Factorisation de polynômes

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014
Enoncés
1
Factorisation de polynômes
Exercice 1 [ 02171 ] [correction]
Factoriser dans C [X] puis dans R [X] les polynômes suivants :
a) X 4 − 1
b) X 5 − 1
c) (X 2 − X + 1)2 + 1.
Exercice 2 [ 02172 ] [correction]
Factoriser dans R [X] les polynômes suivants :
a) X 4 + X 2 + 1
b) X 4 + X 2 − 6
c) X 8 + X 4 + 1.
Exercice 3 [ 02173 ] [correction]
Factoriser le polynôme (X + i)n − (X − i)n pour n ∈ N? .
Exercice 4 [ 02174 ] [correction]
Former la décomposition primaire dans R [X] de P = X 2n+1 − 1 (avec n ∈ N).
Exercice 5 [ 02175 ] [correction]
Soient a ∈ ]0, π[ et n ∈ N? . Factoriser dans C [X] puis dans R [X] le polynôme
X 2n − 2 cos(na)X n + 1
Exercice 6 [ 02664 ] [correction]
a) Soit n ∈ N? . Montrer que
X 2n − 1 = (X 2 − 1)
n−1
Y
(X 2 − 2X cos
k=1
kπ
+ 1)
n
b) Soit un réel a 6= ±1 ; déduire de a) la valeur de
Z π
ln(a2 − 2a cos t + 1) dt
0
Exercice 7 [ 00399 ] [correction]
Soit P ∈ R [X]. Montrer qu’il y a équivalence entre
(i) ∀x ∈ R, P (x) > 0 ;
2
(ii) ∃(A, B) ∈ R [X] , P = A2 + B 2 .
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Corrections
Corrections
2
Le coefficient dominant de (X + i)n − (X − i)n étant 2ni, on obtient
Exercice 1 : [énoncé]
a) Dans C [X]
X 4 − 1 = (X − 1)(X + 1)(X − i)(X + i)
et dans R [X]
X 4 − 1 = (X − 1)(X + 1)(X 2 + 1)
b) Dans C [X]
X5 − 1 =
4
Y
(X − e
2ikπ
5
)
k=0
(X + i)n − (X − i)n = 2ni
n−1
Y
(X − cot
k=1
kπ
)
n
Exercice 4 : [énoncé]
2ikπ
Les racines complexes de P sont les ωk = e 2n+1 avec k ∈ {0, . . . , 2n}.
On observe ωk = ω2n−k pour k ∈ {1, . . . , n} donc
n
n Y
Y
2kπ
2
P = (X − 1)
(X − ωk )(X − ωk ) = (X − 1)
X − 2 cos
X +1
2n + 1
k=1
k=1
et dans R [X]
X 5 − 1 = (X − 1)(X 2 − 2 cos
2π
4π
X + 1)(X 2 − 2 cos
X + 1)
5
5
Exercice 5 : [énoncé]
Les racines de X 2 − 2 cos(na)X + 1 sont eina et e−ina donc
c) Dans C [X]
X 2n − 2 cos(na)X n + 1 = (X n − eina )(X n − e−ina )
(X 2 −X+1)2 +1 = (X 2 −X+1+i)(X 2 −X+1−i) = (X−i)(X−1+i)(X+i)(X−1−i)
et dans R [X]
(X 2 − X + 1)2 + 1 = (X 2 + 1)(X 2 − 2X + 2)
Les racines de X n − eina sont les eia+2ikπ/n avec k ∈ {0, . . . , n − 1} et celles de
X n − e−ia s’en déduisent par conjugaison.
Ainsi
X 2n − 2 cos(na)X n + 1 =
Exercice 2 : [énoncé]
a) X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + 1)2 − X 2 = (X 2 + X + 1)(X 2 − X + 1)
b)
√
√
X 4 +X 2 −6 = (X 2 +1/2)2 −25/4 = (X 2 −2)(X 2 +3) = (X − 2)(X + 2)(X 2 +3)
c) X 8 + X 4 + 1 = (X 4 + 1)2 − (X 2 )2 = (X 4 − X 2 +√1)(X 4 + X 2 + 1)√puis
X 8 + X 4 + 1 == (X 2 + X + 1)(X 2 − X + 1)(X 2 + 3X + 1)(X 2 − 3X + 1).
n−1
Y
(X − eia+2ikπ/n )
k=0
n−1
Y
(X − e−ia−i2kπ/n )
k=0
dans C [X] puis
X
2n
n
−2 cos(na)X +1 =
n−1
Y
ia+2ikπ/n
(X − e
−ia−2ikπ/n
)(X − e
k=0
)=
n−1
Y
k=0
2kπ
(X − 2 cos a +
n
2
dans R [X].
Exercice 3 : [énoncé]
Les racines de (X + i)n − (X − i)n sont les zk = cot kπ
n avec k ∈ {1, 2, . . . , n − 1}.
Par suite
n−1
Y
kπ
(X − cot
) | (X + i)n − (X − i)n
n
k=1
et il existe λ ∈ K tel que
(X + i)n − (X − i)n = λ
n−1
Y
k=1
(X − cot
kπ
)
n
Exercice 6 : [énoncé]
a) Les deux polynômes de l’égalité sont unitaires, de degré 2n et ont pour racines
les racines 2n-ième de l’unité car les racines du polynôme X 2 − 2X cos(kπ/n) + 1
sont les e±ikπ/2n .
b) Par les sommes de Riemann,
Z
0
π
n−1
πX
kπ
ln(a2 − 2a cos
+ 1)
n→+∞ n
n
ln(a2 − 2a cos t + 1) dt = lim
k=1
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Or
Corrections
3
n−1
kπ
π a2n − 1
πX
ln(a2 − 2a cos
+ 1) = ln 2
n
n
n
a −1
k=1
Si |a| < 1 alors
π
n
2n
ln 1−a
1−a2 → 0 et donc
π
Z
ln(a2 − 2a cos t + 1) dt = 0
0
Si |a| > 1 alors
π
n
2n
ln 1−a
1−a2 → 2π ln |a| et donc
Z
π
ln(a2 − 2a cos t + 1) dt = 2π ln |a|
0
Exercice 7 : [énoncé]
L’implication (ii)⇒(i) est immédiate.
Supposons (i).
Puisque P est de signe constant, la décomposition en facteurs irréductibles de P
s’écrit avec des facteurs de la forme
(X − λ)2 = (X − λ)2 + 02
et
X 2 + 2pX + q = (X + p/2)2 +
p
2
q 2 − 4p
Ainsi P est, à un facteur multiplicatif positif près, le produit de polynômes
s’écrivant comme la somme des carrés de deux polynômes réels.
Or
(A2 + B 2 )(C 2 + D2 ) = (AC − BD)2 + (AD + BC)2
donc P peut s’écrire comme la somme des carrés de deux polynômes réels
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