Fonctions polynômes du second degré

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“MS2_2F5_chapitrecomplet” — 2014/4/12 — 7:00 — page 1 — #1
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FONCTIONS
Fonctions
polynômes
du second degré
1
Connaissances du collège nécessaires à ce chapitre
◮ Développer une expression littérale
◮ Reconnaître un axe de symétrie
◮ Additionner des fractions
◮ Multiplier des fractions
Des ressources numériques pour préparer
le chapitre sur manuel.sesamath.net
Auto-évaluation
1
Développer et réduire les expressions suivantes.
1)
( x + 1) 2
2)
( x − 3) 2
3) ( x − 1, 5)2 − 2, 5
!2
2
1
−
4) x −
3
3
5) 5( x − 1)( x − 4)
6) −2( x − 4)( x + 2)
4
@
Déterminer les axes de symétries des figures.
F1
F2
7) 7( x + 7)( x + 3)
!
2
1
1
x−
x−
8) −
2
4
5
Calculer les expressions suivantes.
2 7
−7 −4
−
1) −
3)
3 3
6
18
2
3
12 5
2
4)
+
−
14 21
48 8
3 Calculer les expressions suivantes.
2 3
−51 12
1) ×
3)
×
3 7
6
34
F4
2)
2)
3
−21
×
−14
−6
4)
F3
12 5
×
48 8
➤➤➤ Voir solutions p. 17
1
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“MS2_2F5_chapitrecomplet” — 2014/4/12 — 7:00 — page 2 — #2
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Activités d’approche
ACTIVITÉ 1
Paraboliquement vôtre
On a représenté ci-dessus six fonctions trinômes au 2e degré définies sur R.
Partie 1 : Associations
0.5+
+
0
1
0.5+
+
0
1
C1
C3
1+
C2
0
+
1
1+
C4
C5
1+
+
1
0
0
+
1
0
1+
C6
+
1
1) Associer chacune des fonctions définies sur R par les formules ci-dessous à l’une des courbes
représentatives ci-dessus.
1
2
1
2
2
• f ( x ) = 3( x − 3)( x − 1)
• n( x) = −
• g( x ) = x2
• p( x ) = 3x2 − 12x + 9
1
2
• l ( x ) = − x2
x−
3
2
+2
13
1
• r ( x ) = − x2 − x −
5
4
• h ( x ) = ( x + 2) 2 + 1
• k( x) = −
x+
x+
5
2
2
• s ( x ) = 3( x − 2) 2 − 3
• t( x ) = x2 + 4x + 5
5
1
15
1
1
x+
−2
• u ( x ) = − x2 − x +
5
2
2
2
8
2) Certaines de ces fonctions ont la même courbe représentative.
• m( x ) = −
a) Regrouper dans un tableau les associations faites à la question 1 en les triant par courbe.
b) Quel est le nombre maximum de fonctions associées à une courbe ?
Partie 2 : Images et antécédents
En utilisant l’expression la plus adaptée parmi celles de la question 2a, déterminer,
1) par les fonctions f , g, h, k, l et m :
a) les images de 0 ;
b) les éventuels antécédents de 0.
2) par les fonctions f puis k :
a) l’image de 2 ;
b) les éventuels antécédents de 1.
Vérifier les calculs par lecture graphique.
Partie 3 : Sens de variation et extremum
1) Établir les tableaux de variations des fonctions représentées par les courbes C3 et C6 .
2) Comparer ces tableaux et les formes des fonctions représentées.
3) Démontrer ces sens de variations.
2
Chapitre F1. Fonctions polynômes du second degré
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“MS2_2F5_chapitrecomplet” — 2014/4/12 — 7:00 — page 3 — #3
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Cours - Méthodes
1. Forme canonique
DÉFINITION : Fonction polynôme de degré 2
Soit a, b, c trois nombres réels avec a 6= 0.
On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction P définie sur R pouvant
être exprimée sous la forme :
P( x ) = ax2 + bx + c.
On parle aussi de fonction trinôme.
PROPRIÉTÉ
Soit P une fonction polynôme du second degré exprimée sous la forme P( x ) = ax2 + bx + c.
Il existe deux nombres réels α et β permettant d’écrire P sous le forme :
P( x ) = a( x − α)2 + β.
Cette forme s’appelle forme canonique.
PREUVE
Elle est disponible en complément sur le manuel numérique.
2. Étude d’une fonction trinôme
PROPRIÉTÉ : Sens de variations
Soit a, α, β trois nombres réels et f une fonction polynôme de degré 2 définie sur R par sa
forme canonique f ( x ) = a ( x − α)2 + β.
Le sens de variation d’une fonction dépend du signe de a.
x
−∞
α
+∞
x
f
f
avec
avec
a > 0
PREUVE
β
−∞
α
+∞
β
a < 0
La preuve est disponible en complément sur le manuel numérique.
PROPRIÉTÉ : Extremum
Soit a, α, β trois nombres réels.
f une fonction polynôme de degré 2 définie sur R par sa forme canonique
f ( x ) = a ( x − α)2 + β.
Sur R, la fonction f admet β comme extremum. Il est atteint pour x = α.
C’est un maximum si α est négatif.
C’est un minimum si α est positif.
PREUVE
Les tableaux de variations établis précédemment prouvent la propriété.
Chapitre F1. Fonctions polynômes du second degré 3
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“MS2_2F5_chapitrecomplet” — 2014/4/12 — 7:00 — page 4 — #4
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Cours - Méthodes
PROPRIÉTÉ : Signes
Soit a, α, β trois nombres réels et f une fonction polynôme de degré 2 définie sur R par sa
forme canonique f ( x ) = a ( x − α)2 + β.
