Théorèmes de factorisation dans les espaces réticules

Séminaire d’analyse fonctionnelle
École Polytechnique
J. L. K RIVINE
Théorèmes de factorisation dans les espaces réticules
Séminaire d’analyse fonctionnelle (Polytechnique) (1973-1974), exp. no 22 et 23, p. 1-22
<http://www.numdam.org/item?id=SAF_1973-1974____A24_0>
© Séminaire analyse fonctionnelle (dit "Maurey-Schwartz")
(École Polytechnique), 1973-1974, tous droits réservés.
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TECHNIQUE
’
,
-,
-
J
i -
I.
S E M I N A I R E M A D
R E Y - S C H W A R T Z
1 9 7 3 - 1
9 7 4
THEOREMES DE FACTORISATION DANS LES ESPACES RETICULES
par J.L.
Exposa N°
XXII
eL
KRIVINE
8 et 17)
1
1974
XXII-XXIII.1
expusé
Dans
donne
on
tation de divers résultats de B.
Nous
et
espace vectoriel L
un
)x) £
tel que
présen-
nouvelle
une
Maurey [2].
m-treillis
appellerons
réticulé, normé,
généralisation
une
IR,
sur
Un
pour
sous-
LI idéal
appelé idéal si x E 1 , y- E L, 1 yÎ ~ ~
est donc (x j L ;
il existe A E lR ,
I ( a1 , ... , ak) engendré par a1,...,ak
1
kE L
+
Un opérateur borné h : L - M d°un IR-treillis
1 +
lxl1 s
dans un autre sera appelé homomorJBhisme si on a h (x+~ ~. h(x) ~ pour x E L
(et donc h(x U y) = h(x)Uh(y) pour x,yEL) ; si, de plus, la clôture de
l’image de h est un idéal de M, alors h sera appelé homomorphisme fort.o
*
*
*
oF
L’opérateur h : M - L est alors un homomorphisme fort, et 1 ’image de h
espace I de L
sera
o
’
-
+
...
,
,
est
*
,
,
idéal de L ,y
un
Les deux
on
le démontre facilement.
o
exemples suivants seront très utiles
Soient L
-
comme
on
définit
On
a
une
1R-treillis
un
norme
complet
et
pour la suit
o
(I(a),Il
et donc que
son
110)
est
complété
un
est
M-espace
avec
isomorphe à
un
De
=
On
a
||x|| 1
L-espace
que
se
[1],
on
vérifie aisé-
a/Ilall) ’I]
(s)
dans L
pour
se
certain
un
donc
prolonge
o
Soit, par ailleurs, t une forme linéaire
(il en existe, puisque si
que t(a)= ||a||
-
peut prendre
a
espace
L’application identique de I(a)
1
homomorphisme fort h : ~ (8) ~ L,11h11
un
plus,
unité (l’unité étant
espace compact S.
en
I(a)
posant
en
évidemment
ment que
Sur l’idéal
a E L+,
y
+
0
L,
sur
11tli:-
1, u(a)
1 telle
on
r
lui). On définit sur L une semi-norme en posant ||x||1
||a||. De plus,
]Jx)) ||a|| 1 ||a||
||x||
, j 1 .i, .L ) est évidemment
t=
=
o
y
un
;
et donc
prolonge
donc
son
en
un
complété
est
un
espace
homomorphisme fort h :
L1. Inapplication
application
L -
L, 1
..
1.
identi-
XXII-XXIII.2
l’espace réticulé
Dans
tions coordonnées
Un élément de
terme est
un
i9
une
par
des
engendrent
n
composition
opérations U ,
degré 1
homogène
existe
de
réel M > 0 tel que
un
’
réticulé
R, chaque
sur
En
dan
E, les applica-
e
à partir
IR obtenue
la
par
XIR+),
et
il
+
U...U lx 1)
|t(x1,...,x)
M(lx1,
1.
n
l
n
définit
sca-
un
fonction continue,
une
n
t(xl,.ee,xn,
e
des fonctions
multiplication
n. C’est évidemment
terme
n
Autrement dit
t(xl,...,xn).
