Lyc´ee Thiers - MPSI-3

Lyc ´ee Thiers
TP PYTHON - 12
« Je pense que, si en ouvrant un dictionnaire au hasard, on tombait sur le mot hasard, ce serait un
miracle, alors que si on tombait sur le mot miracle, ce serait un hasard. »
H. Le Tellier, Les amnésiques n’ont rien vécu d’inoubliable.
1. Exp´erience al´eatoire,mod´elisation
On appelle expérience aléatoire toute expérience dont l’ensemble des résultats est défini et connu à
priori sans qu’il soit possible, avant sa réalisation, de savoir quel résultat on va obtenir.
En général, on suppose aussi que l’on peut reproduire cette expérience autant de fois que l’on veut.
Pour étudier cette expérience aléatoire, on définit un ensemble d’objets mathématiques plus ou moins
simples. On appelle modèle probabiliste ou espace probabilisé associé à l’expérience, un tel ensemble.
Bien entendu, il n’y a pas unicité du modèle et plusieurs modèles peuvent donner des résultats
différents sans qu’il soit toujours possible de dire lequel est le meilleur.
Le problème provient essentiellement du fait que la description de l’expérience se fait dans le langage
courant dont les termes peuvent être interprétés mathématiquement de plusieurs manières. C’est
cette situation qui crée ce que l’on appelle à tort, un paradoxe (voir annexe).
Pour définir un modèle, lorsque l’ensemble des résultats comporte réléments, on définit Ω =
{ω1, ..., ωr}qui représente cet ensemble de résultats.
On utilise aussi la fréquence supposée ou observée pid’obtention du résultat ωià la suite d’un grand
nombre de réalisations de l’expérience.
On est alors en mesure de définir un espace probabilisé qui modélise cette expérience.
2. Espace probabilis´e,variable al´eatoire
On considère un ensemble fini Ω = {ω1, ..., ωr}contenant réléments. Ωs’appelle l’univers et les ωi
sont les épreuves ( ou résultats).
Les parties de Ωsont alors appelées les événements.
On appelle probabilité sur Ω, une application Pqui à tout événement associe un nombre réel appar-
tenant à [0,1] et vérifiant :
–P(Ω)=1 ;
– Si Aet Bsont des événements disjoints P(A∪B)=P(A)+P(B).
Lorsque l’on a défini une probabilité Psur Ω, on dit que (Ω,P) est un espace probabilisé.
Pour connaître parfaitement une probabilité sur Ω, il suffit de connaître les P({ωi}) pour i∈[[1,r]]. Si
l’on pose pi=P({ωi}) alors
r
X
i=1
pi=1.
La plus courante des probabilités sur Ωest l’équiprobabillité définie par, pour tout i,P({ωi})=1
r.
Expérimentalement, tous les résultats ont la même fréquence d’apparition.
Si Xest une application de Ωdans R, on dit que Xest une variable aléatoire réelle.

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Soit Xune variable aléatoire telle que X(Ω)={x1, ..., xs}, c’est à dire que x1, ..., xssont les différentes
valeurs prisent par Xsur Ω.
Si Best un sous ensemble de X(Ω), on pose PX(B)=P(X−1(B)) où X−1(B) désigne l’ensemble des
éléments de Ωdont l’image par Xappartient à B.
PXdéfinit une probabilité sur X(Ω) appelée loi de probabilité de X. Elle est déterminée par la
connaissance des PX({xi}) que l’on note P(X=xi). En particulier
s
X
i=1
P(X=xi)=1.
On définit aussi l’espérance mathématique de X,
s
X
i=1
xiP(X=xi), c’est à dire la moyenne des valeurs
prises par Xpondérées par les probabilités associées à chacune de ces valeurs. On la note E(X).
3. Simulation d’exp ´erience al ´eatoire,estimation de probabilit´es,d’esp´erances
L’utilisation d’un langage de programmation en probabilité comporte deux aspects. Bien entendu,
le calcul de probabilités obtenues mathématiquent mais aussi la simulation d’expériences aléatoires
et donc d’espaces probabilisés pour obtenir des estimations de valeurs probabilistes. C’est l’objet de
cette section.
Les tirages de boules dans des urnes offrent un nombre infini d’expériences aléatoires. Voyons deux
exemples dans cette section puis un troisième dans la section 5.
