3 Théorème de Moivre-Laplace
La loi binomiale est très utilisée en modélisation, mais certaines probabilités sont impossibles à calculer pour la loi binomiale. Grâce au
théorème suivant, le calcul des probabilitéss est rendu possible à l’aide de la loi normale.
Théorème 6 (Moivre-Laplace) : Si Xnsuit une loi binomiale B(n;p), alors la variable aléatoire définie par Zn=Xn−np
pnp(1 −p)converge
vers la loi normale centrée réduite N(0;1). Cela signifie que pour tous a,b∈Rtels que a6b, on a :
lim
n→+∞P(a6Zn6b)=P(a6Z6b)=Zb
a
1
√2πe−x2
2dx où Z֒→N(0;1).
Application pratique : On considère que la limite dans le théorème de Moivre-Laplace est pratiquement atteinte lorsque l’on a simul-
tanément n>30, np >5 et n(1 −p)>5.
Dans ces conditions, pour tous réels aet b,P(a6Xn−np
pnp(1 −p)6b)≈P(a6Z6b) où Z֒→N(0;1).
4 Intervalle de fluctuation, intervalle de confiance
4.1 Intervalle de fluctuation
Théorème 7 (Corollaire 1) : Intervalle de fluctuations de Fn
Si Xn֒→B(n;p) alors la fréquence de succès
Fn=Xn
nvérifie lim
n→+∞P(p−uαpp(1 −p)
√n6Fn6p+uαpp(1 −p)
√n)=1−αoù uαvérifie P(−uα6Z6uα)=1−αpour Z֒→N(0;1).
L’intervalle In=[p−uαpp(1 −p)
√n;p+uαpp(1 −p)
√n] est appelé intervalle de fluctuation asymptotique de Fnau seuil 1 −α.
La variable Fn=Xn
ncorrespond à la fréquence de succès lors de la répétition de népreuves de Bernouilli indépendantes de paramètre
p.
Démonstration exigible (voir page démonstration) :
Application pratique : Pour α=0,05, on a vu que uα≈1,96 et 1−α=0,95. On en déduit que lorsque n>30, np >5 et n(1 −p)>5,
la fréquence de succès Fnfluctue avec une probabilités de 0,95 dans l’intervalle [p−1,96 pp(1 −p)
√n;p+1,96 pp(1 −p)
√n].
Cet intervalle est appelé intervalle de fluctuation asymptotique à 95% de Fn.
Théorème 8 (Corollaire 2) : Intervalle de fluctuations de Fnsimplifié Si Xn֒→B(n;p) alors pour tout p∈]0;1[, il existe un entier n0
tel que pour tout n>n0,P(p−1
√n6Fn6p+1
√n)>0,95.
On retrouve l’intervalle de fluctuation Jn=[p−1
√n;p+1
√n] étudié en classe de seconde.
4.2 Intervalle de confiance
Propriété 3 : Soient Xnune variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n;p), soit Fn=Xn
net soit Jn=[Fn−1
√n;Fn+1
√n].
•Sous les conditions usuelles de précisions (n>30, np >5 et n(1 −p)>5), l’intervalle aléatoire Jncontient pavec une probabilité
d’environ 95%.
•De plus, pour nassez grand, l’intervalle Jncontient pavec une probabilité d’environ 95%.
Définition 3 : On considère une population dans laquelle la proportion d’un certain caractère est p. On prélève au hasard et avec remise
un échantillon de taille net on calcule la fréquence fde ce caractère dans l’échantillon prélevé.
L’intervalle IC =[f−1
√n;f+1
√n] (qui est l’une des réalisation possible de l’intervalle aléatoire Jn) est appelé intervalle de confiance
de la proportion p.
•Sous les conditions usuelles de précision (n>30, np >5 et n(1 −p)>5), le niveau de cette confiance est environ égale à 95%.
•Pour nassez grand, le niveau de cette confiance est au moins égale à 95%.
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