Loi normale, intervalle de fluctuation

Classe de Terminale S - 2012-2013
Loi normale, intervalle de fluctuation
1
Loi normale N (0; 1)
Définition 1 : Soit X une variable aléatoire à valeurs réelles. On dit qu’elle suit la loi normale centrée réduite N (0; 1) si elle admet
1
1 2
pour densité la fonction g définie sur R par g(x)= √ e− 2 x . On notera X ֒→ N (0; 1).
2π
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
−3.0−2.5−2.0−1.5−1.0−0.5 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
Remarques :
• La fonction g est à valeurs strictement positives, et est continue sur R.
• L’aire du domaine situé sous la courbe et au-dessus de l’axe des abscisses vaut 1. Ainsi, il semble cohérent que la fonction g puisse
être une fonction densité.
• Sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
• On dit que X suit une loi normale d’espérance 0 et de variance type 1.
Théorème 1 : Si X suit une loi centrée réduite N (0; 1), alors sa fonction de répartition est définie par :
Z x
Z x
1
g(t)dt et pour x > 0, on a P(X 6 x)= +
∀x ∈ R, G(x) = P(X 6 x)=
g(t)dt.
2 0
−∞
Exercice 1 : Soit X ֒→ N (0; 1).
1. Calculer P1 = P(−0, 52 6 X 6 2, 2)
2. Calculer P2 = P(X 6 1, 56)
3. Calculer P3 = P(X 6 −1).
Remarques :
– la fonction de répartition G est telle que ∀x ∈ R, G(−x) = 1 − G(x).
– on ne connais pas de primitive de g, le calcul de l’intégral est donc impossible : on utilisera la calculatrice pour obtenir des valeurs
approchées.
Propriété 1 : Soit X une variable aléatoire de densité N (0; 1). Pour tout α, β ∈ R, si α 6 β, alors : P(α 6 X 6 β) = G(β) − G(α).
1
P(−2 6 X 6 1)
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
Théorème 2 :
• L’espérance d’une variable aléatoire X ֒→ N (0; 1) est E(X) = 0.
• Sa variance est V(X) = E((X − E(X))2) = 1 (admis).
Théorème 3 : Si X ֒→ N (0; 1), alors pour tout α ∈]0; 1[, il existe un unique réel positif uα tel que P(−uα 6 X 6 uα ) = 1 − α.
Démonstration exigible (voir page démonstration) :
Ce théorème permet de calculer les valeurs approchées de uα . Par exemple :
Exercice : On considère α1 = 0, 05 et α2 = 0, 01. Déterminer u0,05 et u0,01 tels que P(−uα1 6 X 6 uα1 ) = 1 − α1 et P(−uα2 6 X 6 uα2 ) =
1 − α2 .
On sait que G(−x) = 1 − G(x) pour x > 0, donc G(x) − G(−x) = 2G(x) − 1.
Par conséquent, comme P(−uα1 6 X 6 uα1 )=G(uα1 ) − G(−uα1 ) on obtient donc P(−uα1 6 X 6 uα1 )=2G(uα1 ) − 1. De plus on sait que
0, 05
α1
=1−
= 0, 975.
P(−uα1 6 X 6 uα1 ) = 1 − α1 , d’où 2G(uα1 ) − 1 = 1 − α1 . On obtient donc G(uα1 ) = 1 −
2
2
En utilisant la table des valeurs de la fonction G (que l’on rentre à la calculatrice), on obtient uα1 ≈ 1, 96.
En tenant le même raisonnement, on trouve uα2 ≈ 2, 58.
De plus, on sait que α1 = 0, 05 et α2 = 0, 01, d’où 1 − α1 = 0, 95 et 1 − α1 = 0, 99.
Ainsi, en valeurs approchées, on a P(−1, 96 6 X 6 1, 96) ≈ 0, 95. Autrement on a approximativement 95 % de chance de trouver la
variable aléatoire entre −1, 96 et 1, 96.
De même, en valeurs approchées, on a P(−2, 58 6 X 6 2, 58) ≈ 0, 99. Autrement on a approximativement 99 % de chance de trouver la
variable aléatoire entre −2, 58 et 2, 58.