[Qu. 1] Dans cette question on suppose que l’on dispose d’une urne contenant nboules identiques
au toucher, boules numérotées de 1 à n. On effectue une suite de ktirages avec remise d’une boule
dans cette urne en notant le numéro obtenu à l’issue de chaque tirage.
1) Quel ensemble Ωpeut-on choisir pour représenter l’ensemble des résultats de cette expérience ?
Quel valeur prendre pour pi=P({ωi}) pour définir un espace probabilisé qui modélise cette
expérience ?
2) Ecrire une fonction omega(n,k) qui réalise la simulation de cette expérience et renvoie la liste des
numéros obtenus dans l’ordre d’obtention de ceux-ci. On rappelle que dans le module random, on
dispose de la fonction randint(a,b) qui renvoie un nombre choisi au hasard entre aet binclus.
3) On suppose dans cette question que k=net on s’intéresse à l’événement Dn: « Le numéro de la
boule tirée et le rang du tirage sont toujours distincts ».
3.a) n=100. Estimer la probabilité de D100 en réalisant un grand nombre de simulations de
l’expérience aléatoire étudiée.
3.b) Démontrer que P(Dn)=1−1
nnet déterminer la limite de cette probabilité lorsque n→+∞.
[Qu. 2] On conserve cette urne mais on effectue des tirages sans remise. Donc forcément k≤n.
1) Quel ensemble Ωpeut-on choisir pour représenter l’ensemble des résultats de cette expérience ?
Quel valeur prendre pour pi=P({ωi}) pour définir un espace probabilisé qui modélise cette
expérience ?
2) Pour simuler cette expérience, on procéde ainsi :
– On se donne une liste dont les valeurs sont 1, ..., n.
– On génére au hasard un indice i0compris entre 0 et n−1, on permute alors les éléments 0 et i0
de la liste.
– Si k≥2, on génére un indice i1compris entre 1 et n−1 et on permute alors les éléments 1 et i1
de la liste.
– On itère ce procédé jusqu’à un indice ik−1compris entre k−1 et n−1 et on permute alors les
éléments k−1 et ik−1de la liste.
– On renvoie alors la liste des kpremières composantes de la liste obtenue.
Ecrire une fonction omega(n,k) qui réalise la simulation de cette expérience et renvoie la liste des
numéros obtenus dans l’ordre d’obtention de ceux-ci.
3) On suppose que k=n=100. Même question que pour Qu.1 3.a). Que remarquez-vous ?

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4. Un jeu et les lois de Gibbs
On organise un jeu.
Un individu participant à ce jeu a la possibilité de gagner xieuros, ivariant de 1 à navec 0 ≤x1<
x2< ... < xn.
Pour participer à ce jeu, il faut acheter un billet dont le prix est fixé à aeuros.
Ces billets sont fabriqués par une machine que l’on peut régler pour qu’elle fabrique un billet per-
mettant de gagner xieuros avec la probabilité pi, non nulle.
On suppose que le coût de fabrication et de distribution d’un billet est de beuros et on souhaite
réaliser un bénéfice moyen de beuros par billet.
On note Xla variable aléatoire égale à la somme gagnée par un joueur qui achète un billet (on ne tient
pas compte du prix du billet).
[Qu. 3]
1) En admettant que l’espérance est linéaire, exprimer E(X) en fonction de aet b. En déduire que
nécessairement x1+2b<a<xn+2b.
2) Pour tout t∈Ret i∈[[1,n]], on pose pi=etxi
n
P
k=1etxk
.
2.a) Exprimer E(X) sous la forme f(t) où fest une fonction définie et continue sur R.
2.b) Montrer que pour tout atel que x1<a−2b<xn, il existe ttel que f(t)=a−2b.
3) Ecrire une fonction Python, listeDesPi(t,*x) qui retourne la liste des pi, définie dans la question
2), lorsque les composantes de la liste xvalent x1, ..., xn.
4) Ecrire une fonction Python, fonctionDe(*x), qui retourne la fonction fsi xest un tuple repré-
sentant les xi.
5) Ecrire une fonction Python, solution(f,y,e), qui retourne une valeur approchée à eprès d’une
solution de f(x)=ylorsque fest une fonction définie et continue sur Rtelle que, lim
x→−∞ f(x)=α,
lim
x→+∞f(x)=βet α < y< β.
