Exposé VIIB - IMJ-PRG

EXPOSÉ VIIB
ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN
GROUPES
par P. Gabriel
B) Groupes formels
L’étude des groupes formels est habituellement d’une simplicité extrême. Si cela
n’apparaı̂t pas clairement dans les pages qui suivent, la responsabilité en incombe à
un arithméticien, qui prétend connaı̂tre des groupes formels sur « autre chose que des
corps ». (1) Nous avons donc déroulé pour les groupes formels « localement libres sur
des limites projectives d’anneaux artiniens » les généralités qu’on énonce d’habitude
pour les groupes formels définis sur un corps. Pour une étude plus détaillée de ces
derniers, nous renvoyons au séminaire de géométrie algébrique 1964/65 de HeidelbergStrasbourg. (2)
476
0. Rappels sur les anneaux et modules pseudocompacts
Ce paragraphe contient quelques préliminaires techniques ; nous y rappelons et
complétons quelques résultats de [CA] (Des catégories abéliennes, Bull. Soc. Math.
France 90, 1962).
0.1. Un anneau pseudocompact à gauche est un anneau topologique avec élément
unité, séparé et complet, qui possède une base de voisinages de 0 formée d’idéaux à
gauche l de colongueur finie (i.e. longA (A/l) < +∞). Nous allons supposer ici que A
est commutatif, de sorte qu’il n’y a pas à distinguer « entre la gauche et la droite ».
En particulier, les quotients A/l sont des anneaux artiniens et A s’identifie à la limite
projective topologique de ces anneaux qu’on munit de la topologie discrète.
(1) N.D.E. : L’intérêt des groupes formels sur un anneau local noethérien complet apparaı̂t, par
exemple, dans les travaux de Lubin et Tate (cf. [LT65]). L’étude des groupes formels sur une base
arbitraire, et des questions de relèvement et de déformation, en particulier pour les groupes de
Barsotti-Tate (« groupes p-divisibles » ) a donné lieu a une abondante littérature, cf. par exemple
[LT66, Ta67, Gr74, Me72, La75, Fo77, Il85, Br00] ; en particulier, les résultats du présent
exposé sont en grande partie repris dans le chapitre I de [Fo77].
(2) N.D.E. : Les éditeurs ont seulement trouvé un tel séminaire daté 1965/66 et intitulé « Groupes
algébriques linéaires », où la notion de groupe formel n’apparaı̂t pas ; voir par contre [De72].
477
502
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
Un anneau local noethérien complet (A, m) est évidemment pseudocompact
(3)
.
0.1.1. — Tout idéal fermé I de A est l’intersection des idéaux ouverts qui le contiennent. (4) Tout idéal fermé maximal est donc ouvert. De plus, si l est un idéal ouvert de
A, les idéaux maximaux de A/l correspondent biunivoquement aux idéaux maximaux
m qui contiennent l ; ces derniers sont donc ouverts et fermés. Par conséquent, tout
idéal fermé maximal est un idéal maximal ouvert (et donc fermé) ; la réciproque étant
évidente. On notera Υ(A) l’ensemble de ces idéaux.
Si l est un idéal ouvert de A et si m ∈ Υ(A), le localisé (A/l)m est donc un anneau
local si m contient l et est nul sinon. Comme l’anneau A/l est artinien, il est produit
direct d’un nombre fini d’anneaux locaux, ce qu’on peut écrire
Y
(A/l)m .
A/l ≃
m∈Υ(A)
On tire de là des isomorphismes « canoniques »
Y
Y
Y
Am ,
lim(A/l)m ≃
A ≃ lim(A/l) ≃ lim (A/l)m ≃
←−
←−
←−
l
l
m
m
l
m
où l’on a posé :
Am = lim(A/l)m .
←−
l
478
Cette composante locale Am est une limite projective filtrante d’anneaux locaux artiniens, munis de la topologie discrète ; c’est donc un anneau local qui est pseudocompact pour la topologie de la limite projective. (5)
0.1.2. — Soit r(A) l’intersection des idéaux maximaux ouverts
Q de A, c’est-à-dire le
produit cartésien des idéaux mAm lorsqu’on identifie A à m Am . Pour tout idéal
ouvert l de A, l’image de r(A) dans A/l est contenue dans le radical de A/l. Une
certaine puissance de cette image est donc nulle, de sorte que r(A)n est contenu dans
l lorsque n est assez grand. La suite des r(A)n tend donc vers 0.
Il en va de même de la suite des xn , lorsque x appartient à r(A). Autrement dit,
tout élément de r(A) est topologiquement nilpotent et la réciproque est claire. Il
s’ensuit que la suite de terme général 1 + x + · · · + xn est convergente et converge
vers 1/(1 − x) lorsque x ∈ r(A). Cela montre que r(A) est le radical de Jacobson de
A, c.-à-d., l’intersection de tous les idéaux maximaux de A (cf. Bourbaki, Algèbre,
Chap. 8, § 6, th. 1). (6)
(3) N.D.E.
: (lorsqu’on le munit de la topologie m-adique)
: En effet, si x 6∈ I, il existe un idéal ouvert l tel que (x + l) ∩ I = ∅, alors I + l est un idéal
ouvert ne contenant pas x. D’autre part, dans ce qui suit, on a explicité le fait que tout idéal « fermé
maximal » est maximal et ouvert.
(5) N.D.E. : Remarquons que A
m est le localisé de A en l’idéal maximal m. En effet, l’élément unité
em de Am est un idempotent de A n’appartenant pas à m, et comme A = Am × B, où B = A(1 − em ),
alors Am s’identifie au localisé Aem et donc aussi au localisé S−1 A, où S = A − m. D’autre part,
comme em (1 − em ) = 0 alors m contient 1 − em donc aussi B et donc m s’identifie à mAm × B.
(6) N.D.E. : En effet, soit x ∈ r(A) ; si m est un idéal maximal ne contenant pas x, il existe y ∈ A tel
que 1−xy ∈ m, or xy ∈ r(A) donc 1−xy est inversible, d’où une contradiction. Notons la conséquence
suivante : si Υ(A) est un ensemble fini {m1 , . . . , mr }, les mi sont tous les idéaux maximaux de A.
(4) N.D.E.
0. RAPPELS SUR LES ANNEAUX ET MODULES PSEUDOCOMPACTS
503
Remarques. — (7) a) Si p est un idéal premier ouvert de A alors, comme A/p est
artinien, p est un idéal maximal. Par conséquent, Υ(A) égale l’ensemble des idéaux
premiers ouverts de A.
b) Chaque mAm est un idéal de définition de Am , i.e. un idéal ouvert I tel que la
suite des In tende vers 0 (cf. EGA 0I , 7.1.2). Par conséquent, Spec(Am /mAm ), muni
de l’anneau topologique Am , est un schéma formel affine au sens de EGA I, 10.1.2.
c) L’anneau topologique A est admissible au sens de EGA 0I , 7.1.2, si et seulement
si r(A) est ouvert (donc un idéal de définition), et ceci a lieu si et seulement si Υ(A) est
fini. Dans ce cas, le schéma formel affine Spf(A) = Spec(A/r(A)) (cf. EGA I, 10.1.2) a
Υ(A), muni de la topologie discrète, comme espace sous-jacent, etQ
le faisceau structural
a pour anneau de sections sur une partie E de Υ(A) le produit m∈E Am .
d) Soit A un anneau pseudocompact arbitraire. En 1.1 plus bas, l’espace Υ(A) est
muni de la topologie
Q discrète et du faisceau d’anneaux dont l’anneau des sections sur
toute partie E est m∈E Am . D’après b), tout point admet alors un voisinage ouvert
qui est un schéma formel affine, donc ceci définit un schéma formel (EGA I, 10.4.2),
qu’on notera Spf(A). (Pour que ce schéma formel soit affine, il faut qu’il soit quasicompact, donc que Υ(A) soit fini, et en ce cas Spf(A) coı̈ncide avec la définition de
EGA I, 10.1.2).
0.1.3. — Si A et B sont deux anneaux pseudocompacts, un homomorphisme de A
dans B est, par définition, une application continue compatible avec l’addition, la
multiplication et les éléments unité. Un tel homomorphisme envoie un élément topologiquement nilpotent de A sur un élément topologiquement nilpotent de B ; il
applique donc le radical r(A) de A dans le radical r(B) de B.
0.2. Soit A un anneau pseudocompact (commutatif). Un A-module pseudocompact
M est un A-module topologique, séparé et complet, qui possède une base de voisinages
de 0 formée de sous-modules M′ tels que M/M′ soit de longueur finie sur A.
Si M et N sont deux A-modules pseudocompacts, un morphisme de M dans N est
par définition une application A-linéaire continue. On notera Homc (M, N) le groupe
de ces morphismes.
Proposition 0.2.B. — (8) (i) Les A-modules pseudocompacts forment une catégorie
abélienne, qu’on notera PC(A). (En particulier, pour tout morphisme f : M → N,
Im(f ) est un sous-module complet, donc fermé dans N).
(ii) Les A-modules pseudocompacts de longueur finie (dont la topologie est donc
discrète) forment un système de cogénérateurs de PC(A).
(7) N.D.E. : On a ajouté ces remarques, afin de pouvoir comparer la définition du spectre formel
Spf(A) donnée en 1.1, avec celles de EGA I, 10.1.2 et 10.4.2.
(8) N.D.E. : On a mis en évidence les résultats de ce paragraphe dans la proposition qui suit, et l’on
a indiqué ensuite les étapes de la démonstration, cf. [CA], § IV.3 ou [DG70], § V.2.
479
504
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
(iii) Les produits infinis et limites projectives filtrantes sont exacts, c.-à-d., PC(A)
vérifie l’axiome (AB5∗ ). (9)
Pour la commodité du lecteur, indiquons brièvement les étapes de la démonstration.
D’abord, on a le lemme suivant ([CA] § IV.3, Lemme 1 ; pour la démonstration, voir [BEns],
III, § 7.4, th. 1 et exemple 2) :
Lemme 0.2.C. — Soient B un anneau, I un ensemble ordonné filtrant, (Mi ) et (Ni ) deux
systèmes projectifs de B-modules à gauche, indexés par I. Soit (si ) un morphisme de systèmes
projectifs (Mi ) → (Ni ), tel que si soit surjectif et de noyau artinien pour tout i. Alors,
l’application
lim si :
←−
lim Mi −→ lim Ni
←−
←−
est surjective.
Corollaire 0.2.D ([CA] § IV.3, Prop. 10 & 11). — Soit M un A-module pseudocompact.
(i) Soit K un sous-module fermé de M. Alors M/K, muni de la topologie quotient, est un
A-module pseudo-compact.
(ii) Soit (Mi ) une famille filtrante décroissante de sous-modules fermés de M.
T
(a) L’application canonique M → lim M/Mi est surjective et a pour noyau Mi .
←−
i
T
T
(b) Pour tout sous-module fermé N de M, on a N + Mi = (N + Mi ).
i
i
Démonstration. Soit (Lj ) la famille filtrante décroissante des sous-modules ouverts de M.
On munit M/K de la topologie quotient, i.e. une base de voisinages de 0 est formée par les
sous-modules ouverts (K + Lj )/K. Comme K est fermé, il est égal à l’intersection des K + Lj ,
donc l’application
τ :
M/K −→ lim M/(K + Lj )
←
−
j
est injective. Elle est également ouverte, le terme de droite étant la limite projective des
modules discrets M/(K + Lj ). De plus, pour chaque j, l’application tj : M/Lj → M/(K + Lj )
est surjective, de noyau artinien, donc d’après le lemme précédent, l’application t dans le
diagramme commutatif ci-dessous est surjective :
M
p
∼
/ lim M/Lj
←−j
t
M/K
τ
/ lim M/(K + Lj ).
←−j
Comme p est un isomorphisme puisque M est complet, il en résulte que τ est surjectif, donc
est un isomorphisme. Ceci prouve (i).
(9) N.D.E. : cf. [Gr57], I § 1.5 et Prop. 1.8 ; on peut aussi consulter, par exemple, [Po73], § 2.8 ou
[We95], Append. A.4.
0. RAPPELS SUR LES ANNEAUX ET MODULES PSEUDOCOMPACTS
505
∼
Montrons (ii) (a). D’après ce qui précède, on a pour tout i un isomorphisme M/Mi −→
limj M/(Mi + Lj ), et donc les deux flèches horizontales dans le diagramme commutatif ci←−
dessous sont des isomorphismes :
p
M
/ lim M/Lj
←−j
∼
g
s
limi M/Mi
←−
∼
/ lim
←−i,j
M/(Mi + Lj ).
De plus, pour chaque j, la famille de sous-modules (Mi +Lj )/Lj admet un plus petit élément,
puisque M/Lj est artinien, donc le morphisme sj : M/Lj → limi M/(Lj + Mi ) est surjectif ;
←−
donc, d’après le lemme précédent, s est surjectif. Il en résulte que g est surjectif. Enfin, le
noyau de g est la limite projective des Mi , i.e. leur intersection. Ceci prouve le point (a).
Déduisons-en le point (b). Comme N est un sous-module fermé (donc séparé et complet),
c’est un module pseudocompact pour la topologie induite par celle de M. Donc, d’après (a),
les morphismes f et g dans le diagramme commutatif et exact ci-dessous sont surjectifs :
/N
0
/M
g
f
0
/ M/N
h
/ lim M/Mi
←−i
/ lim N/(N ∩ Mi )
←−i
/0
/ lim M/(N + Mi )
←−i
.
Alors, d’après leT« lemme
T du serpent », la suite 0 → Ker f → Ker g → Ker h → 0 est exacte,
et l’égalité N + Mi = (N + Mi ) en résulte.
i
i
On peut maintenant démontrer la proposition 0.2.B. Soit f : M → N un morphisme de
A-modules pseudocompacts. Alors K = Ker(f ) est un sous-module fermé de M, donc séparé
et complet, donc K est un module pseudocompact pour la topologie induite par celle de M.
D’après 0.2.D (i), M/K muni de la topologie quotient est pseudocompact.
Montrons que le morphisme continu bijectif M/K → Im(f ) est bicontinu. Identifiant M/K
à Im(f ), il s’agit de montrer que la topologie quotient Q est plus fine que la topologie T
induite par celle de N. Notons (Lj ) (resp. (Ni )) l’ensemble filtrant décroissant des sousmodules ouverts de M (resp. N) et posons N′i = Ni ∩ Im(f ). Soit P = (K + Lj )/K un
sous-module de M/K ouvert pour Q. Comme M/(K + Lj ) est artinien, la famille N′i + P a
un plus petit élément N′i0 + P. Comme les N′i sont ouverts, donc fermés, pour T donc aussi
pour Q, il résulte de 0.2.D (ii) (b) que
T
T
N′i0 + P = (N′i + P) = P + N′i = P,
i
i
N′i0
d’où
⊂ P. Ceci montre que P est ouvert pour T , et M/K → Im(f ) est donc un isomorphisme de modules pseudocompacts.
En particulier, Im(f ) est complet pour T , donc fermé dans N. Alors, d’après 0.2.D (i) à
nouveau, Coker(f ) muni de la topologie quotient est pseudocompact. Ceci prouve que PC(A)
est une catégorie abélienne.
D’autre part, les limites projectives arbitraires existent dans PC(A) : si (Mi ) est un
système projectif de modules pseudocompacts, la limite projective des Mi a pour module
506
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
sous-jacent la limite projective des modules sous-jacents, pour topologie celle de la limite
projective. De plus, si l’on a une famille de suites exactes dans PC(A) :
0 −→ Ki −→ Mi −→ Qi −→ 0
Q
alors la suite 0 → i Ki → i Mi → i Qi → 0 est exacte. Le point (iii) de 0.2.B en découle,
car dans toute catégorie abélienne où les produits arbitraires existent, les conditions (a) et
(b) de 0.2.D sont équivalentes et équivalent à l’exactitude des limites projectives filtrantes
(cf. [Mi65], III 1.2–1.9 ou [Po73], Chap. 2, Th. 8.6).
Q
Enfin, tout module pseudocompact M est un sous-module du produit L M/L, où L
parcourt les sous-modules ouverts de M, donc les objets de longueur finie forment un système
de cogénérateurs de PC(A). (De plus, tout objet de longueur n est isomorphe à un quotient
An /L, où L est un sous-module ouvert de An de colongueur n ; ces quotients forment donc
un ensemble de cogénérateurs.) Ceci achève la démonstration de 0.2.B.
Q
Q
(10)
Soient (Ab) la catégorie des groupes abéliens et LF(A) la sous-catégorie pleine
de PC(A) formée des objets de longueur finie. Pour tout objet M de PC(A), notons
hM
c le foncteur :
LF(A) −→ (Ab),
N 7→ Homc (M, N).
D’après [CA], § II.4, th. 1, lemme 4 et cor. 1, on a les résultats suivants. (11)
Proposition 0.2.E. — Le foncteur M 7→ hM
c est une anti-équivalence de PC(A) sur la
catégorie Lex(LF(A), (Ab)) des foncteurs exacts à gauche LF(A) → (Ab).
Corollaire 0.2.F. — (i) Un objet P de PC(A) est projectif si et seulement si le foncteur hP
c est exact (c.-à-d., si et seulement si le foncteur Homc (P, −) est exact sur
LF(A)).
(ii) Soit (Mi ) un système projectif filtrant (12) d’objets de PC(A). Pour tout objet
N de LF(A), on a un isomorphisme fonctoriel en N :
Homc (lim Mi , N) ∼
Homc (Mi , N).
= lim
←−
−→
(iii) Toute limite projective filtrante et tout produit (12) d’objets projectifs de PC(A)
est un objet projectif de PC(A).
Enfin, on déduit de 0.2.F le
Corollaire 0.2.G. — Soit (Mi )i∈I une famille d’objets de PC(A). Alors
projectif si et seulement si chaque Mi l’est.
Q
i∈I
Mi est
(10) N.D.E. : On a inséré dans ce paragraphe la proposition 0.2.E et le corollaire 0.2.F, qui seront
utiles en 0.2.2. (Dans l’original, ces résultats figuraient en 0.3).
(11) N.D.E. : En effet, PC(A) a un ensemble de cogénérateurs artiniens, les limites projectives filtrantes y sont exactes, et LF(A) est la sous-catégorie des objets artiniens. La catégorie duale PC(A)0
a donc un ensemble de générateurs noethériens, et les limites inductives filtrantes y sont exactes.
D’après la démonstration de [CA] § II.4, th. 1, le foncteur M 7→ Homc (M, −) est une anti-équivalence
de PC(A) sur Lex(LF(A), (Ab)). De même, lemme 4 et cor. 1 de loc. cit. énoncent des résultats
« duaux » de ceux du corollaire 0.2.F. Pour une démonstration « directe », voir [DG70], § V.2, th. 3.1,
lemme 3.5, cor. 3.3 & 3.4.
(12) N.D.E. : Comme tout produit infini est une limite projective filtrante de produits finis, tout
foncteur additif qui commute aux limites projectives filtrantes commute aussi aux produits infinis.
0. RAPPELS SUR LES ANNEAUX ET MODULES PSEUDOCOMPACTS
507
L
Q
En effet, pour tout N ∈ Ob LF(A), on a Homc ( i Mi , N) ∼
= i Homc (Mi , N).
0.2.1. — Chaque composante locale Am de A est un facteur direct de A, donc un objet
projectif de PC(A) (A est manifestement projectif). De plus, Am a Sm = Am /mAm
pour unique quotient simple, donc est indécomposable. D’autre part, tout objet simple
de PC(A) est isomorphe à un unique Sm . D’après [CA], IV § 3, cor. 1 du th. 3, (13)
on a donc :
Proposition. — (i) Tout objet projectif de PC(A) est produit direct d’objets projectifs
indécomposables, uniquement déterminés (à isomorphisme près).
(ii) Tout objet projectif indécomposable est isomorphe à un unique Am (m ∈ Υ(A)).
Définition. — Un A-module pseudocompact M est dit topologiquement libre s’il est
isomorphe au produit d’une famille (Ai ) d’exemplaires de A.
Dans ce cas, une famille (mi ) d’éléments de M est appelée une pseudobase de M si
les applications A-linéaires de Ai dansQM qui envoient l’élément unité de Ai sur mi
se prolongent en un isomorphisme de i Ai sur M.
0.2.2. — (14) Si M est un A-module pseudocompact, on notera M† le A-module (sans
topologie) Homc (M, A).
Réciproquement, si N est un A-module, on note N∗ = HomA (N, A) son dual, muni
de la topologie de la convergence ponctuelle, c.-à-d., une base de voisinages de 0 dans
N∗ est formée par les sous-modules suivants, où x ∈ N et l est un idéal ouvert de A :
V (x, l) = {f ∈ N∗ | f (x) ∈ l}.
Ceci fait de N∗ un A-module pseudocompact. En effet, on voit d’abord que si N = A,
alors N∗ = A, muni de sa topologie d’anneau pseudo-compact, et si N est un module
libre A(I) , alors N∗ est le produit AI , muni de la topologie produit. D’autre part, pour
tout morphisme φ : N1 → N2 , le morphisme transposé t φ : N∗2 → N∗1 est continu,
puisque l’image inverse par t φ d’un sous-module V (x1 , l) de N∗1 n’est autre que le
sous-module V (φ(x1 ), l) de N∗2 . Alors, pour N arbitraire, prenant une présentation
A(J)
φ
/ A(I)
π
/N
/0,
on voit que N∗ est le noyau du morphisme continu t φ : AI → AJ , donc N∗ est pseudocompact.
Lorsque A est artinien (auquel cas on peut prendre ci-dessus l = 0), on déduit de
0.2.F :
Proposition. — Lorsque A est artinien, les foncteurs
P 7→ P
(13) N.D.E.
†
et
480
∗
Q 7→ Q ,
: Ceci renvoie aux énoncés « duaux », établis dans loc. cit., § 2, Th. 2 et § 1, Prop. 2 ; pour
une démonstration « directe », voir [DG70], V, § 2, Th. 4.5 et Exemple 4.6 b).
(14) N.D.E. : On a détaillé les résultats de ce paragraphe, qui jouent un rôle important dans la suite
(cf. 1.2.3, 1.3.5, 2.2.1, etc.).
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
508
où P (resp. Q) est un objet projectif de PC(A) (resp. un A-module projectif ), établissent une anti-équivalence entre la catégorie des A-modules pseudocompacts projectifs et celle des A-modules projectifs. (15)
En particulier, lorsque A est un corps k, P 7→ P† est une anti-équivalence de la
catégorie de tous les k-modules pseudocompacts (on parle aussi de k-espaces vectoriels
linéairement compacts) sur celle des k-espaces vectoriels. (16)
0.3.
(17)
Soient L et M deux A-modules pseudocompacts. Le foncteur
LF(A) −→ (Ab),
N 7→ Bilc (L × M, N),
où Bilc (L × M, N) désigne le groupe abélien des applications A-bilinéaires continues
de L × M dans N, est exact à gauche.
b A M, unique à isoD’après 0.2.E, il existe donc un A-module pseudocompact L ⊗
morphisme unique près, qui représente ce foncteur, i.e. tel qu’on ait un isomorphisme
fonctoriel, pour tout objet N de LF(A) :
b A M, N) ≃ Bilc (L × M, N).
Homc (L ⊗
481
b A M s’identifie à la limite projective P = L\
De plus, L ⊗
⊗A M des A-modules
(discrets) (L/L′ ) ⊗A (M/M′ ), où L′ et M′ parcourent respectivement les sous-modules
ouverts de L et de M.
En effet, soit ϕ : L × M → N une application bilinéaire continue de L × M dans un
A-module (discret) de longueur finie N. D’après le lemme 0.3.1 ci-dessous, il existe
des sous-modules ouverts L′ et M′ de L et M tels que ϕ(L′ × M) = ϕ(L × M′ ) = {0}.