Enfin il est clair que si L est
1R.
soient
dans
de
sous-espace réticulé
l’addition,
avec
et les
laire,
1Rn
fonction de
un
"terme" et noté
appelé
sera
applications
quels
espace vectoriel
un
de
application
une
que
L.
e
Théorème
1 :
U(xl,...,xn)
Soient
que soient
quels
un
espace vectoriel réticulé
Nous
démontrerons
ne
ce
théorème
sur
évident lorsque L est
espace de
IRs ,
réticulé de
Soient alors
où
un
S est
a,, .. a n
un
E L ;
1R.
Si L est
(1(a),ÎÎ il
pose
a=
1 ail
homogène
de
degré
L
vante :
il existe
quels
100,
f(x 1 ,...,x n)
une
une
On lui associe
fonction de
complet
une
1.
+
Ln
dans
les termes forment
espace
a
(b-c)+/=0.
réti-
(sous-espace
la contradiction cherchée
fonction continue réelle
canoniquement,
pour
chaque
de la
sur
IRny
y
1R-treillis
façon
sui-
de termes telle que l’on ait
en
un
on
L, notée également f ,
suite
que soient
un
b = t(al’" . ,an)’
... + ~
espace de fonctions
un
D’où
Soit maintenant
L est
quelconque.)
et,y si b / c,
) est isomorphe à
où
cas
également que le résultat est
fonctions (c’est-à-dire un sous-espace
ensemble
on
que dans le
Notons
Alors
n
~.
u(xl,....,xn)
IR,
sur
vectoriel réticulé normé
de
xl,....,xn E
que soient
quels
Or
deux termes tels que
effet, si
Snest
sous-espace rét i cul é de
la
sphère
unité
ÉÉ (Sn) qui sépare
XXII-XXIII.3
points et contient la fonction 1 (représentée
donc qui est dense dans C(S )e D’où une suite
k
n
les
sur
par
on
1
a
n
telle que
le résultat
cherché
homogéné,it ée
s
R, donc aussi pour
Dans
dent.
ce
et
Sny
n
par
on
par
(~~),
f(xl,eo.,xn). On vérifie
dépend pas de la
f(xl,e..,xn)
fonctions continues
une
sur
fonction continue
Ln,
y
sur
vers
un
élément
immédiatement que cette
tk
choisie satis-
Ln (limite
d’une suite de
ne
f est
théorème précé-
le
converge dans L
définition,
définition de
faisant
d’après
a
montre que la suite
qui
noté,
dernier cas,
ce
E L
suite
convergeant uniformément
sur
les
parties
bornées).
On
1
a
de
plus :
Soient
IR continues
f, g :
On choisit deux termes
t,
u
tels que
homogènes
de
degré
1 telles que
XXII-XXIII.4
Si h : 1 - M est
pour
s
Soit p
de
homomorphisme
R-treillis
f ét ant une fonction continue
puissances pièmes d’éléments
des
L’espace
un
réel >0 ;
un
pour x E
IR,
on
d’ un
complet,
homogène
Dans L
opérations
ces
1.
comelet L.
pose
X E R. On vérifie aisément, que L muni de
a
degré
de
m-treillis
on
on
l’opération
et de
(x,y) -> xUy (inchangée) est un IR-espace vectoriel réticulé qu’on désiièmes
(p)
gnera par L et qu’on appellera l’espace des puissances p d’élé.
ments de Le
ap ;
Proposition
1
est
1 :
semi-norme
un
ap+ bp
et le
réel > 1, et T
L et le
complété
élément
une
y
produit
on
x,yEL (car
puisque
on
par
un
on
le notera
Xap.
réel
forme linéaire >- 0
sur
du
0
triangulaire,
Si
sur
la somme
comme
immédiatement
a
pour
Soient p
considéré
sera
.
