Logique et théorie des ensembles

Chapitre 1
Logique et théorie des ensembles
Les buts de ce chapitre sont :
– définir les énoncés que l’on peut démontrer en mathématiques,
– être capable de comprendre un énoncé mathématique complexe,
– introduire des notations et des définitions essentielles,
– introduire des méthodes de démonstration et de rédaction qui doivent devenir
des automatismes.
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Les notions peuvent sembler abstraites, il est donc important de s’éloigner du formalisme pour ne
retenir que les idées intuitives. Pour rendre les notions plus concrètes, j’utilise dans les exemples des
notations et des notions qui seront introduites plus tard.
I Proposition
I.1 Définition
La première contrainte intuitive que l’on peut fixer sur un énoncé mathématique est qu’il est soit
vrai soit faux. Cela signifie aussi qu’il doit être bien défini.
Définition 1. Une proposition Pest une phrase qui est, sans ambiguïté, soit vraie soit fausse.
Cette proposition peut dépendre d’une (ou de plusieurs variables), on note alors P(x)où xest la
variable. Si on remplace la variable xpar une valeur, alors P(x)est vraie ou fausse.
Les propositions sont donc les « briques de bases » pour construire l’ensemble des énoncés que l’on
peut démontrer.
Notons, qu’une proposition P(x) dépend d’une variable appartenant à un ensemble. Nous ne
définirons pas précisément cette notion d’ensemble : un ensemble est une collection d’éléments, sans
ordre. Pour les éléments xde cet ensemble, la proposition « l’élément xappartient à E», noté « x∈E»
a une valeur vraie.
Exemple:
– P : « la fonction sin est une fonction continue »,
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2CHAPITRE 1. LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES
– P : « 2 est un nombre impair »,
– P : « 0 est le plus petit nombre entier ».
– P(n) : « nest un nombre premier »,
Qu’une proposition soit vraie ou fausse signifie que les termes qui la composent sont bien définis.
Une proposition du type « πest un nombre plus intéressant que 2 » n’a de sens que si on a bien défini
le « plus intéressant ».
Un autre exemple : « i > 0 » n’a aucun sens. La proposition P(n) : « nest un nombre premier »,
n’a de sens que si n∈N.
Remarque: On retrouve les variables booléennes en informatique qui valent vrai ou faux.
En scilab, les variables booléennes sont %t et %f.
I.2 Opérations sur les propositions
Une fois ces objets introduits, on va les manipuler, c’est-à-dire les combiner deux à deux pour
obtenir de nouvelles propositions. Bien entendu, on cherche à modéliser des notions intuitives.
négation La première opération naturelle sur une assertion est sa négation :
Définition 2. Si Pest une proposition, on appelle (non P) la négation de P:non Pest la
proposition fausse si Pest vraie, elle est vraie si Pest fausse.
Exemple: non(2 est pair) est (2 est impair),
et, ou, équivalence Ensuite lorsqu’on dispose de deux propositions, Pet Q, il y a quatre possibilités
selon les différentes valeurs de Pet de Q. On peut les combiner soit avec ou soit avec et pour voir si
l’une ou l’autre ou les deux sont vraies ou tester si elles ont la même valeur.
Définition 3. Soient Pet Qdeux propositions, on définit :
– (Pet Q) la proposition vraie si Pest vraie et Qest vraie, fausse sinon,
– (Pou Q) la proposition fausse si Pest fausse et Qest fausse, vraie sinon,
– (P⇔Q) la proposition vraie si Pet Qont la même valeur, on dit « P est équivalent à Q ».
En général, pour définir ces nouvelles propositions, le plus simple est d’utiliser une table de
vérité qui contient la liste des valeurs possibles pour Pet Q, et la valeur correspondante pour Pet
Q, etc. Cela est fait sur la figure 1.1.
Remarque: En Scilab, lorsque aet bsont deux variables logiques, les variables a & b et a|b
sont les variables logiques a et b et a ou b respectivement.
Ces notions n’ont pas besoin d’exemples, Elles correspondent à l’idée intuitive que l’on se fait de
et et ou
Remarquons quand même que le ou n’est pas exclusif : si les deux propositions sont vraie, « P ou
Q » est vraie, au contraire de la valeur de ou dans l’expression formage ou dessert.

I. PROPOSITION 3
PV F
non P F V
PV V F F
QV F V F
P ou Q V V V F
P et Q V F F F
P⇔QV F F V
Table 1.1 – Table de vérités de non,et,ou et ⇔
La notion d’équivalence peut être vue comme une égalité entre propositions. Cela sert par exemple
à montrer certaines propriétés intuitives :
Proposition 1.
– non (non P)⇔P,
– (Pet Q)⇔(Qet P), donc l’ordre des propositions dans les et ne compte pas. De même pour
les ou.
– (Pet Q)et R⇔Pet (Qet R). On n’a donc pas besoin de parenthèse lors de plusieurs et
consécutifs. De même pour les ou.
– (Pou Q)et R⇔(Pet R)ou (Qet R), (analogie avec (a+b)c=ac +bc)
– (Pet Q)ou R⇔(Pou R)et (Qou R).
Ces propositions sont démontrées en considérant toutes les valeurs possibles de P,Qet R.
Démonstration. Voici la démonstration de la première :
PV F
non P F V
non (non P) V F
Il suffit de constater que les lignes 1 et 3 sont identiques.
Par exemple pour la dernière, on a :
PV V V V F F F F
QV V F F V V F F
RV F V F V F V F
P et Q V V F F F F F F
(P et Q) ou R V V V F V F V F
P ou R V V V V V F V F
Q ou R VVVFVVVF
(P ou R) et (Q ou R) VVVFVVVF
On constate bien que les lignes : (P et Q) ou R et (P ou R) et (Q ou R) sont identiques, ces
deux propositions sont donc équivalentes.
Application 1 Démontrer les autres.
En utilisant des tables de vérités, on peut ensuite voir ce qui se passe lorsqu’on nie une proposition
formée par deux propositions assemblées par un ou ou et.