Cela signifie que l’application ϕ : L ⊗A M → N, qui est induite par ϕ, est de la forme
ϕ′ ◦ p, où p est la projection canonique de L ⊗A M sur (L/L′ ) ⊗A (M/M′ ). Si l’on note
ϕ
b la composée :
P
/ (L/L′ ) ⊗A (M/M′ )
ϕ′
/ N,
on voit que l’application ϕ 7→ ϕ
b est une bijection fonctorielle de Bilc (L × M, N) sur
b A M.
Homc (P, N), d’où P ∼
= L⊗
b A M est donc le séparé complété de L ⊗A M, pour
Le module pseudocompact L ⊗
la topologie linéaire définie par les noyaux des projections canoniques de L ⊗A M sur
(L/L′ ) ⊗A (M/M′ ), et on l’appellera le produit tensoriel complété de L et M.
b A M sera notée x ⊗
b A y.
Si x et y appartiennent à L et M, l’image de x ⊗A y dans L ⊗
0.3.1. Lemme. — Soient L, M et N des A-modules pseudocompacts, N étant de longueur finie. Si ϕ : L × M → N est une application A-bilinéaire continue, il existe des
sous-modules ouverts L′ et M′ de L et M tels que ϕ(L′ × M) = ϕ(L × M′ ) = {0}.
(15) N.D.E.
: Rappelons d’autre part que, sur un anneau artinien, un module est projectif si, et
seulement si, il est plat, voir par exemple VIB , N.D.E. (54) ou 0.3.7 plus loin.
(16) N.D.E. : On notera que la somme directe dans PC(k) d’une famille (V )
i i∈I de k-espaces vectoriels
Q
linéairement compacts est ( i∈I Vi† )∗ .
(17) N.D.E. : On a modifié ce paragraphe, en tenant compte des ajouts faits en 0.2.
0. RAPPELS SUR LES ANNEAUX ET MODULES PSEUDOCOMPACTS
509
En effet, ϕ−1 (0) est un voisinage ouvert de (0, 0), donc contient un ouvert de la
forme L1 × M1 , où L1 et M1 sont des sous-modules ouverts de L et M. Comme L/L1 est
de longueur finie, il existe des éléments x1 , . . . , xr de L tels que L1 +Ax1 +· · ·+Axr = L.
Si M′ ⊂ M1 est « assez petit », on a aussi ϕ(xi , M′ ) = 0 pour tout i, parce que
l’application y 7→ ϕ(xi , y) est continue ; on tire de là ϕ(L, M′ ) = {0} ; de même,
ϕ(L′ , M) = {0} si L′ est assez petit.
Corollaire 0.3.1.1. — (18) Soit M un A-module pseudocompact.
(i) Pour tout sous-module ouvert M′ , il existe un idéal ouvert l de A tel que l M ⊂
′
M.
(ii) Par conséquent, M ≃ liml M/l M, où l parcourt le système projectif filtrant des
←−
idéaux ouverts de A et chaque M/l M est muni de la topologie quotient (qui en fait
un module pseudocompact, cf. 0.2.D).
En effet, considérons l’application ϕ : A × M → M/M′ , (a, m) 7→ am + M′ ; d’après
0.3.1 il existe un idéal ouvert l de A tel que lM ⊂ M′ et comme M′ est aussi fermé,
il contient T
aussi lM. Comme l’intersection des sous-modules ouverts de M est nulle,
on a donc l lM = (0). D’autre part, d’après 0.2.D, l’application φ : M → liml M/l M
←−
est surjective ; d’après (la démonstration de) 0.2.B, φ induit donc un isomorphisme
T
∼
M/ Ker(φ) −→ liml M/l M, or on vient de voir que Ker(φ) = l l M est nul.
←−
Remarque 0.3.1.2. — (19) Le produit tensoriel complété vérifie la condition usuelle
d’associativité : si L, M, P sont des A-modules pseudocompacts, on a un isomorphisme
canonique
b M) ⊗
b P ≃ L ⊗(M
b
b P);
(L ⊗
⊗
en effet, ces deux objets représentent le foncteur qui associe à tout objet N de LF(A)
le groupe abélien des applications A-trilinéaires continues de L × M × P dans N.
f
g
0.3.2. — Soient L′ −
→L−
→ L′′ → 0 une suite exacte et M un objet de PC(A). Il est
clair que pour tout objet N de LF(A), les suites induites :
0
/ Bilc (L′′ × M, N)
/ Bilc (L × M, N)
/ Bilc (L′ × M, N)
0
/ Homc (L′′ ⊗
b A M, N)
/ Homc (L ⊗
b A M, N)
/ Homc (L′ ⊗
b A M, N)
sont exactes. D’après 0.2.E, ceci équivaut à dire que la suite
(∗)
est exacte. Donc :
bA M
L′ ⊗
b
f ⊗M
/ L⊗
bA M
b
g⊗M
/ L′′ ⊗
bA M
/0
b A M est exact à
Corollaire. — Pour tout A-module pseudocompact M, le foncteur − ⊗
droite.
(18) N.D.E.
(19) N.D.E.
: On a ajouté ce corollaire.
: On a ajouté cette remarque.
482
510
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
Prenons en particulier pour L l’anneau A, pour f l’inclusion d’un idéal fermé a dans
b A M à
A, pour g la projection canonique de A sur A/a. On peut alors identifier A ⊗
b
b
M au moyen de l’application x ⊗A m 7→ x m. Comme l’image de a ⊗A M est fermée
b A M, l’image
dans M (cf. 0.2.B) et que l’image de a ⊗A M est partout dense dans a ⊗
b
de f ⊗A M n’est autre que l’adhérence aM de aM dans M. La suite exacte (∗) entraı̂ne
donc l’isomorphisme :
∼
b A M −→
(A/a) ⊗
M/aM.
0.3.3. Lemme de Nakayama. — Soient A un anneau pseudocompact, M un A-module
pseudocompact et a un idéal de A contenu dans le radical r(A). L’égalité aM = M
entraı̂ne alors M = 0.
En effet, supposons aM = M. (20) Soient M′ un sous-module ouvert de M et M′′
le quotient M/M′ . Comme M′′ est discret, aM′′ est fermé dans M′′ , donc égal à aM′′ .
D’après 0.3.2, l’application canonique de M/aM dans M′′ /aM′′ est surjective, de sorte
qu’on a aM′′ = aM′′ = M′′ . Puisque M′′ est un A-module de type fini et a ⊂ r(A),
ceci entraı̂ne M′′ = 0, d’après le lemme de Nakayama usuel. Par conséquent, tout
sous-module ouvert M′ de M est égal à M, donc M est nul (21) .
483
0.3.4. — On tire du lemme de Nakayama les conséquences habituelles :
Corollaire. — Soient a un idéal fermé contenu dans r(A) et f : M → N un morphisme
de A-modules pseudocompacts.
(i) f est surjectif si l’application induite f ′ : M/aM → N/aN l’est. (22)
(ii) Si N est projectif, f est inversible si f ′ l’est.
En effet, (i) résulte du lemme 0.3.3 appliqué à Coker f . Pour (ii), supposons f ′
inversible. Alors, d’après (i), f est surjectif, donc possède une section ; on applique
alors 0.3.3 à Ker f .
Lorsque A est local d’idéal maximal m, on peut aussi déduire de 0.3.3 le théorème
d’échange qui suit :
Théorème. — Soient A un anneau pseudocompact local, m son idéal maximal, M un
A-module topologiquement libre de pseudobase (mi )i∈I (0.2.1) et N un facteur direct
(fermé) de M. Il existe une pseudobase de M formée d’éléments de N et de certains
mi .
En effet, cela est clair lorsque A est un corps (se servir alors de la dualité de
0.2.2 et appliquer le théorème d’échange habituel) ; par conséquent, N/mN (23) a pour
supplémentaire un module topologiquement libre sur A/m de pseudobase (mi )i∈J , où
mi est l’image de mi dans M/mM et J une partie de I. Si P désigne le produit direct
(20) N.D.E.
: Quitte à remplacer a par son adhérence, on peut supposer a fermé.
: puisqu’égal à la limite projective des M/M′ = 0.
(22) N.D.E. : Par conséquent, tout A-module pseudocompact est quotient d’un A-module topologiquement libre (on se ramène d’abord au cas où A est local), cf. la preuve de 0.3.7.
(23) N.D.E. : On a corrigé N/mN en N/mN, et de même pour M/mM ci-dessous.
(21) N.D.E.
0. RAPPELS SUR LES ANNEAUX ET MODULES PSEUDOCOMPACTS
511
Q
i∈J Ami , l’application canonique de N ⊕ P dans M est « bijective modulo m » ; elle
est donc bijective d’après ce qui précède (pour une autre preuve voir [CA], § IV.2,
prop. 8).
0.3.5. — Considérons maintenant trois A-modules pseudocompacts L, M et N, où N
est de longueur finie. Munissant le A-module Homc (M, N) de la topologie discrète,
tout élément ψ de Homc (L, Homc (M, N)) définit une application bilinéaire continue
ψ ′ : (ℓ, m) 7→ ψ(ℓ)(m) de L × M dans N. On obtient ainsi un isomorphisme naturel
(1)
∼
b A M, N),
Homc (L, Homc (M, N)) −→ Homc (L⊗
b A M, N), qu’on va utiliser lorsque M est
donc une autre caractérisation de Homc (L ⊗
la limite projective d’un système projectif filtrant de A-modules pseudocompacts Mi .
Alors, d’après (1) et 0.2.F (ii), on a des isomorphismes naturels :
b A lim Mi , N) ≃ Homc (L, Homc (lim Mi , N))
Homc (L ⊗
←−
←−
≃ Homc (L, lim Homc (Mi , N)).
−→
De plus, comme le module lim Homc (Mi , N) est discret, toute application continue
−→
de source L se factorise par un quotient de longueur finie de L. Par conséquent,
l’application naturelle ci-dessous est un isomorphisme :
(2)
(3)
lim Homc (L, Homc (Mi , N)) −→ Homc (L, lim Homc (Mi , N)).
−→
−→
Enfin, d’après (1) et 0.2.F (ii) à nouveau, on a des isomorphismes naturels :
(4)
b A Mi , N)
lim Homc (L, Homc (Mi , N)) ≃ lim Homc (L ⊗
−→
−→
b A Mi ), N).
≃ Homc (lim(L ⊗
←−
Combinant les isomorphismes (2), (3), (4), on obtient :
Proposition. — Soit (Mi ) un système projectif filtrant d’objets de PC(A), et soit L
(resp. N) un objet de PC(A) (resp. LF(A)). On a un isomorphisme fonctoriel en N :
b A lim Mi , N) ≃ Homc (lim(L ⊗
b A Mi ), N),
Homc (L ⊗
←−
←−
et donc un isomorphisme :
b A lim Mi ≃ lim(L ⊗
b A Mi ).
L⊗
←−
←−
Donc le produit tensoriel complété commute aux limites projectives filtrantes.
(24)
0.3.6. — En particulier, (25) le produit tensoriel complété commute aux produits infinis. Par exemple, comme l’anneau A est le produit de ses composantes locales Am
b A M) s’identifie au produit des mo(0.1.1), tout A-module pseudocompact M (≃ A ⊗
b
dules Mm = Am ⊗A M (les composantes locales de M).
(24) N.D.E. : On retrouve ainsi 0.3.1.1 : L = L ⊗
bA A = L ⊗
b A lim (A/l) ≃ lim L/l L, où l parcourt les
←−l
←−l
idéaux ouverts de A.
(25) N.D.E. : cf. N.D.E. (12).
484
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
512
De même, soient M et N deux A-modules pseudocompacts. On rappelle (cf. 0.2.2)
que M† désigne Homc (M, A). Considérons l’application
b A N)†
ϕ : M† ⊗A N† −→ (M ⊗
b n 7→ f (m)g(n) de
qui associe à un élément f ⊗ g de M† ⊗A N† l’application m ⊗
b A N dans A. Cette application ϕ est bijective lorsque M est isomorphe à A.
M⊗
Corollaire. — Lorsque A est artinien, ϕ est un isomorphisme chaque fois que M est
topologiquement libre (ou plus généralement projectif ).
b A N)† (resp. M 7→ M† ⊗A N† ) transforme
En effet, pour N fixé, le foncteur M 7→ (M ⊗
tout produit direct en somme directe, d’après ce qui précède et 0.2.F.
Remarque 0.3.6.A. — (26) En utilisant 0.2.F de façon similaire, on obtient aussi le
résultat suivant : Soient A un anneau artinien, M, Q des objets de PC(A), et N un
objet de LF(A). On suppose Q projectif ; alors on a des isomorphismes naturels :
∼
Homc (M, Q) −→ HomA (Q† , M† )
485
et
∼
Q† ⊗A N −→ Homc (Q, N).
b A M est évidemment exact.
0.3.7. — Pour tout m ∈ Υ(A), le foncteur M 7→ Am ⊗
Comme tout A-module pseudocompact projectif P est un produit de modules de la
b A M est exact lorsque P est projectif.
forme Am , il en résulte que le foncteur M 7→ P ⊗
La réciproque est vraie :
Proposition. — Soient A un anneau pseudocompact, P un A-module pseudocompact.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) P est un objet projectif de PC(A).
(ii) Chaque composante locale Pm est un Am -module topologiquement libre.
b A M est exact.
(iii) Le foncteur M 7→ P ⊗
En effet, l’équivalence de (i) et (ii) résulte de 0.2.F (iii) et 0.2.1, et l’on vient de
b A M exact. Comme P ⊗
b A M est
voir que (ii) ⇒ (iii). Supposons le foncteur M 7→ P ⊗
le produit de ses composantes locales :
b A M)m ≃ Pm ⊗
b Am Mm ,
(P ⊗
on est ramené au cas où l’anneau A est local. On va prouver alors que P est topologiquement libre.
Soit m l’idéal maximal de A ; alors P/mP est un espace vectoriel linéairement
compact sur A/m, donc un produit d’exemplaires de A/m (cf. 0.2.2). Il y a donc une
(26) N.D.E.
: On a ajouté cette remarque, qui sera utile en 2.3.1.
0. RAPPELS SUR LES ANNEAUX ET MODULES PSEUDOCOMPACTS
famille (A
Qi )i∈I d’exemplaires de A et un isomorphisme ϕ :
Comme i∈I Ai est projectif, il y a un carré commutatif
Q
ψ
Ai
Q
i∈I (Ai /m)
513
∼
−→ P/mP.
/P
i∈I
q
p
Q
(Ai /m)
/ P/mP
ϕ
∼
i∈I
où p et q désignent les projections canoniques. Appliquant le lemme de Nakayama à
b A ψ n’est autre que ϕ, on voit que ψ est surjectif. (27)
Coker ψ et notant que (A/m) ⊗
Q
Posant alors B = i∈I Ai et N = Ker ψ, on a le diagramme commutatif et exact
suivant :
0
bN
m⊗
A
0
?
- A⊗
bN
A
?
- m⊗
bP
- m⊗
bB
A
?
- A⊗
bB
A
A
ψ
?
- A⊗
bP
A
?
?
?
ϕ
b N - (A/m) ⊗
bB bP
(A/m) ⊗
(A/m) ⊗
A
A
A
- 0
- 0
- 0
.
Le « lemme du serpent » appliqué aux deux premières lignes montre alors que, dans
b A N → (A/m) ⊗
b A B est un monomorphisme.
la ligne du bas, le morphisme (A/m) ⊗
b
Mais alors, comme ϕ est un isomorphisme, (A/m) ⊗A N est nul ; d’où N = 0 (0.3.3)
et ψ un isomorphisme. (28)
0.3.8. Corollaire. — Soient A un anneau local, noethérien, complet et P un A-module
pseudocompact. Alors P est topologiquement libre si et seulement si P est plat sur A.
b A P est bijective lorsque M
En effet, l’application canonique de M ⊗A P dans M ⊗
est égal à A, donc aussi lorsque M est noethérien (prendre une présentation finie de M
et utiliser l’exactitude à droite du produit tensoriel et du produit tensoriel complété).
(27) N.D.E.
: Ceci montre le résultat annoncé dans la N.D.E. (22) : tout A-module pseudocompact M
est quotient d’un A-module topologiquement libre. (Comme les produits sont exacts dans PC(A), on
se ramène au cas où A est local, traité ci-dessus.)
(28) N.D.E. : Une démonstration tout-à-fait analogue, utilisant le « lemme de Nakayama nilpotent »,
montre que si A est artinien et P un A-module plat, chaque composante locale de P est un A-module
libre (cf. [BAC], II § 3.2, cor. 2 de la prop. 5).
486
514
487
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
Or P est plat si et seulement si le foncteur M 7→ M⊗A P est exact quand M parcourt
les modules noethériens. De même, on a vu dans la démonstration de la proposition
0.3.7 que P est topologiquement libre si la suite
b A P −→ A ⊗
b A P −→ (A/m) ⊗
b A P −→ 0
0 −→ m ⊗
est exacte. Donc P est topologiquement libre si et seulement si le foncteur M 7→
b A P est exact quand M parcourt les modules noethériens. Le corollaire résulte
M⊗
b A P établie ci-dessus.
donc de l’égalité M ⊗A P = M ⊗
0.4. Soit k un anneau pseudocompact ; une k-algèbre topologique est un anneau
topologique A (commutatif), muni d’un morphisme d’anneaux topologiques k → A.
On dit que A est une k-algèbre profinie si le k-module topologique sous-jacent est
pseudocompact.
Dans ce cas, soit l un k-sous-module ouvert de A. L’application composée
mult.
can.
ϕ : A × A −−−→ A −−→ A/l
est continue, donc, d’après le lemme 0.3.1, il existe un k-sous-module ouvert n de A
tel que ϕ(A × n) = 0. Cela signifie que l contient l’idéal ouvert An et entraı̂ne que A
est un anneau pseudocompact.
De même, soit M un A-module topologique dont le k-module sous-jacent est pseudocompact. Si M′ est un k-sous-module ouvert de M, le lemme 0.3.1 appliqué à l’application
mult.
can.
A × M −−−→ M −−→ M/M′
montre que M′ contient un A-sous-module ouvert, donc que M est aussi un A-module
pseudocompact. (29) Réciproquement :
Lemme. — Soient A une k-algèbre profinie et M un A-module pseudocompact. Alors,
le k-module M|k obtenu par restriction des scalaires est pseudocompact.
En effet, tout A-module pseudocompact de longueur finie est isomorphe à un quotient An /L (où L est un sous-module ouvert de An ), donc est un k-module pseudocompact. Comme M|k est une limite projective de tels modules, c’est un k-module
pseudocompact.
488
0.4.1. — Si A et B sont deux k-algèbres profinies, un morphisme de A dans B est, par
définition, un homomorphisme continu de k-algèbres. On notera Alp/k la catégorie
des k-algèbres profinies.
Elle possède évidemment des limites projectives : l’algèbre sous-jacente à une limite
projective est la limite projective des algèbres sous-jacentes ; la topologie est celle de
la limite projective.
Elle possède aussi des limites inductives finies (30) : par exemple, si f : A → B et
g : A → C sont deux morphismes de k-algèbres profinies, la somme amalgamée de
b A C pour A-module topologique sous-jacent (d’après 0.4, f et g
B et C sous A a B ⊗
(29) N.D.E.
(30) N.D.E.
: On a ajouté le lemme qui suit, cf. la N.D.E. (36) dans la proposition 0.5.
: On verra en 0.4.2 qu’elle possède des limites inductives arbitraires.
0. RAPPELS SUR LES ANNEAUX ET MODULES PSEUDOCOMPACTS
515
munissent B et C de structures de A-module pseudocompact) ; la multiplication de
b A C est évidemment telle que (b ⊗
b c)(b′ ⊗
b c′ ) = (bb′ ) ⊗
b (cc′ ) si b, b′ ∈ B et c, c′ ∈ C.
B⊗
0.4.2. Définition. — Une k-algèbre profinie C sera dite de longueur finie si le k-module
sous-jacent est de longueur finie (donc discret) ; nous noterons Alf /k la sous-catégorie
pleine de Alp/k formée des k-algèbres de longueur finie. (31)
Pour toute k-algèbre profinie A, on notera hA le foncteur :
Alf /k −→ (Ens),
C 7→ HomAlp/k (A, C).
Il est clair que hA est un foncteur exact à gauche (32) . De plus, les projections
canoniques A → A/l (où l parcourt les idéaux ouverts de A), induisent, pour tout
objet C de Alf /k un isomorphisme canonique
∼
lim HomAlf /k (A/l, C) −→ HomAlp/k (A, C) ,
−→
l
fonctoriel en C. Cela signifie que hA est la limite inductive des foncteurs représentables
hA/l , c.-à-d.,
(∗)
hA ≃ lim hA/l .
−→
l
Si B est une autre k-algèbre profinie, les propriétés générales du bifoncteur Hom et
l’isomorphisme Hom(hC , hB ) = hB (C) pour C de longueur finie, donnent des isomorphismes :
HomAlp/k (B, A) ≃ lim HomAlp/k (B, A/l)
←−
≃ lim Hom(hA/l , hB )
←−
≃ Hom(lim hA/l , hB ) ;
−→
l
combiné avec (∗) ceci montre que le foncteur contravariant A 7→ hA est pleinement
fidèle. En fait :
Proposition. — Le foncteur A 7→ hA est une anti-équivalence de Alp/k sur la catégorie des foncteurs exacts à gauche de Alf /k dans (Ens).
Il suffit en effet, d’après ce qui précède, de montrer que tout foncteur exact à
gauche F : Alf /k → (Ens) est isomorphe à un foncteur du type hA ; pour cela, on
peut construire A comme suit (cf. TDTE II, § 3).
Comme F est exact à gauche, il y a, pour toute k-algèbre de longueur finie C et pour
tout élément ξ de F(C), une plus petite sous-algèbre C′ de C telle que ξ appartienne à
l’image de F(C′ ) dans F(C). Si l’on a C′ = C, on dit que le couple (C, ξ) est minimal.
Les couples minimaux forment une catégorie si l’on prend pour morphismes de
(C, ξ) dans (D, η) les homomorphismes ϕ de C dans D tels que (Fϕ)(ξ) = η ; il est
clair qu’un tel ϕ est une surjection et que la catégorie des couples minimaux est
(31) N.D.E.
(32) N.D.E.
: Attention, k n’est un objet de Alf /k que si k est artinien, cf. 1.2.2 plus loin.
: c.-à-d., qui commute aux limites projectives finies.
489
516
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
« filtrante à gauche ». De plus, on peut se restreindre aux couples (C, ξ) tels que C
appartienne à un ensemble contenant des k-algèbres de longueur finie de chaque type
d’isomorphisme (33) . Donc, le foncteur (C, ξ) 7→ C, qui a pour catégorie de départ
celle des couples minimaux et pour catégorie d’arrivée celle des k-algèbres profinies,
possède une limite projective ; on prend pour A cette limite projective.
Corollaire. — La catégorie Alp/k possède des limites inductives infinies.
En effet, la catégorie des foncteurs exacts à gauche de Alf /k vers (Ens) possède
des limites projectives, qui sont définies « argument par argument », c.-à-d., si (Fi )
est un système projectif de tels foncteurs, on a, pour tout objet C de Alf /k :
(lim Fi )(C) = lim Fi (C) .
←−
←−
490
(34)
0.5. (35) Soit ϕ : k → ℓ un homomorphisme d’anneaux pseudocompacts (cf. 0.1.3).
On peut généraliser la construction de 0.3 comme suit.
