Nombres premiers dans N

Mme Morel-sp´ecialit´e math 1
Nombres premiers dans N
Les nombres premiers ont un rˆole fondamental en arithm´etique. L’´etude des propri´et´es des nombres
entiers naturels impose souvent la d´ecomposition en facteurs premiers.
Les nombres premiers ont aussi un rˆole pr´epond´erant en cryptographie. Autant la multiplication de deux
nombres entiers, mˆeme tr`es grands, n’est pas compliqu´ee (avec un ordinateur, le calcul est imm´ediat),
autant l’op´eration inverse, c’est-`a-dire l’identification des facteurs dans un produit est tr`es difficile, mˆeme
avec les ccalculateurs les plus rapides.
En 1977, Martin Gardner posa la question aux lecteurs de Pour la Science, dans sa rubrique Jeux
math´ematiques, de la d´ecomposition en facteurs premiers d’un tr`es grand nombre (129 chiffres). Une
r´eponse ne fut donn´ee que 16 ans plus tard, grˆace au travail collaboratif de quelques 600 ordinateurs...
La cryptographie `a cl´e publique est bas´ee sur ce principe : le cryptage est rapide, mais le d´ecryptage est
quasi impossible dans la pratique (tout du moins dans un laps de temps court).
1 D´efinition
D’apr`es le paragraphe pr´ec´edent, un entier naturel p>2admet au-moins quatre diviseurs : 1; -1; pet
−p.
D´efinition 1.0.1. On appelle nombre premier tout entier naturel payant exactement quatre diviseurs
:±1,±p.
Exemples : 2 est le plus petit nombre premier; c’est le seul qui soit pair; 1 n’est pas premier; 6 non
plus.
D´efinition 1.0.2. Un entier n > 1non premier est appel´e nombre compos´e.
Exemple : 6 est un nombre compos´e.
Th´eor`eme 1.1. Tout entier ncompos´e admet un diviseur dtel que 26d6√n.
D´emonstration : n´etant compos´e, soient det d0tels que n=dd0, o`u det d0sont des entiers
sup´erieurs strictement `a 1. Quitte `a ´echanger det d0, on peut supposer que d6d0. On a alors :
d26dd0soit d26n. Donc, puisque dest un entier naturel, d6√n.
De plus, comme n > 1, le plus petit diviseur possible pour nest 2. Donc : 26d6√n.
Application : Un nombre ndonn´e est-il premier?
La contrapos´ee du th´eor`eme pr´ec´edent s’´enonce : si nn’admet pas de diviseur dtel que 26d6√n
alors nest premier.
Par exemple, prenons n= 23. Si 23 n’est pas premier il admet un diviseur dtel que 26d6√23.
Comme dest un entier et que 4<√23 <5, on en d´eduit que 26d64. Donc dest ´egal `a 2, 3 ou 4.
On ne peut avoir d= 2 ou d= 4 car 23 n’est pas pair. Il ne reste donc qu’`a tester 3. Or 23 n’est pas
divisible par 3. Donc 23 est premier.
2 Th´eor`eme fondamental de l’arithm´etique
Th´eor`eme 2.1. Th´eor`eme fondamental de l’arithm´etique
Tout entier strictement sup´erieur `a 1 se d´ecompose de mani`ere unique en produit de facteurs premiers.

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Remarque : Produit est `a comprendre au sens large, un produit pouvant n’avoir ici qu’un seul
facteur.
D´emonstration 1 : Montrons ce r´esultat par une r´ecurrence forte.
Initialisation : le r´esultat est vrai pour n= 2 puisque 2 est premier.
H´er´edit´e : Soit n∈N. Supposons que le r´esultat soit vrai pour tous les entiers inf´erieurs ou ´egaux `a n
et montrons qu’il est vrai pour l’entier n+ 1.
•Si n+ 1 est premier, alors il ne poss`ede pas d’autres diviseurs positifs que 1 et lui-mˆeme. Il se
d´ecompose donc en produit d’un seul nombre premier : lui-mˆeme.
•Si n+ 1 n’est pas premier, alors il existe deux entiers naturels det d0tels que : n+ 1 = dd0,
1< d < n + 1 et 1< d0< n + 1.
On a donc : 1< d 6net 1< d06n. Donc d’apr`es l’hypoth`ese de r´ecurrence, det d0admettent
une d´ecomposition en produit de facteurs premiers. Il en est donc de mˆeme pour leur produit, soit
n+ 1.
Conclusion : La propri´et´e est vraie au rang 2, elle est h´er´editaire, donc d’apr`es l’axiome de la r´ecurrence,
elle est vraie pour tout entier naturel n>2.
On admet l’unicit´e.
D´emonstration 2 : Montrons ce r´esultat par l’absurde. On suppose donc qu’il existe au-moins un
entier nne v´erifiant pas le th´eor`eme. D’apr`es l’axiome du plus petit ´el´ement, on peut consid´erer le plus
petit entier nne v´erifiant pas ce th´eor`eme.
nn’est pas premier (sinon il v´erifie le th´eor`eme). On peut donc ´ecrire : n=dd0avec 1< d < n et
1< d0< n.n´etant le plus petit entier ne v´erifiant pas le th´eor`eme, det d0le v´erifient. Donc det d0
sont produit de facteurs premiers. Donc leur produit dd0=nl’est aussi. C’est en contardiction avec
l’hypoth`ese de d´epart. C’est donc impossible.
Th´eor`eme 2.2. Tout entier n>2admet un diviseur premier.
D´emonstration :
•Si nest premier, c’est ´evident : le diviseur premier est n.
•Si nn’est pas premier, d’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent il s’´ecrit comme produit de facteurs premiers.
Il a donc au-moins un diviseur premier.
Th´eor`eme 2.3. Tout entier naturel compos´e n>2admet au-moins un diviseur premier ptel que
26p6√n.
D´emonstration : On a d´ej`a montr´e que nadmet un diviseur dtel que 26d6√n.
•Si dest premier, c’est fini.
•Si dn’est pas premier, on peut le d´ecomposer en un produit de facteurs premiers. Tout diviseur
de dest un diviseur de n.
Soit pun diviseur premier de d(pexiste d’apr`es le th´eor`eme fondamental de l’arithm´etique). Alors
26p6d, donc 26p6√n, d’apr`es la propri´et´e de d.

