Probabilités élémentaires François Bolley

Universit´e Pierre et Marie Curie Ann´ee 2016-2017
Licence de math´ematiques L2 2M231
Probabilit´es ´el´ementaires
Fran¸cois Bolley
Notes de cours de Rapha¨el Krikorian

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Table des mati`eres
1 Rappels de th´eorie des ensembles 5
1.1 Op´erations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Applications entre ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 D´enombrement .......................... 7
1.4 D´enombrabilit´e.......................... 11
2 Espaces probabilis´es 13
2.1 Espaces probabilis´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Tribus ............................... 13
2.3 Probabilit´es............................ 14
2.4 Probabilit´es sur un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 Ev´enements ind´ependants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6 Probabilit´es conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Variables al´eatoires r´eelles 25
3.1 Variables al´eatoires r´eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Loi d’une variable al´eatoire r´eelle . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Esp´erance des v.a : cas d´enombrable . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Esp´erance des v.a : cas g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5 Esp´erance des v.a admettant une densit´e . . . . . . . . . . . . 36
3.6 Variance.............................. 40
3.7 In´egalit´e de Markov et de Bienaym´e-Tchebychev . . . . . . . 44
3.8 Vecteurs al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.9 Variables al´eatoires ind´ependantes . . . . . . . . . . . . . . . 48
4 Th´eor`emes limites 53
4.1 Lois des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2 Th´eor`eme de la limite centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Diverses notions de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
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4TABLE DES MATI ` ERES

Chapitre 1
Rappels de th´eorie des
ensembles
Nous rappelons dans ce chapitre quelques notions ´el´ementaires de th´eorie
des ensembles.
1.1 Op´erations sur les ensembles
Ensemble, ensemble fini/infini, cardinal. Un ensemble est intuitive-
ment une collection d’´el´ements. Etant donn´es un ensemble Eet un ´el´ement
aon ´ecrit a∈Esi aest un ´el´ement de E. Il existe un unique ensemble ne
contenant aucun ´el´ement ; on le note ∅. On dit qu’un ensemble est fini s’il ne
contient qu’un nombre fini d’´el´ements et infini sinon. Si Aest un ensemble
fini on appelle cardinal de Ale nombre d’´el´ements de Aet on note ce nombre
entier #Aou card A. Si Aest infini, on pose #A=∞.
Inclusion, compl´ementaire. Si Eet Asont deux ensembles on dit que F
est inclus dans Eou que Aest un sous-ensemble de Esi tout ´el´ement de Aest
un ´el´ement de Eet on ´ecrit A⊂E. On peut alors d´efinir le compl´ementaire
de Adans Equi est l’ensemble des ´el´ements de Equi n’appartiennent pas
`a A. On le notera dans ce cours E−A,E\Aou Ac; cette derni`ere notation
cesse d’ˆetre ambig¨ue si l’on suppose Efix´e une fois pour toute.
Ensemble des parties d’un ensemble. Si Eest un ensemble, l’ensemble
constitu´e des sous-ensembles ou parties de Ese note P(E).
Union, intersection. Si (Ai)i∈Iest une collection d’ensembles inclus dans
E, la r´eunion des Aiest l’ensemble Si∈IAides a∈Epour lesquels il existe
i∈Itel que a∈Ai. De mˆeme l’intersection des Aiest l’ensemble Ti∈IAi
des a∈Epour lesquels a∈Aipour tout i∈I. On dit que deux ensembles
sont disjoints si leur intersection est vide. On dit que les ensembles Ai,i∈I
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