Définition 0.5.A. — Pour tout objet M de PC(k) (resp. N de PC(ℓ)), nous noterons
b k N le séparé complété de M ⊗k N pour la topologie linéaire définie par les noyaux
M⊗
des projections :
M ⊗k ℓ −→ (M/M′ ) ⊗k (N/N′ ) ,
b k N est un
où M′ (resp. N′ ) est un sous-module ouvert de M (resp. de N). Alors, M ⊗
b
ℓ-module pseudocompact. Si m ∈ M et x ∈ N, nous noterons m ⊗k x l’image canonique
b k N.
de m ⊗k x dans M ⊗
b k ℓ est le
Ceci s’applique en particulier lorsque N = ℓ, dans ce cas on dira que M ⊗
ℓ-module pseudocompact déduit de M par le changement de base k → ℓ.
Remarques 0.5.B. — (i) Lorsqu’on considérera un tel changement de base, ℓ ne sera
pas en général une k-algèbre profinie : un exemple typique est le cas où k est un corps
et ℓ est une extension arbitraire K de k.
(ii) Toutefois, si le k-module sous-jacent à N est pseudocompact (par exemple si ℓ
est une k-algèbre profinie) alors, d’après 0.4, tout sous-k-module ouvert de N contient
b k N coı̈ncide dans ce cas avec
un sous-ℓ-module ouvert de N ; par conséquent, M ⊗
le produit tensoriel complété (cf. 0.3) des k-modules pseudocompacts M et N, et la
notation ne comporte donc pas d’ambiguı̈té.
(33) N.D.E. : En effet, tout k-module discret de longueur n est isomorphe à k n /L, où L est un
sous-module ouvert de k n de colongueur n. Ensuite, on peut considérer l’ensemble des (classes
d’isomorphisme de) structures de k-algèbre profinie sur chaque tel module.
(34) N.D.E. : Si (A )
i i∈I est un système inductif de Alp/k , sa limite inductive dans Alp/k est le séparé
complété de la k-algèbre B, limite inductive des k-algèbres sous-jacentes, pour la topologie définie
par les idéaux I tels que I ∩ Ai soit un idéal ouvert de Ai pour tout i, et longk (B/I) < ∞. Noter
que si, par exemple, K/k est une extension algébrique de corps, de degré infini, et si (ki ) désigne le
système inductif filtrant des sous-extensions de degré fini, alors la limite inductive du système (ki )
dans Alp/k est l’anneau nul !
(35) N.D.E. : On a détaillé ce paragraphe.
1. VARIÉTÉS FORMELLES SUR UN ANNEAU PSEUDOCOMPACT
517
Le k-module N|k obtenu par restriction des scalaires est de toute façon un k-module
topologique, i.e. l’application k × N → N, (t, n) 7→ ϕ(t)n est continue. On notera
Homc (M, N|k ) le groupe abélien des homomorphismes continus de k-modules de M
dans N|k .
Proposition 0.5.C. — Pour tout M ∈ Ob PC(k) et N ∈ Ob PC(ℓ), on a un isomorphisme fonctoriel
b k ℓ, N) ≃ Homc (M, N|k ).
HomPC(ℓ) (M ⊗
(36)
En effet, soit φ un homomorphisme continu M → N|k , alors l’application φ′ :
M × ℓ → N, (m, λ) 7→ λφ(m) est continue et « bilinéaire » (c.-à-d., k-linéaire en le
premier facteur et ℓ-linéaire en le second). Si N′ un sous-ℓ-module ouvert de N, on
montre comme dans le lemme 0.3.1 qu’il existe un sous-module ouvert M′ de M et un
idéal ouvert ℓ′ de ℓ tels que φ′ (M′ × ℓ) et φ′ (M × ℓ′ ) soient contenus dans N′ . Il en
b k ℓ → N, tel
résulte que φ induit un homomorphisme continu de ℓ-modules Φ : M ⊗
b
que Φ(m ⊗ λ) = λφ(m), pour tout m ∈ M et λ ∈ ℓ.
b k ℓ → N le morphisme
Réciproquement, on associe à tout morphisme f : M ⊗
′
b
f : m 7→ f (m ⊗k 1) de M dans N|k .
On obtient alors, comme en 0.3.2, 0.3.5 et 0.3.1.2, le :
b k ℓ est exact à droite,
Corollaire 0.5.D. — Le foncteur PC(k) → PC(ℓ), M 7→ M ⊗
et commute aux limites projectives filtrantes, c.-à-d., si (Mi ) est un système projectif
filtrant d’objets de PC(k), on a un isomorphisme canonique :
b k ℓ ≃ lim(Mi ⊗
b k ℓ).
(lim Mi ) ⊗
←−
←−
De plus, si M, N sont des k-modules pseudocompacts, on a un isomorphisme canonique :
b k N) ⊗
bk ℓ ∼
b k ℓ) ⊗
b ℓ (N ⊗
b k ℓ).
(M ⊗
= (M ⊗
b k ℓ une et une
Définition 0.5.E. — Enfin, si A est une k-algèbre profinie, il y a sur A ⊗
seule structure de ℓ-algèbre profinie telle que, si a, b ∈ A et λ, µ ∈ ℓ,
b k λ)(b ⊗
b k µ) = (ab) ⊗
b k (λµ).
(a ⊗
b k ℓ est la ℓ-algèbre profinie déduite de A par l’extension des scalaires
On dit que A ⊗
(ou le « changement de base » ) k → ℓ.
1. Variétés formelles sur un anneau pseudocompact
1.1. On peut associer à tout anneau pseudocompact A un schéma formel (EGA I,
10.4.2) en procédant comme suit : l’espace topologique sous-jacent est l’ensemble Υ(A)
des idéaux premiers ouverts (donc maximaux) de A,
Q qu’on munit de la topologie discrète ; le faisceau structural a le produit cartésien m∈E Am pour espace des sections
(36) N.D.E. : Par conséquent, si ℓ est une k-algèbre profinie, le foncteur M 7→ M ⊗
b k ℓ est adjoint à
gauche du foncteur de restriction des scalaires PC(ℓ) → PC(k) (cf. lemme 0.4).
491
518
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
sur une partie E de Υ(A). Le schéma formel ainsi obtenu est noté Spf(A) (le spectre
formel de A). (37)
Si A et B sont deux anneaux pseudocompacts, un morphisme de Spf(B) dans
Spf(A) consiste en la donnée d’une application f de Υ(B) dans Υ(A) et d’une famille
d’homomorphismes continus fy♮ : Af (y) → By , pour y ∈ Υ(B). Un tel morphisme
Q
Q
induit un homomorphisme continu f ♮ de A = x∈Υ(A) Ax dans B = y∈Υ(B) By . La
réciproque est vraie :
Proposition. — Le foncteur contravariant A 7→ Spf(A) est pleinement fidèle.
En effet, si ϕ : A → B est un homomorphisme continu d’algèbres, l’image réciproque
ϕ−1 (n) d’un idéal maximal ouvert de B est un idéal premier ouvert de A, donc maximal
dans A. On obtient donc une application n 7→ ϕ−1 (n) de Υ(B) dans Υ(A), et ϕ induit
un homomorphisme continu Aϕ−1 (n) → Bn . Donc ϕ induit un morphisme de schémas
formels Spf(ϕ) : Spf(B) → Spf(A). On vérifie facilement que Spf(ϕ)♮ = ϕ, et que
Spf(f ♮ ) = f , pour tout morphisme f : Spf(B) → Spf(A), d’où la proposition.
Bien que nous ne parlions ici que de schémas formels de la forme Spf(A), nous utiliserons le langage des schémas formels plutôt que celui des anneaux pseudocompacts,
afin d’appuyer nos assertions sur une intuition géométrique.
1.2. Soit k un anneau pseudocompact.
492
Définition 1.2.A. — (38) Nous appellerons variété formelle sur k tout schéma formel
X au-dessus de Spf(k) qui est isomorphe à un k-schéma formel Spf(A) pour une
certaine k-algèbre profinie A. L’algèbre A est alors isomorphe à l’algèbre affine de X,
c’est-à-dire à l’algèbre des sections du faisceau structural OX de X.
On notera Vaf /k la sous-catégorie pleine de la catégorie des schémas formels sur
Spf(k) dont les objets sont les k-variétés formelles. (39)
D’après 1.1, le foncteur A 7→ Spf(A) est une anti-équivalence de Alp/k (0.4.1) sur
Vaf /k . Donc, d’après le corollaire 0.4.2 :
Proposition 1.2.B. — La catégorie Vaf /k possède des limites projectives et inductives.
(40)
Par exemple, soient X ∈ Ob Vaf /k et f : Y → X et g : Z → X deux k-variétés
formelles au-dessus de X et soient A, B, C les algèbres affines de X, Y, Z ; d’après
(37) N.D.E.
: cf. Remarques 0.1.2.
: On a ajouté la numérotation 1.2.A à 1.2.E, pour des références ultérieures.
(39) N.D.E. : Notons que, d’après la définition des morphismes (1.1), tout X ∈ Ob Vaf
/k est la somme
directe dans Vaf /k des variétés formelles ponctuelles Spf(OX,x ), pour x ∈ X.
(40) N.D.E. : En particulier, les conoyaux existent dans Vaf
/k , voir ci-dessous. Remarquons d’autre
part qu’une limite projective filtrante dans Vaf /k , dont tous les morphismes de transition sont
surjectifs, peut être vide, cf. N.D.E. (34).
(38) N.D.E.
1. VARIÉTÉS FORMELLES SUR UN ANNEAU PSEUDOCOMPACT
519
b A C, (41) de sorte que
0.4.1, l’algèbre affine du produit fibré Y ×X Z s’identifie à B ⊗
l’inclusion de Vaf /k dans la catégorie de tous les k-schémas formels commute aux
limites projectives finies (cf. EGA I, 10.7).
Les limites inductives de k-variétés formelles correspondent aux limites projectives
de leurs algèbres affines.
Exemple 1.2.C (Conoyaux). — Soit, par exemple, d, e : X ⇉ Y une double-flèche de
Vaf /k ; l’algèbre affine de Coker(d, e) est isomorphe au noyau des homomorphismes
induits sur les algèbres affines de X et Y, mais on peut aussi donner de Coker(d, e) la
construction suivante : l’espace topologique sous-jacent à Coker(d, e) est le conoyau
des espaces sous-jacents (42) ; si p est la projection canonique de l’ensemble sous-jacent
à Y sur le conoyau et si z appartient au conoyau, l’algèbre locale de Coker(d, e) en z
est le noyau de la double-flèche
Y
Y
OX,x
OY,y ⇉
d♮ , e♮ :
p(y)=z
q(x)=z
où l’on a posé q = p ◦ d = p ◦ e et où d♮ et e♮ sont induits par les homomorphismes d♮x
et e♮x (notations de 1.1).
Définition 1.2.D. — Si ϕ : k → ℓ est un homomorphisme d’anneaux pseudocompacts
et X une k-variété formelle d’algèbre affine A, le schéma formel X×Spf(k) Spf(ℓ), obtenu
b k ℓ et
par changement de base, est une ℓ-variété formelle, que nous noterons aussi X ⊗
b k ℓ (cf. 0.5 et EGA I, § 10).
qui a pour algèbre affine le produit tensoriel complété A ⊗
Remarque 1.2.E. — Comme toute variété formelle sur k se décompose en variétés
formelles sur les composantes locales de k, nous supposerons dans certaines démonstrations que k est un anneau pseudocompact local.
Donnons maintenant quelques exemples, en même temps que nous fixons notre
terminologie.
1.2.1. — Un k-foncteur sera, par définition, un foncteur covariant de Alf /k dans
(Ens). D’après 1.1 et 0.4.2, on peut identifier Vaf /k ∼
= (Alp/k )0 à une sous-catégorie
pleine de la catégorie des k-foncteurs, en associant à toute k-variété formelle X le
foncteur :
Alf /k −→ (Ens),
C 7→ X(C) = HomVaf /k (Spf(C), X).
bO
Cx ,
Notons que Y ×X Z est la somme directe, pour x ∈ X, des variétés formelles Bx ⊗
X,x
où Bx est le produit des OY,y pour les y ∈ Y tels que f (y) = x, et Cx est défini de façon analogue.
Ceci sera utilisé en 2.5.1.
(42) N.D.E. : c.-à-d., l’ensemble quotient de Y par les identifications d(x) = e(x), pour tout x ∈ X,
muni de la topologie quotient, qui est ici la topologie discrète.
(41) N.D.E. :
493
520
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
Nous rencontrerons plus loin des k-foncteurs F qui associent à tout objet C de
Alf /k un module F(C) sur C et à tout morphisme ϕ : C → D de Alf /k une application k-linéaire F(ϕ) : F(C) → F(D) telle que, si x ∈ F(C) et λ ∈ C :
F(ϕ)(λx) = ϕ(λ)F(ϕ)(x) .
D’après l’Exp. I, 3.1, un tel F est muni d’une structure de Ok -module, si l’on note
Ok le k-foncteur en anneaux qui associe à tout objet C de Alf /k l’anneau sous-jacent
à C .
494
Définitions. — (i) Un Ok -module F sera dit admissible si tout morphisme ϕ : C → D
de Alf /k induit une bijection de D ⊗C F(C) sur F(D). (43)
(ii) On dira que F est plat s’il est admissible et si, pour tout objet C de Alf /k ,
F(C) est un C-module plat. (44)
Par exemple, si M est un k-module (pas nécessairement pseudocompact ), nous
noterons (comme dans l’Exp. I, 4.6.1) W(M) le Ok -module C 7→ C ⊗k M ; alors
W(M) est plat lorsque M est plat sur k.
De plus, le foncteur M 7→ W(M) a pour adjoint à droite le foncteur qui associe à
tout Ok -module F le k-module liml F(k/l), où l parcourt les idéaux ouverts de k.
←−
1.2.2. — Dans la suite, un Ok -module sera toujours désigné par une lettre en caractères gras telle que F ; lorsque k est artinien, nous écrirons alors simplement F au
lieu de F(k). Dans ce cas, il va de soi que le foncteur F 7→ F induit une équivalence
de la catégorie des Ok -modules plats sur celle des k-modules plats ! La terminologie
que nous avons adoptée a donc seulement pour but de nous permettre de raisonner
« comme si k était toujours artinien ».
Conformément à l’exposé I § 3.1, nous utiliserons des conventions analogues
pour d’autres structures algébriques : ainsi, une Ok -algèbre (resp. une Ok -coalgèbre,
resp. une Ok -algèbre de Lie, resp. une Ok -p-algèbre de Lie) consistera en la donnée
d’un Ok -module M et, pour tout objet C de Alf /k , d’une structure de C-algèbre
(resp. de C-coalgèbre, resp. de C-algèbre de Lie, resp. de C-p-algèbre de Lie) sur
M(C) ; on suppose de plus que, pour tout morphisme ϕ : C → D de Alf /k , l’application de D ⊗C M(C) dans M(D), qui est induite par M(ϕ), est un homomorphisme
de D-algèbres (resp. de D-coalgèbres, etc.).
Notons enfin que, si F et G sont deux Ok -modules, F⊗k G désignera le Ok -module
C 7→ F(C) ⊗C G(C).
1.2.3. —
(43) N.D.E.
(45)
Commençons par le lemme suivant.
: On a introduit cette terminologie, cf. la N.D.E. (47) dans 1.2.3.
: et donc projectif, puisque C est artinien.
(45) N.D.E. : On a ajouté le lemme qui suit et l’on a introduit la numérotation 1.2.3.A à 1.2.3.F, pour
des références ultérieures.
(44) N.D.E.
1. VARIÉTÉS FORMELLES SUR UN ANNEAU PSEUDOCOMPACT
521
Lemme 1.2.3.A. — Soit k → K un morphisme d’anneaux pseudocompacts, B un Kmodule pseudocompact, et M un k-module (sans topologie) projectif. On a un isomorphisme canonique de K-modules pseudocompacts
(2)
∼
b k B −→
θ : Homk (M, k) ⊗
Homk (M, B).
Ici, M∗ = Homk (M, k) est muni de la topologie définie en 0.2.2, qui en fait un kmodule pseudocompact, et la topologie de Homk (M, B) est définie de façon analogue :
une base de voisinages de 0 est formée par les sous-K-modules suivants, où x ∈ M et
B′ est un sous-K-module ouvert de B :
H (x, B′ ) = {f ∈ Homk (M, B) | f (x) ∈ B′ }.
b k B est le K-module pseudocompact déduit de M∗ par changement de
Enfin, M∗ ⊗
base, cf. 0.5.A.
Ceci étant, θ est évidemment un isomorphisme lorsque M = k ; de plus, les deux
membres de (2), considérés comme foncteurs en M, transforment somme directes en
produits (en particulier, commutent aux sommes directes finies). On obtient donc que
(2) est un isomorphisme lorsque M est un k-module libre, puis lorsque M est projectif.
Définition 1.2.3.B. — Soit N un k-module pseudocompact. Nous notons Vkf (N) ou N†
(46)
b k N)† dual de
le Ok -module qui associe à tout C ∈ Ob Alf /k le C-module (C ⊗
b k N (0.2.2), c.-à-d., le C-module
C⊗
b k N, C) ∼
Homc (C ⊗
= Homc (N, C| ) ,
k
où C|k désigne le k-module C obtenu par restriction des scalaires. Ce Ok -module
Vkf (N) sera appelé le dual de N.
Si km est une composante locale de k, alors, pour tout objet C de Alf /k ,
Homc (km , C|k ) = Cm = C ⊗k km
est un C-module projectif, et de plus on a D ⊗C Cm = Dm , pour tout morphisme
C → D de Alf /k ; donc Vkf (km ) est un Ok -module plat (cf. 1.2.1). Comme tout kmodule pseudocompact projectif est un produit de modules km (cf. Prop. 0.2.1), on
déduit du corollaire 0.2.F le :
Corollaire 1.2.3.C. — Vkf (N) est un Ok -module plat lorsque N est un k-module pseudocompact projectif.
Définition 1.2.3.D. — Réciproquement, si M est un Ok -module admissible (cf. 1.2.1),
nous appelons dual de M et nous notons Γ∗ (M) le k-module pseudocompact défini
comme suit. Pour l parcourant les idéaux ouverts de k, on munit chaque k/l-module
(47)
M(k/l)∗ = Homk/l (M(k/l), k/l)
(46) N.D.E.
: En fait, on n’utilisera pas cette seconde notation, voir la N.D.E. (47).
: Les éditeurs ne comprennent pas la définition qui suit si M n’est pas supposé admissible, d’où l’ajout de cette hypothèse. D’autre part, on a noté Γ∗ (M) au lieu de M∗ , afin d’éviter
des confusions entre M∗ , le module dual du foncteur M, et N† , le foncteur dual du module N,
cf. N.D.E. (46). Enfin, on a détaillé la construction de Γ∗ (M).
(47) N.D.E.
495
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
522
de la topologie décrite en 0.2.2, qui en fait un k-module pseudocompact. Comme
M(k/l) ≃ M(k/l′ ) ⊗ (k/l) pour l ⊃ l′ , on a des morphismes de transition :
Homk/l′ (M(k/l′ ), k/l′ ) −→ Homk/l′ (M(k/l′ ), k/l) = Homk/l (M(k/l), k/l)
et par définition Γ∗ (M) est la limite projective de ce système projectif (filtrant) de
k-modules pseudocompacts.
Désormais, on suppose de plus que M est un Ok -module plat (cf. 1.2.1), alors
chaque M(k/l′ ) est un (k/l′ )-module projectif, donc les morphismes de transition cidessus sont surjectifs, et donc il en est de même des projections Γ∗ (M) → M(k/l)∗ ,
puisque dans PC(k) les limites projectives filtrantes sont exactes.
Si τ : k → K est un morphisme d’anneaux pseudocompacts, on notera M ⊗k K ou
simplement MK le OK -foncteur défini comme suit. Si C est une K-algèbre de longueur
finie, alors le noyau de k → C est un idéal ouvert l, et l’on pose MK (C) = M(k/l)⊗k C ;
on a alors MK (C) = M(k/l′ ) ⊗k C pour tout idéal ouvert l′ contenu dans l. On définit
alors Γ∗K (MK ) comme la limite projective, pour I parcourant les idéaux ouverts de K,
des K-modules pseudocompacts :
HomK/I (MK (K/I), K/I) = Homk/l (M(k/l), K/I),
où dans le terme de droite l est un quelconque idéal ouvert de k tel que τ (l) ⊂ I.
b k (K/I). Comme les
De plus, d’après 1.2.3.A, le terme de droite s’identifie à M(k/l)∗ ⊗
∗
∗
projections Γ (M) → M(k/l) sont surjectives, on voit que la limite projective des
b k (K/I) n’est autre que le K-module pseudocompact Γ∗ (M) ⊗
b k K (cf. 0.5.A).
M(k/l)∗ ⊗
On a ainsi obtenu que, pour tout Ok -module plat M, la formation de Γ∗ (M) commute
à l’extension de la base, i.e. on a
(⋆)
b k K.
Γ∗K (M ⊗k K) ≃ Γ∗ (M) ⊗
Proposition 1.2.3.E. — (i) Les foncteurs N 7→ Vkf (N) et M 7→ Γ∗ (M) définissent une
anti-équivalence entre la catégorie des k-modules pseudocompacts projectifs et celle
des Ok -modules plats. (48)
(ii) De plus, si k → K est un morphisme d’anneaux pseudocompacts, alors l’antiéquivalence précédente « commute au changement de base » au sens suivant : si N ≃
b k K ≃ Γ∗K (M ⊗k K).
Γ∗ (M), alors N ⊗
Démonstration. D’une part, on a une transformation naturelle φN : N →
Γ (Vkf (N)). Comme le foncteur Γ∗ ◦ Vkf commute aux produits, d’après 0.3.5 et 0.2.F,
il suffit de vérifier que φN est un isomorphisme lorsque N est une composante locale
km de k. Dans ce cas, pour tout idéal ouvert l de k contenu dans m, le morphisme
naturel
b k/l, k/l), k/l
(k/l)m −→ Homk/l Homc (km ⊗
est un isomorphisme, d’où le résultat.
∗
(48) N.D.E.
: On a ajouté le point (ii) ci-dessous, ainsi que la démonstration qui suit. L’original
indiquait : « Si M est un Ok -module plat, il est clair que M n’est autre que le dual de M∗ , donc les
foncteurs N 7→ N∗ et M 7→ M∗ définissent une anti-équivalence. . . »
1. VARIÉTÉS FORMELLES SUR UN ANNEAU PSEUDOCOMPACT
523
D’autre part, soit M un Ok -module plat. Montrons que Γ∗ (M) = lim M(k/l)∗ est
←−
un objet projectif de PC(k). Soit N → N′ un morphisme surjectif entre objets de
LF(k). D’après 0.2.F (i) et (ii), il suffit de montrer que l’application naturelle
lim Homc (M(k/l)∗ , N) −→ lim Homc (M(k/l)∗ , N′ )
−→
−→
est surjective. Mais ceci est clair, car N et N′ sont des k/l0 -modules, pour un certain
idéal ouvert l0 ; donc, si l ⊂ l0 , tout morphisme M(k/l)∗ → N′ se relève en un
morphisme M(k/l)∗ → N, puisque M(k/l)∗ est un objet projectif de PC(k/l).
