1 Premi`ere partie

1 Premi`ere partie
1.1 R`egle de L’Hospital
Q.1
Calculer la d´eriv´ee des fonctions suivantes.
a) f(x) = (2x−4)3(5x+ 1)
b) g(x) = x3−3
5−x2
c) p(t) = t43
√2−t
d) g(x) = sin 5xcos 8x
e) f(x) = ex+e−x
2
f) f(u) = tan3u2−eu
g) f(x) = ln (sec x+ tan x)
h) g(x) = csc sin x2
i) f(x) = arcsin (log2x)
j) f(x) = arctan xsec x2
3x
k) f(x) = log3arccsc x+ 5arcsec x
Q.2
Calculer la d´eriv´ee des fonctions suivantes.
a) f(x) = (5x+ 7)(3−2x)
b) f(x) = xsin x
c) v(θ) = (sin θ)cos θ
d) f(x) = tan x2πx3
e) f(x) = xln x
f) f(x) = (ln x)x
g) f(x)=(x)ex
Q.3
´
Evaluer les limites suivantes.
a) lim
x→1
x2+ 6x−7
5x−4−x2
b) lim
x→0
ex−e−x
sin x
c) lim
x→0
ln(cos x)
sin x
d) lim
x→∞
e1
5x−1
2
x
e) lim
x→0
tan x−x
x−sin x
f) lim
x→0
x−arcsin x
sin3x
Q.4
´
Evaluer les limites suivantes.
a) lim
x→∞
5x+ 8
11x−2
b) lim
x→∞
ln x2
ln(1 + x)
c) lim
t→∞
ln 1 + 1
x
arccot x
d) lim
θ→(π
4)+
tan 2θ
1 + sec 2θ
Q.5
´
Evaluer les limites suivantes.
a) lim
x→∞ xe−x
b) lim
x→π
2−
sec x−tan x
c) lim
x→11
ln x−x ln x
d) lim
x→12
x2−1−1 x−1
e) lim
x→0xcot 2x
f) lim
x→1+1
1−x−1 ln(2 −x)
Q.6
´
Evaluer les limites suivantes.
a) lim
x→∞ 1−5
x3x
b) lim
x→5+(x−5)ln(x−4)
c) lim
x→0+(cot x)1
ln x
d) lim
x→1−ln 1
1−x1−x
1.2 Int´egrale ind´efinie et formules de base
Q.7
D´eterminer si Fest une primitive de florsque :
a) F(x) = 5xln 5 et f(x)=5x
b) F(x) = ln sec xet f(x) = tan x
c) F(x) = arcsin 2xet f(t) = 2
√4x2−1
d) F(x) = tan2xet f(x) = 2 sec2xtan x
Q.8
Calculer les int´egrales suivantes.
a) Zx5dx
b) Z1
x5dx
c) Z5
√v dv
d) Z1
5
√udu
e) Z1
x√x2−1dx
f) Zdx
g) Zx2−x−1
xdx
h) Z(x3+ 3x+ 33)dx
Q.9
Calculer les int´egrales suivantes.
a) Z5x5−5x
5+5 x−x 5dx
b) Z3 sin θ−sec2θ
3+1 3dθ
c) Zxe
e−2ex−5
√1−x2dx
1

d) Z4 sec utan u−8
1 + u2−6 csc2udu
e) Z5 cos u
3+4
7u√u2−1du
f) Z7
5√t−2 csc tcot t+1
3t2dt
Q.10
Calculer les int´egrales suivantes.
a) Z(x−2)(3 −4x)dx
b) Z4x3−5x2−1
x3dx
c) Zu+1
u2
du
d) Z
√x
2−2
√x
√x
dx
e) Z1
x4−7
√x2−1dx
f) Z3
4+4x2+5
√7−7x2dx
g) Zv2−4
v−2dv
h) Z(x−4)(x+ 1)
√xdx
i) Zpx4+ 2x2+ 1 dx
j) Z(x2−1)3x dx
k) Zx1/22√x−4
√x+5
3
√xdx
Q.11
Calculer les int´egrales suivantes.
a) Zcot x dx
b) Zcsc x dx
c) Z(cos2θ+ sin2θ)dθ
d) Ztan ϕ
sec ϕdϕ
e) Z3
1−sin2xdx
f) Z1
1 + cos xdx
g) Zsin t
cos2tdt
h) Zsin 2x
sin xdx
i) Zcsc x(sin x+ cot x)dx
j) Zcot2u du
Q.12
D´eterminer si les ´egalit´es suivantes sont vraies ou fausses.
a) Z3x2dx =x3+3+C
b) Zexsin x dx =exsin x−excos x+C
c) Zln x dx =xln x−x+C
1.3 Changement de variable
Q.13
Calculer les int´egrales suivantes.
a) Z3 cos 3x dx
b) Z(5x+ 1)7dx
c) Z6
11x−9dx
d) Ze−2xdx
e) Z(x3−4)x dx
f) Z3
√5−8x dx
Q.14
Calculer les int´egrales suivantes.
a) Ztan x dx
b) Zlog5x
xdx
c) Z76xdx
d) Z42x(3x2−7)6dx
e) Zcsc2xcot x dx
f) Zcos(ln x)
xdx
g) Zexsin exdx
h) Z21x2+ 35
√x3+ 5xdx
Q.15
Calculer les int´egrales suivantes.
a) Zxsin(1 −3x2)dx
b) Z3 sec24x
tan34xdx
c) Z5x2−x+ 2
x−1dx
d) Zcsc2ϕ
3 + 5 cot ϕdϕ
e) Z(5ex+ 1)3exdx
f) Z2x+ 1
x2+ 1 dx
g) Zearcsin x
√1−x2dx
h) Zeu
1 + e2udu
Q.16
Calculer les int´egrales suivantes.
a) Z1
25t2+ 100 dt
b) Z1
√9−x2dx
c) Z7
4x√x2−7dx
d) Z−5x
7√8−3x2dx
2