2
Loi normale N (µ; σ2 )
Définition 2 : Soit µ un réel et σ un réel strictement positif. On dit que la variable aléatoire X d’univers R suit la loi normale N (µ; σ2 )
X−µ
suit la loi normale centrée réduite N (0; 1).
si la variable X ∗ =
σ
On dit que X suit une loi normale d’espérance µ et d’écart type σ (ou encore de variance σ2 ).
Interprétation :
– Le paramètre µ de la loi correspond à un paramètre de position : il localise la zone où les réalisations de X ont le plus de chance
d’apparaître (le sommet).
– Le paramètre σ de la loi correspond à un paramètre de dispersion : il correspond à l’écart type. Plus σ est élevé, plus les réalisations
de X sont dispersés autour de l’espérance µ (plus la courbe est “écrasée”).
2
µ = −2
µ=0
µ=2
σ=1
σ=2
σ=3
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
1 2 3 4 5 6 7 8
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
Sur ces exemples, σ = 1
1 2 3 4 5 6 7 8
Sur ces exemples, µ = 0
Remarques (admis) :
• La courbe représentative de la loi N (µ; σ2 ) est symétrique par rapport à l’axe x = µ.
Z β
• Pour tout α, β ∈ R, si α 6 β alors P(α 6 X 6 β) =
f (t)dt
α
Z +∞
f (t)dt = 1
•
−∞
•
•
•
•
1 x−µ 2
− (
)
1
La fonction densité est donnée par : ∀x ∈ R, f (x) = √ × e 2 σ .
σ 2π
P(µ − σ 6 X 6 µ + σ) ≈ 0, 6826
P(µ − 2σ 6 X 6 µ + 2σ) ≈ 0, 9544
P(µ − 3σ 6 X 6 µ + 3σ) ≈ 0, 9974
68, 3%
µ
−σ
95, 4%
+σ
µ
−2σ
99, 7%
+2σ
−3σ
Théorème 4 : Si X suit une loi normale N (µ; σ2 ), sa fonction de répartition F est donnée par :
Z β
x−µ
∀x ∈ R, F(x) = P(X 6 x) =
f (t)dt=G(
).
σ
α
Propriété 2 : Soit X ֒→ N (µ; σ2 ). Alors pour tout α, β ∈ R, si α 6 β, alors P(α 6 X 6 β) = F(α) − F(β)
On a aussi : P(α 6 X 6 β) = G(
β−µ
α−µ
) − G(
).
σ
σ
Théorème 5 :
• Si X ֒→ N (µ; σ2 ), alors son espérance est E(X) = µ.
• Si X ֒→ N (µ; σ2 ), alors sa variance est V(X) = E((X − E(X))2) = σ2 .
Exercice 2 : Soit X une variable aléatoire suivant la loi N (113; 25). Soit Z =
X − 113
.
5
1. Quelle est la loi de Z ?
2. Exprimer l’événement 110 6 X 6 120 à l’aide de Z.
3. Que vaut P(−0, 6 6 Z 6 1, 4) à 10−4 près ? En déduire P(110 6 X 6 120) à 10−4 près.
Exercice 3 : Soit X ֒→ N (µ; σ).
1. Déterminer la probabilité P(a 6 X 6 b) pour a 6 b, avec a, b des réels.
2. Déterminer les valeurs de P(µ − σ 6 X 6 µ + σ), P(µ − 2σ 6 X 6 µ + 2σ) et P(µ − 3σ 6 X 6 µ + 3σ).
3. Comment interpréter ces trois résultats ?
3
µ
+3σ
3
Théorème de Moivre-Laplace
La loi binomiale est très utilisée en modélisation, mais certaines probabilités sont impossibles à calculer pour la loi binomiale. Grâce au
théorème suivant, le calcul des probabilitéss est rendu possible à l’aide de la loi normale.
Xn − np
converge
Théorème 6 (Moivre-Laplace) : Si Xn suit une loi binomiale B(n; p), alors la variable aléatoire définie par Zn = p
np(1 − p)
vers la loi normale centrée réduite N (0; 1). Cela signifie que pour tous a, b ∈ R tels que a 6 b, on a :
Z b
1 −x2
lim P(a 6 Zn 6 b)=P(a 6 Z 6 b)=
√ e 2 dx où Z ֒→ N (0; 1).
n→+∞
a
2π
Application pratique : On considère que la limite dans le théorème de Moivre-Laplace est pratiquement atteinte lorsque l’on a simultanément n > 30, np > 5 et n(1 − p) > 5.