On a un morphisme ψ : M → Vkf (Γ∗ (M)) de foncteurs de Alf /k dans (Ens). Soit
B un objet de Alf /k , montrons que
bk B , B
(1)
ψ(B) : M(B) −→ Vkf (Γ∗ (M))(B) = Homc lim M(k/l)∗ ⊗
←−
l
b commute aux
est une bijection (dans l’égalité ci-dessus, on a utilisé le fait que ⊗
limites projectives filtrantes). Soit l0 un idéal ouvert de k contenu dans le noyau de
k → B. D’après le lemme 1.2.3.A, pour tout l ⊂ l0 , on a un isomorphisme canonique
de B-modules pseudocompacts :
∼
b k B −→
M(k/l)∗ ⊗
Homk/l (M(k/l), B)
et, puisque M(B) = M(k/l) ⊗k/l B, le terme de droite égale HomB (M(B), B). Donc,
le système projectif dans (1) est constant pour l ⊂ l0 , et (1) se réduit au morphisme
canonique
M(B) −→ Homc HomB (M(B), B), B ,
qui est un isomorphisme d’après 0.2.2, puisque B est artinien et M(B) un B-module
projectif. Ceci prouve le point (i) de la proposition, et le point (ii) découle de l’isomorphisme (⋆) établi plus haut.
Remarque 1.2.3.F. — Revenons à l’énoncé de la proposition, et supposons de plus que
N soit un k-module pseudocompact topologiquement libre. Dans ce cas, on peut choisir
« de manière cohérente » des bases pour les C-modules Vkf (N)(C).
En effet, soient (ni ) une pseudobase de N (0.2.1) et nC
i l’image canonique de ni
b k N)† par les égalités
b k N, pour C ∈ Alf /k . Si l’on définit l’élément δiC de (C ⊗
dans C ⊗
C C
C C
C
δi (ni ) = 1 et δi (nj ) = 0 pour i 6= j, la famille (δi ) est une base de Vkf (N)(C) ; en
outre, pour tout morphisme ϕ : C → D de Alf /k , Vkf (N)(ϕ) envoie δiC sur δiD .
1.2.4. — (49) Pour tout k-module pseudocompact E, soit b
Sk (E) l’algèbre symétrique
complétée de E, définie de la manière suivante. Soit Tk (E) la somme directe des kmodules pseudocompacts :
n
N
N0
c E = E⊗
bk · · · ⊗
b k E (n > 0 ; si n = 0, c k E = k) ;
k
on fait de Tk (E) une k-algèbre graduée en définissant la multiplication de la façon
(49) N.D.E. : Dans ce paragraphe, on a modifié l’ordre, en définissant d’abord b
Sk (E) et énonçant
ensuite que Vfk (E) représente Vkf (E).
496
524
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
habituelle ; soit alors Sk (E) le quotient de Tk (E) par l’idéal homogène qui a pour
Nn
n-ième composante le k-sous-module fermé de c k E engendré par les éléments :
b ···⊗
b xi ⊗
b xi+1 ⊗
b ···⊗
b xn − x1 ⊗
b ···⊗
b xi+1 ⊗
b xi ⊗
b ···⊗
b xn .
x1 ⊗
Si l’on désigne par Snk (E) ce quotient, Sk (E) est évidemment une k-algèbre graduée
de n-ième composante Snk (E).
On munit Sk (E) de la topologie linéaire définie par l’ensemble Υ des idéaux l tels
que Sk (E)/l soit un k-module de longueur finie et que Snk (E) ∩ l soit un sous-module
ouvert de Snk (E) pour tout n. Alors, l’algèbre profinie b
Sk (E) est le séparé complété de
(50)
Sk (E) pour cette topologie.
On note Vfk (E) la k-variété formelle Spf(b
Sk (E)). Elle représente le k-foncteur
c.-à-d., pour tout objet C de Alf /k , on a un isomorphisme canonique :
Vkf (E),
∼
Sk (E), C) = HomVaf /k (Spf(C), Vfk (E)).
Vkf (E)(C) = Homc (E, C|k ) −→ HomAlp/k (b
Dans toute la suite, nous identifions Vfk (E) au k-foncteur Vkf (E).
1.2.5. — D’après 1.2.4, le morphisme nul de E dans k est associé à un morphisme
d’algèbres profinies π : b
Sk (E) → k ; ce morphisme π induit l’application nulle sur
n
Sk (E) pour n > 1 et définit une section du morphisme structural Vfk (E) → Spf(k).
Nous noterons Vf,0
k (E) la variété formelle qui a pour points les images des points
de Spf(k) par la section Spf(π) et qui a les mêmes algèbres locales que Vfk (E) en ces
points.
(51)
Alors, l’algèbre affine de Vf,0
k (E) est le séparé complété de Sk (E) pour la topologie définie par les idéaux l ∈ Υ (cf. 1.2.4) qui contiennent Snk (E) pour n assez grand.
On en déduit que c’est le produit infini :
k[[E]] = k × E × S2k (E) × S3k (E) × · · ·
D’autre part, soient C un objet de Alf /k , u un élément de Vfk (C) = Homc (E, C), et
φ:b
Sk (E) → C le morphisme de k-algèbres profinies correspondant à u. Alors Ker(φ)
est un idéal ouvert (i.e. φ appartient à Vf,0
k (C)) si et seulement si Ker(φ) contient
(50) N.D.E. :
Par exemple, soient k un corps, E un k-espace vectoriel pseudocompact, V = Homc (E, k) ;
on a E ≃ V∗ (cf. 0.2.2). Pour tout sous-espace de dimension finie W de V, soit F (W) l’ensemble des
points fermés du k-schéma V(W) = Spec Sk (W∗ ). Notons F (V) la limite inductive des F (W). Alors
b
Sk (E) est le produit pour x ∈ F (V) des k-algèbres pseudocompactes
b
Sk (E)x = lim ObW,x
←−
W
où W parcourt les sous-espaces de V de dimension finie tels que x ∈ F (W), et ObW,x désigne le séparé
complété de l’anneau local OV(W),x pour la topologie définie par les idéaux de codimension finie (qui
coı̈ncide ici avec la topologie m-adique). Si k est algébriquement clos et (vi )i∈I une base de V, de sorte
que E possède une pseudobase (ei )i∈I , chaque composante locale b
Sk (E)x est isomorphe à l’anneau
des séries formelles k[[ei , i ∈ I]], muni de la topologie définie par les idéaux de codimension finie.
(51) N.D.E. : On a détaillé la suite de ce paragraphe.
1. VARIÉTÉS FORMELLES SUR UN ANNEAU PSEUDOCOMPACT
525
Snk (E) pour n assez grand, c.-à-d., si et seulement si u(E) est contenu dans le radical
r(C) de C. Donc : pour tout objet C de Alf /k , on a des isomorphismes canoniques :
Vf,0
k (E)(C) ≃ HomAlp/k (k[[E]], C) ≃ Homc (E, r(C)).
1.2.6. — Une k-variété formelle V est dite de longueur finie si son algèbre affine l’est.
De même, si S est un schéma, un S-schéma X est dit de longueur finie si X est fini
sur S et si l’image directe de OX sur S est un OS -module de longueur finie. (52) Donc,
se donner un S-schéma de longueur finie X « est la même chose » que se donner
un ensemble fini {s1 , . . . , sn } de points fermés de S, et en chacun de ces points une
OS,si -algèbre de longueur finie.
On voit donc que les S-schémas de longueur finie s’identifient aux variétés formelles
de longueur finie sur le schéma formel b
S qui suit. L’espace topologique sous-jacent à
b
S est l’ensemble des points fermés de S muni de la topologie discrète, si s est un tel
point fermé, le faisceau structural ObS a pour tige ObS,s en s le séparé complété ObS,s de
OS,s pour la topologie linéaire définie par les idéaux de colongueur finie ; on a donc
b
S = Spf A (b
S), où A (b
S) est le produit des ObS,s , pour s parcourant les points fermés
de S, muni de la topologie produit.
b b
Définition. — Si X est un S-schéma, on note X/
S la variété formelle sur k = A (b
S)
définie comme suit. L’espace topologique sous-jacent est formé des points x ∈ X tels
que [κ(x) : κ(s)] < ∞, où s est l’image de x dans S ; l’anneau local OX/
b b
S,x est le séparé
complété de OX,x pour la topologie linéaire définie par les idéaux I de OX,x tels que
OX,x /I soit de longueur finie comme OS,s -module (N. B. puisque [κ(x) : κ(s)] < ∞,
ceci équivaut à dire que OX,x /I est de longueur finie comme OX,x -module).
Soit Vaf ℓfb la catégorie des variétés formelles de longueur finie sur b
S (identifiée à
/S
celle des S-schémas de longueur finie). D’après 1.1 et 1.2.1, la catégorie Vaf /bS des
variétés formelles sur b
S est équivalente à celle des foncteurs contravariants exacts
à gauche de Vaf ℓf
dans
(Ens). En particulier, pour tout S-schéma X, le foncteur
/b
S
T 7→ Hom(Sch/S ) (T, X), de Vaf ℓf
vers (Ens), est un tel foncteur exact à gauche, donc
/b
S
b b
correspond à une variété formelle sur b
S. Celle-ci n’est autre que X/
S : (53)
Proposition. — Pour tout S-schéma X, les foncteurs
b b
S)
HomVaf /Sb (−, X/
et
Hom(Sch/S ) (−, X)
b b
ont même restriction à Vaf ℓfb . On obtient ainsi un foncteur X 7→ X/
S de (Sch/S )
/S
vers Vaf /bS , qui commute aux limites projectives finies.
(52) N.D.E.
: On a ajouté la phrase qui suit.
b b
: On a amplifié la proposition qui suit, en y insérant le fait que le foncteur X 7→ X/
S
commute aux limites projectives finies (dans l’original, ceci figurait dans la démonstration de 1.3.4
– la démonstration donnée ici est plus directe que l’originale). De plus, ce résultat sera utile dans la
Section 2 et dans 3.3.1.
(53) N.D.E.
497
526
498
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
b S
b a la propriété requise, et
En effet, on voit facilement que la variété formelle X/
b
b
que la correspondance X 7→ X/S est fonctorielle. Prouvons la seconde assertion.
b au lieu de X/
b b
Posons S = (Sch/S ) et V = Vaf /bS , et notons X
S. On sait (1.2.B) que
V possède des limites projectives arbitraires. Soit (Xi )i∈I un système projectif dans
S et supposons que X = lim Xi existe dans S (ce qui est le cas si I est fini). Comme le
←−
foncteur qui associe à tout objet Y de S (resp. V de V ) le foncteur hY = HomS (−, Y)
(resp. hV = HomV (−, V)) commute aux limites projectives, on a, pour tout S-schéma
T de longueur finie, des isomorphismes fonctoriels :
b i ) ≃ HomV (T, lim X
b ).
HomS (T, X) ≃ lim HomS (T, Xi ) ≃ lim HomV (T, X
←−
←−
←− i
b b
Par conséquent, le foncteur X 7→ X/
S commute aux limites projectives lorsqu’elles
existent dans (Sch/S ) ; en particulier, il commute aux limites projectives finies.
1.3. Proposition. — Soient f : X → Y un morphisme de variétés formelles sur k, A
et B les algèbres affines de X et Y, g : B → A le morphisme induit par f . Alors f est
un monomorphisme de Vaf /k si et seulement si g est une surjection.
(54)
D’après 1.1, A 7→ Spf(A) est une anti-équivalence de Alp/k sur Vaf /k , donc f
est un monomorphisme si et seulement si g est un épimorphisme, et ceci est bien le
cas si g est surjectif.
Réciproquement, supposons que g soit un épimorphisme et montrons qu’il est surb B Bn ; d’après 0.4, A est un B-module
jectif. Pour tout n ∈ Υ(B), posons An = A ⊗
pseudocompact, donc est le produit des An (cf. 0.3.6). Alors, g est le produit des morphismes gn : Bn → An déduits de g par changement de base. Ceux-ci sont encore des
épimorphismes, ce qui nous ramène à démontrer le résultat lorsque B est local, d’idéal
maximal n. Posons K = B/n.
bB K
D’après le lemme de Nakayama 0.3.3, il suffit de montrer que le morphisme g ⊗
est surjectif ; il est déduit de g par changement de base, donc est un épimorphisme de
Alp/K . On peut donc supposer que B = K est un corps. Or f est un monomorphisme
si et seulement si le morphisme diagonal X → X ×Y X est un isomorphisme, c’estb K x′ → x x′ est un isomorphisme de A ⊗
b K A sur A.
à-dire si l’homomorphisme x ⊗
Comme K est un corps, cela implique A = K.
Remarque. — (55) Il résulte de la proposition que tout monomorphisme f : X → Y
de variétés formelles est un isomorphisme de X sur une sous-variété formelle (nécessairement fermée !) de Y.
1.3.1. — La proposition précédente entraı̂ne en particulier que tout monomorphisme
f : X → Y de Vaf /k est effectif (cf. IV 1.3). (56) Il n’en va pas de même pour les
épimorphismes, comme on le voit facilement en modifiant un peu le contrexemple
(54) N.D.E.
: On a détaillé le début de la démonstration.
: On a ajouté cette remarque.
(56) N.D.E. : c.-à-d., dans la catégorie opposée (Vaf
0
/k ) = Alp/k , le morphisme g : B → A correspondant à f est un épimorphisme effectif. Ceci est bien le cas, car g est surjectif, donc induit (cf. la
∼
démonstration de 0.2.B) un isomorphisme de k-algèbres profinies B/I −→ A, où I = Ker g. Par
(55) N.D.E.
1. VARIÉTÉS FORMELLES SUR UN ANNEAU PSEUDOCOMPACT
527
de l’Exp. V, § 2.c) ; (57) c’est pourquoi nous allons considérer une classe sympathique
d’épimorphismes effectifs.
Lemme. — (58) Soit f : X → Y un morphisme de k-variétés formelles et soient A, B
les algèbres affines de X, Y et f ♮ : B → A le morphisme induit par f . Les conditions
suivantes sont équivalentes :
(i) Pour tout x ∈ X, l’homomorphisme fx♮ : OY,f (x) → OX,x fait de OX,x un
OY,f (x) -module pseudocompact topologiquement libre.
Q
(ii) Pour tout y ∈ Y, la composante locale Ay = f (x)=y OX,x est un By -module
pseudocompact topologiquement libre.
(iii) f ♮ : B → A fait de A un B-module pseudocompact projectif.
b B A est exact.
(iv) Le foncteur PC(B) → PC(A), M 7→ M ⊗
Si ces conditions sont vérifiées, on dit que f est topologiquement plat.
Les implications (i) ⇒ (ii) ⇔ (iii) ⇔ (iv) découlent de 0.2.F (iii) et 0.3.7. Réciproquement, supposons (ii) vérifié et soient x ∈ X et y = f (x). Comme OX,x est un
facteur direct de Ay , c’est un By -module pseudocompact projectif, donc topologiquement libre d’après 0.2.1 (puisque By est local).
D’autre part, un morphisme f : X → Y de k-variétés formelles est dit surjectif s’il
induit une surjection des ensembles sous-jacents.
Proposition. — Soit f : X → Y un morphisme surjectif et topologiquement plat de
k-variétés formelles. Alors f est un épimorphisme effectif (cf. IV 1.3).
En effet, soient A, B les algèbres affines de X, Y et g : B → A le morphisme induit
par f . Il s’agit de montrer que Y s’identifie au conoyau de X ×Y X ⇉ X, c.-à-d., que
b B Bn formé des a tels
pour tout n ∈ Υ(B), Bn s’identifie au sous-anneau de An = A ⊗
b 1 = 1⊗
b a.
que a ⊗
On peut donc supposer B local, d’idéal maximal n. Notre hypothèse signifie alors
que g fait de A un B-module topologiquement libre et non nul. D’après le lemme de
Nakayama 0.3.3, A/nA n’est pas nul, de sorte que le morphisme g ′ : B/n → A/nA
déduit de g est injectif. D’après le lemme 1.3.2 ci-dessous, B est un facteur direct de
A comme B-module, disons A = B ⊕ A′ ; il en résulte que B s’identifie à la partie de
bB 1 = 1 ⊗
b B a.
A formée des a tels que a ⊗
conséquent, tout morphisme φ : B → C de Alp/k , nul sur I, descend en un morphisme φ : A → C
tel que φ = φ ◦ g.
(57) N.D.E. : i.e. soient k un corps, X = Spf(k[[T]]) et Y = Spf(B), où B est la sous-k-algèbre
de A = k[[T]] engendrée topologiquement par T3 et T4 (c.-à-d., B est formée des séries formelles
P
an Tn telles que an = 0 pour n = 1, 2, 5). Alors X → Y est un épimorphisme qui n’est pas effectif ;
en effet, le conoyau de X ×Y X ⇉ X est Spf(B′ ), où B′ est la sous-algèbre de A formée des a tels que
b 1 = 1⊗
b a, et B′ contient T5 .
a⊗
(58) N.D.E. : On a ajouté ce lemme, qui explique la terminologie « topologiquement plat ».
499
528
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
1.3.2. Lemme. — Soient B un anneau pseudocompact local, n son idéal maximal,
M et N deux B-modules pseudocompacts projectifs et g un morphisme M → N. Si
b B g est injectif, g est un isomorphisme de M sur un facteur direct de N.
(B/n) ⊗
b B g soit injectif. Comme B/n est un corps, g ′
En effet, supposons que g ′ = (B/n) ⊗
′
possède alors une rétraction r . Notons p et q les projections canoniques de M et N
sur M/nM et N/nN ; comme N est projectif, il existe un morphisme r : N → M tel
que p ◦ r = r′ ◦ q ; par conséquent, r′ est déduit de r par passage au quotient. Alors,
puisque r′ ◦ g ′ est un isomorphisme, il en est de même de r ◦ g, d’après 0.3.4 (puisque
M est projectif). Soit s l’isomorphisme réciproque de r ◦ g, alors s◦ r est une rétraction
de g.
500
1.3.3. Proposition. — Soient f : X → Y et g : Y → Z des morphismes de k-variétés
formelles.
(i) Si f et g sont topologiquement plats, g ◦ f l’est aussi.
(ii) Si f et g ◦ f sont topologiquement plats et si f est surjectif, g est topologiquement plat.
(iii) Si f est topologiquement plat, f ×Y Y′ l’est pour tout changement de base
′
Y → Y.
Les assertions (i) et (iii) sont claires. Pour prouver (ii), appelons A, B, C les algèbres affines de X, Y, Z, et f ′ : B → A et g ′ : C → B les morphismes induits par f
et g. Comme g ◦ f est topologiquement plat, f ′ ◦ g ′ fait de A un C-module pseudocompact projectif ; de même, f ′ fait de A un B-module pseudocompact projectif et
fidèle. Lorsque P parcourt les C-modules pseudocompacts et N les B-modules pseub C A et N 7→ N ⊗
b B A sont donc exacts ; comme le
docompacts, les foncteurs P 7→ P ⊗
b C B est exact ; d’après 0.3.7, B est
deuxième est en outre fidèle, le foncteur P 7→ P ⊗
donc un C-module pseudocompact projectif.
1.3.4. Proposition. — Soient S un schéma, Y un S-schéma localement noethérien et
f : X → Y un S-morphisme localement de type fini et fidèlement plat, de sorte que
f est un épimorphisme effectif, i.e. la suite ci-dessous est exacte (cf. IV 6.3.1 (iv) et
IV 1.3) :
pr1
(∗)
X×X
Y
pr2
/
/X
f
/Y.
b b
b b
Alors le morphisme de b
S-variétés formelles fb : X/
S → Y/
S (cf. 1.2.6) est surjectif et
topologiquement plat, et la suite ci-dessous, déduite de (∗), est exacte :
501
c
(∗)
\
X
× X/b
S
Y
p r1
d
p r2
d
/b b
/ X/S
fb
/ Y/
b b
S.
Soit en effet y un point de Y de projection s sur S et tel que κ(y) soit une extension
finie du corps résiduel κ(s) de s. Comme f est surjectif et localement de type fini,
f −1 (y) est non vide et localement de type fini sur κ(y) ; les points fermés de f −1 (y)
b b
sont alors les points de X/
S se projetant sur y. Ceci montre que fb est surjectif.
1. VARIÉTÉS FORMELLES SUR UN ANNEAU PSEUDOCOMPACT
529
(59)
Soit x un point fermé de f −1 (y). Comme Y est localement noethérien et f
localement de type fini, l’anneau local OY,y (resp. OX,x ) est noethérien, donc les puisb b
sances de l’idéal maximal sont de colongueur finie, de sorte que l’anneau local de Y/
S
b b
en y (resp. de X/
S en x) est le complété ObY,y de OY,y (resp. ObX,x de OX,x ) pour la
topologie m-adique. Alors, comme f est plat, ObX,x est plat sur ObY,y , d’après SGA 1,
IV 5.8. Donc, d’après 0.3.8, ObX,x est un ObY,y -module topologiquement libre. Ceci
montre que fb est topologiquement plat.
Donc, d’après la proposition 1.3.1, fb est un épimorphisme effectif, i.e. la suite cib au lieu de X/
b b
dessous (où l’on a noté X
S) est exacte :
b
b ×X
X
b
Y
p r1
d
p r2
d
fb
/b
/X
/Y
b .
De plus, d’après 1.2.6, on a un isomorphisme naturel (en particulier, qui commute
b :
avec les projections sur X)
b
b × X.
\
X
×X ≃ X
Y
b
Y
c est exacte.
Par conséquent, la suite (∗)
1.3.5. — Soit k un anneau pseudocompact. Une variété formelle X sur k est dite
topologiquement plate si son algèbre affine A est un k-module pseudocompact projectif,
c.-à-d., si le morphisme structural X → Spf(k) est topologiquement plat.
(60)
Notons d’abord que 0.2.2 et 0.3.6 entraı̂nent le résultat suivant (analogue à
VIIA , 3.1.1).
Lemme 1.3.5.A. — Supposons k artinien. Les foncteurs A 7→ A† = Homc (A, k) et
C 7→ C∗ = Homk (C, k) définissent une anti-équivalence entre la catégorie des kalgèbres profinies topologiquement plates, et celle des k-coalgèbres plates.
En effet, si A est une k-algèbre profinie topologiquement plate, alors, d’après 0.3.6,
on a un isomorphisme de k-modules :
∼
b A)† ,
A† ⊗k A† −→ (A ⊗
b A → A induit par dualité une structure de kde sorte que la multiplication A ⊗
†
coalgèbre sur A . Le reste découle alors de la proposition 0.2.2.
Revenons au cas d’un anneau pseudocompact k arbitraire.
Définition 1.3.5.B. — À toute k-variété formelle X dont l’anneau affine A est un kmodule pseudocompact projectif, on associe une Ok -coalgèbre plate H(X), définie
comme suit.
Notons H(X) le Ok -module Vkf (A) « dual de A » ; c’est un Ok -module plat, puisque
le k-module pseudocompact sous-jacent à A est projectif (cf. 1.2.3.C). De plus, d’après
(59) N.D.E.
: On a détaillé ce qui suit ; ensuite, on a tiré profit de l’ajout fait en 1.2.6.
: On a ajouté le lemme suivant, utilisé implicitement dans l’original ; d’autre part, on a
introduit la numérotation 1.3.5.A à 1.3.5.D, pour des références ultérieures.
(60) N.D.E.
502
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
530
0.3.6, l’on a :
b A) ≃ Vkf (A) ⊗ Vkf (A),
Vkf (A ⊗
et donc la multiplication de A induit par transposition un morphisme diagonal :
b A) = H(X) ⊗ H(X)
H(X) = Vkf (A) −→ Vkf (A ⊗
qui fait de H(X) une Ok -coalgèbre plate. Nous dirons que H(X) est la coalgèbre de X
sur Ok .
Définition 1.3.5.C. — Réciproquement, à toute Ok -coalgèbre C on peut associer un
k-foncteur (cf. 1.2.1) Spf ∗ (C), défini comme suit. Pour tout objet B de Alf /k , on pose
(avec les notations de VIIA 3.1) :
Spf ∗ (C)(B) = HomB-coalg. (B, C(B))
(1)
= {x ∈ C(B) | εC(B) (x) = 1
(61)
et ∆C(B) (x) = x ⊗ x}.
