Factorisation de polynômes

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1
Factorisation de polynômes
Exercice 1 [ 02171 ] [correction]
Factoriser dans C[X]puis dans R[X]les polynômes suivants :
a) X4−1b) X5−1c) (X2−X+ 1)2+ 1.
Exercice 2 [ 02172 ] [correction]
Factoriser dans R[X]les polynômes suivants :
a) X4+X2+ 1 b) X4+X2−6c) X8+X4+ 1.
Exercice 3 [ 02173 ] [correction]
Factoriser le polynôme (X+i)n−(X−i)npour n∈N?.
Exercice 4 [ 02174 ] [correction]
Former la décomposition primaire dans R[X]de P=X2n+1 −1(avec n∈N).
Exercice 5 [ 02175 ] [correction]
Soient a∈]0, π[et n∈N?. Factoriser dans C[X]puis dans R[X]le polynôme
X2n−2 cos(na)Xn+ 1
Exercice 6 [ 02664 ] [correction]
a) Soit n∈N?. Montrer que
X2n−1=(X2−1)
n−1
Y
k=1
(X2−2Xcos kπ
n+ 1)
b) Soit un réel a6=±1; déduire de a) la valeur de
Zπ
0
ln(a2−2acos t+ 1) dt
Exercice 7 [ 00399 ] [correction]
Soit P∈R[X]. Montrer qu’il y a équivalence entre
(i) ∀x∈R, P (x)>0;
(ii) ∃(A, B)∈R[X]2, P =A2+B2.
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Corrections 2
Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
a) Dans C[X]
X4−1=(X−1)(X+ 1)(X−i)(X+i)
et dans R[X]
X4−1=(X−1)(X+ 1)(X2+ 1)
b) Dans C[X]
X5−1 =
4
Y
k=0
(X−e2ikπ
5)
et dans R[X]
X5−1=(X−1)(X2−2 cos 2π
5X+ 1)(X2−2 cos 4π 5X+ 1)
c) Dans C[X]
(X2−X+1)2+1 = (X2−X+1+i)(X2−X+1−i)=(X−i)(X−1+i)(X+i)(X−1−i)
et dans R[X]
(X2−X+ 1)2+ 1 = (X2+ 1)(X2−2X+ 2)
Exercice 2 : [énoncé]
a) X4+X2+ 1 = (X2+ 1)2−X2= (X2+X+ 1)(X2−X+ 1)
b)
X4+X2−6=(X2+1/2)2−25/4=(X2−2)(X2+3) = (X−√2)(X+√2)(X2+3)
c) X8+X4+ 1 = (X4+ 1)2−(X2)2= (X4−X2+ 1)(X4+X2+ 1) puis
X8+X4+ 1 == (X2+X+ 1)(X2−X+ 1)(X2+√3X+ 1)(X2−√3X+ 1).
Exercice 3 : [énoncé]
Les racines de (X+i)n−(X−i)nsont les zk= cot kπ
navec k∈ {1,2, . . . , n −1}.
Par suite n−1
Y
k=1
(X−cot kπ
n)|(X+i)n−(X−i)n
et il existe λ∈Ktel que
(X+i)n−(X−i)n=λ
n−1
Y
k=1
(X−cot kπ
n)
Le coefficient dominant de (X+i)n−(X−i)nétant 2ni, on obtient
(X+i)n−(X−i)n= 2ni
n−1
Y
k=1
(X−cot kπ
n)
Exercice 4 : [énoncé]
Les racines complexes de Psont les ωk=e2ikπ
2n+1 avec k∈ {0,...,2n}.
On observe ωk=ω2n−kpour k∈ {1, . . . , n}donc
P= (X−1)
n
Y
k=1
(X−ωk)(X−ωk)=(X−1)
n
Y
k=1 X2−2 cos 2kπ
2n+ 1X+ 1
Exercice 5 : [énoncé]
Les racines de X2−2 cos(na)X+ 1 sont eina et e−ina donc
X2n−2 cos(na)Xn+ 1 = (Xn−eina)(Xn−e−ina)
Les racines de Xn−eina sont les eia+2ikπ/n avec k∈ {0, . . . , n −1}et celles de
Xn−e−ia s’en déduisent par conjugaison.
Ainsi
X2n−2 cos(na)Xn+ 1 =
n−1
Y
k=0
(X−eia+2ikπ/n)
n−1
Y
k=0
(X−e−ia−i2kπ/n)
dans C[X]puis
X2n−2 cos(na)Xn+1 =
n−1
Y
k=0
(X−eia+2ikπ/n)(X−e−ia−2ikπ/n) =
n−1
Y
k=0
(X2−2 cos a+2kπ
nX+1)
dans R[X].
Exercice 6 : [énoncé]
a) Les deux polynômes de l’égalité sont unitaires, de degré 2net ont pour racines
les racines 2n-ième de l’unité car les racines du polynôme X2−2Xcos(kπ/n)+1
sont les e±ikπ/2n.
b) Par les sommes de Riemann,
Zπ
0
ln(a2−2acos t+ 1) dt= lim
n→+∞
π
n
n−1
X
k=1
ln(a2−2acos kπ
n+ 1)
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Corrections 3
Or
π
n
n−1
X
k=1
ln(a2−2acos kπ
n+ 1) = π nln a2n−1 a2−1
Si |a|<1alors π
nln 1−a2n 1−a2→0et donc
Zπ
0
ln(a2−2acos t+ 1) dt= 0
Si |a|>1alors π
nln 1−a2n 1−a2→2πln |a|et donc
Zπ
0
ln(a2−2acos t+ 1) dt= 2πln |a|
Exercice 7 : [énoncé]
L’implication (ii)⇒(i) est immédiate.
Supposons (i).
Puisque Pest de signe constant, la décomposition en facteurs irréductibles de P
s’écrit avec des facteurs de la forme
(X−λ)2= (X−λ)2+ 02
et
X2+ 2pX +q= (X+p/2)2+pq2−4p2
Ainsi Pest, à un facteur multiplicatif positif près, le produit de polynômes
s’écrivant comme la somme des carrés de deux polynômes réels.
Or
(A2+B2)(C2+D2)=(AC −BD)2+ (AD +BC)2
donc Ppeut s’écrire comme la somme des carrés de deux polynômes réels
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD