi du couple :
P (X = x) =
•
P ([X = x] ∩ [Y = y])
P (Y = y)
Loi du couple à partir de la loi conditionnelle :
P ((X = x) ∩ (Y = y)) = P[X=x] (Y = y)P (X = x)
•
on a :
P (Y = y) =
X
P[X=x] (Y = y)P (X = x)
x∈X(Ω)
On considère une urne contenant quatre boules rouges et trois boules noires.
On pioche une à une sans remise les boules de l'urne.
Pour tout entier i ∈ [[1, 2]], on note Xi le nombre de tirages nécessaires pour obtenir la
ième boule noire.
1. Donner la loi de X1 ainsi que son espérance et sa variance.
2. Expliciter la loi conjointe de (X1 , X2 ). En déduire la loi de X2 .
3. On note T la variable aléatoire dénie par T = X2 − X1 . Que représente T ?
Donner son espérance.
26.2
Fonctions de couples
Proposition
Soient X, Y deux var réelles sur un espace probabilisé ni (Ω, A, P ).
Alors X + Y, XY, max(X, Y ), min(X, Y ) sont des VAR sur (Ω, A).
De manière générale, si g est une fonction de deux variables dénies sur X (Ω) × Y (Ω) alors
g (X, Y ) est aussi une var.
Proposition (Loi)
Soient X, Y deux var réelles sur un espace probabilisé ni (Ω, A, P ) et g une fonction de deux
variables dénie sur X (Ω) × Y (Ω).
Soit Z = g(X, Y ) une var dépendant uniquement de X et Y.
Alors Z(Ω) = {g(x, y), x ∈ X(Ω) et y ∈ Y (Ω)} et ∀z ∈ Z(Ω) on a
X
P (Z = z) =
P ((X = x) ∩ (Y = y))
x et y tels que g(x,y)=z
Proposition (Espérance)
Soient X, Y deux var sur un espace probabilisé ni (Ω, A, P ) et g une fonction de deux variables
dénie sur X (Ω) × Y (Ω).
Soit Z = g(X, Y ) une var dépendant uniquement de X et Y. Alors on a
E(Z) =
X
X
g(x, y)P ((X = x) ∩ (Y = y))
x∈X(Ω) y∈Y (Ω)
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CHAPITRE 26.
COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES
Soit X1 et X2 deux variables indépendantes et de même loi, avec :
1
5
P (Xi = 0) = , P (Xi = 1) = .
6
6
Soit S = X1 + X2 , P = X1 X2 .
Test 640
1. Donner la loi du couple (S, P ) puis celles de S et P .
2. S et P sont-elles indépendantes ?
3. Calculer E(S), E(P ), V (S), V (P ).
26.3
Indépendance
26.3.1 Dénition
Dénition ( Indépendance )
Soient X, Y 2 var sur sur un espace probabilisé ni (Ω, A, P ) à valeurs respectives dans E et F .
Dire que X et Y sont indépendantes signie que ∀x ∈ X(Ω) et ∀y ∈ Y (Ω)
P ((X = x) ∩ (Y = y)) = P (X = x) × P (Y = y)
La loi conjointe du couple (X, Y ) est donnée par
X\Y
Test 641
0
1
2
0
1/20
1/4
0
1
17/60
1/4
1/6
1. Déterminer les lois marginales.
2. X et Y sont-elles indépendantes ?
3. Calculer E(X), E(Y ).
Proposition
Soient X et Y deux var sur un espace probabilisé ni (Ω, A, P ) indépendantes à valeurs respectives
dans E et F et soient A ⊂ E et B ⊂ F . Alors on a
P ((X ∈ A) ∩ (Y ∈ B)) = P (X ∈ A)P (Y ∈ B)
Compléter le tableau suivant de la loi conjointe de X et Y connaissant les probabilités
indiquées et sachant que X et Y sont indépendantes.
