Probabilités - Mathématiques en PCSI 834 à Masséna

Lycée Masséna (Nice)
PCSI 834
TP Python
Variables aléatoires réelles
Le package permettant de générer des nombres aléatoires (en fait, pseudo-aléatoires) est random. On tapera donc un
import random en début de script. Notons que :
– random.random() retourne un flottant aléatoire dans [0, 1[.
– si a et b sont deux entiers, random.randint(a,b) retourne un entier aléatoire dans 〚a, b〛.
Exercice 1. (Loi uniforme sur 〚n1 , n2 〛)
Sans utiliser la fonction randint, écrire une fonction Python (dont l’entête est def equirepartition(n1,n2):) simulant une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur 〚n1 , n2 〛.
Exercice 2. (Loi de Bernoulli de paramètre p)
Ecrire une fonction Python (dont l’entête est def bernoulli(p):) simulant une variable aléatoire suivant la loi de
Bernoulli de paramètre p ∈ [0, 1].
Exercice 3. (Loi binomiale de paramètres n et p)
Ecrire une fonction Python (dont l’entête est def binomiale(n,p):) simulant une variable aléatoire suivant la loi
binomiale de paramètres n ∈ N∗ et p ∈ [0, 1].
Exercice 4. Pour un entier N > 1 et un réel p ∈ [0, 1] donnés, obtenir sous la forme d’une liste X de longueur N des
réalisations Xn des lois binomiales de paramètres n et p, pour tout n ∈ 〚1, N 〛. Tracer ensuite le nuage de points de
X n
pour n ∈ 〚1, N 〛.
coordonnées n,
n
Tester le script pour N = 100, 500, 1000, 5000, 10000. Qu’a-t-on illustré ?
Exercice 5. Soit n ∈ N∗ . On lance n fois une pièce dont la probabilité d’apparition de «pile» est égale à p ∈]0, 1[. On
désigne par X la variable aléatoire égale au numéro du lancer au cours duquel apparait «pile» pour la première fois,
ou égale à 0 si «pile» n’apparait pas au cours des n lancers. Ecrire un script Python qui simule la variable X.
Exercice 6. Soit (b, r) ∈ (N∗ )2 . Une urne contient b boules blanches et r boules rouges. Ecrire un script Python qui
simule n tirages sans remise dans cette urne (n 6 b + r) et affiche les résultats des tirages et le nombre X de boules
rouges tirées.
Exercice 7. Soit (n, b) ∈ (N∗ )2 . On se donne une urne contenant n boules noires et b boules blanches. On effectue
des tirages sans remise d’une boule dans cette urne jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de boule noire. On note X la variable
aléatoire égale au nombre de tirages effectués. Ecrire une fonction Python qui simule X.
Exercice 8. Soit n ∈ N∗ . On se donne n + 1 urnes numérotées de 0 à n, contenant chacunes n boules. L’urne k contient
k boules portant le numéro 1 et n − k boules portant le numéro 0. On choisit une urne au hasard et on tire une boule
dans cette urne. On note X la variable aléatoire égale au numéro de la boule tiré. Ecrire une fonction Python qui simule
X.
Exercice 9. Soit n ∈ N∗ . On se donne une urne contenant n boules numérotées de 1 à n. On effectue des tirages
successifs suivant le protocole suivant : si on tire la boule numéro k, on enlève de l’urne toute les boules de numéro
supérieur ou égal à k. On note X la variable aléatoire correspondant au nombre de tirages nécessaires pour vider l’urne.
Ecrire une fonction Python qui simule X.
Exercice 10. Une urne contient b > 1 boules blanches et une boule rouge. On y effectue une succession de tirages
d’une boule avec remise jusqu’à ce que l’on sorte la boule rouge. Soit alors X la variable aléatoire égale au nombre de
tirages effectués (si toutefois cette succession se termine). Ecrire un script Python simulant la variable aléatoire X.
Exercice 11. On effectue une succession de lancers d’un dé bien équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6.
1. On note X la variable aléatoire égale au rang d’apparition du premier 6. Ecrire un script Python simulant
l’expérience, affichant les résultats successifs des lancers et donnant la valeur de X.
2. On note Y la variable aléatoire égale au rang d’apparition du deuxième 6. Ecrire un script Python simulant
l’expérience, affichant les résultats successifs des lancers et donnant la valeur de Y .
3. On note Z la variable aléatoire égale au rang d’apparition du n-ième 6. Ecrire un script Python simulant l’expérience pour un n donné, affichant les résultats successifs des lancers et donnant la valeur de Z.
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Exercice 12. On effectue une suite de lancers d’une même pièce dont la probabilité d’apparition de pile est p ∈]0, 1[.
Soit alors X la variable aléatoire égale au rang d’apparition du premier double pile, c’est-à-dire le rang du deuxième
pile dans le premier double pile. Ecrire un script Python qui, pour un p donné, simule cette expérience, affiche les
résultats jusqu’au premier double pile et donne la valeur de X.
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