CHAPITRE : Calcul littéral I. Rappels Une expression littérale est une suite d’opérations comportant des nombres et des lettres. Calculer une expression littérale, c’est remplacer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ex 1: A = 2x² - 3x + 1 A est une expression littérale Calculer A pour x = 1 puis pour x = - 3 Réduire une expression littérale , c’est l’écrire avec le moins de termes possible. Ex 2 : Réduire les expressions B , C et D suivantes B= 8x - 3x C= 2x²+ 7x + 6x²- 3x D=8x² - 3y - 6x²- 4y II. Développements : Développer un produit cela consiste à transformer ce produit en une somme de plusieurs termes. a) Les produits k(a + b) et k(a - b) : Quels que soient les nombres k, a et b on a les égalités suivantes : k(a + b) = ka + kb k(a - b) = ka – kb Ex 3 : Développe et réduis : 3(a+4) et ( 2 – 3y ) 6 b) Le produit (a + b)(c + d) Quels que soient les nombres a, b, c et d ,on a : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Ex 4 : Développe et réduis : (3 + a)(a - 5) = 3 x a - 3 x 5 + a x a - a x 5 = 3a - 15 + a2 - 5a = a2 - 2a - 15 (a - 4)(a - 7) = a x a - a x 7 -4 x a -4 x (-7) = a2 - 7a -4a + 28 = a2 - 11a + 28 c) Les identités remarquables : Il y a trois identités dites « remarquables ». Elles sont à connaître parfaitement, tant dans le sens du développement que dans celui de la factorisation. Carré d'une somme : (a + b)² Soient a et b deux nombres, on a : (a + b)² = a² + 2ab + b² Ex 5 : Développe et réduis : A = (3 x + 1)² = (3 x )² + 2 X (3 x ) X 1 + 1² = 9 x ²+ 6 x + 1 Carré d'une différence: (a - b)² Soient a et b deux nombres, on a : (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Ex 6 : Développe et réduis : B= (2 x -5)² = (2 x )²- 2 X (2 x ) X 5 + 5² = 4 x ²-20 x +25. Produit d’une somme par une différence (a + b)(a - b) : Soient a et b deux nombres, on a : (a + b)(a - b) = a2 - b2 Ex 7 : Développe et réduis : C = (x + 4)(x – 4) C = x² – 4² C = x² – 16 d) Utilisation des identités remarquables pour le calcul mental : Ex 8 : 10012 = (1000+1)2 Je reconnais l'expression (a + b)2 = 1 0002 + 12+2 x 1000 x 1 = 1 000 000 + 1 + 2 000 = 1 002 001 99992 = (1000 - 1)2 Je reconnais l'expression (a - b)2 = 1 0002 + 12 - 2 x 1000 x 1 = 1 000 000 + 1 - 2 000 = 998 001 99x 101 = (100 - 1) (1000+1) Je reconnais l'expression (a - b)(a+b) = 1002 - 12 = 10 000 - 1 = 9 999 III. Factorisations : Factoriser une somme, c'est transformer cette somme en un produit de plusieurs facteurs. a) Les sommes ka + kb et ka – kb : Quels que soient les nombres k, a et b on a les égalités suivantes : ka + kb = k(a + b) <--------- k est mis en facteur ka – kb = k(a - b) <--------- k est mis en facteur k est le facteur commun à chaque terme Ex 9 : Factoriser par un nombre : 3a - 3b = 3 (a - b) 3a - 12 = 3 x a - 3 x 4 = 3(a - 4) 4a - a = 4 x a - 1 x a = (4 - 1)a = 3a 5a2 + 3a = 5a x a + 3 x a = a (5a + 3) Ex 10 : Factoriser par une expression : A = 3(5 - b) + (b + 4)(5 - b) A = 3 x (5 - b) + (b + 4) x (5 - b) <------- je fais apparaître le facteur commun (5 - b) A = (5 - b) [3 + (b + 4)] <------------je factorise A = (5 - b) (b + 7) <------- je simplifie B = (a + 3)(a - 8) - (5 - a)(a + 3) <------- je fais apparaître le facteur commun B = (a + 3)[(a - 8) - (5 - a)] <------------je factorise B = (a + 3)(a - 8 - 5 + a) <----------- je réduis B = (a + 3)(2a - 13) b) Factoriser en utilisant une identité remarquable : Ex 11 : A = a2 + 2a + 1 A = a2 + 2 x a x 1 + 12 ---------- Je reconnais l'écriture développée a2 + 2ab +b2 = (a + b)2 A = (a + 1)2 B = 4a2 + 9 - 12b B = (2a)2 + 32 - 2 x 2a x 3 ---------- Je reconnais l'écriture développée a2 + b2 - 2ab = (a - b)2 B = (2a - 3)2 C =4b2 - 25 C = (2b)2 - 52 ---------- je reconnais l'écriture développée C = (2b + 5)(2b - 5) a2 - b2 = (a + b)(a - b) IV. Equation produit nul : Propriété : Si l'un des facteurs d'un produit est nul, alors ce produit est nul . Si A = 0 ou B = 0 alors A x B = 0 Réciproque : Si un produit est nul alors au moins un de ses facteurs est nul. Si A B = 0 alors A = 0 ou B = 0 Soient a, b,c et d des nombres données une équation produit –nul est une équation de la forme (ax+b)(cx+d)=0. Résoudre cette équation cela revient à déterminer la ou les valeurs de x qui annulent le produit (ax+b)(cx+d). Ex 11 : Résoudre les équations produits suivantes : -4a = 0 ; ce produit est nul si a = 0 en effet -4 x 0 = 0 5( 2a - 3) = 0 ; puisque 5K0 alors ce produit est nul si le facteur 2a - 3 = 0 soit a = 3/2 (5 + a)(a - 9) =0 ; Ce produit est nul , si au moins l’un de ses facteurs est nul : donc 5 + a = 0 ou bien a-9=0 a = -5 ou bien a=9 L'équation (5 + a)(a - 9) =0 admet deux solutions les nombres -5 et 9