Q.17
Calculer les int´egrales suivantes.
a) Zx3px2+ 7 dx
b) Zx4+x3+x2+x+ 1
x2+ 1
dx
c) Zx
x4+ 1 dx
d) Ztan 3xsec53x dx
e) Z1
ex+e−xdx
f) Zx5+x8
3
√x3−1dx
1.4 Sommation
Q.18
´
Ecrire avec la notation sigma les sommes suivantes.
a) 4 + 6 + 8 + 10 + 12
b) 1 −1+1−1+1−1
c) sin π
2+ sin π+ sin 3π 2+ sin 2π+ sin 5π 2
Q.19
D´evelopper les sommes suivantes.
a)
8
X
i=4
1
ib)
3
X
k=1
2k+ 3 c)
5
X
t=2
t2−t
Q.20
´
Evaluer les sommes suivantes sans utiliser les formules vues
en classe.
a)
4
X
k=1
k
b)
3
X
k=0
2k
c)
5
X
k=2
2k−2
d)
4
X
k=1
2k−1
e)
3
X
k=1
1
k(k+ 1)
f)
3
X
k=1
k3
Q.21
D´emontrer par induction, si elles sont vraies, les ´egalit´es
suivantes.
a)
n
X
k=1
2k−1 = n2
b)
n
X
k=3
5 = 5(3 −n+ 1)
c)
n
X
k=1
1
k(k+ 1) =n n+ 1
d)
n
X
k=1
k
2
=
n(2n+ 1)(n+ 1)
6
e)
n
X
k=0
5k=5n+1 −1
4
f) n
X
k=1
k!2 =
n
X
k=1
k3
Q.22
`
A l’aide des identit´es vues en classe, ´evaluer les sommes
suivantes.
a)
20
X
k=1
5
b)
30
X
k=11
5
c)
40
X
i=1
i
d)
100
X
k=41
k
e)
20
X
t=10
3t−2
f)
20
X
k=1
k2
g)
8
X
k=0
cos kπ
h)
20
X
k=1
2k
2
−5k−1
i)
n
X
k=1
(k+1)(k+2)
j)
4
X
k=0
(2k+k2)
k)
10
X
k=0
4k
l)
9
X
k=0 1
2k
Q.23
D´eterminer si les ´egalit´es suivantes sont vraies ou fausses.
Justifier votre r´eponse.
a)
100
X
k=0
k4=
100
X
k=1
k4
b)
100
X
k=0
2 = 200
c)
100
X
k=0
2 + k= 2 +
100
X
k=0
k
d)
100
X
k=1
(k+ 1)2=
99
X
k=0
k2
e)
100
X
k=1
k
3
=
100
X
k=1
k! 100
X
k=1
k2!
f)
100
X
k=1
k3= 100
X
k=1
k!3
Q.24
D´emontrer la propri´et´e des sommes t´elescopiques, c’est-`a-dire
n
X
k=1
(ak−ak+1) = a1−an+1
Q.25
Utiliser le r´esultat de la question pr´ec´edente et le fait que
1
k−1 k+ 1 =1 k(k+ 1) pour trouver une formule donnant la
somme
n
X
k=1
1
k(k+ 1).
1.5 Th´eor`eme fondamental
Q.26
Consid´erons la fonction f(x) = x2−1 et l’intervalle [1,3].
a) Si on d´ecoupe l’intervalle en 4 parties ´egales quelle sera la
largeur de chacune des parties ?
b) Si on d´ecoupe l’intervalle en n parties ´egales quelle sera
la largeur de chacune des parties ?
c) La fonction est-elle croissante ou d´ecroissante sur l’inter-
valle donn´e ?
d) Si on calcule la somme inf´erieure de cette fonction sur
l’intervalle avec 4 rectangles, quelle sera la hauteur de
chacun des rectangles ?
e) Que vaut cette somme ?
3

