Calcul litteral

CHAPITRE : Calcul littéral
I. Rappels
Une expression littérale est une suite d’opérations comportant des nombres et des lettres.
Calculer une expression littérale, c’est remplacer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ex 1: A = 2x² - 3x + 1 A est une expression littérale
Calculer A pour x = 1 puis pour x = - 3
Réduire une expression littérale , c’est l’écrire avec le moins de termes possible.
Ex 2 : Réduire les expressions B , C et D suivantes
B= 8x - 3x C= 2x²+ 7x + 6x²- 3x D=8x² - 3y - 6x²- 4y
II. Développements :
Développer un produit cela consiste à transformer ce produit en une somme de plusieurs termes.
a) Les produits k(a + b) et k(a - b) :
Quels que soient les nombres k, a et b on a les égalités suivantes :
k(a + b) = ka + kb
k(a - b) = ka – kb
Ex 3 : Développe et réduis :
3 ( a + 4 ) et ( 2 – 3y ) 6
b) Le produit (a + b)(c + d)
Quels que soient les nombres a, b, c et d ,on a :
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Ex 4 : Développe et réduis :
(3 + a)(a - 5) = 3 x a - 3 x 5 + a x a - a x 5
= 3a - 15 + a2 - 5a
= a2 - 2a - 15
(a - 4)(a - 7) = a x a - a x 7 -4 x a -4 x (-7)
= a2 - 7a -4a + 28
= a2 - 11a + 28
c) Les identités remarquables :
Il y a trois identités dites « remarquables ». Elles sont à connaître parfaitement, tant dans le sens du développement que dans
celui de la factorisation.
 Carré d'une somme : (a + b)²
Soient a et b deux nombres, on a : (a + b)² = a² + 2ab + b²
Ex 5 : Développe et réduis :
A = (3 x + 1)²
= (3 x )² + 2 X (3 x ) X 1 + 1²
= 9 x ²+ 6 x + 1
 Carré d'une différence: (a - b)²
Soient a et b deux nombres, on a : (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Ex 6 : Développe et réduis :
B= (2 x -5)²
= (2 x )²- 2 X (2 x ) X 5 + 5²
= 4 x ²-20 x +25.
 Produit d’une somme par une différence (a + b)(a - b) :
Soient a et b deux nombres, on a : (a + b)(a - b) = a2 - b2
Ex 7 : Développe et réduis :
C = (x + 4)(x – 4)
C = x² – 4²
C = x² – 16

d) Utilisation des identités remarquables pour le calcul mental :
Ex 8 :
10012 = (1000+1)2 Je reconnais l'expression (a + b)2
= 1 0002 + 12+2 x 1000 x 1
= 1 000 000 + 1 + 2 000
= 1 002 001
99992 = (1000 - 1)2 Je reconnais l'expression (a - b)2
= 1 0002 + 12 - 2 x 1000 x 1
= 1 000 000 + 1 - 2 000
= 998 001
99x 101 = (100 - 1) (1000+1) Je reconnais l'expression (a - b)(a+b)
= 1002 - 12
= 10 000 - 1
= 9 999
III. Factorisations :
Factoriser une somme, c'est transformer cette somme en un produit de plusieurs facteurs.
a) Les sommes ka + kb et ka – kb :
Quels que soient les nombres k, a et b on a les égalités suivantes :
ka + kb = k(a + b) <--------- k est mis en facteur
ka – kb = k(a - b) <--------- k est mis en facteur
k est le facteur commun à chaque terme
Ex 9 : Factoriser par un nombre :
3a - 3b = 3 (a - b)
3a - 12 = 3 x a - 3 x 4 = 3(a - 4)
4a - a = 4 x a - 1 x a = (4 - 1)a = 3a
5a2 + 3a = 5a x a + 3 x a = a (5a + 3)
Ex 10 : Factoriser par une expression :
A = 3(5 - b) + (b + 4)(5 - b)
A = 3 x (5 - b) + (b + 4) x (5 - b) <------- je fais apparaître le facteur commun (5 - b)
A = (5 - b) [3 + (b + 4)] <------------je factorise
A = (5 - b) (b + 7) <------- je simplifie
B = (a + 3)(a - 8) - (5 - a)(a + 3) <------- je fais apparaître le facteur commun
B = (a + 3)[(a - 8) - (5 - a)] <------------je factorise
B = (a + 3)(a - 8 - 5 + a) <----------- je réduis
B = (a + 3)(2a - 13)
b) Factoriser en utilisant une identité remarquable :
Ex 11 : A = a2 + 2a + 1
A = a2 + 2 x a x 1 + 12 ---------- Je reconnais l'écriture développée a2 + 2ab +b2 = (a + b)2
A = (a + 1)2
B = 4a2 + 9 - 12b
B = (2a)2 + 32 - 2 x 2a x 3 ---------- Je reconnais l'écriture développée a2 + b2 - 2ab = (a - b)2
B = (2a - 3)2
C =4b2 - 25
C = (2b)2 - 52 ---------- je reconnais l'écriture développée a2 - b2 = (a + b)(a - b)
C = (2b + 5)(2b - 5)
IV. Equation produit nul :
Propriété :
 Si l'un des facteurs d'un produit est nul, alors ce produit est nul .
Si A = 0 ou B = 0 alors A x B = 0

Réciproque :
 Si un produit est nul alors au moins un de ses facteurs est nul.
Si A B = 0 alors A = 0 ou B = 0
Soient a, b,c et d des nombres données une équation produit –nul est une équation de la forme (ax+b)(cx+d)=0.
Résoudre cette équation cela revient à déterminer la ou les valeurs de x qui annulent le produit (ax+b)(cx+d).
Ex 11 : Résoudre les équations produits suivantes :
 -4a = 0 ; ce produit est nul si a = 0 en effet -4 x 0 = 0
 5( 2a - 3) = 0 ; puisque 5K0 alors ce produit est nul si le facteur 2a - 3 = 0 soit a = 3/2
 (5 + a)(a - 9) =0 ;
Ce produit est nul , si au moins l’un de ses facteurs est nul :
donc 5 + a = 0 ou bien a - 9 = 0
a = -5 ou bien a = 9
L'équation (5 + a)(a - 9) =0 admet deux solutions les nombres -5 et 9