Supposons de plus que le Ok -module sous-jacent à C soit admissible (cf. 1.2.1),
et posons
A = Γ∗ (C) = liml C(k/l)∗ .
←−
Alors, les structures d’algèbres sur chaque C(k/l)∗ munissent A d’une structure de
k-algèbre profinie. Pour tout objet B de Alf /k , on a :
(2)
(3)
b B, B).
HomVaf /k (Spf(B), Spf(A)) = HomAlp/k (A, B) = HomAlp/B (A ⊗
Supposons enfin que C soit un Ok -module plat. Alors, d’après 1.2.3.E, A = Γ∗ (C)
est un k-module pseudocompact projectif. De plus, on a vu dans la démonstration de
loc. cit. que, si l0 est un idéal ouvert de k contenu dans le noyau de k → B, on a des
isomorphismes
b B = lim C(k/l)∗ ⊗
b k B ≃ Homk/l0 (C(k/l0 ), B) ≃ HomB (C(B), B)
(4)
A⊗
←−l
et nous noterons C(B)∗ le terme de droite. Enfin, d’après le lemme 1.3.5.A appliqué
à l’anneau artinien B, on a un isomorphisme naturel
(5)
∼
HomB-coalg. (B, C(B)) −→ HomAlp/B (C(B)∗ , B).
Alors, en combinant (1), (5), (4), (3) et (2), on obtient, lorsque C est une Ok -coalgèbre
plate, un isomorphisme de foncteurs :
(⋆)
Spf ∗ (C) ≃ Spf(A) = Spf(Γ∗ (C)).
Par conséquent, si l’on note A (X) l’algèbre affine d’une k-variété formelle X, on
obtient, en tenant-compte de 1.2.3.E :
Proposition 1.3.5.D. — (i) Les foncteurs X 7→ H(X) = Vkf (A (X)) et C 7→ Spf ∗ (C) =
Spf(Γ∗ (C)) définissent une équivalence entre la catégorie des k-variétés formelles
topologiquement plates et celle des Ok -coalgèbres plates.
(ii) De plus, cette équivalence « commute au changement de base » : si k → K est
b k K correspond à H(X) ⊗k K.
un morphisme d’anneaux pseudocompacts, alors X ⊗
(61) N.D.E.
: On a détaillé ce qui suit.
1. VARIÉTÉS FORMELLES SUR UN ANNEAU PSEUDOCOMPACT
531
1.3.6. — Dans la suite de cet exposé, nous définirons plusieurs fois une k-variété formelle topologiquement plate X en exhibant la coalgèbre H(X). Il nous faudra alors
interpréter au moyen de H(X) certaines propriétés géométriques de X. Nous donnons
ici un exemple de cette situation : supposons donnée une section σ du morphisme
structural X → Spf(k) et demandons-nous sous quelle condition σ induit un isomorphisme des espaces topologiques sous-jacents. (62)
Pour commencer, supposons k artinien. Soient (H, ∆, ε) une k-coalgèbre plate,
H+ = Ker(ε) et A = H∗ la k-algèbre profinie duale de H. Supposons donné un
morphisme de k-coalgèbres k → H, c.-à-d., un élément φ de H tel que ε(φ) = 1 et
∆(φ) = φ ⊗ φ. D’une part, φ définit un morphisme continu d’algèbres Φ : A → k, et
donc une section σ : Spf(k) → Spf(A) de la projection Spf(A) → Spf(k).
D’autre part, on définit des sous-k-modules de H en posant H0 = kφ et, pour n > 1,
Hn = {x ∈ H | ∆(x) − x ⊗ φ ∈ Hn−1 ⊗ H+ };
ceci vaut aussi pour n = 0 si l’on pose H−1 = (0). On voit, par récurrence sur n, que
Hn−1 ⊂ Hn . On dira que H0 ⊂ H1 ⊂ · · · est la filtration de H définie par φ.
Remarque. — Comme ∆(Hn ) ⊂ Hn ⊗ H0 ⊕ Hn−1 ⊗ H+ , on a ∆(Hn ) ⊂ Hn ⊗ H.
Puisque ∆ est cocommutative (i.e. σ ◦ ∆ = ∆, où σ(a ⊗ b) = b ⊗ a), on a également
∆(Hn ) ⊂ H ⊗ Hn . Lorsque H/Hn est plat sur k, il en résulte que Hn est une souscoalgèbre de H (voir aussi 1.3.6.A (iii) ci-dessous). Mais en général, ∆ : Hn → Hn ⊗ H
ne se factorise pas à travers Hn ⊗ Hn . (63)
Lemme 1.3.6.A. — Soient k un anneau artinien, H une k-coalgèbre plate, A = H∗
la k-algèbre profinie duale, φ un élément de H tel que ε(φ) = 1 et ∆(φ) = φ ⊗ φ.
Soient Φ : A → k le morphisme continu d’algèbres, σ : Spf(k) → Spf(A) la section de
Spf(A) → Spf(k), et (Hn ) la filtration de H définis par φ. Notons I = Ker Φ.
(i) Pour tout n > 1, Hn−1 est l’orthogonal dans H de l’adhérence In de In .
(ii) Par conséquent,
σ induit une bijection des ensembles sous-jacents si et seuleS
ment si H = n Hn . (64)
(iii) Si de plus chaque H/Hn est plat sur k, alors, pour tout n > 0,
(∗)
∆(Hn ) ⊂
n
X
i=0
Hi ⊗ Hn−i ;
en particulier, chaque Hn est alors une sous-coalgèbre de H.
(62) N.D.E.
: Dans le lemme 1.3.6.A qui suit, on a détaillé la démonstration des points (i) et (ii), et
l’on a ajouté le point (iii).
(63) N.D.E. : Par exemple, soient k un corps, k = k [T]/(Tn ), où n > 4, H = k φ ⊕ k x, avec ε(x) = 0
0
0
et ∆(x) = x ⊗ φ + φ ⊗ x + t x ⊗ x, où t est l’image de T dans k. Alors, Hi = k φ ⊕ tn−i x pour
i = 0, . . . , n mais, pour 2 6 i 6 n − 2, ∆(tn−i x) n’appartient pas à l’image de Hi ⊗ Hi dans H ⊗ H.
(64) N.D.E. : Dans ce cas, on dit que la coalgèbre H est connexe, cf. l’ajout 2.9.
503
532
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
Démonstration. Notons que, pour tout x ∈ H, l’application A → k, f 7→ f (x) est
continue, donc si In est annulé par x, il en est de même de son adhérence In . On pose
alors, pour tout n > 1,
(In )⊥ = {x ∈ H | f (x) = 0,
pour tout f ∈ In }.
Supposons que σ : m 7→ Φ−1 (m) soit une bijection de Spf(k) sur Spf(A). Comme I
est contenu dans l’intersection des Φ−1 (m), il résulte de 0.1.2 que la suite des idéaux
(In ) tend vers 0. Soit alors x ∈ H ; comme J(x) = {f ∈ A | f (x) = 0} est un sousk-module ouvert et fermé de A, il contient In pour n assez grand, autrement dit,
x ∈ (In )⊥ pour n assez grand.
S
Réciproquement, supposons que H = n (In )⊥ . Soit p un idéal premier ouvert de
A ; d’après la définition de la topologie de A (0.2.2), p contient un sous-k-module
ouvert de la forme
V (x1 , . . . , xs ) = {f ∈ A | f (x1 ) = · · · = f (xs ) = 0}.
D’après l’hypothèse, il existe un entier n tel que x1 , . . . , xs ∈ (In )⊥ , et donc In ⊂ p.
De plus, comme k est artinien,
Spf(k) est un ensemble fini {m1 , . . . , mr } et il existe
Q
un entier t > 1 tel que ( i mi )t = 0, d’où
Y
Φ−1 (mi )t ⊂ I.
i
−1
Donc p contient le produit des Φ (mi )tn ; puisque p est premier, il en résulte que p
contient, donc égale, l’un des Φ−1 (mi ). On a ainsi démontré que :
S
(65)
σ est une bijection ⇐⇒ H = (In )⊥ .
n
+
D’autre part, on a H = kφ ⊕ H ; notons π la projection H → H+ de noyau kφ. Pour
tout n > 0, soient ∆n la comultiplication « itérée » H → H⊗(n+1) , ∆n la composée de
∆n avec la projection π ⊗(n+1) : H⊗(n+1) → (H+ )⊗(n+1) , et
n
X
H⊗(n−i) ⊗ H0 ⊗ H⊗i .
H′n = Ker(∆n ) = x ∈ H | ∆n (x) ∈
i=0
(On pose ∆0 = idH , d’où H′0 = H0 ). On voit facilement, par récurrence sur n, que
(∗)
Hn ⊂ H′n ⊂ (I(n+1) )⊥ .
Jusqu’à présent, on n’a pas utilisé l’hypothèse que H soit plat sur k. Supposons
maintenant H plat, donc projectif sur k, de sorte que A† = H, d’après 0.2.2, et
montrons que Hn = (I(n+1) )⊥ . C’est clair pour n = 0. Supposons-le donc vérifié pour
n < r. Alors Hr−1 est le noyau du morphisme H → (Ir )† et donc, puisque H+ est plat,
le morphisme
(H/Hr−1 ) ⊗ H+ −→ (Ir )† ⊗ H+
(65) N.D.E.
: Ceci vaut également sans supposer H cocommutative (k restant un anneau commutatif
artinien) : dans ce cas, une base de voisinages de 0 dans A = H∗ est donnée par les idéaux bilatères
S
J tels que A/J soit de longueur finie sur k, et la démonstration précédente montre que H = n (In )⊥
−1
si et seulement si les Φ (mi ) sont les seuls idéaux premiers ouverts de A.
1. VARIÉTÉS FORMELLES SUR UN ANNEAU PSEUDOCOMPACT
533
est injectif. D’autre part, l’hypothèse entraı̂ne que I est un k-module pseudocompact
projectif (car facteur direct de A = H∗ ), d’où, d’après 0.3.6,
b I)† ≃ (Ir )† ⊗ I† = (Ir )† ⊗ H+ .
(Ir ⊗
Alors, la suite exacte :
bI
Ir ⊗
/ A/Ir+1
/A
/0
donne par dualité la suite exacte :
δ
(Ir )† ⊗ H+ o
(1)
504
(A/Ir+1 )† o
Ho
0,
où δ est obtenu en composant ∆H avec la projection :
H ⊗ H −→ H ⊗ H+ −→ (H/Hr−1 ) ⊗ H+ ֒→ (Ir )† ⊗ H+ .
(2)
Or, pour tout u ∈ H, la projection de ∆(u) sur H ⊗ H+ est ∆(u) − u ⊗ φ. Alors, (1) et
(2) montrent que si u appartient à (A/Ir+1 )† = (Ir+1 )⊥ , alors ∆(u) − u ⊗ φ appartient
au noyau de l’application H ⊗ H+ → (H/Hr−1 ) ⊗ H+ , c’est-à-dire à Hr−1 ⊗ H+ , et
donc u ∈ Hr . Ceci achève la démonstration des points (i) et (ii), et montre aussi que
Hn = Ker(∆n ).
+
Démontrons (iii). Pour tout i > 0, posons H+
i = Hi ∩ H . Soit n > 1. Pour tout
+
x ∈ Hn , x = x − ε(x)φ appartient à Hn et l’on a :
∆(x) = ε(x) φ ⊗ φ + x ⊗ φ + φ ⊗ x + ∆(x).
Donc, il suffit de montrer que :
∆(H+
n) ⊂
Pour tout i = 0, . . . , n − 1,
H+
∆
∆n
n−1
X
i=1
+
H+
i ⊗ Hn−i .
se factorise en :
/ H+ ⊗ H+
∆i ⊗∆n−i−1
/ (H+ )⊗(i+1) ⊗ (H+ )⊗(n−i)
O
g
H+
H+
+ ⊗
+
Hi
Hn−i−1
f
+
/ H ⊗ (H+ )⊗(n−i) .
H+
i
+ ⊗(n−i)
De plus, comme H+ /H+
sont plats, les applications f et g ci-dessus
i et (H )
+
+
+
+
sont injectives. Il en résulte que ∆(H+
n ) est contenu dans Hi ⊗ H + H ⊗ Hn−i−1 ,
pour tout i = 0, . . . , n − 1. Le point (iii) découle alors du lemme ci-dessous, appliqué
à M = H+ et Ei = H+
i−1 .
Lemme 1.3.6.B. — Soient k un anneau, 0 = E0 ⊂ E1 ⊂ · · · En ⊂ M des k-modules.
On suppose M/Ei plat pour tout i. Alors on a l’égalité :
n
\
(Ei ⊗ M + M ⊗ Ei ) =
i=0
n
X
i=1
Ei ⊗ En−i+1 .
534
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
Notons K (resp. S) le terme de gauche (resp. droite). On voit facilement que S ⊂ K ;
montrons la réciproque. Pour i = 0, . . . , n, posons Ki = K ∩ (Ei ⊗ M). Pour tout
i = 1, . . . , n, comme M/En−i+1 et Ei /Ei−1 sont plats, l’application τi ci-dessous est
injective, et l’application composée :

/ (Ei /Ei−1 ) ⊗ (M/En−i+1 ) τi / (M/Ei−1 ) ⊗ (M/En−i+1 )
(Ei /Ei−1 ) ⊗ M
a pour noyau (Ei /Ei−1 ) ⊗ En−i+1 . Comme l’image de Ki dans (Ei ⊗ M)/(Ei−1 ⊗ M)
est contenue dans, et contient, ce noyau, on en déduit que
Ki = Ki−1 + Ei ⊗ En−i+1 ,
d’où le lemme.
(66)
Pour terminer ce paragraphe, revenons à un anneau pseudocompact arbitraire
k. Soient (H, ∆, ε) une Ok -coalgèbre plate, H+ = Ker(ε), A = Γ∗ (H) la k-algèbre
profinie duale, X = Spf(A), de sorte que H = H(X) (cf. 1.3.5). Supposons donné
un morphisme de Ok -coalgèbres φ : Ok → H ; il définit une morphisme continu de
k-algèbres A → k, et donc une section σ du morphisme structural X → Spf(k).
Pour tout objet B de Alf /k , on note H0 (B) = φ(B) = BφB , où φB est l’élément
φ(1B ) de H(B) et l’on définit des sous-Ok -modules Hn de H, en posant, pour n > 1,
Hn (B) = {u ∈ H(B) | ∆(u) − u ⊗ φB ∈ Hn−1 (B) ⊗ H+ (B)}.
On obtient ainsi une filtration H0 ⊂ H1 ⊂ · · · de H(X). D’après ce qui précède, on a :
Proposition. — Pour que σ induise un isomorphisme sur les espaces topologiques sousjacents, il faut et il suffit que H(X) soit la réunion des Hn .
1.4. Théorème. — Soient k un anneau pseudocompact et d0 , d1 : X1 ⇉ X un couple
d’équivalence de Vaf /k (cf. Exp. V, § 2.b) tel que d1 soit topologiquement plat.
(i) La projection canonique de X sur X/X1 (= Coker(d0 , d1 )) est surjective et
topologiquement plate, et le morphisme X1 → X ×X/X1 X de composantes d0 et d1
est un isomorphisme.
(ii) Si X est topologiquement plat sur k, il en est de même de X/X1 .
Notons d’abord que (ii) découle de (i), d’après 1.3.3 (ii). La démonstration de (i)
occupe les paragraphes 1.4.1, 1.4.2 et 1.4.3.
505
1.4.1. — Montrons d’abord qu’on peut se ramener au cas où X a un seul point. Comme
nous avons affaire à un couple d’équivalence, on voit comme dans l’Exp. V, § 3.e), qu’on
définit une relation d’équivalence dans l’ensemble sous-jacent à X en déclarant que
deux points x, y sont équivalents s’il existe un point z de X1 tel que d0 (z) = y et
d1 (z) = x. On peut évidemment supposer sans inconvénient que X contient une seule
classe d’équivalence pour cette relation, autrement dit que X/X1 a un seul point (voir
la construction de X/X1 donnée en 1.2).
(66) N.D.E.
: On a ajouté ce qui suit ; l’original se limitait au cas où k est artinien.
1. VARIÉTÉS FORMELLES SUR UN ANNEAU PSEUDOCOMPACT
535
Dans ce cas, soient x un point quelconque de X et U la variété formelle qui a x
pour seul point et qui a même anneau local que X en x. On voit alors comme dans
l’Exp. V, § 6, que la relation d’équivalence induite par (d0 , d1 ) sur U vérifie encore les
hypothèses du théorème et qu’il suffit de faire la preuve pour cette dernière relation
d’équivalence (U est une « quasi-section » ).
Rappelons brièvement le principe de la démonstration faite dans l’Exp. V, § 6. Posons V = d−1
0 (U) = U ×i,d0 X1 , où i est l’inclusion de U dans X ; soient u et v les
morphismes de source V induits respectivement par d0 et d1 :
v
Xo
u
V
/U.
Il est clair que u et v sont topologiquement plats et que u est surjectif ; comme X
contient une seule classe d’équivalence, v est surjectif. Si (v0 , v1 ) est l’image réciproque
du couple d’équivalence (d0 , d1 ) par v (cf. V, 3.a)), il résulte de V, 3.c) et 3.d), que
X/X1 et le quotient de U par la relation d’équivalence induite par (d0 , d1 ) s’identifient
tous deux à Coker(v0 , v1 ). On voit alors, comme dans la démonstration de V, 6.1, que
si la conclusion du théorème 1.4 est vérifiée pour U, elle l’est aussi pour X.
1.4.2. — On se trouve ainsi ramené au cas où X a un seul point.
alors le diagramme commutatif suivant (cf. V, § 1, (0,1,2)) :
d′1
X2
d0
// X1
d′0
d′2
(67)
Considérons
/X
d1
X1
// X
d1
d0
/ X/X1
où X2 est le produit fibré X1 × X1 , et où d′0 , d′1 et d′2 sont respectivement les
d1 ,d0
(68)
morphismes « (x, y, z) 7→ (x, y) », « (x, y, z) 7→ (x, z) » et « (x, y, z) 7→ (y, z) ».
Si B, A, A1 et A2 désignent respectivement les algèbres affines de X/X1 , X, X1 et
X2 , le diagramme précédent induit un diagramme commutatif :
o
AO 2 o
j1
j0
j2
AO 1 o
i0
o
i1
A1 o
i1
i0
Ao
AO
i
i
B
dans lequel les deux lignes sont exactes et les carrés déterminés par (i0 , j0 ) et (i1 , j1 )
cocartésiens. Comme le morphisme X1 → X × X de composantes d0 et d1 est un
(67) N.D.E.
(68) N.D.E.
: On peut donc supposer k local.
: cf. Exp. V, § 2.b).
506
536
507
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
b k A → A1 de composantes i0 et i1
monomorphisme par hypothèse, le morphisme A ⊗
est surjectif, d’après la proposition 1.3.
Cela signifie que i1 fait de A1 un A-module pseudocompact (supposé topologiquement libre), engendré par i0 (A). Comme A est local, le lemme 1.4.3 ci-dessous entraı̂ne
l’existence d’un k-module topologiquement libre V et d’un morphisme de k-modules
pseudocompacts f : V → A tels que le morphisme
b k V −→ A1 ,
b v 7→ i1 (a) · i0 (f (v))
α1 : A ⊗
a⊗
b k V → A et α2 : A1 ⊗
b k V → A2 les morphismes :
soit inversible. Soient α : B⊗
b v 7→ i(b) · f (v)
b v 7→ j2 (a1 ) · j0 i0 (f (v)).
b⊗
et
a1 ⊗
Dans le diagramme commutatif suivant, les deux lignes sont donc exactes et les deux
carrés de gauche sont cocartésiens. Comme α1 est inversible, il en va de même pour
α2 , donc pour α.
AO 2 o
o
j1
j0
α2
b k V oo
A1 ⊗
AO 1 o
i0
AO
α1
bV
i1 ⊗
bV
i0 ⊗
bk V o
A⊗
α
bV
i⊗
b k V.
B⊗
Ceci montre d’une part que A est topologiquement libre sur B, de pseudobase f (V)
(cf. 0.2.1), et qu’on obtient une pseudobase de A1 sur A (où A1 est considéré comme
A-module au moyen de i1 ) en prenant l’image par i0 de f (V) ; cela entraı̂ne que le
b B A → A1 de composantes i1 et i0 est inversible :
morphisme A ⊗
bB A ≃ A ⊗
bB B ⊗
bk V ≃ A ⊗
b k V ≃ A1 .
A⊗
Ceci prouve le théorème 1.4, modulo le lemme 1.4.3 qui suit.
1.4.3. Lemme. — Soient k un anneau pseudocompact, A une k-algèbre profinie locale,
A1 un A-module topologiquement libre et i0 : M → A1 un morphisme de k-modules
pseudocompacts. On suppose que l’application
b k M −→ A1 ,
b m 7→ a · i0 (m)
A⊗
a⊗
est surjective. Il existe alors un k-module topologiquement libre V et un morphisme
de k-modules pseudocompacts f : V → M, tels que l’application
b k V −→ A1 ,
b v 7→ a · i0 (f (v))
A⊗
a⊗
soit bijective.
508
Comme tout k-module pseudocompact est le quotient d’un k-module topologiquement libre (cf. N.D.E. (27)), on peut supposer sans inconvénient que M est topologiquement libre ; prenons donc pour M le produit direct d’une famille
(Mi )i∈I
Q
b k Mi .
b k M n’est autre que le produit i∈I A ⊗
d’exemplaires de k. Dans ce cas, A ⊗
b m 7→ a · i0 (m) est surjective et que A1 est projectif, le
Comme l’application a ⊗
b k M ; comme A est local, il
noyau de cette application est un facteur direct de A ⊗
1. VARIÉTÉS FORMELLES SUR UN ANNEAU PSEUDOCOMPACT
537
résulte du
Q théorème d’échange (0.3.4) que ce noyau a pour supplémentaire un produit
b
partiel
Q i∈J A ⊗k Mi , où J désigne une certaine partie de I. On peut donc prendre
V = i∈J Mi .
1.5. Soit k un anneau pseudocompact.
Définition. — Nous dirons qu’une famille de morphismes `
fi : Xi → X de Vaf /k est une
famille surjective topologiquement plate si le morphisme i Xi → X, induit par les fi ,
est surjectif et topologiquement plat ; cela signifie que chaque fi est topologiquement
plat et que tout point de X appartient à l’image d’au moins l’un des Xi .
Il résulte de 1.3.3 que les familles surjectives, topologiquement plates définissent
une prétopologie sur Vaf /k (IV 4.2.5) ; la topologie correspondante sera appelée la
topologie plate sur Vaf /k .
D’après IV, 4.3.5, un foncteur F : (Vaf /k )0 → (Ens) est un faisceau pour la
topologie plate si et seulement si F transforme toute somme directe en produit direct
et si la suite
F(Y)
F(f )
/ F(X)
F(pr1 )
F(pr2 )
/
/ F(X ×Y X)
est exacte pour tout morphisme surjectif topologiquement plat f : X → Y.
(69)
D’après IV, 4.5, la proposition 1.3.1 entraı̂ne que la topologie plate est moins
fine que la topologie canonique, c.-à-d., pour tout objet X de Vaf /k , le foncteur
hX : T 7→ HomVaf /k (T, X) est un faisceau pour la topologie plate. (Dans la suite, on
identifiera, comme d’habitude (cf. Exp. I), X à hX .)
D’après IV, 4.6.5, on peut reformuler le théorème 1.4 comme suit.
Théorème. — Soient k un anneau pseudocompact, d0 , d1 : X1 ⇉ X un couple d’équivalence dans Vaf /k , et X/X1 la variété formelle quotient (i.e. Coker(d0 , d1 ), cf. 1.2).