Le signe d’une fonction trinôme dépend du signe de a et du signe de β.
Si a < 0 et β 6 0, alors la fonction est toujours négative.
Si a > 0 et β > 0 alors la fonction est toujours positive.
Dans les autres cas,
la fonction change de signe sur l’intervalle ] − ∞; α[ ;
la fonction change à nouveau de signe sur l’intervalle ]α; +∞[.
PREUVE
MÉTHODE 1
Les tableaux de variations établis précédemment prouvent la propriété.
Étudier une fonction trinôme du second degré
Ex. 12 p. 6
Exercice d’application On considère la fonction f définie sur R par f ( x ) = −2( x − 0, 25)2 − 8.
Déterminer :
1) son sens de variation ;
2) son extremum ;
3) le signe de la fonction.
Correction Dans le cas de la fonction f :
• α = 0, 25
• β = −8
• a = −2
1) a est négatif donc la fonction f est croissante sur ]−∞; 0, 25[ et décroissante sinon.
2) Elle admet un maximum en x = α = 0, 25. Il vaut f (0, 25) = −8.
x
−∞
f (x)
0,25
+∞
−8
3) La fonction f est négative sur R.
3. Représentation graphique
DÉFINITION
La courbe représentative d’une fonction trinôme est une parabole.
PROPRIÉTÉ
Soit a, α, β trois nombres réels et f une fonction trinôme définie sur R par sa forme canonique
f ( x ) = a ( x − α)2 + β. La courbe représentative de cette fonction est une parabole qui admet
un axe de symétrie : la droite d’équation x = α.
PREUVE
4
La preuve est disponible en complément sur le manuel numérique.
Chapitre F1. Fonctions polynômes du second degré
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“MS2_2F5_chapitrecomplet” — 2014/4/12 — 7:00 — page 5 — #5
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Cours - Méthodes
Exemple Tracer les courbes représentatives des fonctions suivantes :
• f ( x ) = −0, 5( x + 2)2 + 3
• g ( x ) = 2( x − 3) 2 − 2
Donner leurs sens de variations et leur éventuel extremum.
Correction
La fonction f :
Cf
1+
0
+
1
Cg
MÉTHODE 2
• est croissante sur ]−∞; −2[ ;
• est décroissante sur ]−2; +∞[ ;
• elle admet un maximum en −2 qui vaut 3.
La fonction g :
• est décroissante sur ]−∞; 3[ ;
• est croissante sur ]3; +∞[ ;
• elle admet un minimum en 3 qui vaut −2.
Identifier la forme d’une fonction
Ex. 25 p. 7
Exercice d’application Soit f , g, h trois fonctions définies sur R par :
• f ( x ) = 2x2 + 4x − 6
• g ( x ) = 2( x + 1) 2 − 8
• h( x ) = 2( x − 1)( x + 3).
1) Montrer que f , g, h sont trois formes de la même fonction.
2) Répondre aux questions suivantes en utilisant la forme la plus adaptée.
a) Chercher les éventuels antécédents de 0 et de −6.
b) Déterminer les coordonnées du sommet de la courbe représentative de cette fonction.
c) Calculer les images de 0, de 1 et de −1.
Correction
1) On développe g et h pour prouver qu’elles sont égales à f .
g( x ) = 2( x + 1)2 − 8 = 2x2 + 4x + 2 − 8 = 2x2 + 4x − 6
h( x ) = (2x − 2)( x + 3) = 2x2 + 6x − 2x − 6 = 2x2 + 4x − 6.
f est la forme développée, g la forme canonique et h la forme factorisée du même trinôme.
2) a) Chercher les antécédents, c’est résoudre une équation.
• Pour l’antécédent de 0, la forme la plus adaptée est la forme factorisée.
On résout h( x ) = 2( x − 1)( x + 3) = 0. Les antécédents de 0 sont 1 et −3.
• Pour l’antécédent de −6, la plus pertinente est la forme développée.
On résout f ( x ) = 2x2 + 4x − 6 = −6. On obtient 2x2 + 4x = 0.
On factorise l’expression : x (2x + 4) = 0. Les antécédents de −6 sont 0 et −2.
b) Pour chercher les coordonnées du sommet d’une parabole, la forme canonique est la plus
pertinente. Ici, c’est g avec α = −1.
Donc les coordonnées du sommet de la parabole sont (−1; −8).
c) Calculer une image, c’est évaluer une expression. La forme la plus adaptée dépend de x.
• f (0) = −6, l’image de 0 est −6.
• h(1) = 0, l’image de 1 est 0.
• g(−1) = −8, l’image de −1 est −8.
Chapitre F1. Fonctions polynômes du second degré 5
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“MS2_2F5_chapitrecomplet” — 2014/4/12 — 7:00 — page 6 — #6
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S’entraîner
Activités mentales
Que peut-on dire de
1
1)
Différentes formes d’un trinôme
x2
si 0 < x < 3 ?
11
3)
2) 2x2 si x 6 −5 ?
−3x2
fonctions trinômes ?
si x > 3 ?
4) 2x2 − 3 si x < 2 ?
1) f ( x ) = (3x − 2) + (5x + 4)
2) g( x ) = (3x + 1)(5x + 4)
Que peut-on dire de x si
2
1) x2 > 4 ?
3) h( x ) = 7x2 − 8x + 1
3) x2 6 −16 ?
2) x2 6 5 ?
4) ( x − 1)2 < 0 ?
12
Pour chacune des fonctions, déterminer en quelle
3
valeur elle admet un minimum ou un maximum.