f) ´ Ecrire cette somme avec la notation sigma.
Q.27
Calculer l’approximation de l’aire sous la courbe de la fonc-
tion f(x) = 2x−3 sur l’intervalle [3,5] en utilisant 4 rectangles
sup´erieurs.
Q.28
Calculer les int´egrales d´efinies suivantes `a l’aide des sommes
de Riemann.
a) Z4
1
x dx b) Z5
2
3x−5dx c) Z3
1
x2dx
Q.29
Calculer les int´egrales d´efinies suivantes `a l’aide du th´eor`eme
fondamental.
a) Z4
1
x dx b) Z5
2
3x−5dx c) Z3
1
x2dx
Q.30
On a vue en classe que si a≤b,
Zb
a
f(x)dx =F(b)−F(a)
o`u F(x) est une primitive de f(x). D´emontrer que
Zb
a
f(x)dx =−Za
b
f(x)dx.
Q.31
On dit qu’une fonction est paire si f(−x) = f(x) et qu’une
fonction est impaire si f(−x) = −f(x).
a) V´erifier que les fonctions f(x) = x
2
et g(x) = cos xsont
des fonctions paires.
b) V´erifier que les fonctions f(x) = x
3
et g(x) = sin xsont
des fonctions impaires.
c) D´emontrer que pour une fonction paire on a
Za
−a
f(x)dx = 2 Za
0
f(x)dx
d) D´emontrer que pour une fonction impaire on a
Za
−a
f(x)dx = 0
Q.32
Calculer les int´egrales d´efinies suivantes `a l’aide du th´eor`eme
fondamental.
a) Z4
1
√x dx
b) Z√2
2
0
dx
√1−x2
c) Z1
0
exdx
d) Z9
3
dx
x
e) Z5
−5
e dx
f) Zπ
−π
sin x+ cos x dx
g) Z9
1
x−1
√xdx
h) Zπ
4
0
sec2x dx
Q.33
D´eterminer si les ´egalit´es suivantes sont vraies ou fausses.
a) Z1
0
dx = 0
b) Zπ
−π
x3cos x dx = 0
c) Z2
1
3xdx =−Z−2
−1
3xdx
d) Z3
−2
dx
x= ln 3 2
1.6 Calcul d’aire
Q.34
Calculer l’int´egrale d´efinie Z5
2
√2x−1dx
a) En changeant les bornes d’int´egrations.
b) En d´efaisant le changement de variable avant d’´evaluer.
Q.35
Montrer que si m > 0 et n > 0,
Z1
0
xn(1 −x)mdx =Z1
0
xm(1 −x)ndx
Q.36
Calculer les int´egrales suivantes en faisant les changements
de variable indiqu´es.
a) Zπ
2
0
sin xcos2x dx, u = cos x
b) Z4
1
x
√2+4xdx, 2+4x=u2
c) Z1
−1
1
(1 + x2)2dx, x = tan u
d) Zπ
0
dx
3 + 2 cos x, u = tan x 2
Q.37
Calculer l’aire des r´egions born´ees sp´ecifi´ees.
a) Entre f(x) = x2−1 et l’axe des xsur l’intervalle [0,2].
b) Entre f(x) = sin xet l’axe des xsur l’intervalle
−π
2,3π 2
.
c) Entre f(x) = xet f(x) = x2.
4

d) Entre f(x) = xet f(x) = x3
4sur l’intervalle [−1,2].
e) Entre f(x) = (x−1)(x−2)(x−3) et l’axe des xsur
l’intervalle [0,3].
Q.38
D´emontrer que
Zb
a
f(x)dx =Zb+c
a+c
f(x−c)dx
et donner une interpr´etation g´eom´etrique de ce r´esultat.
Q.39
D´emontrer que
Zb
a
f(x)dx =1
kZkb
ka
fx
kdx
et donner une interpr´etation g´eom´etrique de ce r´esultat.
Q.40
Utiliser les r´esultats des deux derni`eres questions pour d´e-
montrer que
Zb
a
f(x)dx = (b−a)Z1
0
f(a+ (b−a)x)dx.
5