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Cons´equence : Test de primalit´e Soit nun entier naturel tel que n>2. D’apr`es le th´eor`eme
pr´ec´edent, si nn’est divisible par aucun des nombres premiers inf´erieurs ou ´egaux `a √nalors il est
premier.
Applications :
1. Recherche des nombres premiers inf´erieurs ou ´egaux `a 100 avec le crible d’´ Eratosth`ene.
2. Les nombres 3 527; 3529; 3 531; 3 535; 3 537; 3 539; 3 541 sont-ils premiers?
3. Soit f(n) = n2+n+ 41.
(a) Montrer que pour 16n620,f(n)est un nombre premier.
(b) Est-il possible que f(n)soit premier pour tout entier naturel n?
(c) Qu’en est-il pour les valeurs de ncomprises entre 21 et 40?
Cons´equence du th´eor`eme fondamental de l’arithm´etique :
Th´eor`eme 2.4. Il existe une infinit´e de nombres premiers.
D´emonstration : On montre ce r´esultat par l’absurde. Supposons donc qu’il n’y ait que nnombres
premiers. On les appelle p1,p2,p3,···,pn, avec p1< p2< p3<··· < pn.
Soit M=p1×p2×p3× ··· × pn+ 1.
M > pipour tout i= 1..n, donc Mn’est pas premier.
D’apr`es le th´eor`eme fondamental de l’arithm´etique, Mse d´ecommpose en un produit de facteurs pre-
miers. Par cons´equent, il existe une valeur de i= 1..n telle pidivise M. Il existe donc un entier ctel
que M=cpi.
On a alors : cpi=p1p2p3···pn+1 soit pi(c−p1p2p3···pn) = 1, donc pidivise 1. Or, les seuls diviseurs
de 1 sont −1et lui-mˆeme, et piest premier. C’est donc impossible. Donc il y a une infinit´e de nombres
premiers.
3 Formes et nombre des diviseurs d’un entier
Exemple : Trouver l’ensemble des diviseurs positifs de 200.
Pour cela, on utilise la d´ecomposition en facteurs premiers de 200 : 200 = 23×52.
L’ensemble des diviseurs positifs de 200 est donc :{1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 25; 40; 50; 100; 200}.
On peut alors v´erifier ques les diviseurs de 200 sont les nombres s’´ecrivant 2β1×5β2, avec 06β163
et 06β262.
Th´eor`eme 3.1. Soit nun entier dont la d´ecomposition en facteurs premiers est
n=pα1
1pα2 2···pαk
k
Alors les diviseurs (positifs) de nsont les entiers de la forme :
pβ1
1···pβk
k
avec 06βi6αipour i= 1..k.
D´emonstration :

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•Soit dun entier de la forme pβ1
1···pβk
k. Pour tout i= 1..k, on pose γi=αi−βi. Par hypoth`ese,
pour tout i= 1..k,γiest un entier naturel. On a :
pα1
1pα2 2···pαk
k=pβ1
1pβ2 2···pβk
k×pγ1
1pγ2 2···pγk
k
c’est-`a-dire n=d×pγ1
1pγ2 2···pγk
k.dest donc un diviseur de n.
•Montrons alors que tout diviseur est de cette forme.
Soit dun diviseur positif de n. Il existe donc d0∈Ntel que n=dd0. Le produit des d´ecompositions
en facteurs premiers de det d0est une d´ecomposition en facteurs premiers de n. C’est donc la
d´ecompostion en facteurs premiers de n(unicit´e de la d´ecomposition). Les seuls diviseurs premiers
intervenant dans les d´ecompositions de det d0sont donc les piet ils ne peuvent intervenir qu’avec
un exposant inf´erieur ou ´egal `a αi. L’entier dest donc de la forme d=pβ1
1pβ2 2···pβk
kavec
06βi6αi.
Corollaire :
Th´eor`eme 3.2. Soit nun entier dont la d´ecomposition en facteurs premiers est
n=pα1
1pα2 2···pαk
k
Alors na(α1+ 1) ×(α2+ 1) × ··· × (αk+ 1) diviseurs positifs.
D´emonstration : D’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent, il y a α1+ 1 choix possibles de puisances de p1,
α2+1 choix pour la puissance de p2···. Il y a donc : (α1+1)×(α2+1)×···×(αk+1) diviseurs diff´erents.
Exemple : Un entier na 5 diviseurs positifs. Quel peut-il ˆetre?
On ´ecrit : n=pα1
1pα2 2···pαk
kla d´ecomposition enfacteurs premiers de n. Alors (α1+ 1) ×(α2+ 1) ×
···×(αk+ 1) = 5. Donc tous les facteurs du produit sont ´egaux `a 1 `a part l’un d’entre eux qui vaut 5.
Donc tous les αisauf un qui vaut 4 sont nuls. nest donc la puissane quatri`eme d’un nombre premier :
24= 16,34= 81,44= 256 ···.
Exos : cf exos internet?