Fonctions trigonométriques - Dellac

I - Fonctions paires - fonctions impaires - fonctions périodiques
Fonction paire Fonction impaire Fonction π-périodique
II - Equations trigonométriques
A tout nombre réel x, on peut associer son sinus ou son cosinus. On crée ainsi deux nouvelles fonctions : les
fonctions sin et cos. Ces deux fonctions augmentent le nombre des fonctions de référence étudiées au lycée.
Leurs propriétés sont à connaître parfaitement afin d'étudier des fonctions plus complexes appelées fonctions
trigonométriques.
T° S
Fonctions trigonométriques
Soit f une fonction définie sur un ensemble D f
* Si pour tout x élément de D f
,
− x est aussi élément de
D f ( c'est-à-dire que D f est symétrique par rapport à 0 ) et si pour
tout réel x de D f , on a f ( − x) = f (x) alors on dit que f est une fonction paire.
* Si pour tout x élément de D f
,
− x est aussi élément de
D f ( c'est-à-dire que D f est symétrique par rapport à 0 ) et si pour
tout réel x de D f , on a f ( − x) = − f (x) alors on dit que f est une fonction impaire.
* Si pour tout x élément de D f
,
x + P est aussi élément de D f et si pour tout réel x de D f , on a f ( x
+
P ) = f (x) alors
on dit que
f
est une
fonction périodique de période
P
( ou fonction
P
-
périodique )
.
Définitions 1
Soit f une fonction et C f sa représentation graphique dans un repère orthogonal ( 0 ;
→
i,
→
j)
* si f est une fonction paire, alors C f est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
* si f est une fonction impaire, alors C f est symétrique par rapport à l'origine du repère.
* si f est une fonction P-périodique, alors C f est invariante par translation de vecteur P
→
i.
Propriétés 2
Soit a un réel donné. On cherche à résoudre les équations (1) : cos x = a et (2) : sin x = a .
On nommera S
1
et S
2
les ensembles de solutions respectifs de ces deux équations.
Valeur de a Equation (1) : cos x = a Equation (2) : sin x = a
a > 1 ou a < − 1 S
1
= ∅
( en effet pour tout x : − 1  cos x  1 ) S
2
= ∅
( en effet pour tout x : − 1  sin x  1 )
On cherche un réel
 tel que cos  = a
On cherche un réel
 tel que sin  = a
− 1 a  1
S
1
= {  + k × 2π ; −  + k × 2π },
k étant un entier relatif S
2
= {  + k × 2π ; (π − )+ k × 2π },
k étant un entier relatif
Propriétés 3

III - Fonction sinus - Fonction cosinus
a ) fonction sinus b ) fonction cosinus
Remarque : les propriétés précédentes permettent de réduire
l'intervalle d'étude de la fonction sin à [0 ; π ] Remarque : les propriétés précédentes permettent de réduire l'intervalle d'étude de la fonction cos à [0 ; π ]
Tableau de variations de sin sur [ 0 ; π ] Tableau de variations de cos sur [ 0 ; π ]
x 0 π
2 π
Signe de (sin x) '
= cos x 1
+
0
−
−1
Variations de sin
0
1
0
x 0 π
Signe de sin x 0
+
0
Signe de (cos x) '
= − sin x 0
−
0
Variations de cos 1
− 1
Les courbes C sin et C cos des fonctions sin et cos sont des sinusoïdes.
On appelle fonction sinus ( en abrégé sin ) la fonction
définie sur Y par x sin x
On appelle fonction cosinus ( en abrégé cos ) la fonction
définie sur Y par x cos x
Définitions 4
La fonction sin est impaire ( sin (− x) = − sin (x) ) et
2π-périodique ( sin ( x + 2π ) = sin (x) )
La fonction cos est paire ( cos (− x) = cos (x) ) et
2π-périodique ( cos ( x + 2π ) = cos (x) )
Propriétés 5
La fonction sinus est dérivable sur Y et (sin x ) ' = cos x La fonction cosinus est dérivable sur Y et (cos x ) ' = − sin x
Propriétés 6
Dans un repère orthonormal (O;→ i,→ j), on passe de C cos à C sin par une translation de vecteur π
2 →
i
Propriété 7