devoir libre n 6 - Lycée Jacques Feyder

Fonction logarithme, PGCD Terminale S
DEVOIR LIBRE No6
Exercice 1 : Les parties Aet Bpeuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.
Toutes les représentations graphiques demandées seront effectuées sur la même figure, dans un
plan rapporté à un repère orthonormal d’unité graphique 4cm.
A- Études de fonctions
On considère la fonction fdéfinie sur [0 ; +∞[par :
f(x) = xln x+ 2
xsi x > 0
f(0) = 0
On note (C)sa représentation graphique.
1. (a) Montrer que fa pour limite 0en 0. Que peut-on en conclure pour la fonction f?
(b) fest-elle dérivable en 0?
(c) Déterminer la limite éventuelle de fen +∞.On pourra poser h=2
x
2. (a) Montrer que fest dérivable sur ]0 ; +∞[et calculer f0.
(b) Montrer que f0est dérivable sur ]0 ; +∞[et vérifier que :
∀x > 0, f00(x) = −4
x(x+ 2)2.
(c) Étudier le sens des variations de f0et montrer que lim
x→+∞f0(x) = 0.
En déduire le signe de f0.
(d) Dresser le tableau des variations de f.
(e) Construire la courbe (C)en indiquant la tangente au point O.
3. Soit ula fonction définie sur [0 ; +∞[par :
u(x) = 2x
x+ 2.
On note (H)sa représentation graphique.
(a) Dresser le tableau des variations de u.
(b) Vérifier que, pour x∈]0 ; +∞[, on a : f(x)−u(x) = xf0(x).
En déduire la position relative des courbes (C)et (H).
(c) Tracer (H).
B- Recherche d’une fonction
L’objectif de cette partie est de déterminer une fonction g, définie et dérivable sur ]0 ; +∞[et
possédant la propriété (E)suivante :
∀x > 0, g(x)−xg0(x) = 2x
x+ 2.
Définition : Fest une “primitive” de fsur un intervalle Isi Fest dérivable sur I et F0=f.
1. On pose, pour x > 0,G(x) = g(x)
x.
Montrer que pour tout x > 0,G0(x) = 1
x+ 2 −1 x.
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Fonction logarithme, PGCD Terminale S
2. Déterminer une primitive de G0sur ]0 ; +∞[.
3. En déduire une fonction gvérifiant la propriété (E).
Exercice 2 (pour les élèves de spécialité uniquement) :
Soit nun entier naturel supérieur ou égal à 2.
1. Montrer que net 2n+ 1 sont premiers entre eux.
2. On pose α=n+ 3 et β= 2n+ 1. Notons δ=PGCD(α;β).
(a) Calculer 2α−βet en déduire les valeurs possibles de δ.
(b) Montrer que δ= 5 si et seulement si n≡2 (5).
3. On considère les nombres a=n3+ 2n2−3net b= 2n2−n−1.
Montrer, après factorisation, que aet bsont des entiers naturels divisibles par (n−1).
4. (a) On note dle PGCD des nombres n(n+ 3) et 2n+ 1.
Montrer que δdivise dpuis que δ=d.
(b) En déduire le PGCD, ∆, de aet ben fonction de n.
(c) Déterminer ∆pour n= 2006 puis pour n= 2007.
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