1) −2x2
2) f ( x ) = 2( x − 1)2 + 2
3) g( x ) = −7( x + 3)2 − 5
!2
1
+2
4) h( x ) = − x +
4
On donne f , une fonction trinôme définie sur R
4
Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des
qui vérifie f (6) = f (2) = 3. Peut-on en déduire :
MÉTHODE 1 p. 4
On considère une fonction f définie sur R
par f ( x ) = 3( x − 3)2 + 5.
1) Montrer que f ( x ) = 3x2 − 18x + 32.
2) Choisir la forme la plus adaptée pour calculer
chaque image puis calculer.
√ a) f (3)
b) f
2
13
On considère une fonction f définie sur R
par f ( x ) = −2x2 − 4x − 5.
1) son tableau de variations ?
1) Montrer que f ( x ) = −2( x + 1)2 − 3.
2) la valeur de son extremum ? Où est-il atteint ?
f ( x ) = 3( x + 2)2 − 1.
2) Calculer les images suivantes.
√ a) f (−1)
b) f − 3
f (3, 2145) > f (2, 987). Comment fait-il ?
par f ( x ) = (3x − 4)(1 − x ).
On considère la fonction f définie sur R par
5
Félix affirme que, sans calculatrice, il peut prouver que
On considère la fonction f définie sur R par
6
f ( x ) = −7( x − 5)2 + 7. Sans calculatrice, classer dans
l’ordre croissant :
1) • f (5, 6)
2) • f (2, 8)
• f (6, 2)
• f (4, 9)
• f (9, 8)
• f (−1, 2)
On considère une fonction f définie sur R par
7
f ( x ) = −5( x + 2)2 − 3.
1) Lydie
affirme
sans
faire
aucun
calcul
que
f (−3) = f (−1). Comment fait-elle ?
2) Sans calcul, trouver une autre égalité avec deux
autres nombres.
On considère la fonction f définie sur R par
8
f ( x ) = 3( x + 4)2 − 1.
1) Déterminer l’axe de symétrie de la représentation
graphique de cette fonction.
2) Quelles sont les coordonnées de son sommet ?
9
Même consigne qu’à l’exercice 8 avec la fonction
f définie sur R par f ( x ) = 4( x − 3)2 + 1.
10
Quelles sont les variations de la fonction f définie
sur R par f ( x ) = −3( x + 1)2 − 2 ?
6
c) f (0)
14
c) f (0)
On considère une fonction f définie sur R
1) Développer et réduire l’expression de la fonction f .
2) Choisir la forme la plus adaptée pour calculer les
images suivantes puis calculer.
!
3
a) f (1)
b) f
4
15
c) f
4
3
!
On considère une fonction f définie sur R
par f ( x ) = ( x + 2)2 − 9
1) Donner la forme factorisée de f ( x ).
2) Donner sa forme développée.
3) Quels sont les antécédents de 0 par f ?
16
On considère une fonction g définie sur R
par g( x ) = ( x − 1)2 − 4. Résoudre g( x ) = 0.
On considère une fonction h définie sur R par
!2
5
1
h( x ) = 2 x −
− .
2
2
1) Développer et réduire f .
17
2) Montrer que f ( x ) = 2( x − 2)( x − 3).
3) Choisir la forme la plus adaptée pour calculer les
images suivantes.
a) f (2)
b) f
5
2
!
c) f (−1)
Chapitre F1. Fonctions polynômes du second degré
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“MS2_2F5_chapitrecomplet” — 2014/4/12 — 7:00 — page 7 — #7
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S’entraîner
18
Pour chacune des fonctions ci-dessous, donner le
Sens de variations et extremum
nom de la forme sous laquelle elle est écrite.
1) f ( x ) = 5x2 − 7x + 1
4) i ( x ) = 3x2 + 2x + 7
3) h( x ) = 3( x − 2)2 + 1
6) k( x ) = −4( x + 7)2 − 2
2) g( x ) = ( x − 1)(3x − 4)
19
5) j( x ) = (2x − 8)(4 − x )
Relier entre elles les expressions égales.
1)
Forme développée
2)
Forme canonique
−3x2 − 6x − 5
3x2 − 18x + 28
−2x2 − 4x − 2
4x2 − 8x + 6
−2x2 − 16x − 33
−2x2 + 4x − 6
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Forme développée
3)
− 2( x + 4) 2 − 1
− 3( x + 1) 2 − 2
− 2( x − 1) 2 − 4
− 2( x + 1) 2
4( x − 1) 2 + 2
Forme canonique
−3x2 − 6x − 7
−3x2 + 6x − 1
3x2 + 24x + 53
3x2 − 12x + 15
3x2 − 12x + 5
3x2 − 24x + 1
Forme factorisée
20
3( x − 3) 2 + 1
3( x − 1)( x + 2)
•
•
3( x + 2)( x − 3)
•
•
3( x + 1)( x + 2)
•
•
3( x − 1)( x − 2)
•
•
3( x + 3)( x + 2)
•
•
3( x + 4) 2 + 5
− 3( x − 1) 2 + 2
− 3( x + 1) 2 − 4
3( x + 2) 2 − 7
3( x − 4) 2 + 1
3( x − 2) 2 + 3
Forme canonique
!2
3
3
3 x+
−
2
4
!2
5
3
3 x+
−
2
4
!2
75
1
−
3 x−
2
4
!2
27
1
−
3 x+
2
4
!2
3
3
3 x−
−
2
4
On considère h la fonction définie sur R par
h( x ) = ( x − 1)2 − 16. Exprimer h sous forme factorisée
puis sous forme développée.