Test 642
X\Y
0
0
0.04
1
0.02
2
0.06
1
2
3
0.09
0.06
loideX
3
loideY
0.2
La loi conjointe du couple (X, Y ) est donnée par
Test 643
X\Y
−1
0
1
0
1/4
a
1/8
1
1/5
b
1/10
1. Donner les lois de X et Y.
2. Déterminer a et b de manière que X et Y soient indépendantes.
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Page 560
26.3.
INDÉPENDANCE
Proposition
Soient X et Y deux var sur (Ω, A, P ) indépendantes et soient f, g deux fonctions dénies respectivement sur X(Ω) et sur Y (Ω).
Alors f (X) et g(Y ) sont deux var dénies sur (Ω, A, P ) indépendantes.
26.3.2 Espérance et variance
Th.
. Calcul de l'espérance et de la variance
Soient
X
et
Y
(Ω, A, P )
deux var nies sur
indépendantes alors,
E(XY ) = E(X)E(Y )
V (X + Y ) = V (X) + V (Y )
Remarque
et
V (X − Y ) = V (X) + V (Y )
Si X et Y sont indépendantes alors E(XY ) = E(X)E(Y ).
La réciproque est fausse.
Par contre si E(XY ) 6= E(X)E(Y ) alors X et Y ne sont pas indépendantes.
Soit (Xi )i∈N une suite de VAR de Bernoulli de paramètre p, indépendantes.
Soit Yi = Xi Xi+1
1. Quelle est la loi de Yi ?
n
X
2. Soit, ∀n ∈ N∗ , Sn =
Yi . Calculer E(Sn ).
Test 644
i=1
26.3.3 Covariance
Dénition ( Covariance )
Soient X et Y deux VAR discrètes nies. On appelle covariance de X et de Y le nombre réel :
cov(X, Y ) = E[(X − E(X))(Y − E(Y ))]
Th.
. Covariance
Soient
X
et
Y
deux VAR discrètes nies.
cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y )
C'est ce théorème qu'on utilisera le plus souvent pour calculer la covariance.
Test 645
La covariance dénit-elle un produit scalaire sur l'ensemble des variables aléatoires d'un
espace probabilisé ?
I cov(Y, X) = cov(X, Y )
et on a aussi
cov(X, X) = V (X).
Corollaire
Si X et Y sont indépendantes alors cov(X, Y ) = 0.
Attention
ce n'est pas parce que cov(X, Y ) = 0 que X et Y sont nécessairement
indépendantes. Par contre si cov(X, Y ) 6= 0, on peut armer que X et Y
ne sont pas indépendantes.
Soit X une VAR discrète dont la loi est donnée par :
xi
P (X = xi )
Test 646
-2
1
6
-1
1
4
0
1
6
1
1
4
2
1
6
On considère la variable Y = X 2 .
1. Déterminer la loi de Y ainsi que celle du couple (X, Y ).
2. X et Y sont-elle indépendantes ?
3. Calculer cov(X, Y ) et faire une remarque sur ce résultat.
Page 561
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CHAPITRE 26.
COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES
Dénition ( Dénition )
Si X et Y sont deux variables aléatoires telles que cov(X, Y ) = 0, on dit que les variables sont
non corrélées.
I
Deux VAR indépendantes sont non corrélées mais la réciproque est en générale fausse.
Th.
. Variance d'une somme
• V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2cov(X, Y )
•
26.4
Si
X
et
Y
sont indépendantes
n
Généralisation à
V (X + Y ) = V (X) + V (Y ).
variables
26.4.1
n-uplet de VAR
Dénition ( n-uplet de VAR réelles )
Un n-uplet de VAR (X1 , X2 , · · · , Xn ) sur un espace probabilisé ni (Ω, A, P ) est une application
de Ω dans Rn :
(
Ω → Rn
ω 7→ (X1 (ω), · · · , Xn (ω))
telles que X1 ,... Xn soient des VAR dénies sur (Ω, A).
Dénition ( Loi conjointe )
Soient (X1 , X2 , · · · , Xn ) Un n-uplet de VAR sur (Ω, A, P ).