Xn − np
6 b) ≈ P(a 6 Z 6 b) où Z ֒→ N (0; 1).
Dans ces conditions, pour tous réels a et b, P(a 6 p
np(1 − p)
4
Intervalle de fluctuation, intervalle de confiance
4.1 Intervalle de fluctuation
Théorème 7 (Corollaire 1) : Intervalle de fluctuations de Fn
Si Xn ֒→ B(n; p) alors la fréquence
p de succès
p
p(1 − p)
p(1 − p)
Xn
Fn =
vérifie lim P(p − uα
6 F n 6 p + uα
) = 1 − α où uα vérifie P(−uα 6 Z 6 uα ) = 1 − α pour Z ֒→ N (0; 1).
√
√
n→+∞
n
n
n
p
p
p(1 − p)
p(1 − p)
; p + uα
] est appelé intervalle de fluctuation asymptotique de Fn au seuil 1 − α.
L’intervalle In = [p − uα
√
√
n
n
Xn
correspond à la fréquence de succès lors de la répétition de n épreuves de Bernouilli indépendantes de paramètre
La variable Fn =
n
p.
Démonstration exigible (voir page démonstration) :
Application pratique : Pour α = 0, 05, on a vu que uα ≈ 1, 96 et 1 − α = 0, 95. On en déduit que lorsque n > 30, np > 5 et n(1 − p) > 5,
p
p
p(1 − p)
p(1 − p)
; p + 1, 96
].
la fréquence de succès Fn fluctue avec une probabilités de 0,95 dans l’intervalle [p − 1, 96
√
√
n
n
Cet intervalle est appelé intervalle de fluctuation asymptotique à 95% de Fn .
Théorème 8 (Corollaire 2) : Intervalle de fluctuations de Fn simplifié Si Xn ֒→ B(n; p) alors pour tout p ∈]0; 1[, il existe un entier n0
1
1
tel que pour tout n > n0 , P(p − √ 6 Fn 6 p + √ ) > 0, 95.
n
n
1
1
On retrouve l’intervalle de fluctuation Jn = [p − √ ; p + √ ] étudié en classe de seconde.
n
n
4.2 Intervalle de confiance
Xn
1
1
et soit Jn =[Fn − √ ; Fn + √ ].
n
n
n
• Sous les conditions usuelles de précisions (n > 30, np > 5 et n(1 − p) > 5), l’intervalle aléatoire Jn contient p avec une probabilité
d’environ 95%.
• De plus, pour n assez grand, l’intervalle Jn contient p avec une probabilité d’environ 95%.
Propriété 3 : Soient Xn une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n; p), soit Fn =
Définition 3 : On considère une population dans laquelle la proportion d’un certain caractère est p. On prélève au hasard et avec remise
un échantillon de taille n et on calcule la fréquence f de ce caractère dans l’échantillon prélevé.
1
1
L’intervalle IC = [ f − √ ; f + √ ] (qui est l’une des réalisation possible de l’intervalle aléatoire Jn ) est appelé intervalle de confiance
n
n
de la proportion p.
• Sous les conditions usuelles de précision (n > 30, np > 5 et n(1 − p) > 5), le niveau de cette confiance est environ égale à 95%.
• Pour n assez grand, le niveau de cette confiance est au moins égale à 95%.
4
Exercice 4 : le 4 Mai 2007, l’institut de sondage IPS OS effectue un sondage dans la population en âge de voter. Il constitue un échantillon
de 992 personnes que l’on suppose choisies de manière aléatoire. 546 ont déclaré vouloir voter N. Sarkozy et 446 ont déclaré vouloir
voter pour S. Royal.
1. Calculer, pour chacun des candidats, la fréquence des votes de l’échantillon.
2. Déterminer, pour chacun des candidats, l’intervalle de confiance au niveau de 95%.
3. Les résultats réels de l’élection furent les suivants : 53, 06% pour N. Sarkozy et 46, 94% pour S. Royal. Etaient-ils compatibles
avec les estimations établies ?
