Lycée Gustave Eiffel Équations différentielles

Année 2011-2012
Feuille n4
Lycée Gustave Eiel
Mathématiques PTSI 2
Équations diérentielles
Exercice 1. Déterminer les primitives des fonctions suivantes
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
sin(2x − 3)
sin(x) cos(x)
cos2 (3x)
tan(x)
2x − 1
x2 − x − 1
1
x ln(x)
ln(x)
x
x
8. 1 +e ex
9.
10.
11.
12.
13.
14.
1
1p
+ ex
x x2 + 1
15. xex
16. x2 sin(x3 )
17. sin(x)ecos(x)
18. e
2
2x + 3
(x2 + 3x − 4)2
2x + 1
2
(x + x + 1)3
x
√
2
x +2
x
,
2
(2x + 3)n
où n ∈ N.
1
x
x2
19.
20.
21.
1
1 + 4x2
1
1 + 2x2
1
4 + x2
Exercice 4. Résoudre les équations diérentielles suivantes
22.
23.
24.
25.
26.
27.
1.
2.
3.
1
2 + x2
1
√
2
x +5
1
√
4x2 − 1
ln(x)
4.
5.
6.
7.
8.
x2 e2x
(x2 + 2x +
2) cos(x)
28. ex cos(x)
2. En déduire une primitive de
Exercice 3. Une primitive de
1
a
b
c
= +
+
.
x3 − x
x x−1 x+1
1
(1 + x2 )n
1
(1 + x2 )n
qui s'annule en l'origine.
Exercice 6. Résolution d'une équation fonctionnelle
On considère l'équation fonctionnelle suivante : (E) f (x + y) = ex f (y) + ey f (x) d'inconnues f , une fonction dérivable sur R.
1. Montrer que, si f est solution de (E), alors
il0 existe λ ∈x R tel que f soit solution
− f = λe
du problème de Cauchy suivant : (Eλ ) ff (0)
.
=0
1. Donner une expression de F1 .
2. Déterminer une primitive de
x2
.
(1 + x2 )2
3. En déduire une expression de F2 .
4. Soit n ∈ N. Déterminer une expression de Fn+1 en fonction de Fn .
5. En déduire une expression de F3 et de F4 .
2
On se propose de déterminer les fonctions dérivables√strictement positives solutions de
l'équation diérentielle
suivante : (E) y0 − y = ex y.
√
On pose z = y.
1. Montrer que y est solution de (E) si, et seulement si, z est solution d'une équation
diérentielle linéaire du premier ordre (E 0 ).
2. Résoudre (E 0 ).
3. En déduire les solutions de (E) et préciser leurs domaines de dénition.
1
.
x3 − x
Pour n ∈ N, on note Fn la primitive de
y 0 + 2xy − ex−x = 0
2y 0 − y + x = 0
9. (1 + x2 )y0 + xy = x + 1
10. ch(x)y0 + sh(x)y = 1 +1 x2
11. (1 + x2 )y0 + 4xy = 0
12. xy0 − y + ln x = 0
13. x2 y0 + y − 1 = 0
14. (1 − x2 )y0 + (1 + x2 )y = ex
15. (x + 1)2 (xy0 − y) + 2x + 1 = 0
16. xn y0 − αy = 0, (n ∈ N∗ , α ∈ R∗+ ).
Exercice 5. Une équation de Bernoulli
Exercice 2. Décomposition en éléments simples
1. Déterminer a, b et c des réels tels que :
y0 + y = 0
y 0 + (2x + 1)y = 0
1
y0 + √
y=0
2
x +1
1
y0 + √
y=0
x2 − 1
y 0 − ch(x)y = 0
y 0 + xy = x
1
2. Résoudre (Eλ ).
3. En déduire les solutions de (E).
Exercice 7. Résolution d'une équation fonctionnelle
0
Exercice 12. Un exemple d'équation diérentielle d'Euler
On considère l'équation fonctionnelle suivante : f (x)f (−x) = 1 (E) où f est une On se propose de résoudre l'équation diérentielle suivante : (E) x2 y00 + 3xy0 + 5y = 0
fonction dérivable sur R.
1. On pose z(t) = y(et ). Montrer que y est solution de (E) sur ]0; +∞[ si, et seule1. On suppose que f est une solution de (E).
ment si, z est solution d'une équation diérentielle linéaire du second ordre.
(a) Que peut-on dire de la fonction g dénie par g(x) = f (x)f (−x) ?
0
(b) En déduire que f est solution d'une équation diérentielle y = Cy
2. En déduire les solutions de (E) sur ]0, +∞[.
avec C 6= 0.