On appelle loi du n-uplet (X1 , X2 , · · · , Xn ) (ou loi conjointe ) l'ensemble
{((x1 , x2 , · · · , xn ), P [
\
(Xi = xi )]), x1 ∈ X1 (Ω),... xn ∈ Xn (Ω)}
1≤i≤n
26.4.2 Indépendance
Dénition ( VAR mutuellement indépendantes )
Soient X1 , ..., Xn n VAR discrètes. On dit que les variables X1 , ..., Xn sont
indépendantes (ou tout simplement indépendantes ) lorsque
pour tout (x1 , ..., xn ) ∈ X1 (Ω) × · · · × Xn (Ω) :
mutuellement
P ([X1 = x1 ] ∩ · · · ∩ [Xn = xn ]) = P (X1 = x1 ) × · · · × P (Xn = xn )
Proposition (Lemme des coalitions)
Soient X1 , · · · , Xn n VAR discrètes mutuellement indépendantes et soit p ∈ {2, ..., n − 1}. Alors
toute variable aléatoire fonction des variables X1 , · · · , Xp est indépendante de toute variable
aléatoire fonction des variables Xp+1 , · · · , Xn .
Exemple
Th.
Si X1 , X2 , X3 , X4 , X5 sont 5 VAR discrètes mutuellement indépendantes
alors les variables X1 + 2X32 et X2 − eX5 sont indépendantes.
. Somme de variables binomiales
Si
X1 , X2 , · · · , Xn
sont des VAR mutuellement indépendantes suivant des lois bino-
(m1 , p), (m2 , p), · · · , (mn , p) alors
n
X
de paramètre p et de taille
mi .
miales de paramètres respectifs
n
X
Xi
suit une loi binomiale
k=1
la variable aléatoire
k=1
Corollaire
Soient X1 , X2 , · · · , Xn n VAR mutuellement indépendantes qui suivent toutes une loi de Bernoulli
de paramètre p, alors X1 + · · · + Xn suit la loi B(n, p).
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Page 562
26.4.
GÉNÉRALISATION À
N
VARIABLES
26.4.3 Espérance et variance
Th.
. Espérance d'une somme
Soient
X1 , X2 , · · · , Xn
des VAR discrètes nies sur un même espace probabilisé.
E
n
X
!
Xi
=
i=1
Th.
n
X
E(Xi )
i=1
. Variance d'une somme
Soient
X1 , X2 , · · · , Xn
V
des VAR discrètes nies sur un même espace probabilisé.
n
X
!
Xi
=
i=1
Si de plus
X1 , X2 , · · · , Xn
n
X
i=1
cov(Xi , Xj )
1≤i<j≤n
sont mutuellement indépendantes, on a
V
n
X
i=1
Page 563
X
V (Xi ) + 2
!
Xi
=
n
X
V (Xi )
i=1
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CHAPITRE 26.
26.5
COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES
Exercices
Exercice 1
n
1
boîtes sont numérotées de
à
n
La boîte numérotée
k
contient
k
boules numérotées de
X
1
à
k.
Y
les numéros de
correspondants distincts
(n > 2). Pour
]0, 1[ et la
On choisit au hasard une boîte, puis une boule dans cette boîte. Soient
et
la boîte et de la boule obtenus.
1. Quelle est la loi de
X
? Préciser
2. Etablir la loi du couple
Y.
3. En déduire la loi de
E(X)
et
V (X).
(X, Y ).
Calculer
E(Y ).
Exercice 2
Une secrétaire eectue
n
n
appels téléphoniques vers
p
chaque appel, la probabilité d'obtenir le correspondant demandé est
probabilité de ne pas l'obtenir est
1. Soit
X
q,
avec
q = 1 − p.
le nombre de correspondants obtenus lors de ces
E(X)
Calculer l'espérance
2. Après ces
n
appartenant à
et la variance
n
appels. Quelle est la loi de
X
?
V (X).
recherches, la secrétaire demande une deuxième fois chacun des
spondants qu'elle n'a pas obtenus la première fois.
obtenus dans la deuxième série d'appels, et
Soit
Z = X +Y
Y
n−X
corre-
le nombre de correspondants
le nombre total de correspondants
obtenus.