5
5
Mode d’emploi calculatrice
5.1 Mode d’emploi TI
Pour calculer une valeur approchée de P(−1 6 X 6 2) lorsque X ֒→ N (0; 1), sur TI Voyage 200 (à peu près pareil sur TI 89) :
Taper directement normFdR(-1 ;2) (on le trouve aussi dans catalogue, F3 (pour choisir dans les AppFlahs))
(en anglais : normCdf)
Pour calculer une valeur approchée de P(−1 6 X 6 2) lorsque X ֒→ N (µ; σ), sur TI Voyage 200 (à peu près pareil sur TI 89) :
Si µ = 0, 5 et σ = 4, taper normFdR(-1 ;2 ;0,5 ;4).
(en anglais : normCdf)
Pour tracer la fonction densité de X ֒→ N (0; 1) :
Aller dans fonction, Y = et taper normddp(x,0,1).
Pour voir correctement la densité : prendre comme fenêtre de vision : xmin=-3, xmax=3, ymax=1 (ou même 0,5), ymin=-0,1
(en anglais : normPdf)
Pour tracer la fonction densité de X ֒→ N (0, 5; 4) :
Aller dans fonction, Y = et taper normddp(x,0.5,4).
Pour voir correctement la densité : prendre comme fenêtre de vision : xmin=-10, xmax=10, ymax=0.2, ymin=-0.001
(en anglais : normPdf)
Pour visualiser et calculer P(−1 6 X 6 2) :
Aller dans fonction, Y = etZtaper normddp(x,0.5,4) comme ci-dessus. On obtient alors le tracé de la fonction densité de X ֒→ N (0, 5; 4).
Ensuite F5 (Maths), puis
f (x)dx et on choisit comme borne -1 et 2.
Pour donner une valeur approchée de x tel que P(X 6 x) = 0, 995, on utilise InvNorm(0.95,0,1). On obtient x ≈ 1, 96. Il s’agit donc
d’aprocher la fonction inverse de G(x) = P(X 6 x).
5.2 Mode d’emploi Casio
Prendre le fichier docx ou pdf pour la calculatrice Casio CG20 ici http ://math.univ-lyon1.fr/irem/spip.php?article613
Le programme est le même pour la graphe 35.
6
6
Page démonstrations
Théorème 3 : Si X ֒→ N (0; 1), alors pour tout α ∈]0; 1[, il existe un unique réel positif uα tel que P(−uα 6 X 6 uα ) = 1 − α.
Z
u
Démonstration : Soit la fonction H définie sur l’intervalle ]0; +∞[ par H(u) = P(−u 6 X 6 u) =
g(t)dt où g fonction densité de la
−u
Z u
g(t)dt = 1 (car g fonction densité sur R).
loi normale N (0; 1). On constate que H(0) = 0 et lim H(u) = lim
u→+∞
u→+∞
−u
Cg
−v
u
−u
v
Si 0 6 u < v , on a H(v) − H(u) = P(−v 6 X 6 v) − P(−u 6 X 6 u) = P(−v 6 X 6 −u) + P(u 6 X 6 v) = 2P(u 6 X 6 v)=2
(par symétrie de la fonction densité).
De plus, la fonction densité est strictement positive sur R, donc H(v) − H(u) = 2
montré que u < v ⇒ G(u) < G(v)).
x
0
uα
G(x)
0
ր
1−α
Z
Z
v
g(t)dt
u
v
g(t)dt > 0, donc H est strictement croissante (on a
u
+∞
1
ր
D’après le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction strictement monotone, pour tout réel β ∈]0; 1[, il existe un unique réel
uβ ∈]0; +∞[ tel que G(uβ ) = β. Par conséquent, en posant β = 1 − α, on a P(−uα 6 X 6 uα ) = 1 − α.
Théorème 7 (Corollaire 1) : Intervalle de fluctuations de Fn
Si Xn ֒→ B(n; p) alors la fréquence
p de succès
p
p(1 − p)
p(1 − p)
Xn
Fn =
vérifie lim P(p − uα
6
F
6
p
+
u
) = 1 − α où uα vérifie P(−uα 6 Z 6 uα ) = 1 − α pour Z ֒→ N (0; 1).
√
√
n
α
n→+∞
n
n
n
p
p
p(1 − p)
p(1 − p)
; p + uα
] est appelé intervalle de fluctuation asymptotique de Fn au seuil 1 − α.