-
T.,
1,P
espace
On
Lorsque a 6 L
permet d’écrire
cela
une
,,
,
T est
pose
une
o
Pour
l’inégalité
note que
cette
inégalité
est vraie pour
forme linéaire ~
0,
x,yE R). Donc,
on
on
trouve
dans
XXII-XXIII.5
(L, ,1 liT"
Pour voir que
inégalités
un
d’appliquer
aux
suffit de vérifier que,
il
donc,
a
o
T
Lp,
espace
IR) On
sont vraies dans
il suffit
et
est
dans
trois membres pour obtenir le résultat.
Co
opérateurs
de
Soient E
Un
,
un
espace
opérateur
pour
.
>_~.
ue
n
,
1J
Banach,
IR-tre.ill is
un
type >_ p
opérateur V :
pour
si V n’ est pas de
(JL :
type
les espaces
2 :
E - L
un
type P ,
si l’identité
L
1
dit de
pose
000
+
p s’il existe
Evidemment
K > 0 tel que
0
K(p) (1,) = K(p) (i )
Théorème
sera
notée
’
(resp. :p)
p’ p)
L .- E
sera
1
n E lNo La plus petite valeur de K possible est notée
x
K . (p) (’V) 9
»P
s’il existe K > 0 tel que
1
on
Un
d.
et
complet
E lNo La plus petite constante K possible
n
f.
q,
o
E - L est dit de
x." ~ 0 o,x E E
-
et
~type ~ p
si
et
i :
:
on
(p)
de
de
type 2:p
type >p ?
ce
V :
?
(resp. sp)
Banach,
L - F
L
un
+ 00.
On pose
typée
par définition.
Soient E,F des espaces de
opérateur
Kp> v> =
L - L est de
K (L) - K (1 L)
Lp’
sont
pose
Pour
avec
un
1
pl >p (resp.
comme
m-treillis
opérateur
de
constante.
complet,
type 5p
y
XXII-XXIII.6
et 1 l ’ idéal de L
1
P
On
peut supposer
il suffit de trouver
))xJP
T(
1 ’
Comme
en
est
K ’ (UL)= K( ) (V)
une
Il exisce alors
de (1~
complété
..
/~B
....
de
l’ image
par
I telle que le
sur
norme
engendré
sur
X É Eé T(
1§ IP) ~~t
pour tout
la
engendré
pour
l’image
par
§1’""§n e 1
xl,...,xm
Mais, d’après (*),
d’où la conclusion
on
a
on
un
pour tout
1 "
et
1) Si
qu’il
suffit que,
tels que
dans
d’après
Soient E
1..l:
les
0
Il’l..l’ B1
llhll e
un
E - L est
factorisation U = h
majoré
(car 1
hypothèses
faites
"LL et V.
sur
c.
Corollaire 1 :
Lp
telle que
x
voit
espace
-..-
proposition 1,
espace réticulé et que tout élément de
un
que soient
quels
..
1 "
forme linéaire
valeur absolue par
est l’idéal
D’après
1.
=
soit
P
semi-
une
espace de
Banach,
de type ~pet
ut, où Ul
est
(LL) ,
un
et h
L
si L est de
opérateur
un
un
homomorphisme
R-treillis
f.
d.
complet.
o
on a la
type
de E dans
q.
un
espace
fort de
dans L,
K~(L).
°
2) Si V : L - E est de type ~pet L de type ’-> pon a la factorisaet h:
V’ 0 h, où V’ :
tion V
E, j)v’)) s
=
est
un
homomorphisme fort,
Conséquence immédiate
i
du
théorème 2,
étant l’identité sur L.
°
(L).
K(p)
p (V)
o
en
posant UL= iLL cLLy
V = V
0
1L
JL
XXII-XXIII.7
Corollaire 2 :
Pour
(c’est-à-dire
soit
bijectif qui
que L soit à
un
R-treillis
qu’ un
existe
qu’il
pour
homomorphisme
la fois de
complet
type ip et àp
1
en
appliquant
le
Proposition 2 : Soit 11:
treillis complets. Alors
théorème
L -> M
que soient
quels
un
2
isomorphe à
un
espace
borné
opérateur
m-treillis),
de
La condition est évidemment nécessaire8
suffisante
un
1, soit
il faut et
il suffit
0
On voit
avec
1.l:-:
immédiatement qu’elle est.
iL ’
opérateur > 0,
y
Y
V =
.iLo
0
L et M étant deux
lR-
L, P > 1
o
Mont rons d’abord la
1
Proposition
3 :
Soit L
inégalité
cette
un
est vraie
Inversement, soit
19.
