Examen final d`Outils Mathématiques - moodle@insa

INSA Toulouse
Section IFCI
Cycle Préparatoire
Année 2016-2017
Examen final d’Outils Mathématiques
Calculatrices et documents autorisés
Le barème est donné à titre indicatif.
Exercice 1 Nombres complexes (2pts).
Mettre sous forme exponentielle le nombre complexe z= 1 −i , et donner son inverse 1
z.
Exercice 2 Fonctions usuelles (2pts).
Résoudre l’équation suivante :
exp(x+ 1)2
−exp (x+ 1)2= 0 .
Exercice 3 Logique (3pts).
Démontrer que la proposition suivante est vraie :
(Pet Q)⇒(non(P)ou Q).
Exercice 4 Logique (5pts).
Considérons les propositions suivantes, que l’on supposera toutes vraies :
1. (non(Q)et P)⇒non(S),
2. S⇒(non(P)ou Q),
3. P⇒(Rou S),
4. (Set Q)⇒non(P),
5. (Ret non(Sou Q) ) ⇒T,
6. R⇒(non(P)ou non(Q) ) .
Si l’on suppose de plus que P est vraie, que peut-on dire sur la valeur de vérité de T ?

Exercice 5 Raisonnement (4pts).
Démontrer par l’absurde la proposition suivante : si nest le carré d’un nombre entier non nul,
alors 2nn’est pas le carré d’un nombre entier. Autrement dit :
(∃k∈IN∗, n =k2)⇒(∀l∈IN,2n6=l2).
Indication : on pourra utiliser le fait que √2est un nombre irrationnel.
Exercice 6 Division euclidienne de polynômes (2pts).
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne des polynômes suivants :
A(x) = x4−7x2+ 9 et B(x) = x2−2.
Exercice 7 Factorisation de polynômes (3pts).
Factoriser dans IR[x]et C[x]le polynôme suivant :
P(x) = x3+x2+x+ 1 .
Exercice 8 Décomposition en éléments simples (4pts).
Décomposer en éléments simples sur IR la fonction rationnelle suivante :
F(x) = x
(x2−4)(x2+ 4) .
Bonus (3pts) : déterminer la décomposition en éléments simples de Fsur C.
FIN