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Première ES 1 - Année Scolaire 2009-2010
Chapitre n°7 : Polynômes du second degré - page 166 - 187
Devoir en classe n°2
EXERCICE 1 : Calcul algébrique :
!
 – Résoudre les inéquations suivantes ;
--77xx--55
>0
7+
- 9 -; 9 ;
>0; ;3x3x- 4(
- 4(
7 x+ )x”) 5x
” 5x
77
2x-3
5 - 3x
11
xx-- 2 x - 3 ” ” 5 - 3x
33
55
44
EXERCICE N°2 : Calcul algébrique :
2
2
2 4 3x-2 + 12x - 28x
f(x) = 3x-2 +
f(x) = 3x-2 + 4 3x-2 + 12x - 8x
-7x-5
!
 – Développer
sous sa forme réduite ;
>0 le; polynôme
3x - 4( 7 +f(x)
x ) puis
” 5xle-présenter
9;
72
!
 f(x)
– Factoriser
f(x)
= x 22+x3x
+ 2; 5 - 3x
1
3
f(x)xaux
=-x questions
+ 3x +”2 suivantes en utilisant les formes les plus appropriées :
Répondre
5
3
4
!
!
1 ; b = 3 ;l’équation
c=2
 a– =
Résoudre
f(x) = 0 ;
a=1;b=3;c=2
les antécédents pas f de -3 ;
-
7 x–- Calculer
5
>0 ; 3x - 4( 7 + x ) ” 5x - 9 ;
!
7– Résoudre l’inéquation
f(x) ≥ 0 ;2
2
f(x)
1
2 x -=
3 3x-2
5 - 23x + 4 3x-2 + 12x - 8x
1
£ ” 3¥
xf(x)3= ² x+ ´5 2<
4
¤£ 23¦ ¥ 4 1 du second degré et discriminant :
EXERCICE
<
f(x)N=°3 :x+Polynôme
²¤ 2 ´¦
4
2
3x++212x 2 - 8x
f(x) = f(x)
3x-2=2 x+ 4 + 3x-2
2
b¥
b 2 - 4ac
£
!
 Soit
– Calculer
le discriminant
etbx
factoriser
f(x)
+ c = p(x)
= a; ² x+ ´ ;
le polynôme
p(x) = ax +
2
2 4a
¤ 2a ¦
2
a
=
1
;
b
=
3
;
c
=
2
2
b¥
b - 4ac
£
!
 –Soit
Calculer
α et β tels
que
f s’écrive
sous
la forme
2
+ bx +
c= =b 2p(x)
= a ² canonique
x+ ´ - f(x) =2 a (x; α) + β ;
le polynôme
p(x)
=
ax
2 appelle
4ac
on
discriminant
la
quantité
6
f(x) = x + 3x + 2
¤ 2a ¦
4a
Si 6 < 0 le polynôme ne peut être factorisé ; 2
2
on appelle discriminant la quantité 6 = b - 4ac
2
b¥
£
2
Si66 =<00£lelepolynôme
polynôme
ne
peut
être
factorisé
;
Si
peut
être
factorisé
et
s'écrit
p(x)
=
a
x+
1
3¥
²¤ 2a ´¦ ;
f(x) = ² x+ ´ <
2
¤le polynôme
4 peut être factorisé et s'écrit p(x) = a x- x £ x- xb ¥
2¦
Si
6
•
0
2 ;
Si 6 = 0 le polynôme peut être factorisé et s'écrit p(x) = a1²x+
2
¤ 2a ´¦
a=1;b=3;c=2
1
£ 3¥
-b+ 6
<- 6
f(x) = ² x+ ´ - b
et
:
x
=
; x 2 = peut être factorisé et s'écrit p(x) = a x- x
Si¤ 6 12•¦0 le4polynôme
1
2a
2a
x- x 2
2
-b- 6
- b + 26
b¥
b 2 - 4ac
£
etSoit
: x1le
= polynôme
; x p(x)
=
;
=2a
ax + bx + c = p(x) = a ² x+ ´ 2
2a
¤ 2a ¦
4a 2
2
2
b¥
b - 4ac
£
2p(x) = a ² x+
;
Soit leon
polynôme
= ax 2 + bx + cla= quantité
´
4ac
appellep(x)
discriminant
6
=
b
¤ 2a ¦
4a 2
Si 6 discriminant
< 0 le polynôme
ne peut
- 4acfactorisé ;
on appelle
la quantité
6 = b 2être
Si 6 < 0 le polynôme ne peut être factorisé ;
2
b¥
£
2
;
Si 6 = 0 le polynôme peut être factorisé et s'écrit
p(x)
=
a
x+
²
b¥
£
¤ 2a ´¦
Si 6 = 0 le polynôme peut être factorisé et s'écrit p(x) = a ² x+ ´ ;
¤
2a ¦
Si 6 • 0 le polynôme peut être factorisé et s'écrit p(x) = a x- x1 x- x 2 Si 6 • 0 le polynôme peut être factorisé et s'écrit p(x) = a x- x1 x- x 2 - b - 6- b - -6b +; x 6= - b + 6
et : x1 =et : x1 = ; x 2 =
2a 2a 2
2a
2a
Le samedi 12 décembre 2009"
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Première ES 1 - Année Scolaire 2009-2010
Chapitre n°7 : Polynômes du second degré - page 166 - 187
Devoir en classe n°2
EXERCICE 1 : Calcul algébrique :
!
