Logique et théorie des ensembles

Chapitre 1
Logique et théorie des ensembles
Les buts de ce chapitre sont :
– définir les énoncés que l’on peut démontrer en mathématiques,
– être capable de comprendre un énoncé mathématique complexe,
– introduire des notations et des définitions essentielles,
– introduire des méthodes de démonstration et de rédaction qui doivent devenir
des automatismes.
\
=
$
CC
BY:
Les notions peuvent sembler abstraites, il est donc important de s’éloigner du formalisme pour ne
retenir que les idées intuitives. Pour rendre les notions plus concrètes, j’utilise dans les exemples des
notations et des notions qui seront introduites plus tard.
I
I.1
Proposition
Définition
La première contrainte intuitive que l’on peut fixer sur un énoncé mathématique est qu’il est soit
vrai soit faux. Cela signifie aussi qu’il doit être bien défini.
Définition 1. Une proposition P est une phrase qui est, sans ambiguïté, soit vraie soit fausse.
Cette proposition peut dépendre d’une (ou de plusieurs variables), on note alors P (x) où x est la
variable. Si on remplace la variable x par une valeur, alors P (x) est vraie ou fausse.
Les propositions sont donc les « briques de bases » pour construire l’ensemble des énoncés que l’on
peut démontrer.
Notons, qu’une proposition P (x) dépend d’une variable appartenant à un ensemble. Nous ne
définirons pas précisément cette notion d’ensemble : un ensemble est une collection d’éléments, sans
ordre. Pour les éléments x de cet ensemble, la proposition « l’élément x appartient à E », noté « x ∈ E »
a une valeur vraie.
Exemple:
– P : « la fonction sin est une fonction continue »,
1
2
CHAPITRE 1. LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES
– P : « 2 est un nombre impair »,
– P : « 0 est le plus petit nombre entier ».
– P(n) : « n est un nombre premier »,
Qu’une proposition soit vraie ou fausse signifie que les termes qui la composent sont bien définis.
Une proposition du type « π est un nombre plus intéressant que 2 » n’a de sens que si on a bien défini
le « plus intéressant ».
Un autre exemple : « i > 0 » n’a aucun sens. La proposition P(n) : « n est un nombre premier »,
n’a de sens que si n ∈ N.
Remarque: On retrouve les variables booléennes en informatique qui valent vrai ou faux.
En scilab, les variables booléennes sont %t et %f.
I.2
Opérations sur les propositions
Une fois ces objets introduits, on va les manipuler, c’est-à-dire les combiner deux à deux pour
obtenir de nouvelles propositions. Bien entendu, on cherche à modéliser des notions intuitives.
négation
La première opération naturelle sur une assertion est sa négation :
Définition 2. Si P est une proposition, on appelle (non P ) la négation de P : non P est la
proposition fausse si P est vraie, elle est vraie si P est fausse.
Exemple: non(2 est pair) est (2 est impair),
et, ou, équivalence Ensuite lorsqu’on dispose de deux propositions, P et Q, il y a quatre possibilités
selon les différentes valeurs de P et de Q. On peut les combiner soit avec ou soit avec et pour voir si
l’une ou l’autre ou les deux sont vraies ou tester si elles ont la même valeur.
Définition 3. Soient P et Q deux propositions, on définit :
– (P et Q) la proposition vraie si P est vraie et Q est vraie, fausse sinon,
– (P ou Q) la proposition fausse si P est fausse et Q est fausse, vraie sinon,
– (P ⇔ Q) la proposition vraie si P et Q ont la même valeur, on dit « P est équivalent à Q ».
En général, pour définir ces nouvelles propositions, le plus simple est d’utiliser une table de
vérité qui contient la liste des valeurs possibles pour P et Q, et la valeur correspondante pour P et
Q, etc. Cela est fait sur la figure 1.1.
Remarque: En Scilab, lorsque a et b sont deux variables logiques, les variables a & b et a | b
sont les variables logiques a et b et a ou b respectivement.
Ces notions n’ont pas besoin d’exemples, Elles correspondent à l’idée intuitive que l’on se fait de
et et ou
Remarquons quand même que le ou n’est pas exclusif : si les deux propositions sont vraie, « P ou
Q » est vraie, au contraire de la valeur de ou dans l’expression formage ou dessert.
I. PROPOSITION
3
P
non P
V
F
P
Q
P ou Q
P et Q
P⇔Q
F
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
V
Table 1.1 – Table de vérités de non, et, ou et ⇔
La notion d’équivalence peut être vue comme une égalité entre propositions. Cela sert par exemple
à montrer certaines propriétés intuitives :
Proposition 1.
– non (non P )⇔ P ,
– (P et Q) ⇔(Q et P ), donc l’ordre des propositions dans les et ne compte pas. De même pour
les ou.
– (P et Q) et R ⇔ P et (Q et R). On n’a donc pas besoin de parenthèse lors de plusieurs et
consécutifs. De même pour les ou.
– (P ou Q) et R ⇔ (P et R) ou (Q et R), (analogie avec (a + b)c = ac + bc)
– (P et Q) ou R ⇔ (P ou R) et (Q ou R).
Ces propositions sont démontrées en considérant toutes les valeurs possibles de P , Q et R.
Démonstration. Voici la démonstration de la première :
P
non P
non (non P)
V
F
V
F
V
F
Il suffit de constater que les lignes 1 et 3 sont identiques.
Par exemple pour la dernière, on a :
P
Q
R
P et Q
(P et Q) ou R
P ou R
Q ou R
(P ou R) et (Q ou R)
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
V
V
V
F
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
On constate bien que les lignes : (P et Q) ou R et (P ou R) et (Q ou R) sont identiques, ces
deux propositions sont donc équivalentes.
Application 1 Démontrer les autres.
En utilisant des tables de vérités, on peut ensuite voir ce qui se passe lorsqu’on nie une proposition
formée par deux propositions assemblées par un ou ou et.
4
CHAPITRE 1. LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES
Proposition 2. Soit P et Q deux propositions, on a :
– non(P ou Q) est équivalent à non(P ) et non(Q),
– non(P et Q) est équivalent à non(P ) ou non(Q).
Ici encore, tout est intuitif. La démonstration rigoureuse se fait en considérant les tables de vérité.
Exemple:
– non(« -1 est strictement négatif ») est « -1 est positif ou nul »,
– non(« −1 < x 6 3 ») est « −1 > x ou x > 3 »,
– Si l′ est un nombre réel donné, et P (l) la proposition « l = l′ », alors non(P (l)) ⇔ non(« l > l′ »
et « l 6 l′ ») ⇔« l < l′ » ou « l > l′ ». Ainsi lorsque l’on suppose que deux nombres sont distincts,
on peut toujours considérer que l’un est supérieur strict à l’autre.
– Si en informatique on écrit une boucle while (tant que) avec : while (x<>0 & x<>1), la sortie
de la boucle aura lieu lorsque x vaudra 1 ou 0.
On voit que les opérateurs et et ou sont duaux.
Implication Maintenant, on voudrait donner un sens à l’idée intuitive de « cette proposition entraîne celle-là », si cette proposition est vraie alors celle-là est vraie ».
On cherche donc à montrer que la proposition P est « plus forte » que la proposition Q, car dès
que P est vrai Q l’est automatiquement.
Cela amène à la définition :
Définition 4. Soient P et Q deux propositions, on note P ⇒ Q et on lit « P implique Q », la
proposition ((non P ) ou Q). Cette proposition est fausse uniquement si Q est fausse et P vraie, elle
est vraie dans tous les autres cas.
La figure 1.2 montre la table de vérité correspondante.
P
Q
P⇒Q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Table 1.2 – Table de vérité de P ⇒ Q
Remarque: si P ⇒ Q on dit que Q est une condition nécessaire à P , puisqu’on ne peut avoir
P que si on a Q. On dit aussi que P est une condition suffisante pour Q, puisqu’il suffit d’avoir P
pour avoir Q.
Exemple:
– « la fonction x 7→ x2 + 4 est un polynôme » ⇒ « la fonction x 7→ x2 + 4 est dérivable ». « Être
un polynôme » est une condition suffisante pour « être dérivable ».
– si P (f ) est « f est une fonction dérivable », et Q(f ) est « f est une fonction continue », alors
P (f ) ⇒ Q(f ), mais Q(f ) ⇒ P (f ) est fausse. « Être continue » est une condition nécessaire
pour « être dérivable » : ce n’est pas la peine de chercher à dériver une fonction non continue.
– x > 5 ⇒ x2 > 25.
Remarque:
I. PROPOSITION
5
– P ⇒ Q est vrai dès que P est fausse, ainsi des propositions du type : « 33 est pair » ⇒ « 33 se
finit par 0,2, 4, 6, ou 8 » sont vraies. (cela permet d’ailleurs de montrer que 33 est impair par
l’absurde)
– Enfin, P ⇒ Q est évidement différent de Q ⇒ P .
– Ne pas écrire ⇒ à la place de donc. Ce symbole a un sens précis en mathématique, et n’est donc
à utiliser que dans ce cadre.
Proposition 3. Soient P et Q deux propositions, alors on a :
(P ⇔ Q) ⇐⇒ (P ⇒ Q) et (Q ⇒ P ).
Autrement dit, pour montrer que P est équivalent à Q, on montre que P implique Q, puis que Q
implique P , c’est la double implication.
Démonstration. Par table de vérité :
P
Q
P⇒Q
Q⇒P
(P ⇒ Q) et (Q ⇒ P)
(P ⇔ Q)
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
Lorsqu’on nie une proposition d’implication on a :
Proposition 4. Soit P et Q deux proposition, la proposition non(P ⇒ Q) s’écrit : P et (non Q).
Cette proposition est assez intuitive : le contraire que P entraîne Q c’est d’avoir P sans Q
Démonstration. Il suffit de revenir à la définition : non(P ⇒ Q) est non(non(P) ou Q), c’est-à-dire P
et non(Q).
Une autre égalité logique importante à connaître est la contraposé :
Proposition 5 (Contraposé). Soient P et Q deux propositions, alors on a :
(P ⇒ Q) ⇐⇒ (non Q) ⇒ (non P )
Démonstration. La preuve se fait encore par table de vérité :
P
Q
P⇒Q
non Q
non P
non Q ⇒ non P
V
V
V
F
F
V
On voit que les deux lignes correspondantes sont égales.
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
6
CHAPITRE 1. LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES
Le principe de la contraposé est de considérer P ⇒ Q sous la forme : Q est la conséquence de
P . Par exemple : « si il pleut alors le trottoir est mouillé ». La contraposé dit que l’absence de la
conséquence (non Q) est une preuve l’absence de la cause (non P). Dans l’exemple : « si le trottoir
n’est pas mouillé, alors il ne pleut pas ».
Exemple: L’exemple qu’il faut connaître est de démontrer que
n2 pair ⇒ n pair,
en démontrant que si n est impair alors n2 est impair.
I.3
Quantificateurs
Soit E un ensemble, à partir d’une proposition P (x), tel que P (x) a un sens pour tout élément x
de E, on peut définir une proposition qui signifie « P (x) est vrai partout » ou « P (x) est vrai quelque
part ». Ces définitions font appel aux quantificateurs universels : « pour tout » et « il existe » :
Définition 5. Soit P (x) une proposition tel que P (x) a un sens pour tout élément x de E, on définit :
– (∀x ∈ E, P (x)), cette proposition signifie « pour tout élément x de l’ensemble E, P (x) est
vrai ».
– (∃x ∈ E, P (x)), cette proposition signifie « il existe un élément de E tel que P (x) est vrai ».