Si d1 est topologiquement plat, alors X/X1 représente le faisceau quotient pour la
topologie plate.
1.6. Pour terminer ces généralités sur les variétés formelles, il nous reste à définir
brièvement les variétés formelles étales sur k. (70)
(69) N.D.E.
: On a modifié l’original dans ce qui suit. En particulier, on a remplacé l’énoncé : « si
d0 , d1 : X1 ⇉ X est une relation d’équivalence telle que d1 soit topologiquement plat, la formation
du quotient commute avec h » par le théorème ci-dessous.
(70) N.D.E. : L’original continuait ainsi : « Une variété formelle X sur k est dite étale, si le morphisme
diagonal ∆X : X → X × X est un isomorphisme local, c’est-à-dire si ∆X induit un isomorphisme
de OX×X,∆X (x) sur OX,x pour tout point x de X. On voit facilement à l’aide de SGA I, que cette
formulation est équivalente aux deux suivantes : la variété formelle X est topologiquement plate, et,
b k κ(s) est une extension finie séparable du
pour tout point x ∈ X, de projection s ∈ Spf(k), OX,x ⊗
corps résiduel κ(s) de s ; ou encore, si A désigne l’algèbre affine de X, les composantes locales (0.1)
b k (k/l) sont des algèbres finies et étales sur k/l, quel que soit l’idéal ouvert l de k. » Dans ce
de A ⊗
qui suit, on a rectifié l’omission de l’hypothèse de platitude dans la première condition ci-dessus, et
détaillé l’équivalence desdites conditions.
509
538
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
Rappels 1.6.A. — (i) Rappelons d’abord (cf. EGA 0IV , 19.10.2) qu’une k-algèbre topologique A est dite formellement étale sur k (pour les topologies données sur k et
A, resp. pour les topologies discrètes) si, pour toute k-algèbre topologique discrète
C (pas nécessairement artinienne), et tout idéal nilpotent J de C, tout morphisme
continu de k-algèbres A → C/J se relève de façon unique en un morphisme continu
A → C (A étant munie de la topologie donnée, resp. de la topologie discrète). On
voit aussitôt que cette propriété est préservée par changement de base, c.-à-d., pour
b k k ′ est alors formellement
tout morphisme k → k ′ d’anneaux pseudocompacts, A ⊗
étale sur k ′ . D’autre part, on voit facilement qu’il suffit de vérifier la condition de
relèvement pour tout idéal J de carré nul, cf. EGA IV4 , 17.1.2 (ii). On dit que A
est étale sur k si elle est formellement étale sur k pour les topologies discrètes, et
si de plus A est une k-algèbre de présentation finie (cf. EGA IV4 , 17.3.2 (ii)). Dans
la suite, k étant un anneau pseudocompact et A une k-algèbre profinie, on utilisera
« formellement étale » au sens des topologies données (sauf mention du contraire).
(ii) Rappelons aussi que si F ∈ k[T] est un polynôme polynôme unitaire de degré
d > 1, séparable (i.e. tel que l’idéal engendré par F et son polynôme dérivé F′ soit
k[T]), alors la k-algèbre B = k[T]/(F) (qui est libre de rang d sur k, et munie de
la topologie produit) est formellement étale sur k. En effet, soient C une k-algèbre
discrète (de sorte que le noyau de k → C est un idéal ouvert l de k), J un idéal
de C de carré nul, et φ : B → C/J un morphisme continu de k-algèbres. Notons
que, B étant un k-module libre de rang fini, l B est un idéal ouvert de B, donc tout
relèvement Φ : B → C de φ est automatiquement continu. Soient t l’image de T
dans B et u0 un relèvement arbitraire de φ(t) dans C, alors F(u0 ) ∈ J (puisque φ(t)
est racine de F) ; d’autre part il existe G, H ∈ k[T] tels que GF + HF′ = 1, d’où
H(u0 )F′ (u0 ) = 1 − G(u0 )F(u0 ), et le terme de droite est inversible, puisque F(u0 )
est de carré nul, donc F′ (u0 ) est inversible. Cherchons h ∈ J tel que x = x0 + h
soit racine de F ; ceci équivaut à 0 = F(u) = F(u0 ) + F′ (u0 )h, et comme F′ (u0 )
est inversible, ceci a pour unique solution h = −F′ (u0 )−1 F(u0 ) ∈ J. Bien entendu,
la même démonstration (sans faire d’hypothèses de continuité pour les morphismes
k → C, φ et Φ) montre que B est aussi une k-algèbre étale.
(iii) Rappelons enfin que si A est un produit fini A1 × · · · × An , alors A est formellement étale sur k si et seulement si les Ai le sont. (71) En effet, il suffit de le voir
pour n = 2, dans ce cas soit e = 1A1 l’idempotent tel que A1 = Ae et A2 = A(1 − e),
et supposons donné un morphisme continu A → C/J, où J est un idéal de carré nul.
Comme le polynôme F = X2 − X est séparable (on a F′ = 2X − 1 et (F′ )2 − 4F = 1),
l’idempotent φ(e) de C/J se relève de façon unique en un idempotent f de C, d’où
C = Cf ⊕ C(1 − f ), et alors se donner un relèvement de Φ équivaut à se donner deux
morphismes Φ1 : A1 → Cf et Φ2 : A2 → C(1 − f ), relevant les restrictions de φ à A1
et A2 . Le même argument montre que si e est un idempotent de k tel que A = Ae,
alors A est formellement étale sur k si et seulement si elle l’est sur le localisé ke (qui
s’identifie à ke).
(71) N.D.E.
: Signalons au passage que la démonstration donnée dans EGA 0IV , 19.3.5 (v) est erronée.
1. VARIÉTÉS FORMELLES SUR UN ANNEAU PSEUDOCOMPACT
539
Soient maintenant X une k-variété formelle et A son algèbre affine. Si x est un
point de X (i.e. un idéal maximal ouvert m de A), d’image s dans Spf(k), on notera
km ou ks la composante locale de k correspondant à s.
Définition 1.6.B. — Les conditions suivantes sont équivalentes :
(a) A est formellement étale sur k.
(b) Pour tout m ∈ Υ(A), Am est formellement étale sur k (ou sur km ).
b k (k/l) = A/Al est formellement étale sur k/l.
(c) Pour tout idéal ouvert l de k, A ⊗
(d) Pour tout m ∈ Υ(A) et tout idéal ouvert l de km , Am /Am l est formellement
étale sur km /l.
On dira que X est étale sur k si elle vérifie ces conditions, et on notera Vaf ét
/k la
sous-catégorie pleine de Vaf /k formée des variétés formelles étales sur k. (72)
Remarquons que si φ : A → C/J un morphisme continu de k-algèbres, où C est
une k-algèbre discrète et J un idéal de carré nul, alors I = Ker(φ) est un idéal ouvert
de A, donc A/I est artinien, donc I n’est contenu que dans un nombre fini d’idéaux
maximaux ouverts m1 , . . . , mr , donc contient le produit des composantesQAm pour
r
m 6= mi , qui égale A(1 − e) où e désigne l’idempotent de A tel que Ae = i=1 Ami .
Donc φ(e) = 1C/J et il revient au même de se donner un relèvement continu de φ ou
du morphisme de Ae ≃ A/A(1 − e) vers C/J, induit par φ.
D’autre part, on sait (cf. N.D.E. (24)) que A ≃ liml A/Al. Compte-tenu de ces
←−
remarques et des rappels précédents, on obtient facilement l’équivalence des conditions
indiquées.
Q
Définitions 1.6.C. — Notons κ(k) =
s∈Spf(k) κ(s), muni de la topologie produit,
i.e. la variété formelle Spf(κ(k)) est la somme directe des Spec κ(s), pour s ∈ Spf(k).
D’autre part, on notera Sκ(k) le schéma somme directe des Spec κ(s), pour s ∈ Spf(k).
b k κ(k) la variété formelle
Pour toute variété formelle X sur k, on notera Xκ = X ⊗
sur κ(k) obtenue par changement de base, i.e. Xκ a les même points que X et pour
tout x ∈ X, de projection s sur Spf(k), on a OXκ ,x = OX,x ⊗k κ(s). Ce foncteur de
ét
changement de base Vaf /k → Vaf /κ(k) envoie Vaf ét
/k dans Vaf /κ(k) (cf. 1.6.A (i)).
On a alors (cf. SGA 1, I 6.2) :
Lemme 1.6.D. — Pour tout Y ∈ Ob Vaf ét
/k et X ∈ Ob Vaf /k , l’application canonique :
HomVaf /k (X, Y) −→ HomVaf /κ(k) (Xκ , Yκ )
ét
est bijective. En particulier, le foncteur Vaf ét
/k → Vaf /κ(k) est pleinement fidèle (et
on verra plus bas que c’est une équivalence).
En effet, notons A (resp. B) l’algèbre affine de X (resp. Y) et r le radical de k,
b k κ(k) → A ⊗
b k κ(k) ou, ce qui revient au même,
supposons donné un morphisme B ⊗
un morphisme φ : B → A/rA.
(72) N.D.E.
: Notons que Vaf ét
/k est stable par limites projectives finies.
540
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
Pour tout idéal ouvert l de k, il existe n ∈ N∗ tel que rn ⊂ l, d’où (rA)n ⊂ lA ⊂ lA,
et comme l’application de multiplication mn−1 : An → A est continue, on a donc aussi
(rA)n ⊂ lA, i.e. rA/lA est un idéal nilpotent de A/lA. Par conséquent, φ se relève de
façon unique en un morphisme φl : B → A/lA. Par unicité, ces morphismes forment
un système projectif, donc donnent un morphisme continu Φ : B → liml A/lA = A.
←−
De plus, Φ est unique car si Φ′ est un second relèvement de φ, alors Φ′ et Φ coı̈ncident
modulo lA pour tout l, donc sont égaux.
Proposition 1.6.E. — (a) Soient X une variété formelle sur k et A son algèbre affine.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) X est étale sur k.
(ii) X est topologiquement plate sur k et le morphisme diagonal ∆ : X → X × X
∼
est un isomorphisme local, i.e. ∆X induit un isomorphisme OX×X,∆(x) −→ OX,x pour
tout point x de X.
(iii) Pour tout x ∈ X, de projection s sur Spf(k), OX,x est isomorphe à ks [T]/(F),
où F ∈ ks [T] est un polynôme unitaire séparable (cf. 1.6.A (ii)).
(iv) X est topologiquement plate sur k, et, pour tout point x ∈ X, de projection s
b k κ(s) est une extension finie séparable de κ(s).
sur Spf(k), OX,x ⊗
b k (k/l) est une
(v) Pour tout idéal ouvert l de k, chaque composante locale de A ⊗
algèbre étale finie sur l’anneau artinien k/l.
(b) Vaf ét
/κ(k) s’identifie à la catégorie des schémas étales sur Sκ(k) (cf. 1.6.C), et
∼
ét
le foncteur X 7→ Xκ induit une équivalence de catégories Vaf ét
/k −→ Vaf /κ(k)
(cf. SGA 1, I 6.1).
Démonstration. (a) Notons I le noyau du morphisme de multiplication m :
b k A → A. Supposons X étale sur k, i.e. A formellement étale sur k. Alors, d’après
A⊗
EGA 0IV , 20.7.4, le séparé complété de I/I2 , pour la topologie quotient de celle de I,
est nul, i.e. on a I = I2 . Or, pour tout x ∈ X, I est contenu dans l’idéal maximal m∆(x)
b k A, donc le localisé Im∆(x) est contenu dans l’idéal maximal de OX×X,∆(x) , et
de A ⊗
donc, d’après le lemme de Nakayama 0.3, on a Im∆(x) = 0, et donc ∆ : X → X × X est
un isomorphisme local.
Supposons maintenant que ∆ soit un isomorphisme local et que k soit un corps κ,
et montrons que chaque OX,x est une κ-algèbre étale de dimension finie. Remplaçant
X par Spf(OX,x ), on peut supposer que A = OX,x est locale. On procède alors comme
dans la démonstration de EGA IV4 , 17.4.1, (b) ⇒ (d′′ ). Soit K une extension normale
b κ K (comme
finie de κ contenant le corps résiduel κ(x), et soient B = A ⊗κ K = A ⊗
b
b κ K. Alors
[K : κ] < ∞ alors − ⊗κ K et − ⊗κ K coı̈ncident) et XK = Spf(B) = X ⊗
b
∆K : XK → XK ⊗K XK est encore un isomorphisme local, donc pour tout y ∈ XK ,
∼
b K By → By induit un isomorphisme (By ⊗
b K By )m∆ (y) −→
By .
la multiplication By ⊗
K
Or, comme le corps résiduel de By est K (cf. par exemple VIA , 1.1.1, N.D.E. (11)),
b K By est déjà un anneau local (en effet, n = my ⊗
b K By + By ⊗
b K my est formé
C = By ⊗
d’éléments topologiquement nilpotents, donc est contenu dans le radical de C, et
b K K = K est un corps) donc on obtient que le morphisme de multiplication
C/n = K ⊗
1. VARIÉTÉS FORMELLES SUR UN ANNEAU PSEUDOCOMPACT
541
b K By → By est un isomorphisme. Prenant une pseudobase de By sur K contenant
By ⊗
l’élément unité 1, on en déduit que By = K. Comme de plus B est finie sur A, XK est
un ensemble fini, donc B = A ⊗κ K est le produit d’un nombre fini de copies de K, et
ceci entraı̂ne que A est une κ-algèbre étale finie.
On obtient ainsi que, si κ est un corps, toute κ-algèbre profinie A étale sur κ est
le produit d’extensions finies séparables Ki de κ, muni de la topologie produit, donc
la variété formelle Spf(A) est la somme directe des Spf(Ki ) = Spec(Ki ), et l’on en
déduit que Vaf ét
/κ s’identifie à la catégorie des κ-schémas étales.
b k κ(s) est formelCe qui précède montre l’implication (ii) ⇒ (iv) (puisque OX,x ⊗
lement étale sur κ(s)), et entraı̂ne le point (b) de 1.6.E. En effet, soit à nouveau k
un anneau pseudocompact arbitraire. D’après ce qui précède, Vaf ét
/κ(k) s’identifie à
la catégorie des schémas étales sur Sκ(k) . Montrons que X 7→ Xκ induit une équiva∼
ét
lence Vaf ét
/k −→ Vaf /κ(k) . Compte-tenu de 1.6.D, il suffit de montrer que pour tout
s ∈ Spf(k) et toute extension finie séparable K de κ(s), il existe une ks -algèbre étale
b k κ(s) ≃ K. Soient ξ un élément primitif de l’extension K/κ(s), n son
A telle que A ⊗
degré, et F ∈ ks [T] un polynôme unitaire de degré n dont l’image F dans κ(s)[T] est
le polynôme minimal de ξ. Comme F′ est inversible dans κ(s)[T]/(F), il résulte du
lemme de Nakayama que F′ est inversible dans ks [T]/(F), donc F est un polynôme
séparable et donc, d’après 1.6.A (ii), A = ks [T]/(F) est une ks -algèbre étale telle que
b k κ(s) ≃ K. On obtient ainsi que toute ks -algèbre profinie étale locale est libre de
A⊗
rang fini sur ks (donc a fortiori topologiquement libre sur k), et donc toute k-algèbre
profinie étale est topologiquement libre sur k.
Par ailleurs, la condition (v) implique la condition (d) de 1.6.B, donc implique
(i). On a donc obtenu que (i), (iii) et (v) sont équivalentes, et impliquent (ii), qui
implique (iv). Enfin, soit A une k-algèbre profinie vérifiant (iv), montrons que A est
formellement étale sur k. Pour cela, on peut supposer A et k locaux, notons κ le
b k κ est une extension finie séparable de
corps résiduel de k ; par hypothèse, K = A ⊗
κ, disons de degré n. D’après ce qu’on a vu plus haut (et tenant compte du lemme
1.6.D), il existe alors une k-algèbre B libre de rang n, formellement étale sur k, et
b k κ soit un isomorphisme. Comme
un morphisme continu φ : B → A tel que φ ⊗
b k κ = 0 et aussi
A est topologiquement plate sur k, ceci entraı̂ne que Coker(φ) ⊗
b k κ = 0 ; d’après le lemme de Nakayama 0.3, on a donc Coker(φ) = 0 =
Ker(φ) ⊗
Ker(φ), donc φ est un isomorphisme (cf. la démonstration de 0.2.B). Ceci achève la
démonstration de 1.6.E.
(73)
Soit X une variété formelle sur k. Pour tout x ∈ X, de projection s sur Spf(k),
le corps résiduel κ(x) est une extension finie de κ(s) et l’on note κe (x) la clôture
séparable de κ(s) dans κ(x).
Proposition 1.6.F. — (i) L’inclusion de Vaf ét
/k dans Vaf /k possède un adjoint à gauche
X 7→ Xe : la variété Xe a les mêmes points que X, pour tout x ∈ X, de projection s sur
Spf(k), soient ξ un élément primitif de κe (x), n son degré, u un relèvement arbitraire
(73) N.D.E.
: Dans ce qui suit, on a utilisé les ajouts précédents pour détailler la contruction du
foncteur X 7→ Xe , et montrer qu’il commute aux produits finis (ceci est utilisé dans 2.5.1).
542
510
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
de ξ dans OX,x , et F ∈ k[T] unitaire de degré n annulant u ; on pose OXe ,x = k[T]/(F).
Alors pour tout Y ∈ Ob Vaf ét
/k , les applications canoniques ci-dessous sont bijectives :
HomVaf /k (X, Y)
HomVaf /k (Xe , Y)
∼
∼
/ HomVaf
(Xκ , Yκ )
/κ(k)
≀
/ HomVaf
((Xe )κ , Yκ ),
/κ(k)
la flèche verticale étant induite par les inclusions κe (x) ֒→ κ(x) pour tout x ∈ X. Ceci
définit, en particulier, un morphisme p : X → Xe , et tout morphisme de k-variétés
formelles φ : X → Y, avec Y étale sur k, se factorise de façon unique à travers p.
(ii) Le foncteur X 7→ Xe commute aux produits finis.
En effet, (i) découle de 1.6.E (b) et 1.6.D. Prouvons (ii). Compte-tenu de l’équivalence de catégories 1.6.E (b), on peut supposer que k est un corps. Dans ce cas,
on voit facilement que si X est une k-variété formelle semi-locale, i.e. dont l’algèbre
affine A est semi-locale, alors l’algèbre affine de Xe est la plus grande sous-algèbre de
A qui soit étale sur k, notons-la Ae . On se ramène ainsi à voir que si K, L sont deux
extensions de degré fini de k, alors l’inclusion Ke ⊗ Le ⊂ (K ⊗ L)e est une égalité. Soit
p l’exposant caractéristique de k (i.e. p = 1 si car(k) = 0 et p = car(k) sinon), alors
n
pour tout x ∈ K ⊗ L, il existe n ∈ N∗ tel que xp ∈ Ke ⊗ Le , donc toute sous-algèbre
B de K ⊗ L est radicielle sur Ke ⊗ Le , et il en résulte que Ke ⊗ Le = (K ⊗ L)e .
Remarquons, en conservant les notations précédentes, que OXe ,x n’est pas nécessairement une sous-algèbre de OX,x , mais c’est le cas lorsque X est topologiquement
plate sur k, d’après la proposition suivante.
1.6.1. — Soient Y une k-variété formelle étale et f : X → Y un morphisme de Vaf /k .
On a alors le carré cartésien ci-dessous, où Γf est le morphisme graphe X → X × Y,
de composantes idX et f ,
X
Γf
f
Y
/ X×Y
f ⊠idY
∆Y
/ Y × Y.
Il s’ensuit que Γf est un isomorphisme local, donc que f = prY ◦ Γf est topologiquement plat si prY l’est, par exemple si X est topologiquement plat sur k.
Réciproquement, comme Y → k est topologiquement plat, X → k le sera aussi si
f l’est (cf. 1.3.3). Prenant en particulier pour f le morphisme canonique p : X → Xe
de 1.6, on obtient :
Proposition. — Soit X une variété formelle sur k. Le morphisme X → Xe est topologiquement plat si et seulement si X est topologiquement plate sur k.
2. GÉNÉRALITÉS SUR LES GROUPES FORMELS
543
Remarque 1.6.2. — (74) Lorsque k est un corps parfait, le foncteur X 7→ Xe est aussi
adjoint à droite de l’inclusion Vaf ét
/k ֒→ Vaf /k . En effet, dans ce cas on a OXe ,x = κ(x)
pour tout x ∈ X, et les projections canoniques OX,x → κ(x) définissent un morphisme
s : Xe → X, qui est une section de p : X → Xe . Pour tout morphisme f : X → Y les
diagrammes ci-dessous sont commutatifs :
OY,f (x)
/ OX,x
κ(f (x))
/ κ(x)
XO
f
sX
/Y
O
sY
Xe
fe
/ Ye
donc s est fonctoriel en X, et il en résulte que X 7→ Xe est adjoint à droite de l’inclusion
Vaf ét
/k ֒→ Vaf /k . Donc, étant un adjoint à droite, X 7→ Xe commute aux limites
(75)
projectives lorsqu’elles existent dans Vaf ét
, donc en particulier aux produits
/k
finis. (Ceci se vérifie aussi directement : pour toute k-variété formelle X, d’algèbre
affine A, Xe a pour algèbre affine le quotient de A par son radical r(A), et puisque
b OY,y par son radical est l’algèbre κ(x) ⊗k κ(y),
k est parfait, le quotient de OX,x ⊗
puisque cette dernière est semi-simple.)
2. Généralités sur les groupes formels
511
2.1. Soient k un anneau pseudocompact et G un k-groupe formel, c’est-à-dire un
groupe de la catégorie Vaf /k des variétés formelles sur k. Soit A l’algèbre affine de
G. La loi de composition de G définit évidemment un morphisme diagonal, c.-à-d.,
b k A ; cet homomorphisme
un homomorphisme de k-algèbres profinies ∆A : A → A ⊗
vérifie les conditions suivantes :
(i) le diagramme
∆A
A
/ A⊗
bk A
b idA
∆A ⊗
∆A
bk A
A⊗
b ∆A
idA ⊗
/ A⊗
bk A ⊗
bk A
est commutatif.
(ii) il existe une augmentation (nécessairement unique), c’est-à-dire un homomorphisme de k-algèbres profinies εA : A → k tel que les applications composées
et
∆
b id
ε ⊗
∆
bε
id ⊗
A
A
A
bk A ≃ A
b k A −−
−−−→
k⊗
A⊗
A −−→
A
A
bk k ≃ A
b k A −−A−−−→
A⊗
A⊗
A −−→
soient les applications identiques de A.
(74) N.D.E.
(75) N.D.E.
: On a inséré ici cette remarque, qui dans l’original apparaissait en 2.5.2.
: c’est le cas pour les limites projectives finies.
544
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
(iii) il existe un antipodisme (nécessairement unique), c’est-à-dire un homomorphisme de k-algèbres profinies cA : A → A tel que l’application composée
∆
512
b id
c ⊗
m
A
A
A
A
b k A −−→
b k A −−
A
−−−→
A⊗
A⊗
A −−→
b b sur ab et ηA
soit égale à ηA ◦ εA , si l’on note mA l’application linéaire qui envoie a ⊗
l’application λ 7→ λ1A de k dans A.