L’intervalle In = [p − uα
√
√
n
n
Xn
correspond à la fréquence de succès lors de la répétition de n épreuves de Bernouilli indépendantes de paramètre
La variable Fn =
n
p.
Xn
−p
Xn − np
= rn
Démonstration : Zn = p
.
np(1 − p)
p(1 − p)
n
r
r
r
r
Xn
Xn
Xn
p(1 − p)
p(1 − p)
p(1 − p)
p(1 − p)
∈ In ⇔ p − u α
6
6 p + uα
⇔ −uα
6
− p 6 uα
d’où en divisant par
De plus
n
n
n
n
n
n
n
r
p(1 − p)
on obtient Zn ∈ In ⇔ −uα 6 Zn 6 uα .
n
D’après le théorème de Moivre-Laplace, on a lim P(−uα 6 Zn 6 uα ) = P(−uα 6 Z 6 uα ) où Z ֒→ N (0; 1), or d’après le théorème 3,
n→+∞
pour tout α ∈]0; 1[, P(−uα 6 Z 6 uα ) = 1 − α.
7
On a donc lim P(p − uα
n→+∞
p
p(1 − p)
6 F n 6 p + uα
√
n
p
p(1 − p)
Xn
.
) = 1 − α avec Fn =
√
n
n
Théorème 2 :
• L’espérance d’une variable aléatoire X ֒→ N (0; 1) est E(X) = 0.
• Sa variance est V(X) = E((X − E(X))2) = 1 (admis).
Démonstration : E(X) =
Z
+∞
−∞
t f (t)dt = lim
x→+∞
1
1
Z x
− t2
− t2
1
1
x
2
t √ te
t √ × [−2e 2 ]−x
dt= lim
=0 car lim e−X = 0.
x→+∞ −x
X→+∞
2π
−x
2
Z
x
Théorème 5 :
• L’espérance d’une variable aléatoire X ֒→ N (µ; σ) est E(X) = µ.
• Sa variance est V(X) = E((X − E(X))2) = σ2 .
Démonstration :
Rappel : Si Y une variable aléatoire et a, b des réels. Alors on a :
• E(aY + b) = aE(Y) + b
• V(aY + b) = a2 V(Y) + 0
X−µ
et X ∗ ֒→ N (0; 1). On a donc X = σX ∗ + µ. Ainsi :
On sait que X ∗ =
σ
E(X) = E(σX ∗ + µ) = σE(X ∗ ) + µ = µ car E(X ∗ ) = 0.
De plus V(X) = V(σX ∗ + µ) = σ2 V(X ∗ ) + 0=σ2 car V(X ∗ ) = 1.
8
7
Correction Exercices
Exercice 1 : Soit X ֒→ N (0; 1).
1. Calculer P1 = P(−0, 52 6 X 6 2, 2).
A la calculatrice, on a P1 ≈ 0, 6845.
2. Calculer P2 = P(X 6 1, 56).
Z x
1
g(t)dt. Ainsi :
Pour calculer P2 , on utilise le fait que P(X 6 x)= +
2 0
1
P(X 6 1, 56)= + P(0 6 X 6 1, 56) ≈ 9, 9406 (à la calculatrice).
2
3. Calculer P3 = P(X 6 −1).
Z x
1
Pour calculer P3 , on ne peut pas utiliser directement P(X 6 x)= +
g(t)dt car x < 0.
2 0
Z 0
Z 0
Z −1
1
g(t)dt= − P(−1 6 X 6 0) et à la calculatrice P(−1 6 X 6 0) ≈ 0, 34
g(t)dtg(t)dt=
Mais on sait que P(X 6 −1) =
2
−1
−∞
−∞
d’où P(X 6 −1) ≈ 0, 5 − 0, 3413 ≈ 0, 1587.
Exercice 2 : Soit X une variable aléatoire suivant la loi N (113; 25). Soit Z =
X − 113
.
5
1. Quelle est la loi de Z ?
X−µ
suit la loi N (0; 1).