Quelles sont les valeurs prises par
3. Calculer
Z
?
p0 = P (Z = 0), p1 = P (Z = 1).
p1 = npq 2n−2 (1 + q).
Montrer que
4. Calculer la probabilité conditionnelle
P(X=k) (Y = h)
pour
k ∈ {0, .., n}
et
h ∈ {0, .., n − k}.
5. Démontrer que
P (Z = s) =
s
X
P ((X = k) ∩ (Y = s − k))
k=0
6. Calculer
ps = P (Z = s).
7. Montrer que
En déduire que
p(1 + q) = 1 − q 2
ps =
n
[p(1 + q)]s (q 2 )n−s
s
et reconnaître la loi suivie par
Z
Exercice 3
Un joueur lance une pièce équilibrée autant de fois que nécessaire.
aléatoire réelle discrète égale au nombre de fois où, au cours des
N
On note
XN
la variable
premiers lancers, deux résultats
successifs ont été diérents. Par exemple , si les 9 premiers lancers ont donné successivement
Pile, Pile, Face, Pile, Face, Face, Face, Pile, Pile alors la variable
quatre changements, aux
1. Justier que
3ième , 4ième , 5ième
et
8ième
X9
aura pris la valeur 4 (
lancers ).
XN (Ω) = {0, ..., N − 1}.
2. Déterminer la loi de
X2
3. Déterminer la loi de
X3 .
Lycée Châtelet Douai
ainsi que son espérance.
Page 564
26.5.
EXERCICES
N −1
1
P (XN = 0) =
2
N
1
.
= 1) = 2(N − 1)
2
4. Montrer que
et
P (XN
5. Justier que pour tout entier
k
de
6. En déduire que pour tout entier
{0, ..., N − 1}, P(XN =k) (XN +1 = k) =
k
1
.
2
{0, ..., N − 1}, P (XN +1 − XN = 0 ∩ XN = k) =
de
1
P (XN = k).
2
7. En sommant cette relation de
k=0
à
N − 1,
montrer que
P (XN +1 − XN = 0) =
1
XN +1 − XN suit une loi de Bernoulli de paramètre .
2
1
E(XN +1 ) = + E(XN ), puis donner E(XN ) en fonction
2
1
.
2
8. Montrer que la variable
En déduire la relation
9. Montrer que les variables
XN +1 − XN
10. En déduire par récurrence sur
En déduire la variance
N
que
et
XN
XN
de
N.
sont indépendantes.
suit une loi binomiale
V (XN ).
1
B(N − 1, ).
2
Exercice 4
Soient
X, Y
et
Z
trois variables aléatoires mutuellement indépendantes et dénies sur le même
espace probabilisé
(Ω, A, P ) .
On suppose que
X, Y
et
Z
suivent la loi
U[|1,n|] .
k−1
.
n2
1. Montrer que :
∀k ∈ [|2, n + 1|], P (X + Y = k) =
2. Montrer que :
∀k ∈ [|n + 2, 2n|], P (X + Y = k) =
2n − k + 1
.
n2
3. Utiliser la formule des probabilités totales pour déduire de la première question que :
P (X + Y = Z) =
4. Montrer que la variable aléatoire
5. Pourquoi
T
T =n+1−Z
est-elle indépendante de
T
P (X + Y + Z = n + 1).
6. En faisant intervenir la variable
probabilité
X
et de
Y
n−1
2n2
suit la loi
U[|1,n|]
.
?
et en utilisant la troisième question, déterminer la
Exercice 5
Soit
n
un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère une urne contenant :
•
1 boule numérotée 1
•
2 boules numérotées 2
•
...
• n
boules numérotées
n.
X le numéro obtenu.
n(n + 1)(2n + 1)
k2 =
6
1. On tire une boule de cette urne, on note
calculer
E(X).
On rappelle que
n
X
k=1
Page 565
Déterminer la loi de
X
et
Alain Couteèle et Mélissa Bailloeuil
CHAPITRE 26.
COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES
2. On eectue dans cette urne deux tirages successifs sans remise. On note
T2
la première boule obtenue et
(b) En déduire la loi des variables
(d) Déterminer
T1
le numéro de
(T1 , T2 ).