23
Recopier et compléter en justifiant chaque étape.
Soient a et b deux réels tels que a < b 6 3.
a −3...b−3...0
( a − 3) 2 . . . ( b − 3) 2
( a − 3) 2 − 5 . . . ( b − 3) 2 − 5
f ( a) . . . f (b)
Donc f est . . . sur . . .
24
On considère la fonction f définie sur R par
f ( x ) = 4( x + 2)2 − 25. Exprimer f sous forme facto-
risée puis sous forme développée.
22
On considère g, la fonction définie sur R par
g( x ) = x2 − 9. Exprimer g sous forme factorisée.
Pour chacune des fonctions ci-dessous, détermi-
ner pour quelle valeur de x elle admet un extremum.
1) f ( x ) = 2( x − 1)2 + 2
2) g( x ) = −7( x + 3)2 − 5
!2
1
−2
3) h( x ) = − x +
4
25
MÉTHODE 2 p. 5
Démontrer que la fonction g, définie sur R par
g( x ) = 2( x + 4)2 − 5 est croissante sur [−4; +∞[.
26
Sur quel intervalle la fonction h, définie sur R par
h( x ) = −2( x − 3)2 + 6 est-elle croissante ?
27
Démontrer que la fonction m, définie sur R par
m( x ) = 3( x − 4)2 + 2 est croissante sur [4; +∞[.
28
Sur quel intervalle la fonction p, définie sur R par
p( x ) = −2( x + 3)2 − 4 est-elle décroissante ?
29
On considère la fonction f , définie sur R par
f ( x ) = 4( x − 7)2 + 1.
Quel est son sens de variation sur I = [0; 7] ?
30
On considère la fonction g, définie sur R par
g( x ) = −2( x + 1)2 − 3.
Quel est son sens de variation sur I = [−1; 0] ?
31
On considère la fonction h, définie sur R par
h( x ) = 3( x + 2)2 + 1.
Quel est son sens de variation sur I = [−3; −2] ?
32
21
On étudie le sens de variation sur ] − ∞; 3] de la
fonction f définie par f ( x ) = ( x − 3)2 − 5.
Déterminer les variations de la fonction polynôme
du second degré h qui vérifie :
• h ( 3) = 6
33
• h ( 6) = 2
• h ( 9) = 6
Déterminer les variations de la fonction polynôme
du second degré g qui vérifie :
• g ( 1) = − 3
• g(−2) = 0
• g(−5) = −3
Chapitre F1. Fonctions polynômes du second degré 7
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“MS2_2F5_chapitrecomplet” — 2014/4/12 — 7:00 — page 8 — #8
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S’entraîner
34
Associer chaque courbe à la bonne fonction dans
chacun des cas.
1) f ( x ) = −2( x
36
Elsa utilise un logiciel pour représenter deux tri-
nômes dans le même repère. Elle sait que :
+ 1) 2
+ 4 et g( x ) = 3( x
− 2) 2
+ 1.
f ( x ) = 3x2 + 24x + . . . et g( x ) = − x2 − . . . x − 18.
1) À partir des représentations graphiques, compléter
6+
les expressions des deux fonctions.
4+
2+
+
−2
+
−6
+
2
0
+
−4
+
−2
0
−2 +
−2 +
−4 +
2) f ( x ) = 2( x − 1)2 + 3 et g( x ) = 4( x − 1)2 + 3.
2) Déterminer graphiquement les coordonnées des ex12+
trema en précisant pour chacun si c’est un minimum
ou un maximum.
8+
3) Dresser les tableaux de variations des deux fonctions.
4+
+
−2
+
−1
4) Quelle propriété est commune aux deux paraboles ?
+
1
0
+
2
+
3
+
4
3) f ( x ) = 2( x − 2)2 − 3 et g( x ) = 2( x − 3)2 − 2.
5+
4+
3+
5) Résoudre graphiquement f ( x ) = g( x ).
37
Retrouve les tableaux de variations correspon-
dants aux fonctions suivantes.
• f ( x ) = − 3( x + 1) 2 + 2
• g ( x ) = 3( x − 1) 2 + 2
• h ( x ) = 3( x − 2) 2 + 1
• j ( x ) = 3( x − 2) 2 − 1
2+
1+
+
−1
−1 +
−2 +
x
+
1
+
2
+
3
+
4
+
5
−3 +
35
−∞
+∞
2
1)
x
À partir des représentations graphiques des tri-
1
−∞
−1
+∞
2
nômes f et g définis sur R, dresser leurs tableaux de
variations.
2)
x
Cg
4+
−∞
2+
−2 +
+
1
+
2
+
4
x
−∞
2
+∞
Cf
4)
8
+∞
1
3)
0
2
−1
Chapitre F1. Fonctions polynômes du second degré
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“MS2_2F5_chapitrecomplet” — 2014/4/12 — 7:00 — page 9 — #9
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S’entraîner
38
Même consigne qu’à l’exercice 37
− 4) 2
• f ( x ) = 2( x
+5
2
• g ( x ) = 2( x + 4) − 5
x
−∞
42
− 5) 2
• h ( x ) = 2( x
+4
2
• k ( x ) = 2( x − 5) − 4
−4
Déterminer trois fonctions trinômes f , g et h qui
vérifient chacune le tableau de variations ci-dessous.
x
+∞
−1
−∞
+∞
f (x)
2
x
−5
1)
x
−∞
4
+∞
x
−∞
−4
x
5
x
−∞
5
+∞
h( x )
43
+∞
−4
−∞
3
+∞
−4
3)
+∞
g( x )
5
2)
2
−∞
Trouver deux fonctions polynômes du second de-
gré f et g telles que :
1) f admet un maximum de 3 pour x = 2 ;
2) g admet un minimum de 2 pour x = −1.