σ
2. Exprimer l’événement 110 6 X 6 120 à l’aide de Z. Pour faire intervenir Z, on procède en deux étapes :
-on centre la variable aléatoire X, c’est à dire on retranche µ à X : on obtient X − µ
-on réduit, c’est à dire on X − µ par σ : on obtient ainsi Z Plus clairement : 110 6 X 6 120 ⇔ 110 − 113 6 X − 113 6 120 − 113
La variable X suit une loi normale de paramètre µ = 113 et σ2 = 25 (donc σ = 5). Ainsi, Z =
110 − 113 X − 113 120 − 113
6
6
5
5
5
7
−3
6 Z 6 ⇔ −0, 6 6 Z 6 1, 4.
d’où 110 6 X 6 120 ⇔
5
5
3. Que vaut P(−0, 6 6 Z 6 1, 4) à 10−4 près ? En déduire P(110 6 X 6 120) à 10−4 près.
On sait que Z ֒→ N (0; 1), on obtient à la calculatrice que P(−0, 6 6 Z 6 1, 4) ≈ 0, 645 d’où P(110 6 X 6 120) ≈ 0, 645.
⇔
Exercice 3 : Soit X ֒→ N (µ; σ).
1. Déterminer la probabilité P(a 6 X 6 b) pour a 6 b, avec a, b des réels.
a−µ
a+µ
X−µ
suit la loi N (0; 1), donc P(a 6 X 6 b)=P(
6 X∗ 6
).
X∗ =
σ
σ
σ
4, 25
7, 8
Exemple : si µ = 80, σ2 = 25, a = 84, 25 et b = 87, 8 on obtient : P(84, 25 6 X 6 87, 8)=P(
6 X∗ 6
) ≈ 0, 1383.
5
5
2. Déterminer les valeurs de P(µ − σ 6 X 6 µ + σ), P(µ − 2σ 6 X 6 µ + 2σ) et P(µ − 3σ 6 X 6 µ + 3σ).
P(µ − σ 6 X 6 µ + σ)=P(−1 6 X ∗ 6 1) ≈ 0, 6826.
P(µ + 2σ 6 X 6 µ + 2σ)=P(−2 6 X ∗ 6 2) ≈ 0, 9544.
P(µ + 3σ 6 X 6 µ + 3σ)=P(−3 6 X ∗ 6 3) ≈ 0, 9974.
3. Comment interpréter ces trois résultats ?
On a une probabilité d’environ 68 pour cent que la valeur de la variable X soit dans l’intervalle [µ − σ; µ + σ].
On a une probabilité d’environ 95 pour cent que la valeur de la variable X soit dans l’intervalle [µ − 2σ; µ + 2σ].
On a une probabilité d’environ 99 pour cent que la valeur de la variable X soit dans l’intervalle [µ − 3σ; µ + 3σ].
Par exemple, si dans une entreprise le salaire suit une loi normale, avec une espérance E(X) = µ = 1500 euros et une dispersion
σ2 = V(X) de 100 euros, alors il y a environ 68% des salaires qui se trouvent entre 1400 et 1600 euros.
Exercice 4 : le 4 Mai 2007, l’institut de sondage IPS OS effectue un sondage dans la population en âge de voter. Il constitue un échantillon
de 992 personnes que l’on suppose choisies de manière aléatoire. 546 ont déclaré vouloir voter N. Sarkozy et 446 ont déclaré vouloir
voter pour S. Royal.
1. Calculer, pour chacun des candidats, la fréquence des votes de l’échantillon.
446
546
≈ 0, 55 et fS R =
≈ 0, 45.
L’échantillon est ici n = 992, donc fNS =
992
992
9
2. Déterminer, pour chacun des candidats, l’intervalle de confiance au niveau de 95%.
1
1
; fNS + √
] soit environ [0, 518; 0, 582].
L’ intervalle de confiance au niveau de 95% pour N. Sarkozy est IC NS = [ fNS − √
992
992
1
1
L’ intervalle de confiance au niveau de 95% pour S. Royal est ICS R = [ fS R − √
; fS R + √
] soit environ [0, 418; 0, 482].
992
992
3. Les résultats réels de l’élection furent les suivants : 53, 06% pour N. Sarkozy et 46, 94% pour S. Royal. Etaient-ils compatibles
avec les estimations établies ?
Les résultats réels sont pNS = 0, 5306 et pS R = 0, 4694. Or on a bien pNS ∈ IC NS et pS R ∈ ICS R , donc les résultats sont
compatibles avec les estimations de l’institut IPSOS.
10