– (∃!x ∈ E, P (x)), cette proposition signifie « il existe un unique élément de E tel que P (x)
est vrai » ».
On peut mettre une virgule après ∀, et deux points après ∃.
Remarque: La définition précise de (∃!x ∈ E, P (x)), est :
(∃x ∈ E, (P (x) et (∀y ∈ E, P (y) ⇒ y = x)) ,
autrement dit : x vérifie P et si un autre élément de E vérifie P alors c’est forcément x.
Ainsi, pour démontrer l’unicité de x, on suppose qu’une autre valeur y convient, et on montre qu’en
fait x = y.
Exemple:
√
– ∀x ∈ R, x2 > 13 ⇒ x > 13,
– ∀x > 0, ∃y ∈ R, x = y 2 ,
– ∀x > 0, ∃!y ∈ R, x = exp(y).
Remarque: La variable est muette, ∀x ∈ E, P (x) est la même proposition que ∀ǫ ∈ E, P (ǫ).
On essayera donc de donner un « sens » au choix du nom des variables. On utilisera ainsi n, p, q pour
un entier, f pour une fonction, w pour une éventualité etc.
Négation des quantificateurs Maintenant que l’on a défini des propositions composés de quantificateurs, on peut combiner ces propositions. Aucune difficulté avec les et et ou, les propositions
obtenues étant juste la combinaison des propositions.
Il faut par contre définir la négation d’une proposition composée d’un quantificateur :
– nier un « quelque soit » c’est trouver un élément qui ne vérifie pas la propriété, (donc trouver
un contre-exemple),
I. PROPOSITION
7
– nier un il existe c’est démontrer que tous les éléments ne vérifient pas la propriété (donc qu’aucun
ne la vérifie).
non(∀x ∈ E, P (x)) ⇐⇒ ∃x ∈ E, non(P (x))
non(∃x ∈ E, P (x)) ⇐⇒ ∀x ∈ E, non(P (x))
Par exemple : « non(∀x ∈ R, x2 > 13 ⇒ x >
Application 2
√
13) » est « ∃x ∈ R, x2 > 13 et x 6
√
13 ».
Quelle est la négation d’un ∃! ?
Ordre des quantificateurs Lorsqu’on combine plusieurs propositions avec des quantificateurs, il
faut faire attention à l’ordre : les quantificateurs se mettent en début de proposition et se lisent de
gauche à droite. Les variables introduite dépendent des précédentes.
Exemple: Soit la proposition P : ∀x > 0, ∃a > 0 : a < x. il faut comprendre : pour tout
x > 0, il existe un a > 0 (qui dépend donc de x), tel que a < x. Ce qui est vrai. En fait la
proposition P s’écrit : ∀x > 0, Q(x), où Q(x) est le proposition : ∃a > 0 : a < x. Par contre, soit la
proposition P ′ : ∃a > 0 : ∀x > 0, a < x. Il faut comprendre : il existe un a tel que tout x > 0 vérifie
a < x, cette fois-ci, le a ne dépend pas de x. P ′ se décompose en ∃a > 0 : Q′ (a), où Q′ (a) est la
proposition :∀x > 0, a < x. P ′ est alors faux.
Exemple: Par exemple, une fonction f : R → R est solution de l’équation différentielle y ′ = ay,
si :
∃λ ∈ R, ∀x ∈ R, f (x) = λeax .
dans cette écriture le λ ne dépend pas de x. si on change l’ordre des quantificateurs :
∀x ∈ R, ∃λ ∈ R, f (x) = λeax ,
alors, toute fonction est solution : en effet, étant donné un x ∈ R, il suffit de poser λ = f (x)e−ax , qui
vérifie bien : f (x) = λeax . On note souvent dans ce dernier cas λx pour indiquer que λ dépend de x.
D’une manière générale, dans une proposition les variables dépendent des variables précédentes.
I.4
Conclusion
Cette partie clôt le premier but : l’ensemble des énoncés que l’on peut démontrer est constitué de
propositions, de propositions avec quantificateurs et associés entre eux avec non, ou, et, ⇒, et ⇔.
Par exemple, on peut maintenant définir la notion de suite convergente en disant : une suite un
est convergente si
∃l ∈ R : ∀ǫ > 0, ∃N ∈ N : ∀n ∈ N, n > N ⇒ |un − l| < ǫ.
(1.1)
Cet énoncé est une proposition qui dépend de la suite un à qui on peut donner une valeur vraie
ou fausse.
Une représentation mentale satisfaisante pour ce type d’énoncé est : « il existe un l, tel que pour
toute précision ǫ, on peut trouver un rang N à partir duquel un et l sont égaux à ǫ près ».
Application 3
Nier la définition d’une suite convergente (1.1).
8
Application 4
l’intervalle [0,1].
CHAPITRE 1. LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES
Traduire avec des quantificateurs : la fonction g s’annule une fois et une seule sur
Application 5 Soit un une suite réelle. Nier ∃M ∈ R+ : ∀n ∈ N, |un | 6 M . Que veut dire cette
phrase ? Pour un = (−1)n est-elle vraie ?
II
Méthodologie
II.1
Méthodes de démonstration
Le but des mathématiques est maintenant de démontrer que certaines propositions sont vraies.
Premièrement, certaines propositions sont vraies par choix, ce sont les axiomes : on décide que
certaines propositions sont vraies, par exemple, on décide que « 0 est le plus petit entier naturel »,
ou que « toute partie de R majorée possède une borne supérieure ».
On verra les axiomes au fur et à mesure du cours.
Ensuite, on démontre des théorèmes, c’est-à-dire des propositions vraies, que l’on déduit d’axiomes
et d’autres théorèmes selon plusieurs techniques :
Déduction si P est vraie et si P implique Q alors Q est vraie.
Transitivité de l’implication si on a P ⇒ Q et Q ⇒ R alors on a P ⇒ R.
Contraposé P ⇒ Q est équivalent à non Q ⇒ non P .
Raisonnement par l’absurde si on suppose une proposition P et que l’on obtient qu’une autre
proposition Q est vraie et fausse, alors c’est que P est faux.
Disjonction des cas Si l’ensemble E est constitué de deux ensemble A et B, avec E = A ∪ B
c’est-à-dire :
∀x ∈ E, (x ∈ A) ou (x ∈ B),
et si on a : ∀x ∈ A, P (x) et ∀x ∈ B, P (x), alors on a : ∀x ∈ E, P (x).
Variable muette Si on a ∀x ∈ E, P (x), et si b ∈ E alors P (b), cela veut dire c’est qu’on peut
remplacer x par n’importe quelle valeur, en particulier, −x, 2x etc.
Exemple: Il est important de connaître ces techniques et de savoir les manipuler,
– on a « x > 2 ⇒ x2 > 4 » et « x2 > 4 ⇒ |x| > 2 » donc « x > 2 ⇒ |x| > 2 »
– « x > 2 ⇒ x2 > 4 » est équivalent à « x2 6 4 ⇒ x 6 2 »,
– on a « x > 0 ⇒ |x| > x » et « x < 0 ⇒ |x| > x », donc « ∀x ∈ R, |x| > x »
– Pour une fonction f donnée la proposition
∀x, y ∈ Df , f (x) = f (y) ⇒ x = y,
est équivalente 1 à
∀x, y ∈ Df , x 6= y ⇒ f (x) 6= f (y).
– on a ∀x ∈ R, sin(2x) = 2 sin(x) cos(x), donc ∀x ∈ R, sin(x) = 2 cos( x2 ) sin( x2 )
Note: À ces techniques de base s’ajoutent d’autres techniques, comme les démonstrations par récurrence
(valable dans N).
1. Ceci est la définition d’une fonction injective comme on le verra à la partie (IV.3)
II. MÉTHODOLOGIE
II.2
Méthodes de rédaction
9
Démontrer consiste à expliquer le chemin qui permet de passer d’une proposition vraie à une
autre.
Pour cela, il est important de déjà préciser la destination, c’est-à-dire ce que l’on veut démontrer.
Avant de se lancer dans une démonstration, il est donc important de commencer par « Montrons
que ... ». Ceci est aussi vrai en cours de raisonnement : on peut indiquer l’endroit où on est « On a
donc.... » et les étapes intermédiaires, par exemple lorsqu’on utilise la contraposée.
Démontrer une implication Pour démontrer P ⇒ Q, on voit que si P est faux il n’y a rien à
démontrer, P ⇒ Q est automatiquement vrai, il faut donc supposer P vrai. On rédige donc en
mettant :« Supposons ... », et on montre que Q est vrai.
Double implication Pour démontrer une équivalence, il faut démontrer successivement les deux
implications. On doit donc séparer le cas P ⇒ Q et Q ⇒ P .
Utiliser la disjonction des cas Il faut clairement indiquer « On sépare deux cas distincts », et
indiquer les différents cas. Il doit être clair qu’on distingue tous les cas possibles.
Raisonnement par l’absurde Bien indiquer la supposition que l’on va nier, et à quel moment elle
intervient. Ensuite, bien indiquer la contradiction, avant de conclure.
Quelque soit Pour démontrer une proposition composé d’une proposition avec un quantificateur
« quelque soit », ∀x ∈ E, P (x), on ne peut pas tester tous les éléments de E un par un. On
utilise alors un élément générique x, qui appartient à E, sur lequel on ne fait aucune autre
hypothèse. Si la proposition P (x) est vraie pour cet élément alors elle est vraie pour tout x de
E. Il faut donc écrire, « Soit x appartenant à E », et on montre P (x).
Il existe Pour une proposition composé d’une proposition avec un quantificateur « il existe », ∃x ∈
E, P (x), il faut trouver un élément de E pour lequel P (x) est vrai. Il faut donc écrire "on
pose 2 x := » et mettre la définition d’un élément x qui convient, on peut soit construire x
explicitement, soit démontrer qu’il est possible de trouver un tel élément par l’utilisation d’une
autre proposition.
Pour consruire x explicitement, on peut être amené à utiliser une technique « d’analyse-synthèse » :
– on suppose que l’élément x existe et on essaie de trouver quels conditions sont vérifiés dans
le but d’isoler la ou les valeurs possibles (c’est l’analyse),
– S’il y a plusieurs possibilités on en choisit une.
– Ensuite, on vérifie que cette valeur convient (c’est la synthèse).
Existence et unicité Pour une proposition composée d’une proposition avec un quantificateur « il
existe un unique », ∃!x ∈ E, P (x). Il faut prouver l’existence et l’unicité. Pour l’unicité, le plus
simple est de supposer qu’il y a deux solutions et montrer qu’elles sont égales. Il est souvent
plus simple de commencer par l’unicité qui donne des indications sur l’existence.
II.3
Exemples de démonstration
On donne ici quelques exemples volontairement répétitifs et simplistes :
2. C’est un bon réflexe d’utiliser la notation « informatique » du := pour une définition, et donc dans les démonstrations lorsqu’on propose une valeur.
10
CHAPITRE 1. LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES
⋆ Montrons que ∀x ∈ R, x > 4 ⇒ x2 > 16. Soit x ∈ R, on suppose que x > 4. On a alors
x > 4 > 0, et on sait 3 : ∀a, b ∈ R, 0 < a < b ⇒ 0 < a2 < b2 . On obtient ainsi x2 > 16.
⋆ Montrons que
∀(a, b) ∈ R × R, ∃!(λ, µ) ∈ R × R : (a = λ + µ et b = λ − µ).
Soit (a, b) ∈ R × R,
Unicité Supposons qu’il existe (λ, µ), et (λ′ , µ′ ), qui conviennent, et montrons que λ = λ′ et µ = µ′ .
On a
λ + µ = λ′ + µ′ , et λ − µ = λ′ − µ′ ,
d’où en ajoutant :
2λ = 2λ′ , et donc λ = λ′ , puis µ = µ′ .
Existence Montrons que : ∃(λ, µ) ∈ R × R : (a = λ + µ et b = λ − µ). On raisonne par anayse et
synthèse.
Analyse : on suppose que λ existe, on a alors a+b = 2λ, donc λ =
donc µ = a−b
2 . C’est les mêmes calculs que dans l’unicité.
Synthèse Posons λ =
a+b
2 ,
µ=
λ+µ=
a−b
2 ,
a+b
2 .
On a aussi : a−b = 2µ,
on a alors :
a+b a−b
a+b a−b
+
= a, et λ − µ =
−
= b.
2
2
2
2
Donc λ et µ conviennent.
Conclusion λ,et µ existent et sont uniques. Et donc :
∀(a, b) ∈ R × R, ∃!(λ, µ) ∈ R × R : (a = λ + µ et b = λ − µ).
⋆ Montrons que i ∈
/ R. On raisonne par l’absurde : supposons que i ∈ R, alors −1 > 0 car −1 = i2
est le carré d’un nombre réel. Contradiction avec −1 < 0. Donc i ∈
/ R.
⋆ Montrons que ∀x, y ∈ R, |x + y| 6 |x| + |y|.
En utilisant la définition de la valeur absolue :
|.|