 – Résoudre les inéquations suivantes ;
-7x-5
5
> 0 équivalent à - 7 x - 5 > 0 ⇔ - 5 > 7 x ⇔ - > x ;
7
7
3x - 4( 7 + x ) ≤ 5x - 9 équivalent à 3x - 28 - 4x ≤ 5x - 9 ;
3x - 4( 7 + x ) ≤ 5x - 9 équivalent à 3x - 4x - 5x ≤ 28 - 9 ;
3x - 4( 7 + x ) ≤ 5x - 9 équivalent à - 6x ≤ 19 ;
19
3x - 4( 7 + x ) ≤ 5x - 9 équivalent à x ≥ ;
6
20 ( 2 x - 3 )
12 ( 5 - 3x )
1
2x-3
5 - 3x
15
x≤
équivalent à
x≤
4
3
5
60
60
60
1
2x-3
5 - 3x
x≤
équivalent à 15x - 20 ( 2 x - 3 ) ≤ 12 ( 5 - 3x )
4
3
5
1
2x-3
5 - 3x
x≤
équivalent à 15x - 40x+60 ≤ 60-36x
4
3
5
1
2x-3
5 - 3x
x≤
équivalent à 15x - 40x-36x ≤ 60-60
4
3
5
1
2x-3
5 - 3x
x≤
équivalent à 15x - 40x+36x ≤ 60-60
4
3
5
1
2x-3
5 - 3x
x≤
équivalent à 11x ≤ 0
4
3
5
1
2x-3
5 - 3x
x≤
équivalent à x ≤ 0
4
3
5
EXERCICE N°2 : Calcul algébrique :
f(x) = ( 3x-2 ) + 4 ( 3x-2 ) + 12x 2 - 8x
2
8⎫
⎧
f(x) = 21x 2 - 8x - 4 ; f(x) = 21x 2 - 8x - 4 = - 4 ; f(x) = x ( 21x - 8 ) =0 ; S = ⎨0 ;
⎬
21 ⎭
⎩
⎧ 2 2⎫
f(x) = ( 3x-2 ) ( 7x+2 ) ; f(x) = ( 3x-2 ) ( 7x+2 ) = 0 ; S = ⎨− ; ⎬
⎩ 7 3⎭
EXERCICE N°3 : Polynôme du second degré et discriminant :
f(x) = x 2 + 3x + 2 ; a = 1 ; b = 3 ; c = 2 ; Δ = 3 2 - 4x1x2 = 9-8 = 1
Puisque Δ ≥ 0 le polynôme peut être factorisé et s'écrit :
f(x) = a ( x- (-1)) ( x- (-2)) = ( x+1) ( x+2 )
et : x1 =
-3- 1
-3+ 1
= -1 ; x 2 =
= −2
2x1
2x1
f(x) = x 2 + 3x + 2 = ( x-α ) + β
2
α=−
b
3
3
=−
=− ;
2a
2 (1)
2
2
9 9
9 18 8
1
⎛ 3⎞
⎛ 3⎞
f(α ) = α 2 + 3α + 2= ⎜ − ⎟ + 3 ⎜ − ⎟ + 2= − + 2 = −
+ =−
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
4 2
4 4 4
4
2
2
⎛ ⎛ 3⎞⎞
1 ⎛ 3⎞
1
f(x) = ⎜ x- ⎜ − ⎟ ⎟ − = ⎜ x+ ⎟ −
4 ⎝ 2⎠
4
⎝ ⎝ 2⎠ ⎠
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Première ES 1 - Année Scolaire 2009-2010
Chapitre n°7 : Polynômes du second degré - page 166 - 187
Devoir en classe n°2
EXERCICE 1 : Calcul algébrique :
!
 – Résoudre les inéquations suivantes ;
-3x-4
>0 ; 2x - 5( 3 + x ) ≤ 3x - 8 ;
3
1
3x-2
7 - 3x
x≤
5
2
7
EXERCICE N°2 : Calcul algébrique :
f(x) = ( 2x-3 ) + 4 ( 2x-3 ) + 8x 2 - 12x
2
-
3 x– -Développer
4
le polynôme f(x) puis le présenter sous sa forme réduite ;
>0 ; 2x - 5( 3 + x ) ≤ 3x - 8 ;
!f(x) =
 x3–2 Factoriser
+ 5x + 4 f(x) ;
1
3x-2
7 - 3x
Répondre
aux questions
suivantes en utilisant les formes les plus appropriées :
x≤
5
2
7
!
 – Résoudre l’équation f(x) = 0 ;
!