On pourra dans un premier temps déterminer s’il existe une solution sur [0,+∞[ ou sur ] − ∞,0]
en comparant f(0) à y, puis suivant le cas, déterminer le plus petit entier ktel que f(2k−1) ≤y≤
f(2k+1−1) ou tel que f(−2k+1+1) ≤y≤f(−2k+1).
Ensuite, on appliquera l’algorithme de dichotomie sur le segment ainsi déterminé.
6) Vérifier que pour n=5, b=0,1, a=10, x1=1, x2=3, x3=9, x4=20, x5=80, on obtient
p1≈28,4%, p2≈27%, p3≈23,2%, p4≈17,6% et p5≈3,9%.
5. Inf´erence Bay´esienne
Si Aet Bsont deux événements, Bde probabilité non nulle, on note PB(A) le quotient P(A∩B)
P(B).
On appelle probabilité de Asachant Bce quotient.
On peut alors établir la formule des probabilités totales. Si B1, ..., Bnsont des événements de probabilité
non nulle, disjoints et dont la réunion vaut Ω, on dit que B1, ..., Bnforment un système complet
d’événements et on a alors :
P(A)=
n
X
k=1
PBk(A)P(Bk)
[Qu. 4] On dispose de nurnes, U1, ..., Un, contenant chacune nboules identiques au toucher. On
suppose que l’urne Ukcontient kboules blanches et n−kboules noires.
On considère l’expérience aléatoire suivante : on choisit une de ces urnes et on réalise atirages d’une
boule avec remise dans cette urne en notant la couleur de la boule tirée à l’issue de chaque tirage.

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On suppose que l’on a défini un espace probabilisé qui modélise cette expérience.
On note Xnet Nn, les variables aléatoires sur cet espace égales respectivement, au nombre de boules
blanches tirées et au numéro de l’urne choisie.
On a donc, pour tout k∈[[1,n]],P(Nn=k)=1
n.
On remarque aussi que les événements, (Nn=1), ..., (Nn=n) forment un système complet d’événe-
ments.
1) Ecrire une fonction omega(n,a) qui simule cette expérience et renvoie le numéro de l’urne choisie
et la liste des couleurs obtenues dans l’ordre des tirages.
2) Ecrire une fonction nbBlanches(n,a) qui simule l’expérience et renvoie le nombre de tirages
ayant donné une boule blanche.
3) Ecrire une fonction loiDeX(n,a,m) qui en appelant mfois la fonction précédente détermine, pour
tout i∈[[0,a]], la proportion du nombre de fois où cette fonction a renvoyé i. En testant votre
fonction pour n=10000, a=9 et m=5000, que pouvez-vous conjecturer ?
4) Soit i∈[[0,a]]. En faisant appel à vos souvenirs de terminale, montrer que :
P(Nn=k)(Xn=i)=a
i k
n!i 1−k n!a−i
En déduire, en utilisant la formule des probabilités totales, que :
P(Xn=i)=a
i
1
n
n
X
k=1 k
n!i 1−k n!a−i
Établir lim
n→+∞
P(Xn=i)=1
a+1.
5) On pose Rn=Nn
n.Rnreprésente la proportion de boules blanches de l’urne choisie.
On souhaite déduire des informations sur la valeur de Rnde la connaissance de la valeur Xn. C’est
ce que l’on appelle l’inférence bayésienne.
5.a) Montrer que : P(Xn=i)(Nn=k)=P(Nn=k)(Xn=i)P(Nn=k)
P(Xn=i)puis que, pour tout x∈[0,1] :
P(Xn=i)(Rn≤x)=a
i
1
n
bnxc
P
k=1k
ni1−k na−i
P(Xn=i)
5.b) On pose pour tout x∈[0,1], fi,a(x)=xi(1 −x)a−i. Montrer qu’il existe un réel Ktel que, pour
tout (x,y)∈[0,1]2,|fi,a(x)−fi,a(y)| ≤ K|x−y|.
En déduire que, pour tout x∈[0,1] :
lim
n→+∞
P(Xn=i)(Rn≤x)=(a+1)a
iZx
0ti(1 −t)a−idt