R →




 n 7→
R

n
−n
si n > 0
si n < 0
= max(n, −n)
Quatre cas sont possibles :
– Si x et y sont positifs alors x + y est aussi positif, l’inégalité s’écrit alors : |x + y| = x + y 6
x + y = |x| + |y|,
– Si x et y sont négatifs, alors x + y est aussi négatif, l’inégalité s’écrit alors :
|x + y| = −x − y 6 −x − y = |x| + |y|,
– Si x est négatif et y positif, alors |x| = −x et |y| = y. Il y a deux sous cas,
– Soit x + y > 0, et on a : x 6 −x, et |x + y| = x + y 6 −x + y = |x| + |y|,
3. Ici on montre que la « difficulté » consistait à vérifier que les nombre étaient positifs. D’une manière générale,
pour bien rédiger il faut indiquer au correcteur que l’on a repéré (et résolu) la difficulté
III. ENSEMBLE
11
– Soit x + y 6 0 et on a : −y 6 y donc |x + y| = −x − y 6 −x + y = |x| + |y|.
Dans les deux cas, |x + y| 6 |x| + |y|.
– Si x est négatif et x positif, alors la même étude permet de montrer que |x + y| 6 |x| + |y|.
√
Application 1 Démontrer ce résultat en utilisant la définition : |x| = x2 .
II.4
Conclusion
On a vu ici les principales techniques de rédaction et comment rédiger une démonstration. Ces
techniques doivent devenir des réflexes.
On peut ajouter d’autres conseils généraux de rédaction :
– Il est important de préciser et de rappeler dans une copie, les hypothèses importantes, au
moment où elles interviennent.
– D’une manière générale, on doit éviter de mélanger symbole mathématique et phrase en français 4 .
– Bien mettre en évidence les étapes intermédiaires et les conclusions, encadrer les résultats.
– Pour démontrer, il faut faire appel à son imagination, Par exemple, pour démontrer une existence, il faut avoir une idée intuitive de la solution. Pour cela, il ne faut pas hésiter à utiliser
des dessins.
Application 2 Pour a ∈ R, on considère la fonction f (x) = ax + 1. Montrer que f garde un signe
constant sur R si et seulement si : a = 0.
III
III.1
Ensemble
Définitions
Comme on l’a déjà indiqué : la notion d’ensemble est intuitive, elle correspond à une collection
d’objets. Un ensemble E est donc la collection (i.e. sans ordre) d’éléments a. Un ensemble peut
contenir des nombres, des fonctions, des ensembles etc.
Exemple:
– l’ensemble vide noté ∅ est l’ensemble qui ne contient aucun élément,
– l’ensemble N est l’ensemble des entiers naturels : 0, 1, 2, 3 etc. On note N∗ , l’ensemble des
entiers naturels différents de 0,
– l’ensemble Z est l’ensemble des entiers : 0, 1, -1, 2,-2, 3 etc.
– l’ensemble Q est l’ensemble des rationnels : pq , p ∈ Z, et q ∈ N∗ . On montrera que l’on peut
√
supposer p et q premiers entre eux. Les nombres 2, et π n’appartiennent pas à cet ensemble.
√
– l’ensemble R est l’ensemble des nombre réels : 0, 1, 2, π.... R∗ est l’ensemble des réels non
−
nuls, R+ est l’ensemble des réels positifs, R− des négatifs, on définit aussi R+
∗ et R∗ .
– C est l’ensemble des nombres complexes.
– R[X] est l’ensemble des polynômes, RN est l’ensemble des suites.
– l’ensemble C 0 est l’ensemble des fonctions continues, on définit de même l’ensemble des fonctions
C 1 , etc.
4. Je vais essayer d’appliquer cette consigne dans ce document.
12
CHAPITRE 1. LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES
n
o
– l’ensemble ∅, {a}, {a, b, c} est une collection d’ensemble, c’est donc un ensemble qui contient
des ensembles.
Certains ensembles sont finis (ont un nombre fini d’élements), certains sont infinis.
Définition 6. Pour un élément a de l’ensemble, on dispose de la notation a ∈ E pour dire « a est
élément de E ». La négation est a ∈
/ E.
Un ensemble F est un sous-ensemble de E si tout élément f de F vérifie f ∈ E, on note F ⊂ E.
Cela s’écrit :
F ⊂ E ⇐⇒ ∀f ∈ F, f ∈ E.
On appelle ensemble des parties de E, l’ensemble des sous-ensembles de l’ensemble E (qui est
aussi un ensemble), on le note P(E). Lorsque x est élément de E, on peut créer le singleton c’est
la partie de E constituée uniquement de l’élément x, on le note {x} ⊂ E.
Il ne faut pas confondre x ∈ E et {x} ⊂ E.
Exemple: si a < b, l’intervalle [a, b] est l’ensemble des réels x tels que a 6 x 6 b, l’intervalle
]a, +∞[ est l’ensemble des réels x tels que a 6 x, on définit de même ] − ∞, a], [a, b[, ]a, b[ etc. Ceux
sont des sous-ensembles de R.
Application 1
Soit un ensemble E = {a, b}, déterminer P (E) et P (P (E)).
Application 2
Soit un ensemble {a, b, c, d}, déterminer P (E).
Ensemble et proposition Lorsqu’une proposition P (x) est défini sur un ensemble E, alors on peut
définir l’ensemble {x ∈ E|P (x)}, des valeurs x pour lesquelles P (x) est vrai, c’est un sous-ensemble
de E.
Deux ensembles F et G sont égaux (noté F = G) si F ⊂ G et G ⊂ F . Pour montrer que deux
ensembles sont égaux, il y a donc une double implication à démontrer :
– partant d’un élément générique f de F , montrer que l’on f ∈ G,
– partant d’un élément générique g de G, montrer que l’on g ∈ F
On voit le lien avec la double implication, car F = G est équivalent à ∀x ∈ E, (x ∈ F ⇔ x ∈ G).
De même, pour démontrer que F ⊂ G, on part d’un élément générique f de F , et on montre que
l’on f ∈ G.
III.2
Opérations sur les parties
Soient A et B deux sous-ensembles, comme on peut définir l’ensemble A comme {x ∈ E|x ∈ A},
et pareil pour B, on utilise les opérations sur les propositions pour créer de nouveaux ensembles :
complémentaire d’un ensemble défini par :
n
o
Ā = CE (A) = x ∈ E x ∈
/A
intersection de deux ensembles définie par :
n
o
A ∩ B = x ∈ E x ∈ A et x ∈ B ,
III. ENSEMBLE
réunion de deux ensembles définie par :
13
n
o
A ∪ B = x ∈ E x ∈ A ou x ∈ B ,
Encore une fois, ce n’est que la traduction d’idées intuitives, il n’y a que les notations qui sont
nouvelles.
Note: La notation CE (A) est plus précise que Ā, en effet elle indique dans quel ensemble est pris le
complémentaire.
Par exemple, le complémentaire du segment [0, 1] considéré comme un sous-ensemble de [−1, 1] est [−1, 0[,
considéré comme un sous-ensemble de R+ le complémentaire devient ]1, +∞[.
La proposition suivante exprime ce qui se passe lorsqu’on combine ces opérateurs. Ici encore, rien
de très étonnant.
Proposition 6. Soient A, B, et C trois sous-ensembles de E. On a :
– CE (CE (A)) = A,
– CE (∅) = E, CE (E) = ∅,
– A ∩ B = B ∩ A et A ∪ B = B ∪ A
– A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C, et A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
– relations appelées loi de Morgan :
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) .
– A ∪ B = Ā ∩ B̄, et A ∩ B = Ā ∪ B̄.
Démonstration. Ces énoncés ne sont que la traduction de la proposition (2) en terme d’ensemble et
non de proposition. Par exemple, pour les lois de Morgan :
∀x ∈ A ∩ (B ∪ C) ⇐⇒ x ∈ A et (x ∈ B ou x ∈ C)
⇐⇒ x ∈ A et x ∈ B ou x ∈ A et x ∈ C
⇐⇒ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
De même :
x ∈ A ∪ B ⇐⇒ non(x ∈ A ∪ B) ⇐⇒ non(x ∈ A ou x ∈ B)
⇐⇒ x ∈ A et x ∈ B ⇐⇒ x ∈ A ∩ B
D’une manière générale, il est inutile de retenir ces formules, il vaut mieux les retrouver rapidement
sur un dessin.
Note: Si A1 , . . . An sont n sous-ensembles de E, on définit la réunion des ensembles (Ai )i=1...n :
n
\
i=1
Ai = {x ∈ E| ∀i = 1 . . . n, x ∈ Ai } .
Et l’intersection des ensembles (Ai )i=1...n :
n
[
i=1
Ai = {x ∈ E| ∃i = 1 . . . n, x ∈ Ai } .
14
Application 3
CHAPITRE 1. LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES
Soient A B et C trois sous-ensembles de E, simplifier :
CE ((A ∪ B) ∩ C)
Application 4
III.3
Montrer que A ⊂ B ⇔ B̄ ⊂ Ā. Quel est le lien avec la contraposé ?
Couples et produit cartésien
Définition 7. Soit E et F deux ensembles, on appelle produit cartésien de E par F , l’ensemble
des couples (e, f ), avec e ∈ E, et f ∈ F . On note cet ensemble E × F , et on lit « E croix F »
Les éléments de E × F sont représentés par un couple (e, f ), par exemple cela correspond aux
deux coordonnées d’un point du plan ou au deux coordonnée d’un vecteur.
Dans un couple, il y a donc un ordre, (e, f ) 6= (f, e). L’ensemble E × F est différent 5 de l’ensemble
F × E.
On note E × E = E 2 , on généralise aux cas de E k , pour k ∈ N.
Note: Par exemple lorsqu’on écrit « Soit (x, y) ∈ R2 », cela signifie : « Soit x et y deux réels ».
IV
IV.1
Fonctions
Définition
Définition 8. Soient E et F deux ensembles, on appelle fonction 6 de E dans F , un procédé qui
associe à chaque élément x de E un unique élément f (x) de F .
Les caractéristiques d’une fonction sont donc d’être définie sur un ensemble de départ, ou
ensemble de définition E, c’est-à-dire que tout élément de x a une image f (x), et que cette image
est définie sans ambiguïté à partir de x. On appelle F l’ensemble d’arrivée. Si f (x) = y, on dit
que x est un antécédent de y (il peut en avoir plusieurs), tandis que y est l’image de x (il n’y en a
qu’une).
Deux fonctions sont égales si elles ont les mêmes ensembles de départ, même ensemble d’arrivée,
et que ∀x ∈ E, f (x) = g(x).
On note :
(
E → F
f:
x 7−→ f (x)
À savoir sur les fonctions :
– La variable x est muette : la fonction x 7−→ f (x) est rigoureusement la même que la fonction
y 7−→ f (y), on ne change de lettres dans les variables que pour pour rédiger plus clairement.
– L’identité est la fonction qui a tout élement de E associe lui-même, on la note IdE ,
– si y ∈ F , on peut définir la fonction constante x 7−→ y de E dans F , c’est à dire la fonction
qui associe y à tous les éléments de E. Ce qui montre qu’il peut y avoir des élément y de F qui
ont plusieurs antécédents.
5. Si F 6= E.
6. Certains font la différence entre applications (définies sur l’ensemble de départ entier) et fonction (définie sur un
sous-ensemble de l’ensemble de départ appelé ensemble de définition). Nous ne ferons pas cette distinction : pour nous
l’ensemble de départ sera toujours l’ensemble de définition.
IV. FONCTIONS
– si on regarde les fonctions :
f:
(
15
N → N
, g:
n 7−→ n2
(
Z → Z
, h:
p 7−→ p2
(
Z → N
, i:
p 7−→ p2
(
R → R
.
x 7−→ x2
Rigoureusement, ces fonctions ne sont pas les mêmes (par exemple la première est injective, pas
la deuxième).
– On appelle restriction d’une fonction, la fonction obtenue en utilisant un ensemble de départ
plus petit, et prolongement d’une fonction, la fonction obtenue en utilisant un ensemble de
départ plus grand :
Par exemple : si

R ∗ → R
f:
x
7→ sin(x)
x ,
alors le prolongement par continuité de f en 0 (que l’on définira au chapitre ??) est la fonction
g:



R



x



→R

7→
f (x)
1
si x 6= 0
sinon.
– Soit α ∈ R, on peut définir la fonction « évaluation en α », qui à un polynôme associe sa valeur
en α
(
R[X] −→ R
f:
,
P 7−→ P (α)
– Les ensembles E et F ne sont pas toujours des parties de R, mais peuvent être des produits
euclidiens d’ensemble. On peut ainsi définir une fonction :
f:
(
R2 −→ R3
,
(u, v) 7−→ (u + v, u − v, max(u, v))
Remarque: La partie important de la définition d’une fonction est qu’un élément de l’ensemble
de départ une seule image définie sans ambiguïté. On ne peut donc pas définir des fonctions n’importe
comment. Si on note E l’ensemble des polynômes de degré exactement 3, on peut définir :
f:
(
E −→ R
,
P 7−→ min{x ∈ R|P (x) = 0}
Cette fonction existe car un polynôme de degré exactement 3 a toujours 1, 2, ou 3 racines, on peut
donc choisir la plus petite. Par contre, on ne peut pas définir f sur l’ensemble des polynômes de degré
exactement 2, car certains n’ont pas de racines dans R, ni même sur l’ensemble des polynôme de degré
inférieur ou égal à 3 qui ont des racines, à cause du polynôme nul qui a une infinité de racines. On ne
peut pas non plus définir :
g:
(
E −→ R
P 7−→ l’un des x ∈ R tel que P (x) = 0.
Car alors la fonction est mal définie (l’image d’un polynôme n’est pas définie sans ambiguïté).
16
CHAPITRE 1. LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES
Ainsi, lorsqu’une question est : « montrer que l’on définit une fonction f par la relation ... » il
faut montrer que l’image d’un élément x par f est bien définie.
Remarque: La notion de fonction est très importante en informatique, une fonction est une
suite d’instruction permettant de construire des variables en sortie à partir de variable d’entrée. On
les considère souvent comme des boîte noire, puisqu’elle peuvent être utilisé par d’autres fonctions,
de la même manière que l’on compose les fonctions. Les principales différences sont :
– La plupart des fonctions informatiques ont plusieurs entrée (et plusieurs sorties).
– Comme l’ensemble de définition n’est pas indiqué dans la programmation de la fonction, si on
utilise une fonction informatique en dehors de son domaine de définition on n’est pas sûr du
résultat. Donc lorsqu’on écrit un programme informatique, il faut indiquer en entête le domaine
de définition.
IV.2
Image directe et réciproque
Définition 9. Soit f une fonction de E dans F , A un sous-ensemble de E, et B un sous-ensemble
de F .
– On appelle image directe de A par f , notée f (A), le sous ensemble de F :
n
o
f (A) = y ∈ F ∃x ∈ A, f (x) = y ⊂ F
n
o
= f (x) = y x ∈ A ⊂ F
– On appelle image réciproque de B par f , notée f −1 (B), le sous ensemble de E :
n
o
f −1 (B) = x ∈ E f (x) ∈ B ⊂ E
Note: La notation f (A) correspond à identifier f avec une fonction de P(E) dans P(F ). De même, la
notation f −1 (B), ne signifie pas que f est inversible.
Remarque: Autrement dit :
– pour un élément x ∈ E, et une partie B de F ,
x ∈ f −1 (B) ⇐⇒ f (x) ∈ B,
– pour une partie A de E et un élément x ∈ E,
x ∈ A ⇒ f (x) ∈ f (A).
La réciproque étant fausse.
On appelle aussi ensemble image de f , l’image directe de l’ensemble E entier, c’est-à-dire f (E).
Application 1
f −1 (] − 1, 0[).
IV.3
Soit f : R → R, avec f (x) = x2 , déterminer : f ([0, 2]), f ([−1, 0]), f −1 (]0, 2]), et
Injection, surjection
Une fonction transforme un élément x de l’ensemble de départ E, en un élément f (x) de l’espace
d’arrivée F (son image). Il est naturel de se demander si tous les éléments de F ont un antécédent,
et si deux éléments peuvent avoir la même image.
IV. FONCTIONS
Définition 10. Soit f : E → F , on dit que la fonction
– f est injective si on a :
17
∀(x, x′ ) ∈ E 2 , f (x) = f (x′ ) =⇒ x = x′ ,
autrement dit si les éléments de F ont au plus un antécédent.
– f est surjective si on a :
∀y ∈ F, ∃x ∈ E : f (x) = y,
autrement dit si tout élément de F admet au moins un antécédent.
Notons qu’être injective peut s’écrire par contraposée :
∀(x, x′ ) ∈ E 2 , x 6= x′ ⇒ f (x) 6= f (x′ ),
et qu’être surjective signifie que f (E) = F .
Remarque: Pour démontrer qu’une fonction f est surjective, on part donc d’un élément y
appartenant à l’ensemble d’arrivée et on construit un antécédent x. Tandis que pour démontrer
qu’une fonction f est injective
– on part de deux éléments x et x′ appartenant à l’ensemble de départ, qui ont la même image et
on démontre qu’ils sont égaux,
– ou (et c’est équivalent) on part de deux éléments x et x′ appartenant à l’ensemble de départ,
dont on sait qu’ils sont différents et on démontre que leurs images sont différentes.
Application 2 Si f (x) = |x|, discuter selon l’ensemble de départ et d’arrivée si f est injective/surjective, même question avec : f (x) = 3e2x .
Application 3 On dit que f est strictement croissante sur R, si ∀x, y ∈ R, x < y ⇒ f (x) < f (y).
Montrer que si f : R → R est strictement croissante sur R alors f est injective.
IV.4
Composition
Une autre opération sur les fonctions est de les composer : on les applique les unes à la suite des
autres.
Définition 11. Soit f : E → F , et g : F → G, on définit la fonction composée g ◦ f par :
g◦f :
(
E → G
.
x 7→ g ◦ f (x) = g(f (x))
On applique donc f à x puis g au résultat.
Bien entendu, f ◦ g 6= g ◦ f dans le cas général.
Par contre, on voit que si f , g et h sont trois fonctions, telles que (f ◦ g) ◦ h est bien défini. alors
(f ◦ g) ◦ h est défini et égal à f ◦ (g ◦ h).
En effet, si x est un élément de l’ensemble de définition de h, on a :
((f ◦ g) ◦ h)(x) = (f ◦ g)(h(x)) = f [g(h(x))] = f (g ◦ h(x)),
et ces deux fonctions ont même ensemble de définition.
Enfin, si on compose par l’identité, on ne change pas la fonction :
18
CHAPITRE 1. LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES
Proposition 7. Soit f : E → F , on a alors :
f ◦ IdE = f
IV.5
IdF ◦ f = f
et
Bijection, fonction réciproque
Si E est un ensemble, la fonction identité sur cette ensemble est notée IdE .
Définition 12. Soit f : E → F , on dit que f est bijective si il existe une fonction g telle que :
f ◦ g = IdF ,
g ◦ f = IdE .
et
Dans ce cas, cette fonction est unique, on l’appelle fonction réciproque de f , et on la note f −1 .
−1
De plus, on a f −1
= f.
Démonstration. Si deux fonctions g et g′ vérifient les relation alors
g(x) = g ◦ f ◦ g′ (x) = g ◦ f ◦g′ (x) = g′ (x).
| {z }
| {z }
Id
Id
Donc les deux fonctions sont les mêmes, et donc la réciproque est unique.
Pour la deuxième partie, on a :
f ◦ f −1 = Id, et f −1 ◦ f = IdE ,
donc f est l’inverse de f −1 .
Bien entendu il ne faut pas confondre f −1 et
1
f.
Proposition 8. Soit f : E → F , f est bijective, si et seulement si f est injective et f est surjective.
Autrement dit, f est bijective, si tout élément de f a un antécédent et un seul, ce qui s’écrit :
∀y ∈ F, ∃!x ∈ E : f (x) = y
Démonstration. Supposons f inversible, montrons que f est injective. Soit x et x′ des éléments de E,
tels que f (x) = f (x′ ), on a alors :
f −1 (f (x)) = f −1 (f (x′ )) = x = x′ .
Montrons ensuite que f est surjective : soit y ∈ F , on pose x = f −1 (y), alors f (x) = y.
Réciproquement, supposons f injective et surjective. Soit y ∈ F , y a alors un unique antécédent,
on l’appelle g(y), c’est donc l’unique élément x de E tel que f (x) = y. On peut dire que g est la
fonction F → E, qui a y associe l’unique solution de l’équation f (x) = y.
La fonction g est alors définie, puisque x existe et est unique.
Montrons que g est l’inverse de f .
Déjà, par construction f ◦ g(y) = y. On a donc bien f ◦ g = Id.
Soit maintenant ξ ∈ E, et considérons z = g(f (ξ)), par définition c’est l’unique solution de
f (x) = f (ξ). Or x est solution de cette équation, qui admet une solution unique, donc x = ξ, ce qui
s’écrit : g(f (x)) = x.
IV. FONCTIONS
19
On voit donc que pour montrer qu’une fonction est bijective, on a deux possibilités :
– construire une fonction inverse et montrer qu’on a les deux relations de la définition,
– ou montrer qu’elle est injective et surjective (ce qui évite de donner une représentation explicite
de f −1 ).
Remarque: Si on part d’une fonction injective f : E → F , on peut définir une nouvelle fonction,
fˆ : E → f (E), cette fonction est alors bijective, car injective et surjective. Il arrive ainsi que l’on
change l’ensemble de départ ou d’arrivée d’une fonction pour « la rendre bijective », dans ce cas, on
précisera bien de quelle fonction on parle en donnant les ensembles de départ et d’arrivée.
Enfin, on peut voir ce qui se passe lorsqu’on compose des applications bijectives et qu’on les
inverse :
Proposition 9. Soit f et g deux bijections de E dans E, alors f ◦ g est une bijection et (f ◦ g)−1 =
g−1 ◦ f −1 .
Démonstration. Si x ∈ E, on a : f ◦ g(g−1 ◦ f −1 (x)) = f ◦ g ◦ g−1 (f −1 (x)) = f (f −1 (x)) = x
Application 4 Soit f une fonction bijective de E dans F , et B ⊂ F . Montrer que l’image directe
de B par f −1 est l’image réciproque de B : la notation est donc correcte puisque toutes les deux sont
notés f −1 (B).
20
CHAPITRE 1. LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES
Fiche méthodologique Algèbre générale, notation somme et produit
BCPST Lycée Hoche
Pelletier Sylvain
BY:
$
\
CC
=
Algèbre générale
En algèbre, on considère des ensembles munis d’opérations, c’est-à-dire de moyens de combiner
entre eux des éléments, et de les comparer.
Par exemple :
– l’ensemble N :
N=
(
0, 1, 2, . . .
)
on peut ajouter des éléments et les multiplier, mais on ne peut pas prendre l’opposé (i.e. si
a ∈ N, l’équation a + x = 0 n’a de solution que si a = 0.)
– l’ensemble Z :
Z=
(
0, 1, −1, 2, −2 . . .
)
on peut ajouter des éléments et prendre leur opposé, mais pas leur inverse (i.e. si a ∈ Z,
l’équation ax = 1 n’a de solution que si a = ±1.)
– l’ensemble Q :
( )
p ∗
Q=
(p, q) ∈ Z × N .
q
ainsi que dans R, on peut ajouter ou multiplier deux éléments, mais aussi les diviser et les
soustraire.
– l’ensemble des vecteurs (x, y) de R2 : on peut ajouter (composante par composante) :
∀(x, y) ∈ R2 , ∀(x′ , y ′ ) ∈ R2 , (x, y) + (x′ + y ′ ) = (x + x′ , y + y ′ )
et multiplier (chaque composante) par un scalaire :
∀(x, y) ∈ R2 , ∀λ ∈ R, λ · (x, y) = (λx, λy).
On dispose aussi du produit scalaire. Par contre, on ne peut pas multiplier deux vecteurs.
– L’ensemble des polynômes R[X] : on peut ajouter et multiplier, mais aussi utiliser la composition, mais on ne peut pas diviser.
– Par contre, on ne peut pas composer toutes les fonctions numériques (à cause de leur ensemble
de définition).
– Enfin, on peut comparer des réels (avec 6), on peut comparer le degré de deux polynômes, mais
on ne peut pas comparer des nombres complexes.
IV. FONCTIONS
Propriétés algébriques de R
briques de R :
– Addition
21
Pour introduire du vocabulaire, on rappelle les propriétés algé-
Commutativité : ∀x1 , x2 ∈ R, x1 + x2 = x2 + x1 ,
Associativité : ∀x1 , x2 , x3 ∈ R, x1 + (x2 + x3 ) = (x1 + x2 ) + x3 ,
Élément neutre 0 : ∀x, x + 0 = x,
Opposé : ∀x ∈ R, ∃x′ ∈ R, x + x′ = 0 cet x′ est unique et est noté −x.
– Multiplication
Commutativité : ∀x1 , x2 ∈ R, x1 x2 = x2 x1 ,
Associativité : ∀x1 , x2 , x3 ∈ R, x1 (x2 x3 ) = (x1 x2 )x3 ,
Élément neutre 1 : ∀x ∈ R, 1x = x,
Inverse : ∀x ∈ R∗ , ∃x′ ∈ R, xx′ = 1 cet x′ est unique et est noté
1
x
Distributivité : ∀x1 , x2 , x3 ∈ R, x1 (x2 + x3 ) = x1 x2 + x1 x3 .
Comparaison On peut aussi comparer deux réels avec 6, en utilisant les règles :
– ∀(a, b, c, d) ∈ R, tels que a 6 b et c 6 d, on a a + c 6 b + d
On peut ajouter les inégalités mais pas les soustraire !
– ∀(a, b, c) ∈ R, tels que a 6 b et 0 6 c, on a ac 6 bc
On ne peut multiplier une inégalité que par une valeur positive !
– ∀(a, b, c) ∈ R, tels que 0 6 a 6 b, on a 0 6 1b 6 a1 .
– Cela permet de montrer que : ∀(a, b, c, d) ∈ R, tel que 0 6 a 6 b et 0 6 c 6 d, on a ac 6 bd.
Démonstration. On a 0 6 c, donc ac 6 bc, puis de même 0 6 b, donc cb 6 bd, d’où ac 6 bc 6
bd.
Notation somme et produit
La notation somme correspond à additionner une liste de nombres : si (ak )k=1...n est une liste de
n éléments (réels, entiers, complexes, etc.), on note :
n
X
ak = a1 + a2 + . . . an .
k=1
Le terme ak est appelé terme général de la somme.
P
Remarque: Une somme du type nk=p ak avec p > n ne contient pas de terme. Par convention
cette somme est alors nulle.
Cette notation s’étend naturellement à tout ensemble fini E. Par exemple :
X
k∈[[1,n]], k
pair
1
k+1
somme sur les entiers pairs de [[1, n]] .
22
CHAPITRE 1. LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES
Manipulation
– Cette somme ne dépend pas de k (mais dépend de n). Ainsi,
n
X
ak =
n
X
al .
l=1
k=1
La variable est donc muette.
– Lorsqu’on manipule les sommes, il est important de garder en tête quel est le premier terme,
le dernier terme et le nombre de termes.
La somme
n1
X
k=n0
ak contient n1 − n0 + 1 termes. En particulier :
– une somme de 0 à n contient n + 1 termes,
– tandis qu’une somme de 1 à n contient n termes.
En cas de doute, il faut revenir à la définition avec . . . , et/ou utiliser des valeurs de n petites.
– Il peut y voir des constantes dans le terme général, par exemple dans la formule :
an − bn = (a − b)
n−1
X
an−1−k bk ,
k=0
on voit que la somme de la puissance de a et celle de b fait n − 1. Ce qui aide à vérifier les
calculs lorsqu’on manipule les sommes.
Par exemple, si on veut faire le changement de variable j = n − 1 − k, soit k = n − 1 − j, on
obtient :
an − bn = (a − b)
n−1
X
aj bn−1−j .
j=0
On constate qu’on a le même invariant.
– L’ordre dans lequel on fait la somme n’intervient pas. On peut par exemple sommer en partant
de la fin :
n
X
k=1
ak = an + an−1 + · · · + a2 + a1 =
n−1
X
an−k
k=0
Il peut donc être intéressant d’organiser les termes d’une certaine manière.
– On peut aussi sommer tous les termes pairs puis tous les termes impairs. Par exemple :
2n
X
k=1
ak = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 · · · + a2n−1 + a2n
= a1 + a3 + a5 + · · · + a2n−1 + a2 + a4 + · · · + a2n
=
n−1
X
a2k+1 +
k=0
=
n
X
a2k
k=1
X
k∈[[0,2n]], k
ak +
pair
X
k∈[[0,2n]], k
ak
impair
– Lorsqu’une formule faisant intervenir des sommes est vraie pour toute valeur d’une variable n,
on n’oubliera pas que l’on peut l’utiliser en remplaçant n par n − 1, n + 1 etc.
Par exemple de
n
X
n(n + 1)
,
k=
2
k=0
IV. FONCTIONS
on peut déduire en remplaçant n par n − 1 :
n−1
X
23
n(n − 1)
.
2
k=
k=0
– Si le premier terme est nul, on peut l’enlever de la somme :
n
X
k=0
– On a :
n
X
k=
n
X
n(n + 1)
k.
=
2
k=1
(ak + bk ) =
k=1
mais
n
X
k=1
n
X
ak +
k=1
ak bk 6= (
n
X
Par contre, on peut factoriser dans une somme :
n
X
bk ).
k=1
n
X
λak = λ
k=1
factoriser par λ que parce que λ ne dépend pas de k.
– Si ∀k ∈ [[1, n]] ak = a i.e. ak ne dépend pas de k, on a :
n fois la valeur a.
n
X
ak . Attention : on ne peut
k=1
n
X
a = na, puisque cela revient à ajouter
k=1
En particulier, il faut faire attention aux noms des indices :
n
X
aj = naj , puisque la somme se
k=1
fait sur j et non sur k.
Changement de variable
bk ,
k=1
ak )(
k=1
n
X
Pour faire un changement de variable dans une somme
n1
X
ak , il faut :
k=n0
– exprimer k′ en fonction de k et n (en écrivant on pose : k′ = . . . ), puis exprimer k en fonction
de k′ et n (idem).
– trouver les bornes n′0 et n′1 , telles que, à un k ∈ [[n0 , n1 ]] correspond un et un seul k′ ∈ [[n′0 , n′1 ]]
et réciproquement,
– faire le changement de variable dans ak .
Les deux principaux changements de variables qu’il faut savoir faire sont :
Inverser l’ordre
n
X
ak =
k=0
Décalage
n
X
k=1
ak =
n−1
X
p=0
n
X
an−p .
p=0
ap+1 =
n+1
X
al−1 .
l=2
On peut aussi décaler de plus de 2 termes, etc.
Somme télescopique
Voici une technique de calcul de somme à connaître.
n
X
1
1
1
1
Si on veut calculer : Sn =
. On peut utiliser : 2
=
− .
2
k −k
k −k
k−1 k
k=2
24
CHAPITRE 1. LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES
Ce qui fait que :
Sn =
=
n
X
k=2
n
X
k2
1
−k
n
X
1
1
−
k
−
1
k
k=2
k=2
1 1 1
1
+ + + ...
1 2 3
n−1
1
= 1− .
n
=
−
1
1
1 1
+ + ...
+
2 3
n−1 n
P
Si on veut obtenir le même résultat avec la notation , on pose dans la première somme k′ = k − 1,
soit k = k′ + 1, le nouvel intervalle devient alors [[1, n − 1]], et on a alors (en utilisant le fait que la
variable est muette, et que l’on peut par conséquence revenir à une somme sur k) :
n
X
1
1
−
=
′
k
k
k=2
k ′ =1
n−1
X
Sn
n−1
X
n
1 X
1
=
−
k k=2 k
k=1
=
1 1
−
1 n
les termes pour k allant de 2 à n s’annulant.
La démonstration avec . . . est à connaître, mais il vaut mieux rédiger avec le changement de variables.
La somme est dite télescopique, car un terme sur deux s’annule.
Application 5
Soit (uk ) une liste d’éléments de C, calculez :
n
X
(−1)k (uk + uk+1 ).
k=0
Somme avec double indices Si on a un tableau à n lignes et m colonnes de réels, soit n × m
éléments on peut on peut considérer la somme de tous ces termes :
X
up,q ,
16p6n
16q6m
qui est la somme des éléments du tableau

u1,1

 u2,1

 ..
 .

u
 p,1
 .
 .
 .
u1,2
u2,2
..
.
up,2
..
.
un,1 un,2
...
...
...
up,q

u1,m

u2,m 

.. 
. 

up,m 

.. 

. 
...
un,q un,m
IV. FONCTIONS
25
Cette somme peut être obtenue en sommant d’abord sur les lignes, puis sur les colonnes, ou
l’inverse. Ce qui s’écrit :
X
X
up,q =
16p6n
16p6n
16q6m

X

16q6m

up,q  =
X
16q6m


X
16p6n

up,q 
Le but est évidement de pouvoir « séparer » up,q par exemple en une partie qui dépend de p et une
partie qui ne dépend pas de p, que l’on pourra sortir de la somme.
Exemple: On veut calculer
X
(p + pq).
16p65
16q610
On a alors :
X
X
(p + pq) =
X
X
=
X
p
(1 + q)
X
X
p
16p65
26q611
X
65p = 65
=
p(1 + q)
16q610
16p65
=
X
16p65 16q610
16p65 16q610
16p65
16q610
X
(p + pq) =
q=
X
16p65
X
p
11 × 12
2
p = 65
16p65
16p65
−1
5×6
= 65 × 15 = 975
2
Une autre manière de faire le calcul est :
X
(p + pq) =
X
X
X
(1 + q)
(p + pq) =
=
16q610
X
p(1 + q)
16q610 16p65
16q610 16p65
16p65
16q610
X
X
p = ...
16p65
Application 6 Finir le calcul.
On peut aussi considérer une liste de réels up,q définie pour 1 6 p 6 q 6 n i.e. un « triangle » de
nombres. Et la somme sur cette liste :
X
up,q .
16p6q6n
Il faut imaginer que l’on fait une somme sur un « demi-tableau du type :


u1,1 u1,2 . . . u1,n

u2,2 . . . u2,n 

 0

.. 
..
..


