Devoir Surveillé 1 : probabilités conditionnelles

Devoir Surveillé 1 : probabilités conditionnelles
TS
Devoir Surveillé 1 : probabilités conditionnelles - TS
Modalités :
● Durée de l’épreuve : 2 heures ;
● Calculatrice autorisée ;
● Répondre sur votre copie(s) et non sur le présent sujet ;
● L’utilisation de documents manuscrits ou tapuscrits (hors le sujet présent) est interdite ;
● La rédaction et la clarté des raisonnements seront prises en compte dans la notation.
Exercice 1.
On dispose de deux urnes et d’un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
L’urne U1 contient trois boules rouges et une boule noire.
L’urne U2 contient trois boules rouges et deux boules noires.
Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé ; si le résultat est 1, il tire au hasard une boule
dans l’urne U1 , sinon il tire au hasard une boule dans l’urne U2 .
On considère les événements suivants :
A : « obtenir 1 en lançant le dé »
B : « obtenir une boule noire ».
1. a. Construire un arbre pondéré traduisant cette expérience aléatoire.
3
b. Montrer que la probabilité d’obtenir une boule noire est .
8
c. Sachant que l’on a tiré une boule noire, calculer la probabilité d’avoir obtenu 1 en lançant le dé.
2. On convient qu’une partie est gagnée lorsque la boule obtenue est noire. Une personne joue dix parties
indépendantes en remettant, après chaque partie, la boule obtenue dans l’urne d’où elle provient. On note
X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées.
a. Calculer la probabilité de gagner exactement trois parties. On donnera le résultat arrondi au millième.
b. Calculer la probabilité de gagner au moins une partie. On donnera le résultat arrondi au millième.
c. On donne le tableau suivant :
k
P (X < k)
1
0,0091
2
0,0637
3
0,2110
4
0,4467
5
0,6943
6
0,8725
7
0,9616
8
0,9922
9
0,9990
10
0,9999
Soit N un entier compris entre 1 et 10. On considère l’événement : « la personne gagne au moins
N parties ».
1
À partir de quelle valeur de N la probabilité de cet événement est-elle inférieure à
?
10
Exercice 2. Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question et la réponse choisie. Une bonne réponse apporte 1 point ; une réponse inexacte
enlève 0,5 point ; l’absence de réponse n’apporte, ni n’enlève aucun point.
Si le total de l’exercice est négatif, la note est ramenée à zéro.
Dans une fête foraine, Luc décide de participer à un jeu qui se déroule de la manière suivante :
Luc tire au hasard un jeton dans une urne contenant quatre jetons rouges et deux jetons bleus.
● Si le jeton tiré est bleu, Luc gagne et le jeu s’arrête ; sinon, sans remettre dans l’urne le premier jeton tiré,
il tire au hasard un deuxième jeton dans l’urne.
● Si le deuxième jeton tiré est bleu, Luc gagne et le jeu s’arrête ; sinon, sans remettre dans l’urne les deux
jetons précédents, il tire au hasard un troisième jeton dans l’urne.
● Si le troisième jeton est bleu, Luc gagne et le jeu s’arrête ; sinon, le jeu s’arrête et Luc a perdu.
1. La probabilité que Luc gagne à ce jeu à l’issue du deuxième tirage est :
●
19
15
Roussot
●
2
5
●
1/ 2
11
15
●
4
15
2012 - 2013
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2. La probabilité que Luc gagne à ce jeu à l’issue du troisième tirage est :
1
1
2
1
●
●
●
●
5
2
15
9
3. La probabilité que Luc gagne à ce jeu après avoir effectué au moins deux tirages est :
3
4
7
1
●
●
●
●
5
15
15
3
4. La probabilité que Luc gagne à ce jeu, sachant qu’il a obtenu un jeton rouge au premier tirage est :
7
7
11
5
●
●
●
●
10
15
15
9
Exercice 3. On rappelle que la probabilité d’un évènement A sachant que l’évènement B est réalisé se note
pB (A).
Une urne contient au départ 30 boules blanches et 10 boules noires indiscernables au toucher.
On tire au hasard une boule de l’urne :
● si la boule tirée est blanche, on la remet dans l’urne et on ajoute n boules blanches supplémentaires.
● si la boule tirée est noire, on la remet dans l’urne et on ajoute n boules noires supplémentaires.
On tire ensuite au hasard une seconde boule de l’urne.
On note :
● B1 l’évènement : « on obtient une boule blanche au premier tirage »
● B2 l’évènement : « on obtient une boule blanche au second tirage »
● A l’évènement : « les deux boules tirées sont de couleurs différentes ».
1. Dans cette question, on prend n = 10.
3
a. Calculer la probabilité p (B1 ∩ B2 ) et montrer que p (B2 ) = .
4
b. Calculer pB2 (B1 ).
3
c. Montrer que p(A) = .
10
2. On prend toujours n = 10.
Huit joueurs réalisent l’épreuve décrite précédemment de manière identique et indépendante.
On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de réalisations de l’évènement A.
a. Déterminer p(X = 3). (On donnera la réponse à 10−2 près).
b. Déterminer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X.
3. Dans cette question n est un entier supérieur ou égal à 1.
1
Existe-t-il une valeur de n pour laquelle p(A) = ?
4
Exercice 4. Bonus ROC
n
n!
.
On rappelle que si n et p sont deux nombres entiers naturels tels que p ⩽ n alors ( ) =
p
p!(n − p)!
Démontrer que pour tout nombre entier naturel n et pour tout nombre entier naturel p tels que 1 ⩽ p ⩽ n on a :
n
n−1
n−1
( )=(
)+(
).
p
p−1
p
Exercice 5. Bonus La peinture murale
Stéphanie veut faire peindre son mur, elle connait 3 personnes qui pourraient le faire.
Frank peut peindre un mur en 1h, Jacques en 3h et Léon en 6h. Seulement elle est pressée et les embauche tous
les 3. Combien de temps (en minutes) vont-ils mettre à eux 3 ?
i
F
F nn
i
Roussot
2/ 2
2012 - 2013