4CHAPITRE 1. LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES
Proposition 2. Soit Pet Qdeux propositions, on a :
–non(Pou Q) est équivalent à non(P)et non(Q),
–non(Pet Q)est équivalent à non(P)ou non(Q).
Ici encore, tout est intuitif. La démonstration rigoureuse se fait en considérant les tables de vérité.
Exemple:
–non(« -1 est strictement négatif ») est « -1 est positif ou nul »,
–non(« −1< x 63 ») est « −1>xou x > 3 »,
– Si l′est un nombre réel donné, et P(l) la proposition « l=l′», alors non(P(l)) ⇔non(« l>l′»
et «l6l′») ⇔«l < l′»ou «l > l′». Ainsi lorsque l’on suppose que deux nombres sont distincts,
on peut toujours considérer que l’un est supérieur strict à l’autre.
– Si en informatique on écrit une boucle while (tant que) avec : while (x<>0 & x<>1), la sortie
de la boucle aura lieu lorsque xvaudra 1 ou 0.
On voit que les opérateurs et et ou sont duaux.
Implication Maintenant, on voudrait donner un sens à l’idée intuitive de « cette proposition en-
traîne celle-là », si cette proposition est vraie alors celle-là est vraie ».
On cherche donc à montrer que la proposition Pest « plus forte » que la proposition Q, car dès
que Pest vrai Ql’est automatiquement.
Cela amène à la définition :
Définition 4. Soient Pet Qdeux propositions, on note P⇒Qet on lit « P implique Q », la
proposition ((non P)ou Q). Cette proposition est fausse uniquement si Qest fausse et Pvraie, elle
est vraie dans tous les autres cas.
La figure 1.2 montre la table de vérité correspondante.
PV V F F
QV F V F
P⇒QV F V V
Table 1.2 – Table de vérité de P⇒Q
Remarque: si P⇒Qon dit que Qest une condition nécessaire àP, puisqu’on ne peut avoir
Pque si on a Q. On dit aussi que Pest une condition suffisante pour Q, puisqu’il suffit d’avoir P
pour avoir Q.
Exemple:
– « la fonction x7→ x2+ 4 est un polynôme » ⇒« la fonction x7→ x2+ 4 est dérivable ». « Être
un polynôme » est une condition suffisante pour « être dérivable ».
– si P(f) est « fest une fonction dérivable », et Q(f) est « fest une fonction continue », alors
P(f)⇒Q(f), mais Q(f)⇒P(f) est fausse. « Être continue » est une condition nécessaire
pour « être dérivable » : ce n’est pas la peine de chercher à dériver une fonction non continue.
–x > 5⇒x2>25.
Remarque:

I. PROPOSITION 5
–P⇒Qest vrai dès que Pest fausse, ainsi des propositions du type : « 33 est pair » ⇒« 33 se
finit par 0,2, 4, 6, ou 8 » sont vraies. (cela permet d’ailleurs de montrer que 33 est impair par
l’absurde)
– Enfin, P⇒Qest évidement différent de Q⇒P.
– Ne pas écrire ⇒à la place de donc. Ce symbole a un sens précis en mathématique, et n’est donc
à utiliser que dans ce cadre.
Proposition 3. Soient Pet Qdeux propositions, alors on a :
(P⇔Q)⇐⇒ (P⇒Q)et (Q⇒P).
Autrement dit, pour montrer que Pest équivalent à Q, on montre que Pimplique Q, puis que Q
implique P, c’est la double implication.
Démonstration. Par table de vérité :
PV V F F
QV F V F
P⇒QV F V V
Q⇒PV V F V
(P ⇒Q) et (Q ⇒P) V F F V
(P ⇔Q) V F F V
Lorsqu’on nie une proposition d’implication on a :
Proposition 4. Soit Pet Qdeux proposition, la proposition non(P⇒Q) s’écrit : Pet (non Q).
Cette proposition est assez intuitive : le contraire que Pentraîne Qc’est d’avoir Psans Q
Démonstration. Il suffit de revenir à la définition : non(P⇒Q) est non(non(P) ou Q), c’est-à-dire P
et non(Q).
Une autre égalité logique importante à connaître est la contraposé :
Proposition 5 (Contraposé).Soient Pet Qdeux propositions, alors on a :
(P⇒Q)⇐⇒ (non Q)⇒(non P)
Démonstration. La preuve se fait encore par table de vérité :
PV V F F
QV F V F
P⇒QV F V V
non Q F V F V
non P F F V V
non Q ⇒non P V F V V
On voit que les deux lignes correspondantes sont égales.