Réciproquement, la donnée de (∆A , εA , cA ) vérifiant (i)–(iii) munit G d’une structure de k-groupe formel. (76) Explicitement, pour toute k-algèbre profinie B, l’ensemble Homc (A, B) des morphismes continus de k-modules φ : A → B est muni d’une
structure de groupe, fonctorielle en B, définie par
b φ′ ) ◦ ∆A ,
φ · φ′ = mB ◦ (φ ⊗
l’élément neutre étant ηB ◦ εA (où mB est la multiplication de B et ηB l’application
λ 7→ λ1B de k dans B), et φ ◦ cA étant l’inverse de φ ; et l’ensemble HomAlp/k (A, B)
des morphismes continus de k-algèbres A → B en est un sous-groupe (car l’algèbre B
est commutative).
Définition. — Un morphisme de k-groupes formels θ : K → G est, par définition, un
morphisme de k-variétés formelles qui respecte les structures de groupe. Si B (resp. A)
est l’algèbre affine de K (resp. G) et si f : A → B est le morphisme correspondant à
θ, ceci équivaut à dire que f est compatible avec les comultiplications, c.-à-d.,
b f ) ◦ ∆A = ∆B ◦ f
(f ⊗
(les conditions εB ◦ f = εA et cB ◦ f = f ◦ cA étant alors automatiquement vérifiées).
On notera Grf /k la catégorie des k-groupes formels.
Notations. — Dans la suite, nous appellerons idéal d’augmentation de A l’idéal IA =
Ker(εA ), et nous noterons ωG/k le k-module pseudocompact IA /I2A , c’est-à-dire le
quotient de IA par l’idéal fermé engendré par les produits xy, pour x, y ∈ IA .
2.2. Soit H un groupe de la catégorie des coalgèbres sur Ok , i.e. pour tout objet C
de Alf /k , H(C) est muni d’une structure de C-coalgèbre en groupes (cf. VIIA 3.2 ; à
la suite de Manin, nous dirons bialgèbre (77) au lieu de coalgèbre en groupes) ; de plus,
si ϕ : C → D est un morphisme de Alf /k , l’application D ⊗C H(C) → H(D) est un
homomorphisme de D-bialgèbres.
Définition. — Nous résumerons les propriétés ci-dessus en disant que H est une bialgèbre sur Ok .
(76) N.D.E.
: On dira aussi que A est un cogroupe dans la catégorie des k-algèbres profinies. D’autre
part, on a détaillé ce qui suit ; en particulier, on a explicité ce qu’est un morphisme de groupes
formels K → G, cf. la proposition 2.3.1.
(77) N.D.E. : On dit aussi « bigèbre » (cf. [BAlg], III § 11.4) ; rappelons (cf. VII , 3.1, N.D.E. (26))
A
que toutes les « bialgèbres » considérées ici sont supposées cocommutatives et munies d’une antipode,
i.e. ce sont en fait des algèbres de Hopf cocommutatives.
2. GÉNÉRALITÉS SUR LES GROUPES FORMELS
545
Il est clair que le foncteur H 7→ Spf ∗ (H) de 1.3.5 commute aux produits finis. Il
transforme donc une bialgèbre sur Ok en un k-foncteur en groupes, c’est-à-dire, un
foncteur (covariant) de Alf /k dans la catégorie des groupes.
Et en effet, pour toute k-algèbre de longueur finie C, les éléments de
Spf ∗ (H)(C) = Spf ∗ (H(C)) = {x ∈ H(C) | ε(x) = 1 et ∆(x) = x ⊗ x}
forment un groupe pour la multiplication de l’algèbre H(C) (cf. VIIA 3.2.2). Notons
d’ailleurs que la condition ∆(x) = x ⊗ x entraı̂ne l’égalité ε(x) = ε(x)2 , donc aussi
ε(x) = 1 si C est locale et x 6= 0. (78)
2.2.1. — Une bialgèbre H sur Ok est dite plate si le module sous-jacent est plat
(cf. 1.2.1). (79) Si H est plate alors, d’après 1.3.5, A = Γ∗ (H) est une k-algèbre profinie
topologiquement plate, et Spf ∗ (H) est isomorphe, comme foncteur de (Alf /k )0 =
Vaf /k vers (Ens), au foncteur
Spf(A) : C 7→ HomVaf /k (Spf(C), Spf(A)).
La structure de groupe de Spf ∗ (H) munit donc G (H) = Spf(A) d’une structure de
groupe formel, qui est décrite explicitement comme suit.
Pour tout objet C de Alf /k , comme le C-module sous-jacent à H(C) est projectif,
on déduit du lemme 1.2.3.A, par récurrence sur n, des isomorphismes naturels :
⊗(n+1)
b
b ≃ HomC H(C), (H(C)∗ )⊗ n
H(C)∗
∗
≃ HomC H(C), (H(C)⊗n )∗ ≃ H(C)⊗(n+1) .
On déduit de ceci (pour n = 1, 2) que la structure de C-algèbre de H(C) munit H(C)∗
d’une application diagonale vérifiant les conditions 2.1 (i)–(iii), tout ceci de manière
fonctorielle en C.
Par conséquent, A = Γ∗ (H) = lim H(k/l)∗ est munie d’une structure de cogroupe
←−
dans Alp/k , qui définit sur G (H) la structure de groupe formel annoncée.
Réciproquement, soit G un k-groupe formel topologiquement plat, d’algèbre affine
A, et notons H(G) la Ok -coalgèbre Vkf (A) (cf. 1.2.3). Le morphisme diagonal ∆A :
b k A induit alors, pour toute k-algèbre de longueur finie C, une application
A → A⊗
C-linéaire
Vkf (A)(C) ⊗ Vkf (A)(C) −→ Vkf (A)(C)
C
qui fait de la coalgèbre Vkf (A)(C) une C-bialgèbre. On dira que H(G) est la bialgèbre
covariante du groupe formel G. (80) Donc, d’après la proposition 1.3.5.D :
Proposition. — (i) Les foncteurs G 7→ H(G) et H 7→ G (H) définissent une équivalence entre la catégorie des k-groupes formels topologiquement plats et celle des
Ok -bialgèbres plates. (81)
(78) N.D.E.
: Puisque ∆(x) = x ⊗ x on a x = ε(x)x, donc ε(x) = 0 ne peut se produire que si x = 0.
: On a détaillé l’original dans ce qui suit.
(80) N.D.E. : On a ajouté l’adjectif « covariant » pour faire voir que le foncteur G 7→ H(G) est
covariant ; cette terminologie est utilisée dans [Di73], I § 2.14.
(81) N.D.E. : On rappelle que dans cet exposé, « bialgèbre » signifie « algèbre de Hopf cocommutative ».
(79) N.D.E.
513
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
546
(ii) Cette équivalence « commute au changement de base » : si k → K est un
b k K) = H(G)⊗k K et G (H⊗k K) =
morphisme d’anneaux pseudocompacts, alors H(G ⊗
b
G (H) ⊗k K.
Lorsque k est un anneau artinien et G un k-groupe formel topologiquement plat,
le foncteur H(G) est évidemment déterminé par sa valeur H(G) = H(G)(k) en k. On
dira aussi que H(G) est la bialgèbre (covariante) de G. (82) Par conséquent, notant
cocom
Hk la catégorie des k-algèbres de Hopf et Hplat/k
la sous-catégorie pleine formée des
k-algèbres de Hopf plates sur k et cocommutatives, on obtient donc :
Corollaire. — Soit k un anneau artinien.
(i) Les foncteurs G 7→ H(G) et H 7→ G (H) = Spf ∗ H(G) définissent une équivalence
cocom
entre la catégorie des k-groupes formels topologiquement plats et Hplat/k
.
(ii) Cette équivalence « commute au changement de base » : si k → K est un
b k K) = H(G) ⊗k K et G (H ⊗k K) =
morphisme d’anneaux artiniens, alors H(G ⊗
b k K.
G (H) ⊗
com
D’autre part, notons aussi Hplat/k
la sous-catégorie pleine de Hk formée des kalgèbres de Hopf plates sur k et commutatives, et rappelons que le foncteur K 7→ O(K)
com
est une anti-équivalence de la catégorie des k-schémas en groupes affines sur Hplat/k
.
514
2.2.2. — Supposons pour simplifier k artinien et soit G un k-groupe formel topologiquement plat. (83) Alors G est commutatif si et seulement si son algèbre affine A (G)
a une comultiplication cocommutative, ce qui équivaut à dire que la bialgèbre H(G)
a une multiplication commutative. Dans ce cas, H(G) est une algèbre de Hopf commutative et cocommutative, plate sur k, donc si l’on pose D′ (G) = Spec H(G), alors
D′ (G) est un k-schéma en groupes commutatifs, affine et plat sur k. Réciproquement,
si T est un tel k-schéma en groupes, son algèbre affine O(T) est un groupe commutatif dans la catégorie des k-coalgèbres cocommutatives plates sur k et donc, d’après
1.3.5.C, on obtient un k-groupe formel topologiquement plat D(T) en posant :
D(T) = Spf ∗ O(T) = Spf(A ),
où
A = O(T)∗ .
Comme, d’après 1.3.5.D, on a des isomorphismes canoniques G = Spf ∗ H(G) et
H(D(T)) = O(T), on obtient des isomorphismes canoniques :
D(D′ (G)) = Spf ∗ O(D′ (G)) = Spf ∗ H(G) = G,
D′ (D(T)) = Spec H(D(T)) = Spec O(T) = T.
De plus, notant k-Gr. la catégorie des k-schémas en groupes, on a, d’après le corollaire
2.2.1, des isomorphismes fonctoriels :
HomGrf /k (G, D(T)) ≃ HomHk (H(G), O(T)) ≃ Homk-Gr. (T, D′ (G)),
On obtient donc la :
(82) N.D.E.
: On a introduit ici la notation Hcocom
, qui sera utile plus bas.
plat/k
: On a détaillé l’original dans ce qui suit, afin d’introduire les notations D′ (G) et D(K),
cf. [Ca62], § 14.
(83) N.D.E.
2. GÉNÉRALITÉS SUR LES GROUPES FORMELS
547
Proposition (Dualité de Cartier). — Soit k un anneau artinien.
(i) Les foncteurs G 7→ D′ (G) = Spec H(G) et T 7→ D(T) = Spf ∗ O(T) induisent
une anti-équivalence entre la catégorie F C k des k-groupes formels commutatifs topologiquement plats et la catégorie AC k des k-schémas en groupes commutatifs, affines
et plats, i.e. G et D′ (G) (resp. T et D(T)) sont reliés par les égalités : (84)
H(G) = O(D′ (G))
et
O(T) = H(D(T)).
(ii) Cette anti-équivalence « commute au changement de base » : si k → K est un
b k K) = D′ (G) ⊗k K et D(T ⊗k K) =
morphisme d’anneaux artiniens, alors D′ (G ⊗
b k K.
D(T) ⊗
(iii) En particulier, si k est un corps, on obtient une anti-équivalence entre la catégorie des k-groupes formels commutatifs et celle des k-schémas en groupes commutatifs
affines, qui commute à l’extension du corps de base.
2.3. Considérons maintenant un k-groupe formel arbitraire (85) G, d’algèbre affine
A. Notons toujours H(G) le Ok -module Vkf (A) dual de A et désignons par ϕG l’homomorphisme fonctoriel
ϕG : H(G) ⊗ H(G) −→ H(G × G)
k
qui est induit par l’application naturelle (0.3.6), pour tout objet C de Alf /k :
b k C)† ⊗C (A ⊗
b k C)† −→ (A ⊗
b k C) ⊗
b C (A ⊗
b k C) † .
(A ⊗
Si m : G × G → G est la multiplication de G, l’application composée :
ϕG
H(m)
H(G) ⊗ H(G) −−→ H(G × G) −−−−
→ H(G)
k
fait de H(G) une algèbre sur Ok ; pour tout C ∈ Alf /k , l’élément unité de H(G)(C) =
b k C)† est l’augmentation de A ⊗
b k C (cf. 2.1). (86) Si G n’est pas topologiquement
(A ⊗
plat sur k, ϕG n’est pas nécessairement un isomorphisme, et donc le morphisme δG :
H(G) → H(G × G) induit par le morphisme diagonal « x 7→ (x, x) » de G dans
G × G, ne se factorise pas nécessairement à travers H(G) ⊗k H(G), i.e. H(G) n’est
pas nécessairement une Ok -bialgèbre.
Pour cette raison nous dirons simplement, dans le cas général, que H(G) est « l’algèbre covariante » du groupe formel G.
Bien entendu, lorsque G est topologiquement plat sur k, ϕG est un isomorphisme,
et l’on retrouve la structure de Ok -bialgèbre sur H(G) définie en 2.2.1.
: Si l’on note FC fk (resp. AC fk ) la sous-catégorie pleine de FC k (resp. AC k ) formée des
objets G (resp. T) tels que H(G) (resp. O(T)) soit un k-module fini (et donc fini localement libre),
alors FC fk et AC fk ont toutes deux les mêmes objets que la catégorie C des k-algèbres de Hopf
commutatives et cocommutatives, finies et plates sur k, la correspondance G 7→ H(G) (resp. T 7→
O(T)) étant covariante (resp. contravariante), et l’on retrouve ainsi la « dualité de Cartier » de la
catégorie AC k , déjà vue en VIIA , 3.3.1.
(85) N.D.E. : c.-à-d., pas nécessairement topologiquement plat sur k
(86) N.D.E. : On a modifié l’ordre des phrases dans ce qui suit.
(84) N.D.E.
515
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
548
2.3.1 Proposition. — Soient K et G deux k-groupes formels, d’algèbres affines B et
A. On suppose K topologiquement plat sur k. Il existe alors une bijection canonique de HomGrf /k (K, G) sur l’ensemble des homomorphismes de Ok -algèbres unitaires h : H(K) → H(G) tels que le diagramme
H(K) ⊗k H(K)
O
(∗)
h⊗h
/ H(G) ⊗k H(G)
SSS ϕ
SSSG
SSSS
S)
H(G × G)
5
kkk
k
k
kkk
kkkk δG
/ H(G)
∆H(K)
h
H(K)
soit commutatif.
516
Comme K est topologiquement plat, H(K) est muni d’une structure de bialgèbre
(cf. 2.2) et ∆H(K) en est le morphisme diagonal ; autrement dit, avec les notations de
2.3, on a ∆H(K) = ϕ−1
K ◦ δK . Lorsque G est aussi topologiquement plat sur k, notre
proposition résulte de l’équivalence de catégories établie en 2.2.1.
Dans le cas général, on peut supposer k artinien et raisonner sur les algèbres H(K) =
B† et H(G) = A† . Soient Homc (A, B) l’ensemble des applications k-linéaires continues
de A dans B et Homk (B† , A† ) l’ensemble des applications k-linéaires de B† dans A† .
(87)
D’après 0.3.6.A, on sait que si M, P sont des k-modules pseudocompacts, et si
P est projectif, l’application canonique
Homc (M, P) −→ Homk (P† , M† ),
f 7→ tf
b A et
(où tf désigne la transposée de f ) est bijective. (On appliquera ceci à M = A ⊗
b B).
P = B, ou bien M = A et P = B ⊗
Soit f ∈ Homc (A, B). Considérons les diagrammes ci-dessous, où les carrés (0) sont
b f ).
commutatifs, et où les deux flèches verticales non nommées sont t (f ⊗
bA
A⊗
bf
f⊗
A† ⊗O A†
t
f ⊗tf
(0)
B† ⊗ B†
(87) N.D.E.
ϕG
bB
B⊗
/ (A ⊗
b A)† o
O
b B)† o
(B ⊗
mA
(1)
mB
δG =mtA
(1′ )
δK =mtB
∆A
/A
f
/B
(2)
∆B
AO † o
t
f
B† o
: On a détaillé la suite de la démonstration.
∆tA
(2′ )
∆tB
/ A⊗
bA
bf
f⊗
/ B⊗
bB
b A)† o
(A ⊗
O
b B)†
(B ⊗
ϕG
(0)
A† ⊗O A†
t
f ⊗tf
B† ⊗ B†
2. GÉNÉRALITÉS SUR LES GROUPES FORMELS
549
Si f : A → B correspond à un morphisme de groupes formels K → G, alors les
carrés (1) et (2) sont commutatifs, et εB ◦ f = εA ; par conséquent, les carrés (1′ ) et
(2′ ) sont commutatifs et tf envoie l’unité de B† = H(K) sur celle de A† = H(G), i.e. tf
est un morphisme de k-algèbres unitaires H(K) → H(G) tel que le diagramme (∗) de
la proposition soit commutatif.
Réciproquement, si tf vérifie ces conditions, alors εB ◦ f = εA et les carrés (1′ )
b A et P = B (resp. M = A et
et (2′ ) sont commutatifs. Comme, pour M = A ⊗
t
b
P = B ⊗ B), l’application g 7→ g est injective, on en déduit que les carrés (1) et (2)
sont commutatifs, donc f est compatible avec les multiplications et les morphismes
diagonaux de A et B. Il reste à voir que f (1A ) = 1B . Or, il résulte de ce qui précède
b f (1) et f (1) · f (1) = f (1). Les deux premières
que εB f (1) = 1, ∆B f (1) = f (1) ⊗
conditions entraı̂nent, d’après 2.1 (iii), que f (1) admet cB f (1) pour inverse dans B ;
par conséquent f (1)·f (1) = f (1) entraı̂ne f (1) = 1. Donc f : A → B est un morphisme
de Alp/k , compatible avec les comultiplications de A et B.
2.3.2. — Supposons maintenant pour simplifier l’anneau k artinien. Lorsque G est
topologiquement plat sur k, l’algèbre H(G) = H(G)(k) peut être caractérisée par une
propriété universelle (due à Cartier). Rappelons (cf. 1.2.1) que si U est un k-module,
on note W(U) le foncteur qui à toute k-algèbre de longueur finie C associe le Cmodule U ⊗k C. (88) Si U est une k-algèbre (associative, avec élément unité), il en est
de même de U ⊗k C ; nous noterons W(U)× le k-foncteur en groupes qui associe à
tout C ∈ Ob Alf /k le groupe multiplicatif des éléments inversible de l’algèbre U ⊗k C :
517
W(U)× (C) = (U ⊗k C)× .
De plus, identifions G au k-foncteur en groupes C 7→ HomVaf /k (Spf(C), G) et notons
Homk-Gr. (G, W(U)× ) l’ensemble des homomorphismes de k-foncteurs en groupes de
G dans W(U)× . On a la
Proposition. — Soit k un anneau artinien. Pour tout groupe formel G topologiquement
plat sur k et pour toute k-algèbre U, il y a un isomorphisme canonique
∼
Homk-Gr. (G, W(U)× ) −→ Homk-Alg. (H(G), U).
Notons A l’algèbre affine de G, par hypothèse c’est un objet projectif de PC(k),
b k P la limite projective
et H(G) = A† . Pour tout objet P de PC(k), notons U ⊗
des k-modules U ⊗k (P/N), où N parcourt les sous-modules ouverts de P. On a des
applications linéaires
U ⊗k (P/N) −→ Homk ((P/N)∗ , U)
qui envoient u ⊗ x sur l’application k-linéaire f 7→ f (x)u et qui forment un système
projectif filtrant. On obtient donc, par passage à la limite projective, un morphisme
(1)
(88) N.D.E.
bk P
U⊗
ψP
/ Homk (P† , U) .
: On a ajouté la phrase qui précède, et dans ce qui suit on a noté W(U)× au lieu de Um .
Rappelons d’autre part (cf. 1.2.1) qu’on appelle « k-foncteur » un foncteur covariant Alf /k → (Ens).
518
550
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
Lorsque P = k, ψk est évidemment un isomorphisme ; de plus, les deux membres de
(1), considérés comme foncteurs en P, commutent aux produits infinis (tout produit
étant limite projective filtrante de produits finis). On obtient donc que (1) est un
isomorphisme lorsque P est un produit de copies de k, puis lorsque P est un objet
projectif de PC(k) (les deux membres de (1) commutant aux sommes directes finies).
Notons maintenant HomF (G, W(U)) l’ensemble des morphismes de k-foncteurs de
G dans W(U). Comme G = Spf(A) = lim Spf(A/l), où l parcourt les idéaux ouverts
−→
de A, on a des isomorphismes canoniques
b k A.
HomF G, W(U) = lim HomF Spf(A/l), W(U) = lim U ⊗k (A/l) = U ⊗
←−
←−
D’après ce qui précède, on obtient donc un isomorphisme canonique :
(2)
bk A
HomF G, W(U) = U ⊗
ψA
/ Homk (H(G), U) .
Pour toute k-algèbre de longueur finie C, la multiplication fait de U⊗k C un monoı̈de
à élément unité, et tout morphisme de monoı̈des à élément unité G(C) → U ⊗k C
est nécessairement un morphisme de groupes G(C) → (U ⊗k C)× . Par conséquent,
on obtient que Homk-Gr. (G, W(U)× ) est la partie de HomF (G, W(U)) formée des
morphismes de k-foncteurs en monoı̈des à élément unité.
Il reste à voir que ces morphismes correspondent aux applications k-linéaires de
H(G) dans U qui préservent la multiplication et les éléments unité. (89) Pour simplifier
b au lieu de ⊗
b k . Notons ∆A , mA et
l’écriture, H(G) = A† sera noté H et l’on écrira ⊗
εA (resp. ∆H , mH et εH ) la comultiplication,
la multiplication et l’augmentation de A
b A et φ : H → U
(resp. H). Soit θ ∈ HomF G, W(U) , notons γ son image dans U ⊗
l’application k-linéaire associée. Alors θ envoie la section unité s ∈ G(k) sur un élément
u de U, et comme s correspond à l’augmentation ε : A → k, qui est l’élément unité
1H de H, on voit que θ(s) = 1U si et seulement si φ(1H ) = 1U .
Par ailleurs, le morphisme θ ◦ mG : G × G → W(U) correspond à l’élément
b ∆A )(γ), et celui-ci correspond, par dualité, à l’application φ ◦ mH : H ⊗ H → U.
(idU ⊗
b 1A
D’autre part, le morphisme θ ◦ pr1 : G × G → W(U) correspond à l’élément γ ⊗
b
b
de U ⊗ A ⊗ A, qui correspond par dualité à φ ◦ (idH ⊗ε) : H ⊗ H → U. De même,
b 1A ) de U ⊗
b A⊗
b A (où τ (u ⊗
b a⊗
b b) = u ⊗
b b⊗
b a),
θ ◦ pr2 correspond à l’élément τ (γ ⊗
qui correspond par dualité à φ ◦ (ε ⊗ idH ) : H ⊗ H → U. Enfin, l’application de
multiplication µ = mU ⊗
b A⊗
b A ci-dessous :
b A⊗
b A) × (U ⊗
b A⊗
b A),
(U ⊗
b a1 ⊗
b a2 , u ′ ⊗
b a3 ⊗
b a4 ) 7→ uu′ ⊗
b a1 a3 ⊗
b a2 a4
(u ⊗
b4
b A⊗
peut être vue comme la composée de l’endomorphisme σ23 de (U ⊗ U) ⊗
qui
« échange les facteurs a2 et a3 », et de l’application
b2 b ⊗
b A⊗
(U ⊗ U) ⊗
⊗ Ab 2
(89) N.D.E.
b mA
b mA ⊗
mU ⊗
/ U⊗
b A⊗
bA.
: L’original indiquait que : « (cela) résulte du caractère fonctoriel de ψA ». On a détaillé
cela dans ce qui suit.
2. GÉNÉRALITÉS SUR LES GROUPES FORMELS
551
On en déduit que l’application µ ◦ (φ ◦ pr1 , φ ◦ pr2 ) : G × G → W(U) correspond à
l’application composée β ci-dessous :
β
/U
H⊗H
O
o
o
idH ◦σ23 ◦idH ooo
mU
ooo
wooo
H ⊗ H ⊗ HM⊗ H
U; ⊗ U
MMM
xx
x
MMM
x
MMM
xx
xx φ⊗φ
MMM
(idH ⊗εH )⊗(εH ⊗idH )
x
&
xx
H⊗H
.