.
.
 0
. 
0
. . . 0 un,n
De même, on peut sommer sur les lignes puis sur les colonnes ou l’inverse :
26
CHAPITRE 1. LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES
X
up,q =
X
16p6n
16p6q6n


X
p6q6n

up,q  =
X
16q6n


X
16p6q

up,q 
Plutôt que de retenir par cœur ces formules, il est plus simple de dessiner un tableau contenant
une croix lorsqu’un terme existe. On retrouve alors facilement les bornes. Il est important de noter
aussi que p 6 q ce qui se retrouve sur toutes les formules.
Une autre technique revient à se ramener à une somme double sur sur n × n éléments complétée
par des zéros.
En effet en cas de doute, on peut écrire :
X
up,q =
16p6q6n
X
up,q 11p6q
16p6n
16q6n
Où 11p6q est une fonction de p et q qui vaut 1 si p 6 q, 0 sinon. Cette technique permet de se ramener
à des sommes doubles.
Exemple:
X
pq =
X
pq11p6q =
=
X
q
16q610
X
pq11p6q =
16q610 16p610
16p610
16q610
16p6q610
X
X
16p6q
p=
X
16q610
q
X
X
qp
16q610 16p6q
q(q + 1)
1 X
(q 3 + q 2 )
=
2
2 16q610
Exemple: Voici un exemple à connaître faisant appel à la notion d’espérance :
E(X) = P (X = 1) + 2P (X = 2) + 3P (X = 3) + . . . nP (X = n)
= P (X = 1)
+ P (X = 2) + P (X = 2)
+ P (X = 3) + P (X = 3) + P (X = 3)
.
+ ..
+ P (X = n) + P (X = n) + · · · + · · · + P (X = n)
= P (X > 0) + P (X > 1) + P (X > 2) + · · · + P (X > n − 1)
=
n−1
X
k=0
P (X > k).
IV. FONCTIONS
Ou de manière rigoureuse :
27
n
X
E(X) =
kP (X = k) =
k=1
n X
n
X
=
k=1 j=1
n X
n
X
=
=
n X
k
X
1P (X = k)
k=1 j=1
11j6k P (X = k) =
n X
n
X
11j6k P (X = k)
j=1 k=1
P (X = k) =
n
X
P (X > j)
j=1 j=k
j=1
n−1
X
n−1
X
P (X > j + 1) =
j=0
P (X > j)
j=0
Autres notations similaires La notation produit est la même :
n
Y
ak = a1 a2 . . . an .
k=1
Cela permet entre autre de définir la factorielle.
Si A1 , . . . An sont n sous-ensembles de E, on définit la réunion des ensembles (Ai )i=1...n :
n
\
i=1
Ai = {x ∈ E| ∀i = 1 . . . n, x ∈ Ai } .
Et l’intersection des ensembles (Ai )i=1...n :
n
[
i=1
Ai = {x ∈ E| ∃i = 1 . . . n, x ∈ Ai } .
Application 7
– Comparer
– Comparer
– Simplifier
n
Y
(ak + bk ) et
k=1
n
Y
ak bk et (
k=1
n
Y
n
Y
n
Y
ak +
k=1
ak )(
k=1
n
Y
n
Y
bk ,
k=1
bk ),
k=1
λak ,
k=1
Application 8
Calculer
n
Y
k
.
k
+
1
k=1
Remarque: De même que pour les somme, on a :
n
Y
ak qui vaut 1 si p > n.
k=p
Calcul d’une somme en Scilab
Pour calculer Sn =
de récurrence : Sn = Sn−1 + an avec S0 = 1. Ainsi :
n
X
k=0
ak avec un ordinateur, on utilise la formule
28
CHAPITRE 1. LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES
– on initialise une variable S à 0, S contient la valeur de Sn .
– on utilise une boucle for sur la variable k, et
– on utilise l’opération S = S + ... pour ajouter un terme.
Par exemple pour calculer
20
X
k2 on fait :
k=1
S=0;
for k=1:20
S=S+k^2;
end
Exemples Calculer les sommes pour n ∈ N∗ :
n X
n
X
i=1 j=1
ij,
n j−1
X
X
i=1 j=1
ij,
n X
n
X
(i + j),
i=1 j=1
n X
n
X
i=1 j=i
(i + j),
n−1
X
n
X
i=1 j=i+1
2i+j ,
n X
n
X
i=0 j=i
i.
IV. FONCTIONS
29
Feuille d’exercices Logique, équations, fonctions
BCPST Lycée Hoche
Pelletier Sylvain
\
=
$
CC
BY:
Exercice 1
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Donnez leur négation :
1. ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, x + y > 0,
2. ∀y ∈ R, ∃x ∈ R, x + y > 0,
3. ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, y 2 > x,
Correction :
1. FAUX. Négation : ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x + y < 0. Soit x ∈ R on pose y = −x − 1 et on a bien
x + y = −1 < 0.
2. VRAI. Soit y ∈ R, on pose x = 1 − y on a alors x + y > 0. Négation : ∃y ∈ R, ∀x ∈ Rx + y 6 0
3. VRAI. On pose x = −1 on a alors : soit y ∈ R, y 2 > −1. Négation : ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, y 2 6 x.
Exercice 2
Démontrer :
1. ∀n ∈ N, n2 est pair ⇒ n est pair,
2. Si x et y sont deux réels tels que x + y > 1, alors l’un des deux au moins est supérieur ou égal
à 1/2.
3. Il n’existe pas de réel (a, b, c), tel que ∀x ∈ R, ex = ax2 + bx + c. On utilisera : ∀k ∈
x
N, limx→∞ xe k = +∞.
4. Pour tout nombre complexe z, on a l’équivalence : (z est réel positif ou nul) ⇔ |z| = ℜ(z).
Correction :
1. Soit n ∈ N, on démontre la contraposé : on suppose donc n impair. n s’écrit alors n = (2k + 1)
et n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 est impair.
2. Soit x et y réel, tel que x <
1
2
et y < 12 . On a alors x + y < 1. (savoir comprendre l’énoncé)
3. Technique classique : pour démontrer que quelque chose n’existe pas (ou qu’un ensemble est
x
vide) on raisonne par l’absurde. On suppose donc que a, b et c existent. On a alors : ∀x ∈ R, xe 2 =
a + xb + xc2 . En prenant la limite au voisinage de +∞, on a a = +∞ ce qui est impossible.
4. Double implication : supposons z réel et positif, il est alors clair que |z| = ℜ(z). Réciproquement
si |z| = ℜ(z), on écrit z sous la forme z = a+ib. On démontre que b = 0. On a : |z|2 = a2 +b2 = a2
donc b = 0.
Exercice 3 Un nombre n n’est pas premier si il existe un k avec 1 < k < n tel que k divise n. À
priori, on doit donc tester n − 1 valeurs. Montrer que si n n’est pas premier, on peut trouver un entier
√
k qui divise n avec 1 < k 6 n.
Correction : Soit n nombre non premier, on peut alors trouver k ∈ [[2, n − 1]] tel que k divise n,
cela s’écrit : n = kq. Deux cas sont possibles :
√
– si k 6 n, la proposition est alors démontrée,
√
√
√
– si k > n, montrons que dans ce cas q 6 n. Par l’absurde, supposons q > n, on obtient
√
alors pq = n > n, contradiction. Ainsi, q 6 n. Or q divise n
30
CHAPITRE 1. LOGIQUE ET THÉORIE
DES ENSEMBLES
√
Dans les deux cas on peut trouver un entier k qui divise n avec 1 < k 6 n.
Exercice 4 Soit f une fonction de R dans R, on dit que
– f est paire si :
∀x ∈ R, f (−x) = f (x),
– f est impaire si :
∀x ∈ R, f (−x) = −f (x).
On note P et I l’ensemble des fonctions paires et impaires.
1. Déterminer P ∩ I,
2. montrer que :
∀f ∈ F(R, R), ∃!(p, i) ∈ P × I, f = p + i
(Indication : utiliser une méthode d’analyse/synthèse).
Correction :
1. On démontre facilement que la fonction nulle est paire et impaire, et que c’est la seule,
2. on vérifie que p(x) =
Exercice 5
f (x)+f (−x)
2
et i(x) =
p(x)−p(−x)
.
2
On considère l’équation suivante :
3mx2 − (m2 + 9)x + 3m = 0
où m désigne un paramètre réel. Donner les solutions sur R de cette équation selon les valeurs de m.
Correction : Si m 6= 0 c’est une équation du second degré, on a :
∆m = (m2 + 9)2 − 36m2 = (m2 + 6m + 9)(m2 − 6m + 9) = (m + 3)2 (m − 3)2 = (m2 − 9)2
On voit donc que ∀m ∈ R∗ , ∆m > 0, avec de plus ∆m est nul si m = 3 ou m = −3.
De plus les solutions sont :
x1 =
(m2 + 9) + m2 − 9
m
=
6m
3
x2 =
(m2 + 9) − m2 + 9
3
= .
6m
m
Dans le cas m = 3 ou m = −3 ces deux solutions sont confondues.
Dernier cas si m = 0, l’équation s’écrit : 9x = 0 soit x = 0.
Conclusion :
nm 3 o
,
S0 = {0}
∀m ∈ R∗ , Sm =
3 m
Exercice 6
Résoudre les équations
(1) : x2 + 2mx + 1 = 0
(2) : ex + me−x − m − 1 = 0,
en fonction du paramètre m.
Correction : (1) est une équation du second degré dont le discriminant est ∆m = 4m2 − 4 =
4(m − 1)(m + 1). Ainsi, si m ∈] − 1, 1[ l’équation n’a pas de solution, sinon les solutions sont :
p
q
−2m + 2 (m − 1)(m + 1)
= −m + (m − 1)(m + 1)
x1 =
2
q
x2 = −m −
(m − 1)(m + 1).
IV. FONCTIONS
31
Si m = 1 ou −1 les deux solutions sont confondues.
(2) Soit x solution, alors x est solution de e2x − (m + 1)ex + m = 0. On pose alors : X = ex , et on
voit que X est solution d’une équation de degré 2 : X 2 − (m + 1)X + m = 0. Cette équation a pour
discriminant :
∆ = (m + 1)2 − 4m = m2 − 2m + 1 = (m − 1)2 .
Ainsi, on a les solutions (dans le cas où m = 1 les deux solutions sont confondues).
X1 =
(m + 1) + m − 1
=m
2
X2 =
(m + 1) − m + 1
= 1.
2
Il y a donc deux valeurs possibles pour X.
De plus, si m 6 0, l’équation ex = m n’a pas de solution.
Ainsi,
– Si m > 0, il y deux valeurs candidates à être solution : x1 = ln m et x2 = 0.
– Si m 6 0, il n’y a qu’une valeur candidate : x2 = 0.
Réciproquement, on voit que 0 et ln m est bien solution (si m > 0). Ainsi :
n
si m > 0, Sm = 0, ln m
o
n o
si m 6 0, Sm = 0 .
Dans le cas m = 1 les deux solutions sont
!
! confondues.
n
n
Y
Y
1
1
1−
Exercice 7 Calculer A =
et B =
1 − 2 et
k
k
k=2
k=2
4k − 2
a
b
c
= +
+
. En déduire :
Exercice 8 Chercher a, b, et c tel que :
k(k2 − 1)
k k+1 k−1
n
X
4k − 2
2 − 1)
k(k
k=2
Exercice 9
Exprimer sans le signe
n
Y
2k
2k + 1
k=1
n X
i
X
P
Q
ni le signe
n−1
X
n
X
(i + j)
i=1 j=i+1
f:
j:
(
(
inf(i, j)
i=1 j=1
n X
i
X
(i − 1)(n − j + 1)
i=2 j=1
Exercice 10
n X
n
X
(n − i + 1)j
i=1 j=1
Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives ou bijectives ?
Z → Z
x 7→ 2x
R → R+
x 7→ x2
g:
(
h:
(
R → R
x 7→ 2x
R+ → R+
x 7→ x2
(sup(x, y) est la plus grande valeur de x et de y).
h:
(
g:
Z → R
x 7→ 2x
(
i:
(
R → R
x 7→ x2
R → R
x 7→ sup(x/10 + 4, x − 30)
32
Exercice 11
Soient
f:
(
CHAPITRE 1. LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES
N → N
,
n 7→ n + 1
et
Calculer g ◦ f . La fonction f est-elle bijective ?
2
Exercice 12 Soit f (x) = 2x+1
x−2 et g(x) = x .
g:

N





 n
→ N

7→
n − 1
0
si n > 0, .
si n = 0
1. Quels sont les ensembles de définition de f , g ◦ f , et f ◦ g ?
2. Calculer f ◦ g(x) et g ◦ f (x),
3. Prouver que f est bijective sur un intervalle que l’on déterminera, et que f −1 = f .
Exercice 13 Soient f : E → F et g : F → E deux applications telles que f ◦ g = IdF .
Montrer que g est injective et f est surjective.
Exercice 14 Soient f : E → F et g : G → E deux applications, montrer que :
– f , g injectives ⇒ f ◦ g injective,
– f , g surjectives ⇒ f ◦ g surjective,
– f ◦ g injective ⇒ g injective,
– f ◦ g surjective ⇒ f surjective.
Exercice 15 Soient f et g deux applications de R dans R, dire si les énoncés suivants sont vrais
ou faux :
– (∀x ∈ R, f (x)g(x) = 0) ⇒ [(∀x ∈ R, f (x) = 0) ou (∀x ∈ R, g(x) = 0)],
– ∀x ∈ R, [(f (x)g(x) = 0) ⇒ f (x) = 0 ou g(x) = 0] .
Exercice 16 Soient E et F deux ensembles, et f : E → F une application. On considère A1 et A2
deux parties de E et B1 et B2 deux parties de F .
1. Montrer que : f (A1 ∪ A2 ) = f (A1 ) ∪ f (A2 )
2. Montrer que f (A1 ∩ A2 ) ⊂ f (A1 ) ∩ f (A2 ),
3. Trouver un cas où il n’y a pas d’égalité dans la relation précédente.
4. f −1 (B1 ∪ B2 ) = f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 )
5. f −1 (B1 ∩ B2 ) = f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 )
À retenir : ne pas hésiter à vérifier ce que l’on écrit plutôt que de risquer de faire une erreur.
Correction :
Il n’y a pas de difficultés à condition de toujours revenir aux définitions.
1. Soit y ∈ f (A1 ∪ A2 ), Mq y ∈ f (A1 ) ∪ f (A2 ). On sait ∃x ∈ A1 ∪ A2 , tel que y = f (x). Deux cas
sont possibles :
– x ∈ A1 et dans ce cas y ∈ f (A1 ) ⊂ f (A1 ) ∪ f (A2 ),
– idem avec x ∈ A2
Dans les deux cas, on a bien : y ∈ f (A1 ) ∪ f (A2 ) et donc f (A1 ∪ A2 ) ⊂ f (A1 ) ∪ f (A2 ).
Soit maintenant y ∈ f (A1 ) ∪ f (A2 ), mq y ∈ f (A1 ∪ A2 ) Deux cas sont possibles :
– y ∈ f (A1 ), on sait alors ∃x ∈ A1 tel que y = f (x), comme x ∈ A1 ∪ A2 , on a y ∈ f (A1 ∪ A2 ),
IV. FONCTIONS
– de même avec y ∈ f (A1 ).
Dans les deux cas y ∈ f (A1 ∪ A2 ), d’où f (A1 ) ∪ f (A2 ) ⊂ f (A1 ∪ A2 ).
33
On a donc : f (A1 ∪ A2 ) = f (A1 ) ∪ f (A2 ).
2. Soit y ∈ f (A1 ∩ A2 ), on sait alors ∃x ∈ A1 ∩ A2 , tel que y = f (x). On a x ∈ A1 et y = f (x) donc
y ∈ f (A1 ), et de même x ∈ A2 permets de montrer que y ∈ f (A2 ). Au final y ∈ f (A1 ) ∩ f (A2 ),
et donc f (A1 ∩ A2 ) ⊂ f (A1 ) ∩ f (A2 ).
3. (question qui demande un peu d’intuition : on voit qu’il ne faut pas que f soit injective, donc
on peut prendre une fonction constante comme contre-exemple)
Prenons par exemple : f {0, 1} → {1}, tel que f (0) = 1 et f (1) = 1. On pose A1 = {1} et
A2 = {0} A1 ∩ A2 = ∅, ce qui fait que f (A1 ∩ A2 ) = ∅. D’un autre côté, f (A1 ) = {1} et
f (A2 ) = {1}, donc f (A1 ∩ A2 ) = {1}.
4. Soit x ∈ f −1 (B1 ∪ B2 ), on a alors : f (x) ∈ B1 ∪ B2 . Deux cas sont alors possibles :
– si f (x) ∈ B1 alors x ∈ f −1 (B1 ) en particulier, x ∈ f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 ).
– de même si f (x) ∈ B2 .
On a donc x ∈ f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 ) et donc : f −1 (B1 ∪ B2 ) ⊂ f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 ).
Maintenant soit x ∈ f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 ). Deux cas sont possibles :
– x ∈ f −1 (B1 ) donc f (x) ∈ B1 ce qui implique que f (x) ∈ B1 ∪ B2 , et donc x ∈ F −1 (B1 ∪ B2 ).
– De même pour x ∈ f −1 (B1 ), on a : x ∈ F −1 (B1 ∪ B2 ).
dans les deux cas x ∈ F −1 (B1 ∪ B2 ), et donc : f −1 (B1 ∪ B2 ) ⊃ f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 ).
En conclusion : f −1 (B1 ∪ B2 ) = f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 )
5. Soit x ∈ f −1 (B1 ∩ B2 ), mq x ∈ f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 ). On a f (x) ∈ B1 ∩ B2 , donc f (x) ∈ B1 ,
i.e. x ∈ f −1 (B1 ), et de même x ∈ f −1 (B1 ). Ainsi, x ∈ f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 ), et f −1 (B1 ∩ B2 ) ⊂
f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 ).
Soit maintenant x ∈ f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 ), mq x ∈ f −1 (B1 ∩ B2 ). On a : f (x) ∈ B1 , et f (x) ∈ B2 ,
donc f (x) ∈ B1 ∩ B2 , i.e. x ∈ f −1 (B1 ∩ B2 ). D’où f −1 (B1 ∩ B2 ) ⊃ f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 ), et
f −1 (B1 ∩ B2 ) = f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 ).
Exercice 17
Déterminer les images directes et réciproques :
1. ln(R∗+ ).
2. cos(] π4 , 3π
4 ]).
3. exp−1 ([−1, 1]),
4. sin−1 ([−1, 1])
Correction :
Il suffit de faire un dessin, la démonstration provient du tableau de variation de ces fonctions et du
théorème de la bijection qui sera vu au chapitre sur la continuité.
1. ln(R∗+ ) = R.
h
2. cos(] π4 , 3π
4 ]) = −
√ √ h
2
2
2 , 2 .
3. exp−1 ([−1, 1]) = R− ,
4. sin−1 ([−1, 1]) = R.
34
Exercice 18
CHAPITRE 1. LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES
Montrer que pour tout réels x, y,
xy 6
Étudier le cas d’égalité.
NB : Cette inégalité est à retenir.
x2 + y 2
.
2
Chapitre 2
Les ensembles N, Z, Q et R
Toujours à des fins d’introduction, nous allons décrire les sous-ensembles classiques de R. Le but étant d’introduire des notations et des résultats importants
au fur et à mesure :
– le raisonnement par récurence,
– les coefficients binomiaux,
– la définition du cardinal d’un ensemble,
– la formule du bînome,
– la valeur absolue, et l’inégalité triangulaire,
– la partie entière,
– l’arithmétique élémentaire,
– les notions de densités,
– les notions de borne supérieure, borne inférieure.
\
=
$
CC
BY:
I
L’ensemble N et le principe de récurrence
On note N l’ensemble des entiers naturels : 0,1, etc. Dans cet ensemble on dispose de l’addition
(+), de la multiplication (×), mais ni de la soustraction ni de la division.
I.1
Récurrence simple
L’axiome le plus important de l’ensemble N est le principe de récurrence, que l’on peut formaliser
ainsi :
Définition 13. L’ensemble des entiers naturels N est le plus petit ensemble E tel que 0 ∈ E et tel
que n ∈ E ⇒ n + 1 ∈ E. On note N cet ensemble.
Ce que veut dire cette définition c’est que l’ensemble N est directement lié au principe de récurrence :
Proposition 10 (Démonstration par récurrence). Si P (n) est un prédicat tel que :
35
36
CHAPITRE 2. LES ENSEMBLES N, Z, Q ET R
– P (0) est vrai,
– ∀n ∈ N, P (n) ⇒ P (n + 1),
Alors P (n) est vrai pour tout n ∈ N.
En effet, si on considère l’ensemble E des n tel que P (n) est vrai. 0 est élément de cet ensemble,
et n ∈ E ⇒ n + 1 ∈ E, d’où N ⊂ E.
Pour rédiger une récurrence, on ferra bien apparaître :
– ce que l’on veut démontrer, et indiquer la variable sur laquelle on fait la récurence (ce n’est pas
toujours évident),
– l’initialisation (cas n = 0),
– l’hérédité ( on considère n fixé tel que P (n) est vrai et on montre P (n + 1)). On indique en
particulier l’endroit où l’hypothèse P (n) intervient.
– la conclusion.
n
X
n(n + 1)
.
Montrons par récurrence sur n que : ∀n ∈ N,
k=
2
k=0
Démonstration. Initialisation : Lorsque n = 0, on a : n(n+1)
= 0 et
2
pour k = 0. D’où P (0).
Hérédité : Supposons P (n) et montrons P (n + 1).
On a :
n+1
X
k=
k=0
n
X
Pn
k=0 k
ne contient que le terme
k + (n + 1), donc en utilisant l’hypothèse de récurrence, on a :
k=0
n+1
X
k =
k=0
=
=
D’où P (n) ⇒ P (n + 1).
Conclusion : On a : ∀n ∈ N,
n
X
n(n + 1)
+ (n + 1)
2
n2 + n + 2(n + 1)
2
2
(n + 1)(n + 2)
n + 3n + 2
=
.
2
2
k=
k=0
n(n + 1)
.
2
Note: Attention : On voit souvent dans les copies l’erreur de rédaction :
Pn
n(n+1)
On démontre : P (n) : ∀n ∈ N,
.
k=0 k =
2
Le problème est qu’une proposition du type : ∀n ∈ N, . . . ne dépend pas de n ! Il faut écrire :
Pn
n(n+1)
Soit P (n) :
, on démontre par récurrence que cette propriété est vrai pour n ∈ N.
k=0 k =
2
Application 1
Montrer :
∀n ∈ N,
n
X
k2 =
k=0
∀n ∈ N,
n
X
k=0
n(n + 1)(2n + 1)
,
6
3
k =
n(n + 1)
2
2
.
I. L’ENSEMBLE N ET LE PRINCIPE DE RÉCURRENCE
37
Application 2 Une suite un est dite géométrique de raison q si un+1 = qun . Montrer que dans
ce cas : un = u0 q n , et que si q 6= 1, on a :
n−1
X
uk = u0
k=0
1 − qn
.
1−q
Application 3 Une suite un est dite arithmétique de raison r si un+1 = un + r. Montrer que
dans ce cas un = u0 + nr, et que :
n−1
X
uk = nu0 + r
k=0
I.2
n(n − 1)
2
Variantes de la récurrence
Différentes variantes existent :
– on peut initialiser à partir d’un n0 plutôt que de 0, on montre alors que la proposition est vraie
pour tout n supérieur à n0 ,
– on peut utiliser un prédicat P (n) de la forme « Q(n) et Q(n − 1) » (récurrence double),
– on peut utiliser un prédicat P (n) de la forme « ∀k 6 n, Q(k) » (récurrence forte).
Cela correspond aux propositions
Proposition 11.
Récurrence à partir de n0 Si un prédicat P (n) vérifie : P (n0 ) est vraie, ∀n > n0 , P (n) ⇒ P (n+1),
alors ∀n > n0 , P (n) est vraie.
Récurrence double Si un prédicat vérifie :
– P (0) est vraie, P (1) est vraie
– ∀n > 0, [P (n) et P (n + 1)] ⇒ P (n + 2),
alors ∀n ∈ N, P (n) est vraie.
Récurrence forte Si un prédicat vérifie :
– P (0) est vraie,
–
∀n > 0, [P (0) et P (1) et . . . et P (n)] ⇒ P (n + 1),
alors ∀n ∈ N, P (n) est vraie.
Exemple: Soit la suite de
n Fibonacci Fn définie par : F1 = 1, F2 = 1, et Fn+1 = Fn + Fn−1 .
7
Montrer que ∀n > 0, Fn < 4 .
Démonstration. On voit qu’on ne peut pas utiliser une récurrence classique parce qu’il nous faut des
hypothèses sur
Fnn et Fn−1 . On va donc faire une récurrence double à partir du rang 1 sur le prédicat
P (n) : Fn < 74 .
2
Initialisation : On a : F1 = 1 < 47 , et F2 = 1 < 74 . Donc P (1) et P (2) sont vraies
Hérédité : Supposons P (n) et P (n − 1), et montrons P (n + 1).
On a : Fn+1 = Fn + Fn−1 , d’où en utilisant les hypothèses de récurrence , on a :
Fn+1 <
n
7
4
+
n−1
7
4
=
n−1
7
4
7
(1 + ) =
4
n−1
7
4
11
4
38
puis comme
11
4
<
49
16
= ( 74 )2 , on a Fn+1 <
n+1 CHAPITRE 2. LES ENSEMBLES N, Z, Q ET R
7
4
Conclusion : On a montré : ∀n > 0, Fn <
. D’où P (n) et P (n − 1) ⇒ P (n).
n
7
4
.
Exemple: Montrons que pour tout entier naturel n > 1, il existe k ∈ N et q ∈ N tels que :
n = 2k (2q + 1). Ce qui signifie que tout n > 1 s’écrit comme une puissance de 2 multiplié par un
nombre impair.
Démonstration. On utilise la récurrence forte sur P (n) : ∃k ∈ N, ∃q ∈ N, n = 2k (2q + 1).
Initialisation : Déjà, 1 = 20 (2 × 0 + 1), d’où la propriété est vrai au rang 1, avec k = 0 et q = 0.
Hérédité : On suppose donc [P (0) et P (1) et . . . et P (n)], et on prend n > 1.
Ensuite lorsqu’on regarde le rang n + 1, deux cas sont possibles : soit n est pair, soit n est impair.
– si n est pair, on sait ∃l, n = 2l, et donc n + 1 = 2l + 1 = 20 (2l + 1), d’où P (n + 1) avec k = 0 et
l = 1. (l’hypothèse de récurrence n’intervient pas ici)
– Si n est impair, alors on sait ∃l, n = 2l+1, et donc n+1 = 2l+2 = 2(l+1). L’hypothèse qu’il nous
faut est P (l + 1), pour ce l (inconnu par avance). Comme l + 1 < n (car n = 2l + 1), P (l + 1) est
′
vraie par hypothèse de récurrence. On peut donc trouver k′ , et q ′ tel que : l+1 = n = 2k (2q ′ +1),
′
puis n + 1 = 2k +1 (2q ′ + 1). Et donc le résultat pour k := k′ + 1 et q = q ′ .
Conclusion : On a montré ∀n > 1, ∃k ∈ N, ∃q ∈ N, n = 2k (2q + 1).
II
Factorisation et développement
II.1
Factorielle, et coefficients binomiaux
Définition 14. Soit n ∈ N , on appelle factorielle n et on note n!, le nombre entier
n! =
n
Y
k=1
k = 1 . . . (n − 1)n.
Pour n ∈ N, et pour 0 6 k 6 n, on définit les combinaisons à k éléments parmi n par :
Cnk
Par convention si k > n on pose
n
k
=
n
k
!
=
n!
.
k!(n − k)!
= 0.
Note: En Scilab, la factorielle, correspond à la fonction factorial.
La factorielle est une fonction clairement récurrente : n! est défini rigoureusement par :