4
4)
39
Dresser les tableaux de variations des fonctions.
1) f ( x ) = 5( x − 7)2 + 4
4) k( x ) = 2( x + 1)2 − 3
3) h( x ) = −4( x + 1)2 − 3
6) m( x ) = 6( x − 8)2 + 2
2) g( x ) = −( x − 3)2 + 7
5) l ( x ) = −2( x + 3)2 − 3
Dresser les tableaux de variations des fonctions.
1
4 2
1) k( x ) =
−2x −
−7
4
7
!2
2
2
x−1 −
2) f ( x ) = −2
3
5
40
41
44
Trouver deux fonctions trinômes f et g qui véri-
fient les conditions suivantes :
•
•
•
•
f est croissante sur [1; +∞[ ;
f est positive sur R ;
g admet un minimum en C (0, 5; −0, 5) ;
g est négative sur [−3; 4].
45
On donne ci-dessous le tableau de variations
d’une fonction trinôme.
Déterminer sur quel ensemble f ( x ) > 2.
x
−∞
f (x)
Mettre sous forme canonique chacune des fonc-
2) g( x ) = (−2x − 4)2 + 5
3) h( x ) = (4x + 6)2 + 3
4) l ( x ) = (−3x + 7)2 − 2
5) m( x ) = 2(3x − 12)2 + 4
1
6) n( x ) = (−2x + 8)2 − 7
4
1
7) p( x ) = − (3x − 5)2 + 6
3
1
+∞
2
0
tions polynômes du second degré ci-dessous.
1) f ( x ) = (3x − 6)2 − 1
−2
46
On considère la fonction f définie sur R par
f ( x ) = 2( x − 2)2 − 8.
1) Calculer f (4).
2) En déduire sur quel ensemble f ( x ) 6 0.
47
On considère la fonction g définie sur R par
g( x ) = 16( x − 3)2 − 9.
1) Factoriser g.
2) En déduire sur quel intervalle g( x ) > 0.
Chapitre F1. Fonctions polynômes du second degré 9
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“MS2_2F5_chapitrecomplet” — 2014/4/12 — 7:00 — page 10 — #10
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Approfondir
48
Avec un paramètre
51
On considère l’équation (E) :
x2
+ 2x + m = 0.
L’objectif de l’exercice est de déterminer pour quelles
valeurs de m l’équation (E) admet au moins une solution.
1) Résoudre, dans R, les équations ci-dessous.
a) x2 + 2x = 0
b) x2 + 2x + 4 = 0
2) a) Vérifier que pour tout réel x :
x2 + 2x + m = ( x + 2)2 − 4 + m.
b) Justifier alors que résoudre l’équation (E) revient
à résoudre l’équation ( x + 2)2 = 4 − m.
c) Conclure.
49
On considère la droite d d’équation y = 2x + 3 et
A le point de coordonnées (1; 1). M est un point quelconque de la droite d et on note x l’abscisse de M.
2+
+
−4
+
−3
M
Le graphique donne la courbe représentative d’un
+
−2
+
−1
1+
•
0
+
1
A
+
2
−1 +
•
trinôme défini sur R par f ( x ) = ax2 + bx + c.
1) Donner par lecture graphique f (0); f (−1); f (−2).
2) En déduire a, b et c puis l’expression de f .
1) On définit la fonction f par : f ( x ) = AM2 .
a) Justifier que l’ordonnée de M est y M = 2x + 3.
Vérifier que f ( x ) = 5x2 + 6x + 5.
b) Vérifier que l’expression 5 ( x + 0, 6)2 + 3, 2 est la
forme canonique du trinôme f .
1+
c) Étudier les variations de la fonction f . Pour quelle
valeur x0 la fonction atteint-elle son extremum ?
d) M0 est le point de la droite d tel que la distance
+
−1
AM2 soit minimale. Justifier que les coordonnées
+
1
0
de M0 sont (−0, 6; 1, 8).
2) On considère le point B de coordonnées (0; 3).
a) Vérifier que B est un point de la droite d.
b) Déterminer la nature du triangle ABM0 .
Que peut-on dire des droites ( AM0 ) et d ?
50
Avec la forme canonique
Ci-dessous
est
donnée
la
représentation
gra-
phique C d’une fonction trinône f définie sur R
par sa forme canonique f ( x )
=
a ( x − α)2 + β.
4+
2+
0
−1 +
lisé par la fonction C donnée par C ( x ) = x2 − 10x + 500.
1) Exprimer R ( x ) en fonction de x.
2) Calculer le coût, la recette et le bénéfice réalisée
lorsque l’artisan vend 50 vases.
1+
+
−1
estime que le coût de production de x vases est modé-
vente de x vases fabriqués. Un vase est vendu 50 e.
•
3+
Un artisan fabrique entre 0 et 60 vases par jour et
On note R ( x ) la recette, en euros, correspondant à la
•
5+
52
+
1
+
2
+
3
+
4
+
5
1) Lire graphiquement les coordonnées du sommet de
la parabole représentant la fonction f .
2) Déterminer l’expression de f ( x ).
3) Vérifier que le bénéfice, en euros, réalisé par l’artisan
est donné par la fonction B dont l’expression est :
B( x ) = − x2 + 60x − 500.
4) a) Développer l’expression : −( x − 30)2 + 400.
b) En déduire le nombre de vases à vendre pour réaliser un bénéfice maximum.
