Fonctions trigonométriques - Dellac

T° S
A tout nombre réel x, on peut associer son sinus ou son cosinus. On crée ainsi deux nouvelles fonctions : les
fonctions sin et cos. Ces deux fonctions augmentent le nombre des fonctions de référence étudiées au lycée.
Leurs propriétés sont à connaître parfaitement afin d'étudier des fonctions plus complexes appelées fonctions
trigonométriques.
Fonctions trigonométriques
I - Fonctions paires - fonctions impaires - fonctions périodiques
Définitions 1
Soit f une fonction définie sur un ensemble Df
* Si pour tout x élément de
Df
,−
x est aussi élément de Df ( c'est-à-dire que Df est symétrique par rapport à 0 ) et si pour
tout réel x de Df , on a f ( − x) = f (x) alors on dit que f est une fonction paire.
* Si pour tout x élément de
Df
,−
x est aussi élément de Df ( c'est-à-dire que Df est symétrique par rapport à 0 ) et si pour
tout réel x de Df , on a f ( − x) = − f (x) alors on dit que f est une fonction impaire.
* Si pour tout x élément de Df , x + P est aussi élément de Df et si pour tout réel x de Df , on a f ( x + P ) = f (x) alors
on dit que f est une fonction périodique de période P ( ou fonction P-périodique ).
Propriétés 2
→→
Soit f une fonction et Cf sa représentation graphique dans un repère orthogonal ( 0 ; i , j )
* si f est une fonction paire, alors Cf est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
* si f est une fonction impaire, alors Cf est symétrique par rapport à l'origine du repère.
→
* si f est une fonction P-périodique, alors Cf est invariante par translation de vecteur P i .
Fonction paire
Fonction impaire
Fonction π-périodique
II - Equations trigonométriques
Propriétés 3
Soit a un réel donné. On cherche à résoudre les équations (1) : cos x = a et (2) : sin x = a .
On nommera S1 et S2 les ensembles de solutions respectifs de ces deux équations.
Valeur de a
a > 1 ou a < − 1
Equation (1) : cos x = a
Equation (2) : sin x = a
S1 = ∅
( en effet pour tout x : − 1  cos x  1 )
S2 = ∅
( en effet pour tout x : − 1  sin x  1 )
On cherche un réel
 tel que cos  = a
On cherche un réel
 tel que sin  = a
− 1 a  1
S1 = {  + k × 2π ; −  + k × 2π },
k étant un entier relatif
S2 = {  + k × 2π ; (π − )+ k × 2π },
k étant un entier relatif
III - Fonction sinus - Fonction cosinus
a ) fonction sinus
b ) fonction cosinus
Définitions 4
On appelle fonction sinus ( en abrégé sin ) la fonction
On appelle fonction cosinus ( en abrégé cos ) la fonction
définie sur Y par x
définie sur Y par x
sin x
cos x
Propriétés 5
La fonction sin est impaire ( sin (− x) = − sin (x) ) et
2π-périodique ( sin ( x + 2π ) = sin (x) )
La fonction cos est paire ( cos (− x) = cos (x) ) et
2π-périodique ( cos ( x + 2π ) = cos (x) )
Remarque : les propriétés précédentes permettent de réduire
l'intervalle d'étude de la fonction sin à [0 ; π ]
Remarque : les propriétés précédentes permettent de réduire
l'intervalle d'étude de la fonction cos à [0 ; π ]
Propriétés 6
La fonction sinus est dérivable sur Y et
(sin x )' = cos x
Tableau de variations de sin sur [ 0 ; π ]
x
Signe de (sin x) '
= cos x
1
Tableau de variations de cos sur [ 0 ; π ]
π
2
0
+
La fonction cosinus est dérivable sur Y et (cos x )' = − sin x
0
π
−
−1
1
π
x
0
Signe de sin x
0
+
0
Signe de (cos x) '
= − sin x
0
−
0
1
Variations de sin
0
0
Variations de cos
Les courbes Csin et Ccos des fonctions sin et cos sont des sinusoïdes.
Propriété 7
→→
π→
Dans un repère orthonormal (O; i , j ), on passe de Ccos à Csin par une translation de vecteur
i
2
−1