1R-treillis
lorsque 81,oeo,ao décrivent IR).
n
(i = 1,2,...)
J
unité de
tion
une
une
énumération des n-uplets
.
de rationnels tels que
Les t. forment
complet,
et posons
suite croissante de fonctions continues
sur
S
n
(sphère
oo
1 ) qui
continue
Etant donné
converge (et donc converge uniformément)
f... > 0, il existe donc
vers
o
N tel que,
l’on ait
la fonc-
XXII-XXIII.8
Cette
inégalité
e
que soient
proposition
2 :1
puisque Uh 0,
et que
résulte immédiatement que, si L, M sont deux
en
de
complets,
LL:
quels
0
est arbitraire > 0.
Montrons la
Il
quels que soient
b6L,
*Il> te que si
Comme
donc vraie
est
L - M
types respectivement >p
est à la fois de type > p et p,
risations par
un
Lp,
espace
et p,
de chacun des
tout
R-treillis
opérateur >0,
donc admet deux facto-
types indiqués
au
corollaire 1.
Lorsque p= 2y le théorème suivant permet d’éliminer la restriction Uà
Théoréme
3:.
complets
et
(Inégalité
1A:
L
~-~
M
un
de
Grothendieck),.
opérateur borné.
Soient L, M deux
Alors
0.
R-treillis
XXII-XXIII.9
~
On
et
où
se
M est
ramène
un
particulier où
cas
au
espace
L.
Grothendieck)o
la constante de
On suppose
0
(9(S)
L ~
connu
ce
cas
(S
espace
compact)
(qui
sera
d’ailleurs
démontré plus loin).
D’après
début,
les remarques du
En
appliquant l’inégalité
on
trouve
Il
en
de
type >
et ~ 2
s
Si
Corollaire 3 :
tivement > 2
à l’ opérateur
et
L,
M sont des
type >
E-treillis
2, tout opérateur
sur
1R-treillis
res-
à
1 a fois
types
respec-
L - M est
Par suite
h" étant
i
un
complets,
de
L -> M admet deux factorisations :
homomorphisme
fort.
des variables aléatoires de
Soient
sommable
lA:
2, tout opérateur
2 et
,
teur de
de Grothendieck
homomorphismes
résulte immédiatement que si L et M sont des
pectivement
de type e 2
Lemme 1 :
il existe deux
l’espace
de
probabilité (0,P)
p d’un espace de Banach E dans
et
Ù :
m-treillis
E - L
puissance
un
complet
opéraL.
XXII-XXIII.10
Alors
De
quels
même, si
que soient
xi’... ,xn E E,
V : L ~ E est
un
on
opérateur
a
de
type ~
p,
on
a
1
On montre seulement la
première inégalité ;
notons que la fonction
-i
i-
--
degré 1 sur IRn. ce qui permet de la définir dans L. Notons aussi
sont étagées,
l’inégalité à démontrer est évidente lorsque
puisque l’intégrale se réduit alors à une somme finie.
telles que
On choisit alors des fonctions étagées
de
On
a
alors
(inégalité triangulaire
dans
LP(n,p)
que
XXII-XXIII.11
Par ailleurs,
(en effet
en
cet te
posant
on
i
inégalité
a
dans L :
1
par la même
serait vraie pour
E L).
démonstration que ci-dessus, donc est vraie pour
Par
suite ,
norme
du
premier
l’inégalité à démontrer
Comme
en
la
membre est _
e(
o
||y1||
qui
est vraie pour
sont
étagées,
déduit
D’où
le résultat
puisque e
est
un
réel >0
arbitraire.
c.