10 Chapitre F1. Fonctions polynômes du second degré
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“MS2_2F5_chapitrecomplet” — 2014/4/12 — 7:00 — page 11 — #11
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Approfondir
53
Deux aires à comparer
55
INFO
Coût moyen
V ITE est un carré de côté 10 cm. O est un point du seg-
Une usine fabrique du dissolvant liquide avec une pro-
ment [V I ]. VOLA est un carré avec A sur le segment
duction maximale quotidienne de 1 500 L. Lorsqu’elle
[VE]. Le but est de trouver la position de O pour que
l’aire du carré VOLA soit supérieure à l’aire du triangle
TIO.
1) On note x la longueur VO. On appelle f la fonction
donnant l’aire du carré VOLA et g la fonction donnant l’aire du triangle TIO en fonction de x. Donner
les expressions de f ( x ) et de g( x ).
2) Quelle inéquation doit-on résoudre pour répondre
au problème donné ?
3) Voici une capture du logiciel Xcas.
produit x centaines de litres par jour, le coût de produc-
developper ( x∧ 2 − 4 ∗ (8 − x))
5 ∗ x − 100 + x2
f actoriser ( x∧ 2 − 4 ∗ (8 − x))
(x-5)*(x+10)
f orme_canonique( x∧ 2 − 5 ∗ (8 − x))
( x + 2)2 − 36
Résoudre le problème donné en choisissant judicieusement l’écriture de x2 − 5(10 − x ).
54
Le lancer franc
INFO
Lors d’un lancer franc au basket, le joueur se situe à environ 4,60 m du centre du panier, lui-même fixé à 3,05 m
du sol.
tion, en euros, est donné par C ( x ) = x2 + 8x + 64.
L’objectif de cet exercice est de déterminer la quantité à
produire pour minimiser le coût moyen.
1) Déterminer, par le calcul, le coût moyen lorsque
l’usine fabrique 500 L, 1 000 L et 1 200 L.
2) Sur la courbe du coût (notée C ), sont placés les points
M1 , M2 et M5 d’abscisses respectives 5, 10 et 15.
Déterminer les coefficients directeurs des droites
(OM1 ), (OM2 ) et (OM5 ).
Dans la suite de l’exercice, on admettra que le coût
moyen de production de x centaines de litres est
donné par le coefficient directeur de la droite (OM ),
avec M, point de la courbe C du coût d’abscisse x.
3) Avec un logiciel de géométrie dynamique
a) Tracer la courbe du coût sur son ensemble de
définition.
b) Placer un point M quelconque sur la courbe C .
Faire afficher le coefficient directeur de (OM ).
c) Déplacer le point M et déterminer sa position
pour laquelle le coût moyen semble minimal.
d) Démontrer que la droite d’équation y = 24x et la
courbe C n’ont qu’un seul point d’intersection.
56
Positions relatives
Voici la droite (d) d’équation y = 6x + 30 et la parabole
P représentant la fonction f : f ( x ) = −4x2 + 30x + 10.
60+
40+
20+
O
Le joueur lance le ballon au niveau des épaules, c’està-dire à 1,65 m du sol. On admettra que, dans le repère
choisi, la courbe décrite dans l’espace par le ballon est
la parabole d’équation y = 0, 5x2 − 1, 95x + 1, 65, où x
0
−20+
+
2
+
4
+
6
+
8
+
10
−40+
1) Démontrer, qu’étudier les positions relatives de la
droite d et de la parabole P revient à résoudre l’in-
équation −4x2 + 24x − 20 > 0.
est la distance horizontale, en m, du ballon au joueur et
2) Vérifier que, pour tout réel x :
y la hauteur, en m, du ballon au sol.
−4x2 + 24x − 20 = −4( x − 3)2 + 16.
3) Résoudre alors l’inéquation −4x2 + 24x − 20 > 0.
4) Conclure.
Peut-on affirmer que le joueur a réussi son panier ?
Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon ?
Chapitre F1. Fonctions polynômes du second degré 11
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“MS2_2F5_chapitrecomplet” — 2014/4/12 — 7:00 — page 12 — #12
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Je teste mes connaissances
À la fin de ce chapitre, je dois être capable de :
Reconnaître les formes d’une fonction trinôme :
Choisir la forme la plus pertinente pour
◮ forme factorisée
◮ calculer une image ou un antécédent
◮ forme développée
◮ déterminer le sens de variation
◮ forme canonique
◮ déterminer l’extremun de la fonction
Des ressources numériques
pour préparer le chapitre sur
manuel.sesamath.net
QCM d’auto-évaluation
@
Pour chaque question, plusieurs réponses sont proposées. Déterminer celles qui sont correctes.
57
Parmi les fonctions suivantes, quels sont les trinômes du second degré ?
a 4x2 − 5x + 3
58
b 4x3 − 5x2 − 3
c 4x − 3
d 6x2 − 5
Parmi les fonctions suivantes, quelles sont celles qui sont des formes canoniques de trinômes ?
a ( x − 2) 2
b (3x − 4)2 − 8
c − 2( x + 6) 2 + 7
d 5( x − 3)2 + 6x
On considère la fonction f définie sur R par f ( x ) = −2x2 − 12x + 54.