1! = 1
∀n ∈ N, n! = n(n − 1)!
.
On pose généralement par convention que 0! = 1, pour garder (n + 1)! = n × n!.
Proposition 12. ∀n ∈ N, ∀k ∈ 0 6 k 6 n, on a :
!
n+1
=
k+1
!
!
n
n
+
.
k
k+1
II. FACTORISATION ET DÉVELOPPEMENT
39
Cette propriété est importante en particulier pour utiliser les binomiaux dans une récurrence : les
termes d’une ligne s’obtienne à partir de la ligne précédente.
n
Note: Attention : À priori, on ne peut appliquer cette formule qu’avec k < n (pour que k+1
soit bien
défini). On l’applique ici en complétant le triangle de Pascal avec des zéros, i.e. en considérant que si k > n
n
k = 0.
Démonstration.
!
!
n
n
+
k
k+1
=
n!
n!
+
k!(n − k)! (k + 1)!(n − k − 1)!
=
n!
k+1+n−k
(k + 1)!(n − k)!
!
n!
n+1
(k + 1)!(n − k)!
(n + 1)!
(k + 1)!(n − k)!
=
=
Interprétation : On peut construire les coefficients binomiaux à partir du triangle de Pascal,
comme montré sur la figure 2.1
k
n
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
1
3
6
10
15
1
4
10
20
1
5
15
1
6
1
Table 2.1 – Triangle de pascal
On peut montrer les propriétés suivantes, qui sont à connaître :
Proposition 13.
n
k
!
n
=
n−k
n
1
!
!
=n
n
0
!
=
!
n
=1
n
!
n
n(n − 1)
=
2
2
Remarque: Le combinaisons à p éléments parmi n : correspondent au nombre de sous-ensembles
de p éléments dans un ensemble de n éléments. C’est pourquoi on considère par convention que si
p > n, np = 0. La plupart des propriétés ci-dessus peuvent se comprendre en utilisant cette définition.
40
CHAPITRE 2. LES ENSEMBLES N, Z, Q ET R
n Par exemple : nk = n−k
veut simplement dire qu’il y a autant d’ensembles à p éléments que
d’ensembles à n − p éléments.
De même : n2 = n(n−1)
veut dire que pour contruire un ensemble à 2 éléments, on doit en choisir
2
un parmi n puis 1 parmi les n − 1 restant, on divise ensuite par 2 parce que l’ordre dans lequel on
fait ce choix n’a pas d’importance.
II.2
Binôme de Newton
Un des intérêts majeurs des combinaisons résident dans la formule du binôme de Newton, cette
formule permet de développer des expression algébriques, c’est-à-dire de passer d’une forme réduite
à une forme pleine.
Proposition 14. Soient a et b deux réels, et n ∈ N, on a :
n
(a + b) =
!
n
X
n k n−k
a b
k
k=0
Newton par récurrence. Pour n = 0, on a : (a + b)0 = 1 et la somme
0 0 0
0 a b = 1. D’où l’initialisation.
Supposons la propriété vraie au rang n. On a alors :
n+1
(a + b)
n
= (a + b) × (a + b) = (a + b)
=
=
!
n
X
n k n−k
k=0 k a b
Pn
!
n
X
n k n−k
a b
k
k=0
est réduite à
d’après HR.
!
n
n k+1 n−k X
n k n+1−k
a b
+
a b
k
k
k=0
k=0
n
X
!
!
n
n k+1 n+1−(k+1) X
n k n+1−k
a b
+
a b
k
k
k=0
k=0
on pose k′ = k + 1 dans la deuxième somme, soit k = k′ − 1.
=
n+1
X
k ′ =1
!
!
n
X
n
n k n+1−k
k ′ n+1−k ′
a
b
+
a b
k′ − 1
k
k=0
on utilise de nouveau la variable k
!
!
n
X
n
n k n+1−k
k n+1−k
=
a b
+
a b
k−1
k
k=1
k=0
n+1
X
=
n
X
k=1
"
!
n
n
+
k−1
k
!#
k n+1−k
a b
!
!
n n+1 0
n 0 n+1
+
a
b
+
a b
n
0
|
{z
}
k=0
les coefficients binomiaux se simplifient.
=
n
X
k=1
=
n+1
X
k=0
!
!
|
{z
k=n+1
!
n + 1 k n+1−k
n + 1 0 n+1
n + 1 n+1 0
a b
+
a b
+
a
b
k
0
n+1
!
n + 1 k n+1−k
a b
k
|
{z
terme
k=0
}
|
{z
terme
k=n+1
}
}
II. FACTORISATION ET DÉVELOPPEMENT P
n
41
Note: Il est important de voir que l’on a aussi : k=0 nk an−k bk (en échangeant a et b). On peut donc
« mettre le k » sur le a ou sur le b. On choisira donc systématiquement la forme qui permet de faciliter les
calculs.
Cette proposition est importante, et a beaucoup d’applications.
Un corollaire important est le cas b = 1, qui s’écrit :
n
(1 + x) =
n
X
k=0
!
n k
x .
k
On voit en particulier que (1 + x)n est un polynôme en x de degré n, dans lequel tous les monômes
xk interviennent avec des coefficients entiers positifs.
Autre cas particulier, en remplaçant b par −b, on a :
n
(a − b) =
n
X
k=0
!
!
n
X
n k
n n−k
n−k n−k
a (−1)
b
=
a
(−1)k bk
k
k
k=0
qui est une autre formule à connaître : pour développer (a − b)n , on procède comme (a + b)n sauf que
l’on alterne les signes.
Application 1
Développer (a + b)3 .
Application 2
un entier.
Développer (1 +
II.3
√
3)4 et (1 −
√
3)4 . En déduire que A = (1 +
√
3)4 + (1 −
√ 4
3) est
Factorisation
La factorisation est l’opération inverse : elle permet de passer d’une forme développe à une forme
réduite. C’est une opération plus difficile que le développement.
On peut parfois factoriser si on reconnaît un développement par la méthode de Newton : par
exemple (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 . Parmi les autres formules de factorisation à savoir il y a :
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a − b)(a + b) = a2 − b2
(a − b)(a2 − ab + b2 ) = a3 + b3
(a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 − b3
Ces deux dernières se généralisent selon
Proposition 15. Soit n ∈ N, on a :
an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + . . . abn−2 + bn−1 )
an − bn = (a − b)
n−1
X
an−1−k bk .
k=0
Note: On peut aussi écrire cela avec n + 1 à la place de n :
an+1 − bn+1 = (a − b)
n
X
k=0
an−k bk .
soit
42
CHAPITRE 2. LES ENSEMBLES N, Z, Q ET R
Démonstration. Il suffit de développer le second membre.
(a − b)
On remarque ensuite que :
(
n−1
X
n−1−k k
a
b
n−1
X
=
Pn−1
Pn−1
k=0
b −
a
k=0
k=0
n−k bk
k=0 a
an−1−k bk+1
n−1
X
n−k k
an−1−k bk+1
k=0
= an + an−1 b + . . . abn−1
=
an−1 b + . . . abn−1 +bn
En faisant la différence, on voit que le résultat fait an − bn . Pour le démontrer avec des manipulations
de sommes, on doit faire des changements de variable : Comme : an−1−k = an−(k+1) , on pose k′ = k+1
dans la seconde somme, soit k = k′ − 1. On obtient alors :
n−1
X
an−1−k bk+1 =
k=0
D’où :
n−1
X
k=0
an−(k+1) bk+1 =
b −
n−1
X
n−1−k k+1
a
b
n
X
′
′
an−k bk .
k ′ =1
k=0
n−k k
a
n−1
X
=
n−1
X
n−k k
b −
a
k=0
k=0
= |{z}
an − |{z}
bn .
k=0
n
X
an−k bk
k=1
k=n
Remarquons que dans la somme, la puissance de a additionnée à celle de b fait n−1 : on incrémente
la puissance de a et on décrémente la puissance de b.
Un cas simple est celui où b = 1, dans ce cas cela s’écrit :
xn+1 − 1 = (x − 1)(1 + x + x2 + · · · + xn ) = (x − 1)
n
X
xk ,
k=0
ce qui est une réécriture de la somme d’une suite de termes géométriques :
n
X
xk = 1 + x + x2 + x3 + . . . xn =
k=0
1 − xn+1
.
1−x
On peut d’ailleurs redémontrer la relation précédente en utilisant cette méthode :
Démonstration. Si b = 0, il est clair que an − bn = an et
manière évidente.
Si b 6= 0, on peut poser x = ab . On a alors :
xn+1 − 1 = (x − 1)
n
X
Pn−1
k=0
xk
k=0
n
X
an−1−k bk = an−1 . D’où la relation de
soit
an+1
a
− 1 = ( − 1)
ak b−k
bn+1
b
k=0
en multipliant par bn+1 on obtient
an+1 − bn+1 = (a − b)
Ce qui est bien la relation voulue.
n
X
k=0
ak bn−k .
III. CARDINAL D’UN ENSEMBLE
43
Le cas an + bn est plus délicat à gérer : déjà si n = 2, il faut utiliser les nombres complexes pour
avoir : a2 + b2 = (a + ib)(a − ib).
En fait, lorsque n est impair, on a :
an + bn = an − (−b)n
= (a + b)(an−1 − an−2 b + an−3 b2 + · · · − abn−2 + bn−1
= (a − b)
n−1
X
(−1)k an−1−k bk .
k=0
On obtient donc le même genre de formule en alternant les signes : devant les puissance impaires
de b on mets un -, devant les puissance paire de b un +.
Enfin, on verra que si P est un polynôme et a une racine de P , i.e. P (a) = 0, alors on peut
factoriser P (X) par (X − a).
Application 3
III
Factoriser a5 + b5 .
Cardinal d’un ensemble
On pose ici les définitions qui seront revues au chapitre ?? consacrés aux dénombrements.
III.1
Définitions
Intuitivement l’ensemble « type » qui a n éléments est l’ensemble des entiers [[1, n]], on va donc
définir le cardinal d’un ensemble en fonction de [[1, n]].
Deux ensembles étant égaux pour la théorie des ensembles, si ils sont en bijection, cela amène à
la définition suivante.
Définition 15. Soit E un ensemble, on dit que E est ensemble fini, si il existe n, et une bijection
φ : [[1, n]] → E i.e. si E soit en bijection avec [[1, n]].
Un tel n est alors unique, on l’appelle le cardinal de l’ensemble E, et on note n = card(E), ou
n = #E.
La définition n’est possible que parce que l’on peut montrer que si n =
6 n′ , [[1, n]] n’est pas en
bijection avec [[1, n′ ]], ce que l’on admettra.
Cette définition est la traduction intuitive de « E a n éléments » : si on note e1 = φ(1) ∈ E,
e2 = φ(2) ∈ E, etc. alors les (ei )i=1...n sont distincts (car φ est injective) et on a alors :
n
o
E = e1 , e2 , . . . , en .
Note: Si F et E sont deux ensembles finis en bijection alors E et F ont même cardinal.
Proposition 16. Si F ⊂ E, alors F est un ensemble fini, avec #F 6 #E, et l’égalité n’est possible
que si F = E.
44
CHAPITRE 2. LES ENSEMBLES N, Z, Q ET R
III.2
Cardinal d’une union
On a le résultat intuitif : lorsqu’on réunit deux ensembles, on ajoute leur nombre d’éléments, sauf
ceux qui sont dans les deux ensembles, qui sont comptés deux fois.
Proposition 17. Soit A et B deux sous-ensembles de l’ensemble fini E, alors on a la relation :
#(A ∪ B) = #A + #B − #(A ∩ B).
En particulier, si A et B sont disjoints : #(A ∪ B) = #A + #B, et si Ā désigne le complémentaire
de A dans E, on a : #Ā = #E − #A.
III.3
Cardinal d’un produit d’ensembles
Le produit cartésien de deux ensembles est l’ensemble des couples constitués d’éléments de l’un
et d’élément de l’autre. Donc dès qu’on choisit un élément dans chaque ensemble on a un couple, la
proposition suivante est donc complètement intuitive.
Proposition 18. Si E et F sont deux ensembles finis, alors le produit cartésien E × F est fini, avec :
#(E × F ) = #E#F .
IV
IV.1
Nombres entiers relatifs
Définition
Définition 16. On note Z l’ensemble des nombres entiers relatifs. Cet ensemble est construit
selon :
Z = {n|n ∈ N} ∪ {−n|n ∈ N}.
où −n est un l’opposé de n, c’est-à-dire que n + −n = 0.
On a donc en plus de N, la soustraction et le signe.
IV.2
Inégalité triangulaire
On appelle valeur absolue l’application :
|.|