(a) Déterminer la loi du couple
(c) Les variables aléatoires
T1
le numéro de la deuxième boule.
et
T1
T2
et
T2 .
sont-elles indépendantes ?
E(T1 + T2 ).
Exercice 6
Soit
(X, Y )
un couple de VAR discrètes à valeurs dans
N2 ,
P ([X = i] ∩ [Y = j]) =
de loi conjointe :
a
2i+1 j!
a.
1. Déterminer toutes les valeurs possibles de
2. Déterminer les lois marginales.
3.
X
et
Y
sont-elle indépendantes ?
Exercice 7
Dans cet exercice, les variables aléatoires sont toutes supposées nies et prendre leurs valeurs
dans
Z.
On appelle fonction caractéristique d'une variable aléatoire
X
l'application
ϕX : R → C
dénie
par
ϕX (u) = E eiuX
C∞.
ϕ00X (0) ?
b) Calculer la fonction caractéristique d'une variable X suivant une loi de Bernoulli de paramètre
p.
Même question avec une loi binomiale de paramètres n et p.
c) Soient X une variable aléatoire réelle nie à valeurs dans Z et x0 un entier. Vérier
a) Vérier que
ϕX
est
2π -périodique
et de classe
0
Calculer ϕX (0). Comment interpréter ϕX (0) et
P (X = x0 ) =
1
2π
Z
2π
ϕX (u)e−iux0 du
0
En déduire
ϕX = ϕY ⇒ X = Y
d) Soient
X
et
Y
deux variables aléatoires indépendantes. Vérier
ϕX+Y = ϕX ϕY
e) Exploiter ce résultat pour retrouver la fonction caractéristique d'une variable aléatoire suivant
une loi binomiale.
Lycée Châtelet Douai
Page 566
26.6.
26.6
EXERCICES COMPLÉMENTAIRES
Exercices Complémentaires
Exercice 1
Soient
X
et
Y
deux variables aléatoires prenant pour valeurs
a1 , . . . , an
avec
P (X = ai ) = P (Y = ai ) = pi
On suppose que les variables
X
Y
et
sont indépendantes.
Montrer que
n
X
P (X 6= Y ) =
pi (1 − pi )
i=1
Exercice 2
Soient
X
une variable aléatoire dénie sur un espace probabilisé ni
dénie sur
(Ω, P )
et
f
une application
X(Ω).
A quelle condition les variables aléatoires
X
et
f (X)
sont-elles indépendantes ?
Exercice 3
Soit
p ∈ ]0, 1[ et (Xk )k∈N?
une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes vériant
P (Xk = 1) = p
a) Calculer l'espérance de
et
P (Xk = −1) = 1 − p
Xk .
b) On pose
n
Y
Yn =
Xk
k=1
Yn ,
n → +∞.
En calculant de deux façons l'espérance de
c) Quelle est la limite de
pn
quand
déterminer
pn = P (Yn = 1).
Exercice 4
Y deux variables aléatoires indépendantes à valeurs
E(X) en fonction de P (X > k).
b) On suppose les variables X et Y uniformes.
Déterminer l'espérance de min(X, Y ) puis de max(X, Y ).
Déterminer aussi l'espérance de |X − Y |.
Soient
X
et
dans
[[1, n]].
a) Exprimer
Exercice 5
Soient
m
X1 , . . . , Xn des
σ2 .
variables mutuellement indépendantes suivant une même loi d'espérance
et de variance
a) On pose
n
Xn =
Calculer espérance et variance de
1X
Xi
n i=1
X n.
b) On pose
n
2
1 X
Vn =
Xi − X n
n − 1 i=1
Calculer l'espérance de
Vn .
Exercice 6
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Alain Couteèle et Mélissa Bailloeuil
CHAPITRE 26.
Soit
X
et
Y
COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES
deux variables aléatoires réelles sur l'espace probabilisé
(Ω, P ).
Montrer
|Cov(X, Y )| 6
Lycée Châtelet Douai
p
V (X)V (Y )
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