Fonction logarithme, PGCD Terminale S DEVOIR LIBRE No 6 Exercice 1 : Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre. Toutes les représentations graphiques demandées seront effectuées sur la même figure, dans un plan rapporté à un repère orthonormal d’unité graphique 4 cm. A- Études de fonctions On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par : x+2 si x > 0 f (x) = x ln x f (0) = 0 On note (C) sa représentation graphique. 1. (a) Montrer que f a pour limite 0 en 0. Que peut-on en conclure pour la fonction f ? (b) f est-elle dérivable en 0 ? (c) Déterminer la limite éventuelle de f en +∞. On pourra poser h = x2 2. (a) Montrer que f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et calculer f 0 . (b) Montrer que f 0 est dérivable sur ]0 ; +∞[ et vérifier que : ∀x > 0, f 00 (x) = − 4 . x(x + 2)2 (c) Étudier le sens des variations de f 0 et montrer que lim f 0 (x) = 0. x→+∞ En déduire le signe de f 0 . (d) Dresser le tableau des variations de f . (e) Construire la courbe (C) en indiquant la tangente au point O. 3. Soit u la fonction définie sur [0 ; +∞[ par : u(x) = 2x . x+2 On note (H) sa représentation graphique. (a) Dresser le tableau des variations de u. (b) Vérifier que, pour x ∈ ]0 ; +∞[, on a : f (x) − u(x) = xf 0 (x). En déduire la position relative des courbes (C) et (H). (c) Tracer (H). B- Recherche d’une fonction L’objectif de cette partie est de déterminer une fonction g, définie et dérivable sur ]0 ; +∞[ et possédant la propriété (E) suivante : ∀x > 0, g(x) − xg 0 (x) = 2x . x+2 Définition : F est une “primitive” de f sur un intervalle I si F est dérivable sur I et F 0 = f . 1. On pose, pour x > 0, G(x) = g(x) . x Montrer que pour tout x > 0, G0 (x) = Novembre 2006 1 1 − . x+2 x Page 1 sur 2 Lycée Feyder Fonction logarithme, PGCD Terminale S 2. Déterminer une primitive de G0 sur ]0 ; +∞[. 3. En déduire une fonction g vérifiant la propriété (E). Exercice 2 (pour les élèves de spécialité uniquement) : Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. 1. Montrer que n et 2n + 1 sont premiers entre eux. 2. On pose α = n + 3 et β = 2n + 1. Notons δ = PGCD(α ; β). (a) Calculer 2α − β et en déduire les valeurs possibles de δ. (b) Montrer que δ = 5 si et seulement si n ≡ 2 (5). 3. On considère les nombres a = n3 + 2n2 − 3n et b = 2n2 − n − 1. Montrer, après factorisation, que a et b sont des entiers naturels divisibles par (n − 1). 4. (a) On note d le PGCD des nombres n(n + 3) et 2n + 1. Montrer que δ divise d puis que δ = d. (b) En déduire le PGCD, ∆, de a et b en fonction de n. (c) Déterminer ∆ pour n = 2006 puis pour n = 2007. Novembre 2006 Page 2 sur 2 Lycée Feyder