59
Quelle est la forme canonique de la fonction f ?
a ( x − 3)(−2x − 18)
60
c −2( x + 3)2 + 72
d −2( x + 3)2 − 54
c −2( x − 3)2 + 72
d −2( x + 3)2 − 18
Quelle est la forme factorisée de la fonction f ?
a ( x − 3)(−2x − 18)
61
b −2( x − 3)( x + 9)
b −2( x − 3)( x + 9)
Pour calculer l’image d’un nombre par la fonction f , quelle est la forme la plus pertinente :
a la forme factorisée
c la forme canonique
b la forme développée
d cela dépend des valeurs
62
Pour calculer l’antécédent de 0 par la fonction f , quelle est la forme la plus pertinente :
a la forme factorisée
c la forme canonique
b la forme développée
d cela dépend des valeurs
63
Pour déterminer le sens de variation de la fonction f , quelle est la forme la plus pertinente :
a la forme factorisée
c la forme canonique
b la forme développée
d cela dépend des valeurs
12 Chapitre F1. Fonctions polynômes du second degré
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“MS2_2F5_chapitrecomplet” — 2014/4/12 — 7:00 — page 13 — #13
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On considère la fonction f définie sur R par f ( x ) = −9( x + 2)2 − 15.
64
Sur l’intervalle ]−∞; −2[, la fonction f est :
a croissante
65
c non monotone
b un minimun en −2
c on ne peut pas savoir
b négative
c change de signe
Sur R, la fonction f admet :
a un maximun en −2
66
b décroissante
Sur R, la fonction f est :
a positive
On considère la fonction g définie sur R par g( x ) = 2( x + 1)2 + 18.
67
Sur l’intervalle ]−4; 2[, la fonction g est :
a croissante
68
c on ne peut pas répondre
b un minimum en −1
c on ne peut pas répondre
b négative
c change de signe
Sur R, la fonction g admet :
a un maximum en −1
69
b décroissante
Sur R, la fonction g est :
a positive
Voici les représentations graphiques de trois fonctions.
70
Quelle courbe représente une fonction trinôme ?
a La courbe jaune
b La courbe bleue
c La courbe rouge
2+
71
+
−6
+
−4
+
−2
0
+
2
La représentation graphique de la fonction tri-
nôme admet :
a comme axe de symétrie,
la droite d’équation x = 0
−2 +
−4 +
b comme centre de symétrie,
le point de coordonnées (−1, −1)
c comme axe de symétrie,
la droite d’équation x = −2
−6 +
Chapitre F1. Fonctions polynômes du second degré 13
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“MS2_2F5_chapitrecomplet” — 2014/4/12 — 7:00 — page 14 — #14
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Travaux pratiques
TP 1
Modélisations en sciences physiques
Un des phénomènes étudiés en sciences physiques au lycée est la chute libre des corps.
Un corps en chute libre est un corps qui n’est soumis qu’à son poids.
1 Lâcher d’une bille sans vitesse initiale
On lâche une bille à 5 m du sol, sans vitesse initiale. Voici les relevés de cette expérience :
Temps (en s)
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
Distance parcourue (en m)
0,05
0,20
0,44
0,78
1,23
1,76
2,4
3,14
3,97
4,90
1) Dans un repère orthonormé, tracer le nuage de points correspondant au tableau ci-dessus.
(Unité en abscisses : 10 cm pour 1 s, unité en ordonnées : 2 cm pour 1 m.)
2) Peut-on modéliser cette situation à l’aide d’une fonction affine ? Argumenter.
3) Recopier et compléter le tableau ci-dessous.
Temps t (en s)
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
2,4
3,14 3,97 4,90
t2
Distance d (en m)
0,05 0,20 0,44 0,78 1,23 1,76
4) Quelle relation semble-t-il y avoir entre la deuxième ligne et la troisième ligne du tableau ?
En déduire une relation entre t et d.
5) On lâche une bille à 6 m du sol. À quel instant touche-t-elle le sol ?
Un corps en chute libre aura sa position décrite par une fonction du second degré du temps
t, appelée équation horaire du mouvement.
2 Étude du lancer d’une fusée à eau
Une expérience consiste à lancer une fusée à eau. À l’aide d’une caméra et d’un logiciel adapté,
Hauteur (en m)
on relève la hauteur de la fusée en fonction du temps.
20+
15+
10+
5+ •
•
0+
0
•
•
•
•
••
+
0.5
•
••
••
+
1
• • • • • ••••• • • • • • • •
+
1.5
+
2
•••
••
+
2.5
••
••
+
3
••
••
••
+
3.5
••
••
•
Temps (en s)
1) À quelle hauteur se trouve la fusée au bout de 1 s ? au bout de 3 s ?
2) On suppose que la hauteur en fonction du temps suit l’équation horaire de la chute libre,
1
soit : d(t) = − g (t − α)2 + β, avec g accélération de la pesanteur (g ≈ 9,81 m.s−2).
2
a) Repérer le point le plus haut de la trajectoire. En déduire les valeurs de α et de β.
b) En déduire l’expression de d(t).
c) Sur le graphique, tracer la parabole représentant d.
Que peut-on observer ? Ce modèle est-il satisfaisant ? Justifier.
3) a) Quelle fonction affine d(t) = at + b peut modéliser l’équation horaire pour t > 3 s ?
b) Sur le graphique précédent, représenter la fonction affine d sur l’intervalle [3; 4].
c) Comment expliquer ce phénomène ?
14 Chapitre F1. Fonctions polynômes du second degré
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“MS2_2F5_chapitrecomplet” — 2014/4/12 — 7:00 — page 15 — #15
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Travaux pratiques
TP 2
Famille de fonctions
INFO
Soit k un entier relatif. On souhaite étudier les fonctions f k définies sur R par
f k ( x ) = − x2 + kx.
À chaque valeur de k correspond une fonction f k .
On note Pk la parabole représentant la fonction f k .
1 Étude du cas particulier de la fonction f 2
Dans cette partie, on prendra k = 2.