Z




 n
→ 
N
7→
n
−n
si n > 0
si n < 0
= max(n, −n)
la valeur absolue est donc tout le temps positive. On voit aussi que ∀x ∈ Z, x 6 |x| et −x 6 |x|.
Note: En Scilab, la valeur absolue correspond à la fonction abs.
Proposition 19. La valeur absolue vérifie l’inégalité triangulaire :
|x + y| 6 |x| + |y|.
L’inégalité triangulaire a un corollaire qu’il faut connnaître : c’est l’inégalité triangulaire renversée ;
|x| − |y| 6 |x − y|
V. ENSEMBLE DES RATIONNELS
Démonstration. En effet, on a :
45
|x| = |x − y + y| 6 |x − y| + |y|,
d’où
|x| − |y| 6 |x − y|.
Puis on montre |y| − |x| 6 |x − y| de la même manière.
Cette inégalité montre
que si deux nombres x et y sont proches (|x − y| petit), alors leur valeur
absolue est proche : (|x| − |y| petit).
Remarque: Le passage de l’inégalité triangulaire à l’inégalité triangulaire renversé est toujours
vrai (dans R et même dans C avec le module).
Note: On a aussi : ∀x, |x| = max(x, −x), donc pour montrer que |x| 6 a, on peut montrer que x 6 a et
−x 6 a.
IV.3
Partie entière
Une autre fonction liée aux entiers naturels est la fonction partie entière :
Définition 17 (Partie entière). Soit x ∈ R, il existe alors un unique entier relatif, appelé partie
entière de x, et noté E(x), tel que :
E(x) 6 x < E(x) + 1.
On parle parfois de partie entière par défaut.
Note: En Scilab, la partie entière par défaut est floor.
Par exemple : E(3.14) = 3, E(0.2) = 0, E(3) = 3, E(−1.2) = −2.
V
Ensemble des rationnels
V.1
Définition
Définition 18. On appelle ensemble des rationnels, l’ensemble noté Q des nombres de la forme :
p ∗
p ∈ Z, q ∈ N .
Q=
q
On appelle p le numérateur et q le dénominateur de la fraction pq .
Dans cet ensemble on dispose donc de l’addition, de la multiplication et de la division.
Contrairement à Z, tout élément non nul pq a un inverse pq .
46
CHAPITRE 2. LES ENSEMBLES N, Z, Q ET R
V.2
Divisibilité des entiers
Dans cette sous-section on introduit vite fait les notions de « un nombre est divisible par un
autre » et de nombres premiers, il n’y a pas grand chose à savoir, juste connaître quelques définitions.
Proposition 20 (Division euclidienne). Soit a et b deux entiers, avec b > 0, alors il existe q ∈ Z, et
r ∈ [[0, b − 1]], tel que :
a = bq + r.
De plus q et r sont uniques.
Démonstration. L’unicité est en exercice.
L’intuition dit que a est compris entre qb et (q + 1)b. On pose q = E( ab ). On a alors :
q6
a
< q + 1,
b
soit bq 6 a < bq + b.
Enfin, on pose r = a − bq ∈ N. On a alors clairement a = bq + r, puis 0 6 r < b.
La division euclidienne est souvent utilisée dans ce contexte : Si on considère un entier relatif
n ∈ Z, alors il s’écrit sous l’une des 4 formes suivantes : n = 4k, ou n = 4k + 1, ou n = 4k + 2, ou
n = 4k + 3, pour un certain k ∈ Z.
Application 1
Utiliser cette démonstration pour montrer :
∀x ∈ R, ∃k ∈ Z, ∃θ ∈ [0, 2π[, x = 2kπ + θ.
Note: La division euclidienne existe aussi avec b < 0.
Définition 19 (Notation modulo). Soient a, b et c trois nombre réels, avec c > 0. On dit que a est
égal à b modulo c et on écrit a ≡ b [c], si il existe k ∈ Z tel que a = b + kc.
Cette notation est souvent sous cette forme :
x ≡ θ [2π] ⇔ ∃k ∈ Z, x = 2kπ + θ.
x et θ représentent alors le même point sur le cercle.
La notation modulo est hors programme, bien qu’elle soit très utilisée et fort pratique. Il faut faire
attention à :
x
θ
x ≡ θ [2π] ⇒ ≡ [π].
2
2
En cas de doute, il faut revenir à ∃k ∈ Z, . . . .
Définition 20. Soient p et q deux entiers non nuls. On dit que q divise p si il existe : k ∈ Z, tel
que : p = kq. Autrement dit si pq ∈ N. Remarquons que dans ce cas |p| > |q|.
Le nombre 1 divise tous les nombres naturels, un nombre est aussi toujours divisible par lui-même.
Un entier naturel est dit premier, si il n’est divisible que par 1 et par lui-même.
Par exemple : 2,3, 5,7, 11, 13, 17,19 sont premiers. Par choix, on décide que 1 n’est pas premier.
Théorème 21. Si n est un entier naturel non nul, et non égal à 1. Il est alors le produit de nombres
premiers.
VI. ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS
Exemple : 1224 = 23 × 33 × 17.
47
Démonstration. La démonstration se fait par récurrence forte, P (2) est vrai.
Supposons la propriété vraie pour tout k 6 n. Alors deux possibilités,
– si n + 1 est premier, alors il est produit d’un nombre premier (lui-même),
– si n + 1 n’est pas premier, il existe 1 < p 6 n et 1 < q 6 n tels que n + 1 = pq, en appliquant
la propriété à p et q on obtient le résultat pour n + 1.
On peut montrer que cette décomposition est unique.
Note: Même si ce n’est pas au programme, on pourra faire le lien entre la divisibilité dans les polynômes
et dans N. Enfin, étant donné un grand nombre, il n’est pas facile de trouver un diviseur, de le décomposer en
facteur premier ou de vérifier qu’il est premier.
Définition 22. Deux entier naturels p et q non nuls sont premiers entre eux si le seul diviseur
qu’ils ont en commun est 1.
Cela signifie, que les nombres premiers qui apparaissent dans la décomposition sont distincts.
Par exemple : 20 = 5 × 22 est premier avec 63 = 7 × 32 .
L’intérêt de cette définition se trouve ici :
Proposition 21. Soit un x nombre rationnel, alors on peut trouver p ∈ Z et q ∈ N, tel que x = pq , et
de plus p et q sont premiers entre eux.
Démonstration. En effet, si x ∈ Q, il existe p et q tel que x = pq , en décomposant p et q en facteur
premier, et en enlevant les facteurs premiers communs (qui se simplifient), on obtient deux nombres
premiers entre eux.
V.3
√
2 est irrationnel
À priori, Q devrait être l’ensemble suffisant pour toutes les mathématiques, mais en fait non, parce
√
Q ne contient pas des nombres aussi simples que 2.
Proposition 22. Le nombre
√
2 est irrationnel.
√
Démonstration. On raisonne par l’absurde : supposons que 2 ∈ Q. Alors il existe p et q premier
√
2
entre eux tels que 2 = pq , puis 2 = pq2 , d’où 2q 2 = p2 .
On rappelle que pour n ∈ N, on n2 pair ⇒ n pair (c.f. exercice de la première planche). p2 est
donc pair, donc p est pair, on écrit alors p = 2l, puis 2q 2 = 4l2 , soit q 2 = 2l, donc q 2 est pair donc q
est pair. Contradiction avec le fait que p et q soit premier entre eux.
VI
Ensemble des nombres réels
Pour combler les manques de l’ensemble Q, on introduit l’ensemble des nombres réels. Pour le
définir, il faut d’abord définir les notions de bornes supérieures maximums, etc.
48
CHAPITRE 2. LES ENSEMBLES N, Z, Q ET R
VI.1
Majorant, borne supérieure
Définition 23. Soit E un sous-ensemble de R. On dit que E est majoré (dans R), si :
∃M ∈ R, ∀x ∈ E, x 6 M.
On dit dans ce cas que M est un majorant (dans R) de l’ensemble E.
De même, on dit que E est minoré si
∃m ∈ R, ∀x ∈ E, x > m.
m est alors un minorant.
Si l’ensemble E est dit borné, si il est majoré et minoré. Ceci est équivalent à
∃M ∈ R, ∀x ∈ E, |x| 6 M
Être minoré et majoré est équivalent à (∗)∃M ∈ R, ∀x ∈ E, |x| 6 M , en effet :
– (∗) implique d’être minoré par −M et majoré par M .
– si on est minoré par m et majoré par M , en prenant T = max(|M |, |m|), on a ∀x ∈ E, |x| 6 T .
Exemple: {x|x2 6 2} est majoré, par exemple par 3, puisque ∀x, x2 6 2 ⇒ x 6 3, mais aussi par
4, 5 ou 10. Cela montre qu’il n’y pas qu’un majorant, d’où l’idée de choisir le meilleur, i.e. le plus
petit.
Définition 24. On dit qu’un sous-ensemble E de R admet une borne supérieure (dans R), si il
existe M ∈ R, tel que M est le plus petit majorant.
Cela veut dire que : dès qu’on se donne un petit ǫ > 0, M − ǫ n’est pas un majorant (sinon ce
serait M − ǫ la borne supérieure), donc on peut trouver un élément de E entre M − ǫ et M . Cela
s’écrit donc :
∀ǫ > 0, ∃x ∈ E : M − ǫ < x 6 M.
Cette borne supérieure est unique, on la note supx∈E .
Si supx∈E est, de plus, un élément de E, on l’appelle l’élément maximal, et on le note maxx∈E .
On définit de même la borne inférieure, comme le plus grand des minorants, notée inf x∈E , et
minx∈E si c’est un élément de E.
L’ensemble : {x ∈ Q|x2 6 2} n’a pas de borne supérieure dans Q, alors que le même ensemble :
√
{x ∈ Q|x2 6 2} a une borne supérieur 2 dans R. C’est une différence entre R et Q : dans Q certains
ensembles majorés n’ont pas de borne supérieure (dans Q).
Note: Un ensemble fini est toujours borné et a toujours un élément maximal et minimal.
Remarque: La caractérisation d’une borne supérieure M d’un ensemble E est :
– ∀x ∈ E, x 6 M , i.e. M est un majorant,
– ∀ǫ > 0, ∃x ∈ E, M − ǫ < x, i.e. M est le plus petit des majorants
VI.2
Définition de R, densité
Définition 25. On appelle ensemble des nombres réels, noté R, un ensemble qui contient Q et
vérifie de plus les propriétés :
– Q est dense dans R,
VI. ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS
49
– tout ensemble majoré de R possède une borne supérieure dans R.
Ces deux propriétés sont les axiomes de construction de l’ensemble des réels.
√
Ainsi, R contient 2, comme la borne supérieure de {x|x2 6 2}, et π comme par exemple la borne
supérieure de {x|x 6 4 et cos(x) > 0}. On verra que la deuxième propriété permet de montrer
par exemple que toute suite croissante et majorée converge, théorème fondamental de l’analyse. On
le verra lors du chapitre ?? sur l’étude des suites.
La définition de la densité est :
Définition 26. Q est dense dans R signifie (toutes ces propositions sont équivalentes) :
– entre deux éléments de R, il y a toujours un élément de Q, i.e.
∀(x, y) ∈ R2 , avec x<y, ∃z ∈ Q, x < y < z.
– tout nombre réel x peut-être approché à une précision arbitraire par un élément de Q, i.e.
∀ǫ > 0, ∃y ∈ Q : |x − y| 6 ǫ
– tout nombre réel x ∈ R est limite d’une suite de rationnels, i.e. il existe une suite un telle que :
∀n ∈ N, un ∈ Q, et limun = x.
n∞
Parmi les suites de rationnels qui convergent vers le nombre x, il y a la suite d’approximation
décimale par excès (resp celle par défaut), qui ont en plus la propriété d’être croissante (resp.
décroissante). Ainsi, lorsqu’on utilise la suite de rationnel qui converge vers x, on peut toujours
supposer cette suite croissante ou décroissante.
Cette propriété de Q est souvent utilisé dans des énoncés utilisant la continuité, en particulier
dans le cas d’équation fonctionnelle. Voici un exemple :
Exemple: si on considère une fonction continue f tel que ∀x ∈ Q, f (x) = 0. On a alors :
∀x ∈ R, f (x) = 0. En effet, si x ∈ R, on peut trouver une suite un ∈ Q, tel que un → x, on a alors :
f (x) = lim f (un ) par continuité, or ∀n ∈ N, f (un ) = 0, ainsi f (x) = 0.
n→+∞
Application 1 On considère { n1 |n ∈ N ∗ } cet ensemble est-il minoré/majoré dans R. Admet-il un
plus grand/plus petit élément ? une borne inférieure/supérieure ?
50
CHAPITRE 2. LES ENSEMBLES N, Z, Q ET R
Feuille d’exercices Manipulation de somme, Newton, Récurence, ensemble.
BCPST Lycée Hoche
Pelletier Sylvain
$
CC
BY:
\
=
Exercice 1
Montrer :
1. ∀n ∈ N, 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 ,
2. ∀n ∈ N, 2n−1 6 n! 6 nn ,
3. Déterminer le rang n0 , tel que ∀n > n0 , n! > 2n ,
4. Soit f : N → N strictement croissante, montrer que ∀n ∈ N, f (n) > n.
Correction : à chaque fois récurrence :
1. récurrence ou
Pn−1
k=0
2k + 1 = n(n − 1) + n = n2 .
2. récurrence. Attention, l’hérédité de la partie 2n−1 6 n! n’est vraie que pour n > 1. Il faut donc
traiter le cas n = 0 à part.
3. commence à n = 4. L’hérédité est vraie pour n > 1. Attention, même si on considère n! > 2n ,
l’hérédité est vrai pour n > 1. Mais la proposition n’est vraie que pour n > 4.
4. récurrence + il faut que f (n + 1) ∈ N et f (n + 1) > f (n) > n.
Exercice 2
Soit n ∈ N∗ , démontrer que :
∀p ∈ [[1, n]],
en déduire :
∀p ∈ [[1, n]],
Correction : On pose pour n ∈
N∗
:
n
X
p+1
Ckp = Cn+1
,
k=p
n
X
p+1
Ckk−p = Cn+1
.
k=p
P (n) : ∀p ∈ [[1, n]],
n
X
k=p
p
k
!
!
p+1
=
,
n+1
et on démontre la proposition par récurrence sur n.
Il faut ici indiquer la variable (il y a n, p et k).
P
Initialisation : Pour n = 1, il n’y a qu’un seul p ∈ [[1, n]] : p = 1. La somme 1k=1 kp ne contient
qu’un terme (pour k = 1) : 11 = 1. D’un autre côté : 22 = 1. D’où la proposition P (1) est vraie.
La difficulté est simplement de reformuler la proposition dans le cas n = 1.
Hérédité : On suppose P (n) et on démontre P (n + 1) avec :
P (n + 1) : ∀p ∈ [[1, n + 1]] ,
n+1
X
k=p
p
k
!
=
!
p+1
.
n+2
VI. ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS
51
En écrivant P (n + 1), on voit alors qu’il faut démontrer la relation pour tous les p entre 1 et n + 1.
Soit p ∈ [[1, n + 1]], on doit calculer :
Cas où p 6 n, on a :
n+1
X
k=p
p
k
!
!
n+1
X
p
.
k
k=p
=
n
X
k=p
!
!
p
p
+
k
n+1
!
p+1
p
+
n+1
n+1
=
[HR]
p+1
n+2
=
!
!
Le cas p = n + 1 doit être traité à part car l’hypothèse de récurrence n’est plus valable.
Conclusion : ....
Exercice 3 Calculer en fonction de n :
n
X
k=0
!
n
,
k
n
X
1
k=0
3k
!
n
X
n
,
k
k
(−1)
k=0
!
n
,
k
n
X
k=0, k pair
!
n
X
k
k=0
n
,
k
!
n
,
k
n
X
k=0, k impair
n
X
k2 Cnk ,
k=0
k=0
n
X
!
n
,
k
1
C k,
k+1 n
(indication : utiliser la formule du binôme de Newton).
Correction : Pour les premières Newton. Pour la somme sur les pairs impairs, faire Sp + Si = 2n
P
et Sp − Si = 0. Pour nk=0 k nk , dériver la formule de Newton en (1 + x)n . Dériver une seconde fois
P
pour nk=0 k2 nk . Enfin prendre la ( !) primitive qui s’annule en 0 pour la dernière.
Exercice 4 Soient trois ensembles finis A, B et C. Montrer que :
#(A ∪ B ∪ C) = #A + #B + #C − [#(A ∩ B) + #(B ∩ C) + #(C ∩ A)] + #(A ∩ B ∩ C)
On peut généraliser à la formule de Poincaré : Pour toute famille A1 , A2 , . . . An .
#
n
[
i=1
Ai
!
=
n
X
k=1

(−1)k−1
X
16i1 <i2 ···<ik 6n

#(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . Aik )
Correction : Pour la première il suffit d’appliquer le cardinal de l’union + loi de Morgan.
Exercice 5 Soient E un ensemble et A une partie de E. On considère les applications φA et ψA de
P(E) dans P(E), définies par : φA (X) = A ∪ X et ψA (X) = A ∩ X.
1. Déterminer l’image par ces applications de ∅, E, A et A.
2. À quelle condition ψA est-elle injective ? surjective ?
3. À quelle condition φA est-elle injective ? surjective ?
Correction : le seul cas est lorsque ceux sont l’identité.