Examen final d`Outils Mathématiques - [email protected]

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INSA Toulouse
Section IFCI
Cycle Préparatoire
Année 2016-2017
Examen final d’Outils Mathématiques
Calculatrices et documents autorisés
Le barème est donné à titre indicatif.
Exercice 1 Nombres complexes (2pts).
Mettre sous forme exponentielle le nombre complexe z = 1 − i , et donner son inverse
Exercice 2 Fonctions usuelles (2pts).
Résoudre l’équation suivante :
exp(x + 1)
2
− exp (x + 1)
2
= 0.
Exercice 3 Logique (3pts).
Démontrer que la proposition suivante est vraie :
( P et Q ) ⇒ ( non(P ) ou Q ) .
Exercice 4 Logique (5pts).
Considérons les propositions suivantes, que l’on supposera toutes vraies :
1. ( non(Q) et P ) ⇒ non(S) ,
2. S ⇒ ( non(P ) ou Q ) ,
3. P ⇒ ( R ou S ) ,
4. ( S et Q ) ⇒ non(P ) ,
5. ( R et non(S ou Q) ) ⇒ T ,
6. R ⇒ ( non(P ) ou non(Q) ) .
Si l’on suppose de plus que P est vraie, que peut-on dire sur la valeur de vérité de T ?
1
.
z
Exercice 5 Raisonnement (4pts).
Démontrer par l’absurde la proposition suivante : si n est le carré d’un nombre entier non nul,
alors 2n n’est pas le carré d’un nombre entier. Autrement dit :
( ∃k ∈ IN∗ , n = k 2 ) ⇒ ( ∀l ∈ IN, 2n 6= l2 ) .
√
Indication : on pourra utiliser le fait que 2 est un nombre irrationnel.
Exercice 6 Division euclidienne de polynômes (2pts).
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne des polynômes suivants :
A(x) = x4 − 7x2 + 9 et B(x) = x2 − 2 .
Exercice 7 Factorisation de polynômes (3pts).
Factoriser dans IR[x] et C[x] le polynôme suivant :
P (x) = x3 + x2 + x + 1 .
Exercice 8 Décomposition en éléments simples (4pts).
Décomposer en éléments simples sur IR la fonction rationnelle suivante :
F (x) =
(x2
x
.
− 4)(x2 + 4)
Bonus (3pts) : déterminer la décomposition en éléments simples de F sur C.
FIN
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