Loi normale, intervalle de fluctuation

Classe de Terminale S - 2012-2013
Loi normale, intervalle de fluctuation
1 Loi normale N(0;1)
Définition 1 : Soit Xune variable aléatoire à valeurs réelles. On dit qu’elle suit la loi normale centrée réduite N(0;1) si elle admet
pour densité la fonction gdéfinie sur Rpar g(x)=1
√2πe−1
2x2. On notera X֒→N(0;1).
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5−0.5−1.0−1.5−2.0−2.5−3.0
Remarques :
•La fonction gest à valeurs strictement positives, et est continue sur R.
•L’aire du domaine situé sous la courbe et au-dessus de l’axe des abscisses vaut 1. Ainsi, il semble cohérent que la fonction gpuisse
être une fonction densité.
•Sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
•On dit que Xsuit une loi normale d’espérance 0 et de variance type 1.
Théorème 1 : Si Xsuit une loi centrée réduite N(0;1), alors sa fonction de répartition est définie par :
∀x∈R,G(x)=P(X6x)=Zx
−∞
g(t)dt et pour x>0, on a P(X6x)=1
2+Zx
0g(t)dt.
Exercice 1 : Soit X֒→N(0; 1).
1. Calculer P1=P(−0,52 6X62,2)
2. Calculer P2=P(X61,56)
3. Calculer P3=P(X6−1).
Remarques :
– la fonction de répartition Gest telle que ∀x∈R,G(−x)=1−G(x).
– on ne connais pas de primitive de g, le calcul de l’intégral est donc impossible : on utilisera la calculatrice pour obtenir des valeurs
approchées.
Propriété 1 : Soit Xune variable aléatoire de densité N(0;1). Pour tout α, β ∈R, si α6β, alors : P(α6X6β)=G(β)−G(α).
1

12345
−1−2−3−4
P(−26X61)
Théorème 2 :
•L’espérance d’une variable aléatoire X֒→N(0; 1) est E(X)=0.
•Sa variance est V(X)=E((X−E(X))2)=1 (admis).
Théorème 3 : Si X֒→N(0;1), alors pour tout α∈]0;1[, il existe un unique réel positif uαtel que P(−uα6X6uα)=1−α.
Démonstration exigible (voir page démonstration) :
Ce théorème permet de calculer les valeurs approchées de uα. Par exemple :
Exercice : On considère α1=0,05 et α2=0,01. Déterminer u0,05 et u0,01 tels que P(−uα16X6uα1)=1−α1et P(−uα26X6uα2)=
1−α2.
On sait que G(−x)=1−G(x) pour x>0, donc G(x)−G(−x)=2G(x)−1.
Par conséquent, comme P(−uα16X6uα1)=G(uα1)−G(−uα1) on obtient donc P(−uα16X6uα1)=2G(uα1)−1. De plus on sait que
P(−uα16X6uα1)=1−α1, d’où 2G(uα1)−1=1−α1. On obtient donc G(uα1)=1−α1
2=1−0,05 2=0,975.
En utilisant la table des valeurs de la fonction G(que l’on rentre à la calculatrice), on obtient uα1≈1,96.
En tenant le même raisonnement, on trouve uα2≈2,58.
De plus, on sait que α1=0,05 et α2=0,01, d’où 1 −α1=0,95 et 1 −α1=0,99.
Ainsi, en valeurs approchées, on a P(−1,96 6X61,96) ≈0,95. Autrement on a approximativement 95 % de chance de trouver la
variable aléatoire entre −1,96 et 1,96.
De même, en valeurs approchées, on a P(−2,58 6X62,58) ≈0,99. Autrement on a approximativement 99 % de chance de trouver la
variable aléatoire entre −2,58 et 2,58.
2 Loi normale N(µ;σ2)
Définition 2 : Soit µun réel et σun réel strictement positif. On dit que la variable aléatoire Xd’univers Rsuit la loi normale N(µ;σ2)
si la variable X∗=X−µ
σsuit la loi normale centrée réduite N(0; 1).
On dit que Xsuit une loi normale d’espérance µet d’écart type σ(ou encore de variance σ2).
Interprétation :
– Le paramètre µde la loi correspond à un paramètre de position : il localise la zone où les réalisations de Xont le plus de chance
d’apparaître (le sommet).
– Le paramètre σde la loi correspond à un paramètre de dispersion : il correspond à l’écart type. Plus σest élevé, plus les réalisations
de Xsont dispersés autour de l’espérance µ(plus la courbe est “écrasée”).
2

12345678−1−2−3−4−5−6−7−8
µ=−2µ=0µ=2
Sur ces exemples, σ=1
12345678−1−2−3−4−5−6−7−8
σ=3
σ=2
σ=1
Sur ces exemples, µ=0
Remarques (admis) :
•La courbe représentative de la loi N(µ;σ2) est symétrique par rapport à l’axe x=µ.
•Pour tout α, β ∈R, si α6βalors P(α6X6β)=Zβ
α
f(t)dt
•Z+∞
−∞
f(t)dt =1
•La fonction densité est donnée par : ∀x∈R,f(x)=1
σ√2π×e−1
2(x−µ σ)2.
•P(µ−σ6X6µ+σ)≈0,6826
•P(µ−2σ6X6µ+2σ)≈0,9544
•P(µ−3σ6X6µ+3σ)≈0,9974
68,3%
−σ+σ
µ
95,4%
−2σ+2σ
µ
99,7%
−3σ+3σ
µ
Théorème 4 : Si Xsuit une loi normale N(µ;σ2), sa fonction de répartition Fest donnée par :
∀x∈R,F(x)=P(X6x)=Zβ
α
f(t)dt=G(x−µ
σ).
Propriété 2 : Soit X֒→N(µ;σ2). Alors pour tout α, β ∈R, si α6β, alors P(α6X6β)=F(α)−F(β)
On a aussi : P(α6X6β)=G(β−µ
σ)−G(α−µ σ).
Théorème 5 :
•Si X֒→N(µ;σ2), alors son espérance est E(X)=µ.
•Si X֒→N(µ;σ2), alors sa variance est V(X)=E((X−E(X))2)=σ2.
Exercice 2 : Soit Xune variable aléatoire suivant la loi N(113;25). Soit Z=X−113
5.
1. Quelle est la loi de Z?
2. Exprimer l’événement 110 6X6120 à l’aide de Z.
3. Que vaut P(−0,66Z61,4) à 10−4près? En déduire P(110 6X6120) à 10−4près.
Exercice 3 : Soit X֒→N(µ;σ).
1. Déterminer la probabilité P(a6X6b) pour a6b, avec a,bdes réels.
2. Déterminer les valeurs de P(µ−σ6X6µ+σ), P(µ−2σ6X6µ+2σ) et P(µ−3σ6X6µ+3σ).
3. Comment interpréter ces trois résultats?
3