Dans la suite
variables aléatoires
Lemme
2 :
pour
tout
Soient L
q ;- 0 ?
1
(w),...,f(p)(w)
q.
f.
do
(p réel, 0 p _ 2) désignent
indépendantes p-stables sur (0,P), telles que
un
n
m-treillis complet et
’
L.
o
A,1 ors
des
on
XXII-XXIII.12
pour
0qp2.
Cela
résulte immédiatement du fait que
e
Théorème
est
1
un
Soient p
4 :
et E
un
de
(p ~ 2) ,
type 2
h étant
un
un
réel ¿ 2,y M
sous-espace de M.
~R-treillis
Corollaire 4 :
et sp
égalités
sont vraies pour
m.
,,e.
et ~2
ces
complet,
Si E est
alors tout
un
R-treillis
Alors tout
est de
type ~ 2
sous-espage d’ un
fort.
de
complet
opérateur
type p
E - L, où L
LL:
et
m-treillis M de
opérateur Ù : E - L, où
admet la factorisation
homomorphi sme
un
L est
:
E -
un
R-treillis
L2( )
,
type ~ 2
h :
L2( ) -~ L,
XXII-XXIII.13
En
particulier
L et
espace de
1
Théorème
a
opérateur
tout
Jes
espaces de Banach
un
sous-
de M sont des espaces de Hilberto
un
0
Soient
1 S p q ~ 2,
de F. dans
Un montre d’abord
isomorphes à la fois à
qu’on
un
a
et E
R-treillis
un
Lq.
sous-espace
complet
L est de
Alors
type > p.
:
pour
1
Pour
une
le fait
dépendant de p, qo Pour cela, on utilise
espace de probabilité (Q’.P’) et une isométrie
certaine constante K
qu ° il
existe
un
telle que
Y
cation
identique, ~
ho J soit aussi
une
q, 1
isométrique
)
On
a
de
Lq
dans
défini
au
isométrie (J est le plongement
moyen de variables
q-stables
0
alors
(théorème
de
Fubini) =.
(lemme 2)
(h
est
un
homomorphisme)
XXII-XXIII.14
D’où
le résultat annoncé
On
alors,
a
Dualité des
Lemme 3 :
dans
opérateurs
Soit U
L1(n,p).
un
avec
de
type >p et q
opérateur défini
K (p) (U)
Pour que
sur
(1+1=1).
espace de Banach E
un
: K, il faut et il suffit que
à
valeurs
U admette la
factorisation
E
h étant
un
U’
h
LP(Q’
Lp(Q’,03BC’)
,03BC’)->
homomorphisme (resp.
La condition est évidemment
Elle est suffisante
car
si
un
L 1
L1(Q,03BC),
avec
||U’||
K,
K
s
1,
1
homomorphisme fort).
nécessaire
xl,...,xn E E,
on
d’après
le corollaire 1.
a
(puisque
h est
un
homomorphisme)
XXII-XXIII.15
1
Soit V ::
Lemme 4 :
que
K (V’) _
~(S) ~ E (S
un
o
E espace de
Banach~ . Pour
K, il faut et il suffit que V admettre la factorisation
LP (0, P) V’
( resp
compact,
espace
E, 11h11
homomorphisme for-t).
JIVI Il
1,
!g
K, h étant
un
homomorphisme
a
La condition est évidemment nécessaire
d’après
suffisante
a
car
si
on
x1,
(car
h est
un
le corollaire 1.