3. En procédant de manière similaire, résoudre l'équation (E) sur ] − ∞, 0[.
2. En déduire les solutions de (E).
4. Préciser les solutions de (E) dénie sur R.
Exercice 8. Résoudre les équations diérentielles suivantes
1. y00 + 3y0 + 2y = 2x2 + 1
14. y00 − y = cos(x)
Exercice 13. En s'inspirant de l'exercice précédent, résoudre sur R+∗ puis sur R−∗
00
0
2x
2. y + 4y − 5y = e
15. y00 − 4y0 + 5y = ex sin(x)
les équations suivantes :
3. y00 + 5y0 − 6y = ex
16. y00 + y = cos(2x)
1. x2 y00 + 4xy0 + 2y = 0
2. x2 y00 + xy0 + y = 0
3. x2 y00 + 3xy0 + y = 0
00
0
x
00
0
2
4. y − 2y + 2y = e
17. y − 2y + 2y = cos (x)
00
0
x
5. y − 4y + 3y = 2e
Exercice 14. Une autre équation fonctionnelle
18. y00 − 2y0 + y = xex cos(2x)
00
00
0
x
6. y + y = cos(2x)
19. y − 3y + 2y = x + 1 + e
Soit (k, λ) ∈ R∗ × R.
00
0
x
Déterminer les fonctions dérivables sur R telles que, pour tout x réel,
7. y + y − 6y = xe
20. y00 − 2y0 + 2y = ch(x) cos(x)
0
00
0
x
8. y − 4y + 3y = 2e
21. y00 − y0 − 2y = (6x − 1)e2x + 4x2 ex f (x) = k f (λ − x).
9. y00 + 2y0 + y = (x2 + 1)e−x
22. y00 − 2y0 + 2y = (2 + 4x)ex sin(x)
Exercice 15. Une équation fonctionnelle (librement adapté de l'épreuve du Bac Be10. y00 − 2y0 + 5y = xex
sançon, 1988)
23. 4y00 + 4y0 + y = (x3 + 1)e−
00
11. y00 + 4y0 + 13y = e−x
On considère l'équation fonctionnelle suivante :
24. y + y = sin(ωx) où ω ∈ R
00
0
2
ax
f 00 (x) − f (−x) = sin(x) (E)
12. y00 − 2y0 − 8y = xe4x
25. y − 2ay + (a + 1)y = sin(x) + xe
où l'inconnue f désigne une fonction dénie sur R à valeurs réelles et deux fois dérioù a ∈ R
13. y00 − y0 − 2y = cos(x) + 3 sin(x)
vable.
Exercice
:
Pour tout la suite de l'énoncé, f désigne une fonction dénie sur R à valeurs
0 9. Résoudre les systèmes diérentiellessuivants
x (t) = y(t)
x0 (t) = 5x(t) − 6y(t) + et
réelles et deux fois dérivable. On considère g et h les fonctions dénies par :
1. y0 (t) = x(t)
3. y0 (t) = 4x(t) − 5y(t) + t
g(x) = f (x) + f (−x) et h(x) = f (x) − f (−x)
0
00
0
0
(t) = x(t) + 4y(t)
x =x +y −y
1. Calculer à l'aide de f 0 et f 00 les dérivées premières et secondes de g et h.
2. xy0 (t)
4.
00
0
0
= x(t) + y(t)
y =x +y −x
2. On suppose que f est une solution de (E).
e−3x
Exercice 10. Soit (E) l'équation diérentielle suivante : y00 + 6y0 + 9y = √
(a) Montrer que g et h sont respectivement solutions des équations suivantes :
1 + x2
y 00 − y = 0
(E1 )
1. Résoudre sur R l'équation homogène (E0 ) associée.
y 00 + y = 2 sin(x) (E2 )
2. On pose : z(x) = e3x y(x). Donner une équation diérentielle (E 0 ) équivalente à
(b) Déterminer les solutions paires de (E1 ) et les solutions impaires de (E2 ).
(E).
(c) En déduire l'existence de deux paramètres réels λ et µ tels que les fonctions
3. Résoudre (E 0 ) et en déduire les solutions de (E).
g et h admettent une expression en fonction de respectivement λ et µ.
Exercice 11. En s'inspirant de l'exercice précédent, résoudre :
2x
(d) En déduire une expression de f en fonction de λ et µ.
1. y00 −2y0 +y = ex ln(x) 2. y00 + 4y0 + 4y = 3. y00 −4y0 +4y = 2xe
1 + x2
xe−2x ln(x)
2 3. En déduire les solutions de (E).
x
2