Ch 2: Equations différentielles

Cours Chap II, page 1 sur 2
Chap II : ´ Equations diff´ erentielles r´ eelles lin´ eaires du premier ordre
I) Exemples d’´equations diff´erentielles r´eelles lin´eaires du premier ordre
Un exemple concret Dans le circuit ci-contre, la tension Edu g´en´erateur,
l’intensit´e idu circuit, la charge qde l’armature du condensateur
et la tension udu condensateur sont des fonctions du temps t.
La tension uaux bornes du condensateur est nulle `a l’instant t= 0.
La tension uv´erifie l’´equation : RC du
dt +u=E
On dit que la fonction uest une solution d’une ´equation diff´erentielle
re´elle lin´eaire du premier ordre avec la condition initiale u(0) = 0
D’autres exemples Les ´equations y0−2xy = 4x, (1 + t2)2y0+ 2ty =te
1
1+t2sont aussi lin´eaires du premier ordre
Les ´equations y0+y2= 0 ou y0y= 1 sont du premier ordre mais elles ne sont pas lin´eaires.
D´ efinitions ´ Equations diff´erentielles lin´eaires du premier ordre
•Une ´equation diff´erentielle lin´eaire du premier ordre est une ´equation du type α(t)y0+β(t)y=γ(t) (E)
o`u α, β et γsont des fonctions connues, continues sur l’intervalle Ide R`a valeurs r´eelles.
On notera l’abus de notations utilis´e dans l’´equation...Ici, l’inconnue yest une fonction de Idans Rde variable t.
Il faut bien identifier la fonction inconnue (en g´en´eral yen maths, x, z, u en physique) et la variable (t, x en maths, t, x ou autres en physique)
•Une solution sur l’intervalle Ide cette ´equation (E) est une fonction fd´erivable sur I`a valeurs r´eelles
telle que : ∀t∈I, α(t)f0(t) + β(t)f(t) = γ(t)
Attention ! La notion de solution n’a pas de sens si on ne pr´ecise pas l’intervalle Io`u elle est solution !
•On appelle ´equation homog`ene (ou sans second membre) associ´ee `a (E) l’´equation α(t)y0+β(t)y= 0 (H)
•R´esoudre l’´equation (E)(resp. (H)) sur Irevient `a chercher toutes les solutions de (E)(resp. de (H)) sur I.
L’ensemble S(resp. SH)des solutions de (E)(resp. de (H)) est donc un ensemble de fonctions de Idans R.
II) Ensemble des solutions d’une ´equation diff´erentielle du premier ordre
Propositions Structure des ensembles de solutions
•Si y1et y2sont des solutions de (H) sur Ialors, pour (λ1, λ2)∈K2,λ1y1+λ2y2est aussi une solution de (H) sur I
On dit que l’ensemble SHdes solutions de (H) sur Iest stable par combinaison lin´eaire
et SH6=∅(car [x→0] ∈ SH) aussi SHest un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel F(I, R) = RIdes fonctions de Idans R.
•Si ½y0est une solution particuli`ere de l’´equation (E) sur I
SHest l’ensemble solution sur Ide l’´equation homog`ene (H)alors l’ensemble Sdes solutions sur Ide (E) est : S={y0+h|h∈ SH}
On dit que Sest un sous-espace affine de RIde direction SHissue de y0
Point m´ ethode R´esolution de l’´equation α(t)y0+β(t)y=γ(t) (E)
•Dans la pratique, on r´esout l’´equation diff´erentielle (E) sur un intervalle Io`u la fonction αne s’annule pas.
L’´equation (E) est donc ´equivalente `a une ´equation (E0) du type y0+a(t)y=b(t)(equation dite r´esolue en y0)
•Pour r´esoudre y0+a(t)y=b(t) sur I: - on r´esout d’abord l’´equation homog`ene y0+a(t)y= 0 sur I;
- on recherche une solution particuli`ere y0de y0+a(t)y=b(t) sur I
L’ensemble des solutions de (E0) sur Iest alors S={y0+h|h∈ SH}o`u SHest l’ensemble des solutions de (H) sur I
•Lorsque la fonction αs’annule sur I, on r´esout l’´equation sur des intervalles I1,I2, ... inclus dans I
o`u αne s’annule pas puis on ´etudie le ”recollement” des solutions au niveau des z´eros de α...

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III) R´esolution de l’´equation homog`ene y0+a(t)y= 0
Propositions ´ Equation y0+ay = 0 o`u a∈R
•Si a∈Rest fix´e, les solutions sur Rde l’´equation y0+ay = 0 sont les fonctions [x7→ Ce−ax] avec C∈R
Cest une constante arbitraire ´evoluant dans R, appel´ee constante d’int´egration : S=n[x7→ Ce−ax ]¯
¯
¯C∈Ro
•La fonction [x7→ ekx] est l’unique solution sur Rde y0=ky o`u k∈Rv´erifiant la condition initiale y(0) = 1.
Proposition ´ Equation y0+a(t)y= 0 o`u aest une fonction continue sur I
Les solutions sur Ide l’´equation y0+a(t)y= 0 lorsque aest une fonction continue sur Isont
les fonctions [x7→ Ce−A(t)] o`u Aest une primitive de asur Iet o`u Cest une constante arbitraire dans R.
On admet, pour l’instant, que toute fonction continue sur Iposs`ede des primitives sur I
IV) Recherche d’une solution particuli`ere
∗On peut essayer de trouver une solution particuli`ere ”analogue” au second membre et proc´eder par identification.
∗On peut utiliser le principe de superposition des solutions :
Si y1est une solution sur Ide y0+a(t)y=b1(t)et y2est une solution de y0+a(t)y=b2(t)alors
y1+y2est une solution sur Ide l’´equation y0+a(t)y=b1(t) + b2(t)
∗On peut utiliser la m´ethode de variation de la constante :
on recherche la solution particuli`ere sous la forme f(t) = C(t)h(t) o`u hest une solution de l’´equation homog`ene.
Outre ses applications pratiques, cette m´ethode permet de prouver les r´esultats th´eoriques importants suivants :
Propositions Existence de solutions pour y0+a(t)y=b(t)
et unicit´e de la solution avec condition initiale
•Si aet bsont des fonctions continues de Isur R, alors l’´equation y0+a(t)y=b(t) admet des solutions sur I
•Si aet bsont des fonctions continues de Isur Ret si (t0;y0)∈I×R, alors
la condition initiale y(t0) = y0d´etermine une unique solution pour l’´equation y0+a(t)y=b(t)
Attention ! Ces propositions sont fausses pour l’´equation α(t)y0+β(t)y=γ(t) (E) lorsque αs’annule sur I
−>L’´equation (E) peut avoir une unique solution, ne pas avoir de solution ou bien en avoir une infinit´e (voir Ex E1)
−>Une condition initiale n’assure plus l’unicit´e de la solution (voir Ex E1)
Retour sur l’exemple de la charge du condensateur `a travers une r´esistance
L’unique solution de l’´equation RC du
dt +u=Eavec la condition initiale u(0) = 0 est u(t) = E·1−exp µ−1 τ¶¸
o`u τ=RC est la constante de temps. L’intensit´e ide ce circuit est donc i(t) = Cdu
dt =E Rexp µ−t τ¶