Elle est
homomorphisme)
1
1
Proposition
4 :
Si U :
défini
E .-~
~
est
de
Si V :
type >_ p ,
y
(f (S) -
type sq et
En
E
alors
(S
U
est de
espace
compact)
espace de Banach E
admet la factorisation
Il
à,-
~
_ q
est de
la factorisation
illr
donc U
type
o
U admet
un
- ,
K (p) (V) = K~~(V~).
effet,
sur
type
~p,
alors
V
est de
.1
XXII-XXIII.16
En
1
appliquant
Théorème
nouveau
ce
Soit U : E ~ L
5 :
Compte
de
tenu du
théorème
résultat à
un
U*
opérateur
Loe(n, 9)
(puisque
de
type ~
p
(E
est
un
espace
espace de
Banach,
suivant et du fait que 1
il suffit de montrer que
On
on
Sur L
on
met la
est
norme
un
peut
à
montrer que
supposer
définie par
espace
a
Alors le
et l’identité est
un
complété
homomorphisme
de
fort
morphisme)
0
D’après
la
proposition précédente,
Il
puisque l’ima g e
on
a :
~L
de h est dense dans
(par
construction de cet
espace).
XXII-XXIII.17
*
(car
Il
1
h
en
est
homomorphisme
L - E
Soit V :
6 :
V~
:m-treillis). Alors
K~(V~) :K..(V).
opérateur
un
est de
tenu du résultat
Compte
et
Il
résulte que
Théorème
L
un
q et
précédent,
On suppose
K..(V)
Comme
u=
peut choisir
pour
chaque e>0,
on
On
construit
début de cet
a
au
fort
h : ~(S) ~
On
alors
a
u
L,11h11
=
K~~(V")
=
Banach,
( ~-+~-= 1).
K..(V)
L
°
Soient
est
une
y
liail
un
forme linéaire
1, u(a)>
=
C (S)
espace
et
2
0
Iluil un
L,
sur
c.
homomorphisme
h(l)==a.
1 tel que
donc, d’après la proposition 4,
K (p) (Ve>h) :g 1
de
il suffit de montrer que
=
+
exposé
type e p (E espace
de
K " (h 0
V )
et, par suite,
Le
-M-
*
Or ,
h* : L * .... 6 (S)
Radon ~~~ 0
Comme
e
Théorème
sur
est
7 :
R-treillis
entre 0 et 1
de x,
une
Il h * u B1
membre est
premier
h
est
homomorphisme.
un
*
u > 0 ;s il
et
en
résulte q ue
hu
arbitraire,
Soit U :
complet).
(ce qui
est
une
mesure
u ( a) ~
S,
on
Alors
un
opérateur
K (p) (U)
veut dire que
log-convexe
de
e.
a
E - L
0x~l). de même si
fonction
puisque
*
#
V 1:
est
borné (E espace de Banach, L
une
(A)
fonction
Log K x (U)
L - E est
de - entre 0 et
p
un
1.
est
log-convexe
une
fonction
opérateur borné,
de !
p
convexe
K(p) (V)
est
1,
XXII.XXIII.18
dualité,
théorème.
Par
1
Soient
Lemme 5 :
Noter que
on
voit
on
y
étant
ex+
a
]R d’après
pour
homogène
(1-O)y
première partie
et de
degré
1 est définie dans L et
cette
pour
la concavité de la
inégalité
fonction Log).
est vraie
Donc
d’où
1
est
le résultat
une
D’après
fonction
le lemme
en
remplaçant
log-convexe
5, il suffit
x
x/lixll ,
par
de 1
n
1R+.
+
Or, c’est
y par
y/))y)).
entre 0 et 10
p
de montrer que
inégalité est vraie quels
n
alors l’inégalité de Holder
Il suffit de voir que cette
a1,...,a E
du
081. Alors
x, y E L+,
xe
suffit de montrer la
qu’il
,
,
que soient
XXII.XXIII.19
On montre alors le
D’où
théorème
le résultat cherché
périeure
7.
On
d’après
a
le lemme 6 et le f ait que la borne
d’une famille de fonctions
log-convexe
l’est aussi.
q.
f.
d.
1-8
on
a
donc
Donc
K(p) (U)
c.
Notons que si
Comme
,
K(p) (U) ~t )ju)! ,
et si
q
on
voit que
fonction croissante de p,
une
définit 0
on
p
K~(U) ~ K(q) (U) -
l’inégalité
1
Proposition
1
Alors
5 :
R-treillis normés
des
1 pour
En
effet,
on
a
de Grothendieck.