1) Donner l’expression de f 2 ( x ).
2) Développer −( x − 1)2 + 1. Préciser son maximum sur R.
3) Dresser son tableau de variations.
2 Étude graphique de la famille de fonctions
Dans cette partie, on utilise un logiciel de géométrie dynamique.
1) a) Représenter, dans un même repère, f 1 , f 2 , f 4 , f −2 et f −6 .
b) Les cinq paraboles semblent passer par un même point, S. Préciser ses coordonnées.
c) Calculer f k (0). Que vient-on de vérifier ?
2) On a représenté ci-contre une parabole de la famille étudiée .
a) Déterminer graphiquement les antécédents de 0.
2+
+ + +
−3 −2 −1 0
b) Factoriser f k ( x ) = − x2 + kx.
En déduire les solutions de l’équation f k ( x ) = 0.
−2 +
c) À quelle valeur de k correspond la parabole ci-contre ?
3 Une propriété de la famille de fonctions
Ouvrir un logiciel de géométrie dynamique.
1) Créer un paramètre k pouvant varier de −10 à 10, avec un pas de 1.
Créer la fonction x 7→ − x2 + kx.
2) Faire varier k. Vérifier les résultats des questions précédentes.
3) Activer la trace de la parabole puis faire varier k.
Parmi ces paraboles, sélectionner P5 et P−5 . Les colorier en bleu.
4) Que représente le point S pour la parabole Pk ? Activer sa trace.
Tracer, en rouge, la courbe de la fonction carrée. Que constate-t-on ?
30+
•
+
−15
+
−10
•
+
−5
•
S
20+
•
•
•
10+
•
•
0
•
•
•
•
•
•
k •= 10
•
+
5
+
10
−10+
−20+
Chapitre F1. Fonctions polynômes du second degré 15
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“MS2_2F5_chapitrecomplet” — 2014/4/12 — 7:00 — page 16 — #16
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Travaux pratiques
TP 3
De l’utilité des racines
1 Pour factoriser
On étudie une méthode de factorisation.
1) Soit f la fonction définie sur R par f ( x ) = x2 − 19x + 18.
a) Résoudre graphiquement l’équation f ( x ) = 0.
Vérifier que les deux solutions trouvées graphiquement sont bien exactes.
On appelle a et b ces deux solutions.
b) Développer ( x − a)( x − b ).
c) En déduire une factorisation de f ( x ).
2) Reprendre les questions précédentes avec g( x ) = x2 − x − 0, 75 et h( x ) = 3, 6x2 − 14, 4x − 18.
2 Pour optimiser
Dans cette partie, on considère les trinômes f , g et h de la partie précédente.
1) Par des considérations de symétrie, déterminer les coordonnées du sommet des paraboles.
2) En déduire la forme canonique de chacun des trinômes.
Récréation, énigmes
Un symbole
Le symbole de Genève est le "Jet d’eau", une fontaine de près de 140 m de haut.
L’eau, propulsée dans le ciel bleu sur fond de montagnes, retombe à une soixantaine de mètres plus loin.
+140
+130
+120
+110
+100
+90
+80
+70
+60
+50
+40
+30
+20
+10
+
−50
+
−40
+
−30
+
−20
+
−10
+
10
On assimile la courbe formée par le jet d’eau à la parabole P dessinée ci-dessus.
Retrouver la fonction du second degré associée à celle-ci.
16 Chapitre F1. Fonctions polynômes du second degré
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“MS2_2F5_chapitrecomplet” — 2014/4/12 — 7:00 — page 17 — #17
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SOLUTIONS
Chapitre F1
Fonctions polynômes du
second degré
S’entraîner
f est croissante sur ]−∞; −1[,
1
1) 0 <
x2
<9
12
2) 2x2 > 50
Auto-évaluation
1) x2 + 2x + 1
2
2) x2 − 6x + 9
3) x2 − 3x − 0, 25
2
5
4) x2 − x −
3
9
5) 5x2 − 25x + 20
6) −2x2 + 4x + 16
2) a) canonique :
4) 5 > 2x2 − 3 > −3
3( 3 − 3) 2 + 5 = 5
b) développer :
√ 2
√
2 − 18 2 + 32 =
3
√
38 − 18 2
1) x ∈ ]−
−2] ∪ [2; +∞[
h ∞;
√ √ i
2) x ∈ − 5; 5
3) x n’existe pas.
4) x n’existe pas.
3
7x2
1) 0
décroissante sinon.
1) développer l’expression
3) −3x2 6 −27
1
3) −3
c) développer :
02 − 18 × 0 + 32 = 32
25 a est positif et α = −4
+ 70x + 147
1
1 2 13
8) − x + x −
2
20
20
4
57
a
1) −5/3
1) non
2) non, en 4
5 f est croissante sur [−2; + ∞[.
59
6
7)
2
3) −17/18
2) 13/42
4) −3/48
3
1) 2/7
4
10
3) −3
2) −3/4
F1
2) 1
4) 5/32
4) −0, 25
58
a
c
60
b
61
d
62
a
63
c
64
a
1) f (5, 6) > f (6, 2) > f (9, 8)
65
a
66
b
2) f (−1, 2) < f (2, 8) < f (4, 9)
67
c
68
b
69
a
70
c
71
c
7
1) La courbe est symétrique
F2
Auto-évaluation QCM
par rapport à la droite
d
c
d’équation x = −2.
F4
F3
2) f (2) = f (−6)
8
9
1) x = −4.
2) (−4; −1)
1) x = 3.
2) (3; 1)
SOLUTIONS 17
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