-7x-5
>0 ; 3x - 4( 7 + x ) ” 5x - 9 ;
7 – Calculer les antécédents pas f de -3 ;
- 3 2 5 - 3x
!1 2–xRésoudre
l’inéquation f(x) ≥ 0 ;
x - = ( 2x-3”) + 4 ( 2x-3 ) + 8x 2 - 12x
f(x)
4
3
5
!
EXERCICE N°3 : Polynôme du second degré et discriminant :
2
2
f(x)
x + +5x4 +3x-2
4 + 12x 2 - 8x
f(x)
= =3x-2
!
 – Calculer le discriminant et factoriser f(x) ;
!f(x) =x–2 Calculer
+ 3x + 2 α et β tels que f s’écrive sous la forme canonique f(x) = a (x- α)2 + β ;
a=1;b=3;c=2
2
1
£ 3¥
f(x) = ² x+ ´ <
¤ 2¦
4
2
b¥
b 2 - 4ac
£
;
Soit le polynôme p(x) = ax 2 + bx + c = p(x) = a ² x+ ´ ¤ 2a ¦
4a 2
on appelle discriminant la quantité 6 = b 2 - 4ac
Si 6 < 0 le polynôme ne peut être factorisé ;
2
b¥
£
Si 6 = 0 le polynôme peut être factorisé et s'écrit p(x) = a ² x+ ´ ;
¤ 2a ¦
Si 6 • 0 le polynôme peut être factorisé et s'écrit p(x) = a x- x1 x- x 2 et : x1 =
-b- 6
-b+ 6
; x2 =
2a
2a
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Première ES 1 - Année Scolaire 2009-2010
Chapitre n°7 : Polynômes du second degré - page 166 - 187
Devoir en classe n°2
EXERCICE 1 : Calcul algébrique :
!
 – Résoudre les inéquations suivantes ;
-3x-4
>0
3
2x - 5( 3 + x )
2x - 5( 3 + x )
2x - 5( 3 + x )
2x - 5( 3 + x )
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
xxxxxx-
3x-2
2
3x-2
2
3x-2
2
3x-2
2
3x-2
2
3x-2
2
4
équivalent à - 3 x - 4 > 0 ⇔ - 4 > 3x ⇔ - >x
3
≤ 3x - 8 équivalent à 2x - 15 - 5x ≤ 3x - 8
≤ 3x - 8 équivalent à 2x - 5x - 3x ≤ 15 - 8
≤ 3x - 8 équivalent à - 6x ≤ 7
7
≤ 3x - 8 équivalent à x ≥ 6
35 ( 3 x - 2 )
10 ( 7 - 3x )
7 - 3x
14
≤
équivalent à
x≤
7
70
70
70
7 - 3x
≤
équivalent à 14x - 35 ( 3 x - 2 ) ≤ 10 ( 7 - 3x )
7
7 - 3x
≤
équivalent à 14x - 105x+70 ≤ 70-30x
7
7 - 3x
≤
équivalent à 14x - 105x+30x ≤ 0
7
7 - 3x
≤
équivalent à -61x ≤ 0
7
7 - 3x
≤
équivalent à x ≥ 0
7
EXERCICE N°2 : Calcul algébrique :
f(x) = ( 2x-3 ) + 4 ( 2x-3 ) + 8x 2 - 12x
2
4⎫
⎧
f(x) = 12x 2 - 16x - 3 ; f(x) = 12x 2 - 16x - 3 = - 3 ; f(x) = 4x ( 3x - 4 ) =0 ; S = ⎨0 ; ⎬
3⎭
⎩
⎧ 1 3⎫
f(x) = ( 2x-3 ) ( 6x+1) ; f(x) = ( 2x-3 ) ( 6x+1) = 0 ; S = ⎨− ; ⎬
⎩ 6 2⎭
EXERCICE N°3 : Polynôme du second degré et discriminant :
f(x) = x 2 + 5x + 4 : a = 1 ; b = 5 ; c = 4 ; Δ = 5 2 - 4x1x4 = 25 - 16 = 9 ;
Si Δ ≥ 0 le polynôme peut être factorisé et s'écrit :
f(x) = a ( x- (-1)) ( x- (-4)) = ( x+1) ( x+4 )
et : x1 =
-5- 9
-5+ 9
= -4 ; x 2 =
= −1
2x1
2x1
f(x) = x 2 + 5x + 4 = ( x-α ) + β
2
α=−
5
5
5
=−
=− ;
2a
2 (1)
2
2
25 25
25 50 16
9
⎛ 5⎞
⎛ 5⎞
β = f(α ) = α 2 + 3α + 2= ⎜ − ⎟ + 5 ⎜ − ⎟ + 4 = −
+4=
−
+
=−
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
4
2
4
4
4
4
2
2
⎛ ⎛ 5⎞⎞
9 ⎛ 5⎞
9
f(x) = ⎜ x- ⎜ − ⎟ ⎟ − = ⎜ x+ ⎟ −
4 ⎝ 2⎠
4
⎝ ⎝ 2⎠ ⎠
Le samedi 12 décembre 2009"
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