Soit V : L - M
un
complets.
opérateur
est
est fonction décroissante
et de même
de p.
Une preuve de
su-
de
L, M étant
XXII.XXIII.20
L
m-treillis
D’après
on
voit
Soit V :
6 :
Proposition
complet)
m
L - L 1 O,g)
Alors V est de
proposition précédente, et
que V est de type ~ 2, et que
la
ce
opérateur
un
type ~2
de
et
le fait que
est de
w
8 :
Pour tout
Il suffit de montrer la
En
remplaçant
Supposons
et le fait que
V~~~~on
cas
existe des
peut
et
lpn
sont
2,
de
on
q.
f.
d.
a
l’appliquer à
V # ).
supposer que V :
p pour tout p > 1
proposition précédente
Dans le
~(S) -~L (Qy~)/
1
n
f inie, donc
de dimension
type
n
V :
première inégalité (puis
d’abord
Alors V est de
La
V par
opérateur
type
donne le résultat cherché.
qui
c.
Théorème
réel > 2 ,
type K p (p
(par exemple d’après
le lemme 4
isomorphes).
a
donne alors le’résultat.
générale soient
fonctions étagées
Pour
°
telles que
’ il
. I~ .-~. ~~
~ E
XXII.XXIII.21
Donc
et
1 e sous-espace réticule de
Soit i1
A est
D’après
ce
un
espace
qu’ on
L
Loo(Q’,03BC’) engendré
de dimension
vient de
voir,
on
f inie, est.
on
a
par
V ::
o
A -
L (0, 11) -
a
Donc
D’où
~.e résultat
puisque E
est > 0 arbitraire.
c.
L’inégalité de
si U :i if (S) -
Grothendieck
03BC),
se
déduit aisément de
d’après
le
théorème
ce
q.
f.
d.
théorème :
8 et le corollaire
1
U admet
la factorisation
h étant
un
homomorphisme.
et
Soient
~.
U’
type
avec
~~ ,
Or
i
la
x. -
p = 2 (tout opérateur défini
c~n
sur
espace de Hilbert est de
un
a.
1
et, d’autre parts
(car h est
un
proposition 5, appliquée
homomorphisme)
1
1
XXII.XXIII.22
On
déduii
en
Notons d’autres
d’un espace de Banach E dans
étant
fonction
une
continue
p=1 ) ~
tout
en
point
Soient alors E
identique de E
un théorème de
p
L ;
dans
si
=
Rosenthal
sous-espace
isomorphe à
décroissant
vers
+00
[5] équivaut
1 )?
opérateur
la fonction
K(p) U
1 est donc
(y compris
elle est finie
U
l’application
un p’ >p (ce qui, d’après
pour
à dire que
E
et
contient pas de
ne
K(q) ( U ) -~ K(p) ((U)
alors
un
entre 0 et
Lp (1 p 2)
sous-espace de
un
U est
de p1
et décroissante
voisinage duquel
au
Si
7,
R-treillis complet L,
un
log-convexe
théorème
du
applications
=
1
q tend
quand
en
pe
Pour tout E > 0 il existe donc q > p tel que U admette la factorisation
Autrement
légère
Si
on
a
Comme
a
une
b i en pour
ou
sous-espace X de E tel ue
un
1 ~p, q ~ 2,
de l,
q
Lp,
et si E est un sous-espace de
il existe q>p et
Pour
on
amélioration du résultat de Rosenthal :
l~p2
existe
dit,
un
ou
sous-espace Y de
Lq
on
p eut déf inir K (p~ q)
KG
et
K(p,q)
est
une
tel ue
bien our tout
d(E, Y)
1+c.
U :
=
fonction
e > 0,
L~ -~
Lp U s 1
log-convexe décroissante
donc continue.
K(p,p) = 1,
Pour tout py
rateur U :
L 00
on
1 ~
-~
a
montré que :
2 et tout
Lp
c >
’
0, il existe
q ~ 2 tel que tout
q~
admette la factorisation
Î
=
1, h étant
un
opé-
avec
homomorphisme fort .
o
3~
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