3 Théorème de Moivre-Laplace
La loi binomiale est très utilisée en modélisation, mais certaines probabilités sont impossibles à calculer pour la loi binomiale. Grâce au
théorème suivant, le calcul des probabilitéss est rendu possible à l’aide de la loi normale.
Théorème 6 (Moivre-Laplace) : Si Xnsuit une loi binomiale B(n;p), alors la variable aléatoire définie par Zn=Xn−np
pnp(1 −p)converge
vers la loi normale centrée réduite N(0;1). Cela signifie que pour tous a,b∈Rtels que a6b, on a :
lim
n→+∞P(a6Zn6b)=P(a6Z6b)=Zb
a
1
√2πe−x2
2dx où Z֒→N(0;1).
Application pratique : On considère que la limite dans le théorème de Moivre-Laplace est pratiquement atteinte lorsque l’on a simul-
tanément n>30, np >5 et n(1 −p)>5.
Dans ces conditions, pour tous réels aet b,P(a6Xn−np
pnp(1 −p)6b)≈P(a6Z6b) où Z֒→N(0;1).
4 Intervalle de fluctuation, intervalle de confiance
4.1 Intervalle de fluctuation
Théorème 7 (Corollaire 1) : Intervalle de fluctuations de Fn
Si Xn֒→B(n;p) alors la fréquence de succès
Fn=Xn
nvérifie lim
n→+∞P(p−uαpp(1 −p)
√n6Fn6p+uαpp(1 −p) √n)=1−αoù uαvérifie P(−uα6Z6uα)=1−αpour Z֒→N(0;1).
L’intervalle In=[p−uαpp(1 −p)
√n;p+uαpp(1 −p) √n] est appelé intervalle de fluctuation asymptotique de Fnau seuil 1 −α.
La variable Fn=Xn
ncorrespond à la fréquence de succès lors de la répétition de népreuves de Bernouilli indépendantes de paramètre
p.
Démonstration exigible (voir page démonstration) :
Application pratique : Pour α=0,05, on a vu que uα≈1,96 et 1−α=0,95. On en déduit que lorsque n>30, np >5 et n(1 −p)>5,
la fréquence de succès Fnfluctue avec une probabilités de 0,95 dans l’intervalle [p−1,96 pp(1 −p)
√n;p+1,96 pp(1 −p) √n].
Cet intervalle est appelé intervalle de fluctuation asymptotique à 95% de Fn.
Théorème 8 (Corollaire 2) : Intervalle de fluctuations de Fnsimplifié Si Xn֒→B(n;p) alors pour tout p∈]0;1[, il existe un entier n0
tel que pour tout n>n0,P(p−1
√n6Fn6p+1 √n)>0,95.
On retrouve l’intervalle de fluctuation Jn=[p−1
√n;p+1 √n] étudié en classe de seconde.
4.2 Intervalle de confiance
Propriété 3 : Soient Xnune variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n;p), soit Fn=Xn
net soit Jn=[Fn−1
√n;Fn+1 √n].
•Sous les conditions usuelles de précisions (n>30, np >5 et n(1 −p)>5), l’intervalle aléatoire Jncontient pavec une probabilité
d’environ 95%.
•De plus, pour nassez grand, l’intervalle Jncontient pavec une probabilité d’environ 95%.
Définition 3 : On considère une population dans laquelle la proportion d’un certain caractère est p. On prélève au hasard et avec remise
un échantillon de taille net on calcule la fréquence fde ce caractère dans l’échantillon prélevé.
L’intervalle IC =[f−1
√n;f+1 √n] (qui est l’une des réalisation possible de l’intervalle aléatoire Jn) est appelé intervalle de confiance
de la proportion p.
•Sous les conditions usuelles de précision (n>30, np >5 et n(1 −p)>5), le niveau de cette confiance est environ égale à 95%.
•Pour nassez grand, le niveau de cette confiance est au moins égale à 95%.
4

Exercice 4 : le 4 Mai 2007, l’institut de sondage IPSOS effectue un sondage dans la population en âge de voter. Il constitue un échantillon
de 992 personnes que l’on suppose choisies de manière aléatoire. 546 ont déclaré vouloir voter N. Sarkozy et 446 ont déclaré vouloir
voter pour S. Royal.
1. Calculer, pour chacun des candidats, la fréquence des votes de l’échantillon.
2. Déterminer, pour chacun des candidats, l’intervalle de confiance au niveau de 95%.
3. Les résultats réels de l’élection furent les suivants : 53,06% pour N. Sarkozy et 46,94% pour S. Royal. Etaient-ils compatibles
avec les estimations établies?
5