Théorèmes de factorisation dans les espaces réticules

Séminaire d’analyse fonctionnelle
École Polytechnique
J. L. KRIVINE
Théorèmes de factorisation dans les espaces réticules
Séminaire d’analyse fonctionnelle (Polytechnique) (1973-1974), exp. no22 et 23, p. 1-22
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S
E
M I
N
A I
R E M
A D
R E
Y -
S
C H W A R T
Z
1 9
7
3 - 1
9
7 4
THEOREMES
DE FACTORISATION
DANS
LES
ESPACES
RETICULES
par J.L.
KRIVINE
TECHNIQUE
’
,
-,
J
-
i -
I.
Exposa
N°
XXII eL
8 et 17)
1
1974

XXII-XXIII.1
Dans
expusé
on donne
une
généralisation
et
une nouvelle
présen-
tation
de divers
résultats
de B.
Maurey
[2].
Nous
appellerons
m-treillis un
espace
vectoriel L
sur
IR,
réticulé,
normé,
tel
que
)x) £
pour
Un
sous-
espace
I de
L
sera
appelé
idéal
si
x E 1 ,
y- E L,
1 y
Î ~ ~
o LI
idéal
I ( a , ... , a )
engendré
par
a1,...,ak E L
est donc
(x j L ;
il
existe A E
lR ,
1
k 1 k
-
’
+
lxl
1
s
1
+
...
+
Un
opérateur borné
h : L - M
d°un
IR-treillis
dans
un
autre
sera
appelé
homomorJBhisme
si on
a
h (x+~ ~. h(x) ~
pour
x E L
(et
donc
h(x U y) =
h(x)Uh(y)
pour
x,yEL) ;
si,
de
plus,
la
clôture
de
l’image
de h est un idéal
de
M,
alors
h
sera
appelé
homomorphisme
fort.o
,
*
*
oF
*
L’opérateur
h : M -
L
est
alors
un
homomorphisme
fort,
et
1 ’image
de h
,
,
*
,
est
un
idéal de
L , y
comme on
le
démontre facilement. o
Les deux
exemples
suivants
seront
très utiles
pour
la
suit
-
Soient L un
1R-treillis
complet
et
a E L+, y
Sur
l’idéal
I(a)
+
on
définit
une norme
en
posant
On
a
évidemment
o
De
plus,
on vérifie
aisé-
ment
que
(I(a),Il
110)
est
un
M-espace
avec unité (l’unité
étant
a/Ilall)
’I]
et
donc
que
son
complété
est
isomorphe
à un
espace
a
(s)
pour
un
certain
espace
compact
S.
L’application
identique
de
I(a)
dans
L
se
prolonge
donc
en un
homomorphisme
fort
h : ~ (8) ~
L,11h11
=
1 o
-
Soit,
par
ailleurs,
t
une
forme linéaire
0
sur
L, 11tli:-
1 telle
que
t(a)=
||a||
(il
en
existe, puisque
si
1,
u(a)
r
on
peut
prendre
t=
lui).
On définit
sur
L une
semi-norme
en
posant ||x||1
=
On
a
]Jx)) y
||a||
o
De
plus,
, j 1 ., .L )
est
évidemment un
On
a
||x||
1
||x||
||a||
1
||a||.
De
plus,
;
i
application
identi-
L-espace
[1],
et
donc son
complété
est un
espace
L1.
Inapplication
identi-
que
se
prolonge
donc
en
un
homomorphisme
fort
h :
L -
L, 1
..
1.

XXII-XXIII.2
Dans
l’espace
réticulé
des
applications
de
En
dan
E,
les
applica-
tions
coordonnées
n
engendrent
un
sous-espace
réticulé
n
e
Un élément
de
i9
sera
appelé
"terme"
et
noté
t(xl,...,xn).
e
Autrement
dit
un
terme
est
une fonction
de
1Rn
dans
IR
obtenue
à
partir
des
fonctions
par composition
avec
l’addition,
la
multiplication par
un
sca-
laire,
et les
opérations
U ,
n.
C’est
évidemment une
fonction
continue,
homogène
de
degré
1
XIR+),
et il
n
+
existe
un
réel
M &#x3E; 0 tel
que
|t(x1,...,x)
M(lx1,
U...U
lx 1)
quels
que
’
1.
n l
n
soient
1R.
Enfin
il
est clair
que
si
L
est
un
espace
vectoriel
réticulé
sur
R,
chaque
terme
t(xl,.ee,xn,
définit une
application
de
L.
e
Théorème
1 :
Soient
U(xl,...,xn)
deux
termes
tels
que
quels que
soient
xl,....,xn E
~.
Si L est
un
espace
vectoriel réticulé sur
IR,
u(xl,....,xn)
quels que
soient
Nous
ne
démontrerons
ce
théorème
que
dans
le
cas
où
L
est
un
espace
vectoriel réticulé
normé
sur
1R.
Notons
également que
le
résultat
est
évident
lorsque
L
est
un
espace
de
fonctions
(c’est-à-dire
un
sous-espace
réticulé
de
IRs ,
où
S
est un ensemble
quelconque.)
Soient
alors
a,, .. a n
E L ;
on
pose
a=
1 ail
+
... + ~
b = t(al’" . ,an)’
Alors
et, y
si b / c,
on a
(b-c)+/=0.
Or
(1(a),ÎÎ
il
) est
isomorphe
à
un
espace
de
fonctions
(sous-espace
réti-
D’où
la contradiction
cherchée
Soit maintenant
f(x ,...,x )
une
fonction
continue
réelle
sur
IRny y
1
n
homogène
de
degré
1.
On
lui
associe
canoniquement,
pour
chaque
1R-treillis
complet
L une
fonction
de
Ln
dans
L,
notée
également
f ,
de
la
façon
sui-
vante :
il
existe
une suite
de
termes
telle
que
l’on
ait
quels
que
soient
en
effet,
si
Snest
la
sphère
unité
de
100,
les
termes
forment
un
sous-espace
rét i cul é
de
ÉÉ (S )
qui
sépare
n n