Enfin, θ est compatible avec les lois de G et de W(U)× si et seulement si θ ◦ mG égale
µ ◦ (φ ◦ pr1 , φ ◦ pr2 ) ce qui équivaut, d’après ce qui précède, à φ ◦ mH = β. Or il est
clair que (φ ◦ mH )(x ⊗ y) = φ(xy), et l’on voit facilement que β(x ⊗ y) = φ(x)φ(y).
2.4. Revenons maintenant à un anneau pseudocompact quelconque k pour appliquer
aux groupes formels les résultats de 1.4–1.5 sur le passage au quotient par une relation
d’équivalence topologiquement plate.
(90)
Soient u : H → G un monomorphisme de k-groupes formels, µ : G × G → G le
morphisme « multiplication » de G et λ le morphisme composé
λ:
G×H
idG ×u
/ G×G
µ
/ G.
Comme u est un monomorphisme, le couple
pr1
G×H
λ
/
/G
est un couple d’équivalence dans Vaf /k (cf. V, 2.b)). Rappelons (cf. 1.2.C) que le
conoyau G/H de ce couple est défini comme suit.
b k O(G) le
Soient O(G) et O(H) les algèbres affines de G et H, ∆ : O(G) → O(G) ⊗
♮
morphisme diagonal de O(G), et I le noyau du morphisme u : O(G) → O(H). (On
∼
sait, d’après la proposition 1.3, que u♮ induit un isomorphisme O(G)/I −→ O(H)).
Alors, l’algèbre affine O(G/H) de G/H est le noyau du couple de morphismes :
τ1
O(G)
b u♮ )∆
(id ⊗
b 1, c.-à-d.,
où τ1 (x) = x ⊗
/
b k O(H),
/ O(G) ⊗
b 1 ∈ O(G) ⊗
b I}.
O(G/H) = {x ∈ O(G) | ∆(x) − x ⊗
Si, de plus, H est topologiquement plat sur k, alors pr1 est topologiquement plat et
l’on déduit du théorème 1.4 le théorème suivant.
(90) N.D.E.
: On a détaillé l’original dans ce qui suit.
519
552
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
Théorème. — Soit u : H → G un monomorphisme de k-groupes formels. On suppose
H topologiquement plat sur k. Alors, la projection p : G → G/H est surjective et
topologiquement plate, on a un isomorphisme
∼
(∗)
G × H −→ G × G
G/H
et G/H représente le faisceau-quotient pour la topologie plate.
Par conséquent, G/H est muni d’une structure canonique d’objet à groupe d’opérateurs G, telle que p : G → G/H soit un morphisme d’objets à opérateurs. Si de plus
u identifie H à un sous-groupe invariant de G, alors G/H est muni d’une structure
canonique de k-groupe formel, telle que p : G → G/H soit un morphisme de k-groupes
formels, et H est le noyau de p.
En effet, la première assertion découle de 1.4 ; les deux autres de IV, corollaires
5.2.2 et 5.2.4.
Corollaire. — (91) Soient G un k-groupe formel, H un sous-groupe formel de G, A
(resp. A/J, B) l’algèbre affine de G (resp. H, G/H), IA l’idéal d’augmentation de A,
et IB = B ∩ IA . On suppose H topologiquement plat sur k. Alors J égale AIB , l’idéal
fermé engendré par IB .
En effet, la projection B → B/IB correspond à la « section unité » e : Spf(k) → G/H
de G/H. D’après (∗), H s’identifie au produit fibré Spf(k) ×G/H G, et donc son algèbre
b B A ≃ A/AIB .
affine A/J s’identifie à (B/IB ) ⊗
2.4.A. — (92) Soient G, Q des k-groupes formels topologiquement plats ; on suppose
qu’il existe des homomorphismes σ : Q → G et π : G → Q tels que π ◦ σ = idQ . En
particulier, σ est un monomorphisme, donc Q est un sous-groupe formel de G (cf. la
remarque 1.3). Soient N = Ker(π) et σ ′ l’inclusion N ֒→ G. Alors G est le produit
semi-direct de N par Q (cf. I, 2.3.8), i.e. pour tout B ∈ Ob Alf /k , identifiant N(B)
et Q(B) à leurs images dans G(B) par σ ′ et σ, N(B) est un sous-groupe invariant de
G(B) et l’application
(1)
µ:
N(B) × Q(B) −→ G(B),
(x, q) 7→ xq
est bijective. Alors le morphisme de k-variétés formelles
(2)
θ:
G(B) −→ N(B),
g 7→ g · σπ(g −1 )
est une rétraction de σ ′ , l’inverse de µ est l’application
(3)
g 7→ (θ(g), π(g))
et θ ◦ σ ′ : N → G/Q est un isomorphisme de k-variétés formelles. En particulier, N
est topologiquement plat sur k, d’après 1.4 (ii). Notons α (resp. β) l’application de
(91) N.D.E.
(92) N.D.E.
: On a explicité ce corollaire, qui est utilisé, par exemple, en 5.2.1/5.2.3.
: On a ajouté les paragraphes 2.4.A et 2.4.B, qui seront utiles en 5.1.3, resp. en 2.9.
2. GÉNÉRALITÉS SUR LES GROUPES FORMELS
553
Q × N (resp. G × N = N × Q × N) vers N définie ensemblistement par α(q, y) = qyq −1
(resp. β(x, q, y) = xα(q, y). Alors on a le diagramme commutatif ci-dessous :
G×G
(4)
id ×θ
/ G×N
/ N×N
v
v
v
vv
v
β
v
vv mN
{vvv
/N
.
mG
G
θ×id
θ
Ceci peut s’exprimer comme suit en termes des algèbres affines A, A0 et A′ de
G, Q et N (cf. 5.1.3 plus loin). Soient ρ′ : A → A′ , ρ : A → A0 et τ : A0 → A
les homomorphismes de k-bialgèbres correspondant à σ ′ , σ et π, et soit I = Ker(ρ).
Alors, d’après le corollaire précédent, A′ s’identifie à A/Aτ (J0 ), où J0 désigne l’idéal
d’augmentation de A0 .
D’autre part, soit B l’algèbre affine de G/Q, c’est le noyau du couple de morphismes :
τ1
/
A
b ρ)∆A
(id ⊗
b k A0 ,
/ A⊗
b 1 ∈ A⊗
b I}. Notons γ le morphisme continu de k-algèbres
i.e. B = {x ∈ A | ∆A (x)−x ⊗
♮
′
′
θ : A → A ; c’est une section de ρ et un isomorphisme de k-algèbres profinies de A′
sur B. D’autre part, τ = π ♮ identifie A0 à une sous-bialgèbre de A, qui n’est autre
que l’algèbre affine du quotient N\G. On déduit alors de (1) et (3) que l’on a un
isomorphisme de k-algèbres profinies
(∗)
∼
b k A0 −→
A,
A′ ⊗
b a0 7→ γ(a′ )τ (a0 ),
a′ ⊗
dont l’inverse est l’application a 7→ (ρ′ ⊗ ρ)∆A (a).
Enfin, identifions A′ à son image dans A par γ, de sorte que la projection A →
A′ est alors γρ′ . Notant ∆A′ la comultiplication de A′ , on déduit alors de (4) que
b A′ et que le diagramme ci-dessous est commutatif :
∆A (A′ ) ⊂ A ⊗
A′
∆A
/ A⊗
b A′
γρ′ ⊗id
A′
∆ A′
/ A′ ⊗
b A′
(on a donc aussi γρ′ ◦ cA = cA′ , où cA (resp. cA′ ) est l’antipode de A (resp. A′ )).
D’autre part, notant mA la multiplication de A, on déduit de (2) que, pour tout
a ∈ A,
γρ′ (a) = (mA ◦ (id ⊗τ ρ cA ) ◦ ∆A )(a).
2.4.B. — (92) Supposons, pour simplifier, k artinien. Alors ce qui précède s’exprime
plus simplement en termes des bialgèbres covariantes de G, Q, N. En effet, comme
554
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
G = N × Q comme k-variétés formelles, alors H(G) = H(N) ⊗k H(Q) comme kcoalgèbres. De plus, comme la multiplication de G est donnée par
(x, q) · (x′ , q ′ ) = (xα(q, x′ ), qq ′ ),
où α(q, x′ ) = qxq −1 ,
alors la multiplication de H(G) est donnée comme suit : pour tout x ∈ H(N), q ∈ H(Q),
(x ⊗ q) · (x′ ⊗ q ′ ) = xφ(q, x′ ) ⊗ qq ′ ,
où φ : H(Q) ⊗k H(N) est le morphisme de k-coalgèbres induit par α. Comme α est le
morphisme composé ci-dessous (où δG (resp. mG ) est le morphisme diagonal (resp. la
multiplication) de G, cQ le morphisme d’inversion de Q et v(q ⊗ q ′ ⊗ x) = q ⊗ x ⊗ q ′ ) :
Q×N
v◦(δG ×id)
/ Q×N×Q
id × id ×cQ
mG
/ Q×N×Q
/G,
on obtient, notant encore cQ l’antipode de H(Q), que
X
X
qi ⊗ qi′ .
qi x′ cQ (qi′ )
si
∆H(Q) (q) =
(⋆)
φ(q ⊗ x′ ) =
i
i
En particulier, si M est un groupe abstrait et si H(Q) est l’algèbre de groupe kM
(i.e. Q = Spf ∗ kM est le k-groupe formel constant Mk ), alors pour tout γ ∈ M et
x′ ∈ H(N) on a φ(γ ⊗ x′ ) = γx′ γ −1 , et ceci définit une action de M sur H(N) par
automorphismes d’algèbre de Hopf.
520
2.4.1 Proposition. — Soit f : G → K un morphisme de k-groupes formels. Si H =
Ker(f ) est topologiquement plat sur k, l’homomorphisme f ′ : G/H → K, qui est
induit par f , est un monomorphisme.
C’est une conséquence des résultats de l’exposé IV (93) ; nous en donnons cependant
une démonstration directe. Soient T une variété formelle de longueur finie sur k et
t un élément de (G/H)(T) tel que f ′ ◦ t soit l’élément unité de K(T). Nous devons
montrer que t est l’élément unité de (G/H)(T). Notons p la projection G → G/H et
X le produit fibré T ×G/H G.
D’après 2.4, p est surjectif et topologiquement plat, donc il en est de même du
morphisme pr1 : X → T, donc pr1 est un épimorphisme d’après la proposition 1.3.1,
donc il suffit de montrer que t ◦ pr1 est l’élément unité de (G/H)(X). Notons pr2 la
projection X → G, on a t ◦ pr1 = p ◦ pr2 , d’où l’égalité 1 = f ′ ◦ t ◦ pr1 = f ′ ◦ p ◦ pr2 =
f ◦ pr2 ; alors la suite exacte
1
/H
/G
f
/K
montre que pr2 se factorise à travers H, donc p ◦ pr2 est le morphisme nul. Comme
p ◦ pr2 = t ◦ pr1 , ceci prouve la proposition.
On déduit de la proposition le corollaire suivant. Notons O(G), O(K) et O(G/H)
les algèbres affines de G, K et G/H ; on a vu (2.4) que p induit une injection de
O(G/H) dans O(G). De plus, d’après la proposition 1.3, comme f ′ : G/H → K est un
monomorphisme, le morphisme O(K) → O(G/H) est surjectif, d’où :
(93) N.D.E.
: cf. IV, 5.2.6.
2. GÉNÉRALITÉS SUR LES GROUPES FORMELS
555
Corollaire. — Soient f : G → K un morphisme de k-groupes formels et H = Ker(f ).
Si H est topologiquement plat sur k, alors O(G/H) est l’image de O(K) dans O(G).
2.4.2. — Gardons les notations précédentes et supposons H et G topologiquement plats
sur k. Alors G est topologiquement plat sur k et sur G/H, donc, d’après 1.3.3, G/H
est topologiquement plat sur k. Par conséquent, d’après 2.4, la projection canonique q
de K sur Coker(f ′ ) est topologiquement plate et f ′ est un isomorphisme de G/H sur
Ker(q). Il est clair d’autre part qu’on a Coker(f ) = Coker(f ′ ). Donc, sous l’hypothèse
que G et H = Ker(f ) soient topologiquement plats sur k, on a obtenu un isomorphisme
entre Ker(q), l’image de f , et G/ Ker(f ), la coı̈mage de f . Ceci entraı̂ne le théorème
ci-dessous.
Théorème. — Soit k un corps. Les k-groupes formels commutatifs forment une catégorie abélienne.
Corollaire. — Soit k un corps. Les k-schémas en groupes affines commutatifs forment
une catégorie abélienne. (94)
Ceci résulte du théorème et de l’équivalence de catégories 2.2.2.
2.5. Un k-groupe formel est dit étale si la variété formelle sous-jacente est étale
(cf. 1.6) ; ces groupes formels ont une structure très simple. En effet, supposons k
local ; soient κ le corps résiduel de k, κs une clôture séparable de κ et Γ le groupe de
Galois topologique de κs sur κ. Appelons Γ-ensemble la donnée d’un ensemble E et
d’une opération continue de Γ sur E (i.e. le groupe d’isotropie de tout élément x ∈ E
est un sous-groupe ouvert de Γ).
Pour toute k-variété formelle X, on pose :
X(κs ) = lim X(ℓ),
−→
ℓ
où ℓ parcourt les extensions finies de κ contenues dans κs . (95) Alors Γ opère continûb k κ (cf. 1.6.C) ;
ment sur chaque X(ℓ), donc aussi sur X(κs ). De plus, soit Xκ = X ⊗
pour tout ℓ on a X(ℓ) = Xκ (ℓ), d’où X(κs ) = Xκ (κs ).
Supposons maintenant X étale sur k, alors Xκ est la κ-variété formelle somme
directe des Spec κ(x), pour x ∈ X, et si l’on note X′κ le κ-schéma somme directe des
Spec κ(x), on voit que Xκ (κs ) n’est autre que X′κ (κs ) = Hom(Sch/κ ) (Spec κs , X′κ ).
Notons C = (Schét
/κ ) la sous-catégorie pleine de (Sch/κ ) formée des κ-schémas
étales. On sait que le foncteur X′ 7→ X′ (κs ) est une équivalence de C sur la catégorie
C ′ des Γ-ensembles (cf. SGA 1, V §§ 7-8 ou [DG70], § I.4 6.4), il induit donc une
équivalence entre la catégorie des C -groupes et celle des C ′ -groupes, or on voit aussitôt
qu’un C ′ -groupe est la même chose qu’un groupe abstrait G muni d’une opération
continue de Γ par automorphismes de groupes (on dira alors que G est un Γ-groupe).
(94) N.D.E.
: voir aussi les remarques suivant VIA , 5.4.3.
: Noter que si [κs : κ] = ∞, κs n’est pas une κ-algèbre profinie, donc l’écriture précédente
est un abus de notation. D’autre part, on a détaillé l’original dans ce qui suit.
(95) N.D.E.
521
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
556
∼
∼
ét
ét
Compte-tenu des équivalences Vaf ét
/k −→ Vaf /κ −→ (Sch /κ ) de 1.6.E, on obtient
donc la :
Proposition. — Soient k un anneau pseudocompact local, κ son corps résiduel, κs une
clôture séparable de κ et Γ = Gal(κs /κ).
(i) Le foncteur X 7→ X(κs ) est une équivalence de la catégorie des k-variétés formelles étales sur celle des Γ-ensembles.
(ii) Il induit une équivalence de la catégorie des k-groupes formels étales sur celle
des Γ-groupes.
Remarque 2.5.A. — (96) Soient k un corps, ks une clôture séparable de k, G un kgroupe formel étale et M le groupe abstrait G(ks ). Notons X un ensemble de représentants des orbites de Γ = Gal(ks /k) dans M, et pour tout x ∈ X soient Γx
son stabilisateur, qui est un sous-groupe de Γ d’indice fini, et Lx = ksΓx , qui est
une extension de k de degré [Γ : Γx ] (voir, par exemple, [BAlg], V § 10.10). Alors,
d’après l’équivalence de catégories ci-dessus, l’algèbre affine A (G) de G est le produit
des Lx , muni de la topologie produit, et donc les Lx sont exactement les quotients
simples A (G)/m, où m est un idéal maximal ouvert de A (G). Comme ceux-ci correspondent par dualité aux sous-cogèbres de H(G), on obtient que H(G) est pointée
(i.e. dimk (C) = 1 pour toute sous-cogèbre simple C) si et seulement si Lx = k pour
tout x, et dans ce cas A (G) est l’algèbre topologique k M , donc H(G) est l’algèbre de
groupe kM, et l’on a donc M = {x ∈ H(G) | ε(x) = 1 et ∆(x) = x ⊗ x} = G(k).
522
2.5.1. — Supposons de nouveau l’anneau pseudocompact k quelconque. Comme le
foncteur X 7→ Xe de 1.6.F commute aux produits finis, il transforme tout groupe
formel G en un groupe formel étale Ge , et comme le morphisme p : X → Xe de
loc. cit. est fonctoriel en X, alors p : G → Ge est dans ce cas un morphisme de groupes
formels.
(97)
Considérons le noyau Ker(p), c’est le produit fibré du diagramme :
G
p
Spf(k)
ε
/ Ge
où ε est la section unité de Ge . Comme p induit une bijection sur les ensembles sousjacents, on en déduit (cf. 1.2, N.D.E. (41)) que Ker(p) a pour ensemble sous-jacent
l’image de Spf(k) par ε et que pour tout point s de Spf(k), l’algèbre locale de Ker(p)
b OG ,ε(s) ks . De plus, en chaque point ε(s), le corps résiduel
au point ε(s) est OG,ε(s) ⊗
e
de OG,ε(s) est κ(s), et donc OGe ,ε(s) = ks , d’où OKer(p),ε(s) = OG,ε(s) . Pour ces raisons
(96) N.D.E.
(97) N.D.E.
: On a ajouté cette remarque.
: On a détaillé l’original dans ce qui suit.
2. GÉNÉRALITÉS SUR LES GROUPES FORMELS
557
nous dirons que Ker(p) est le voisinage infinitésimal de l’origine de G et nous écrirons
Ker(p) = G0 , obtenant ainsi une suite exacte :
/ G0
1
incl.
/G
p
/ Ge .
Dans la suite, nous dirons que G est infinitésimal si G = G0 . (98) Ceci équivaut
à dire que pour tout s ∈ Spf(k), ou encore pour tout morphisme continu k → κ, où
κ est un corps muni de la topologie discrète, l’élément unité est l’unique élément de
G(κ(s)) resp. de G(κ).
Supposons de plus que G soit topologiquement plat sur k. (99) Alors, d’après 1.6.1,
le morphisme p : G → Ge est topologiquement plat, et comme il est bijectif, c’est donc
un épimorphisme effectif d’après la proposition 1.3.1. Par conséquent, Ge s’identifie
au quotient G/G0 . On a donc obtenu :
Corollaire. — Soit G un groupe formel topologiquement plat sur k. Alors Ge s’identifie au quotient G/G0 ; c.-à-d., on a une suite exacte de groupes formels :
1
/ G0
incl.
/G
p
/ Ge
/ 1.
2.5.2. — Supposons que k soit un corps parfait. Dans ce cas, on a vu (cf. 1.6.2) que le
morphisme p : X 7→ Xe possède une section s : Xe → X qui dépend fonctoriellement
de X ; cette section est donc un morphisme de groupes formels lorsque X est un groupe
formel. On obtient donc la :
Proposition. — Lorsque k est un corps parfait, tout k-groupe formel G est canoniquement isomorphe au produit semi-direct d’un groupe infinitésimal G0 et d’un groupe
étale Ge opérant sur G0 . (100)
Si, de plus, G est commutatif, alors G est le produit de G0 et de Ge . D’après
2.2.2, cette décomposition canonique des k-groupes formels commutatifs correspond
à une décomposition analogue des k-schémas affines en groupes commutatifs, voir le
paragraphe 2.5.3 ci-dessous.
Remarque 2.5.2.A. — (101) La suite exacte 1 → G0 → G → Ge → 1 n’est pas nécessairement scindée lorsque k n’est pas parfait : donnons l’exemple suivant, tiré de [DG70],
− k p , soit Lλ
§ III.6, 8.6. Soit k un corps non parfait, de caractéristique p > 0. Soit λ ∈ k−
la p-algèbre de Lie abélienne de base (x, y), la puissance p-ième symbolique (cf. VIIA ,
5.2) étant donnée par x(p) = x et y (p) = λx, soit Up (Lλ ) = k[x, y]/(xp − x, y p − λx)
l’algèbre enveloppante restreinte de Lλ (cf. VIIA , 5.3), et soit Gλ le k-groupe formel
(98) N.D.E.
: On a ajouté la phrase qui suit.
: On a détaillé ce qui suit.
(100) N.D.E. : Le même argument montre aussi que, pour un corps k arbitraire, si tous les corps
résiduels de G égalent k, alors Ge est le k-groupe constant (M)k , où M = G(k) = Spf ∗ H(G), et
H(G) est le produit semi-direct de H(G0 ) par l’algèbre de groupe kM, cf. l’ajout 2.9 plus loin.
(101) N.D.E. : On a ajouté cette remarque.
(99) N.D.E.
523
558
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
commutatif d’algèbre affine Up (Lλ ). Alors Gλ est une extension non-scindée du kgroupe étale constant (Z/pZ)k par le k-groupe infinitésimal α p, k = Spf k[x]/(xp − x),
i.e. on a une suite exacte non-scindée de k-groupes formels commutatifs : (102)
/ α p, k
/ (Z/pZ)k
/0.
/ Gλ
0
Elle correspond par dualité à une suite exacte non-scindée de k-groupes algébriques
commutatifs :
/ D′ (Gλ )
/ α p, k
/0
/ µ p, k
0
où µp, k = Spec k[t]/(tp − 1) (et l’on obtient ainsi toutes les extensions de αp, k par
µp, k , cf. [DG70], § III.6, 8.6).
2.5.3. —
(103)
Soit k un corps.
Définition 2.5.3.A. — On dira qu’un k-schéma en groupes commutatifs est unipotent
s’il est isomorphe à Spec H(G), où G est un k-groupe formel commutatif infinitésimal.
(104)
(105)
D’autre part, suivant l’Exp. IX, Définition 1.1, on dit qu’un k-schéma en
groupes H est de type multiplicatif s’il existe un schéma S, fidèlement plat et quasicompact au-dessus de Spec k, tel que HS soit un S-groupe diagonalisable, i.e. soit isomorphe à DS (M) pour un certain groupe abélien « abstrait » M. Par descente (fpqc),
ceci entraı̂ne que H est affine et commutatif. D’autre part, comme on peut remplacer
S par le corps résiduel d’un de ses points, on voit que H est de type multiplicatif si et
seulement si il existe une extension K de k telle que HK soit un K-groupe diagonalisable.
Proposition 2.5.3.B. — Soit T un k-schéma en groupes commutatifs affine et soit ks
une clôture séparable de k.
(i) Pour que T soit de type multiplicatif, il faut et il suffit que son dual D(T) soit
un k-groupe formel commutatif étale.
(ii) Par conséquent, T est de type multiplicatif si et seulement si T ⊗k ks est diagonalisable.
Démonstration. Notons A l’algèbre affine de D(T) et A0 sa composante locale
en l’élément neutre ; alors D(T) est étale sur k si et seulement si A0 = k. Si K est
b k K est locale (car limite projective d’anneaux
une extension de k, alors l’algèbre A0 ⊗
b k K)0 ; de plus, comme
artiniens locaux), donc coı̈ncide avec la composante locale (A ⊗
(102) N.D.E. : α
p, k , (Z/pZ)k et Gλ sont aussi des k-groupes algébriques finis et plats sur k, cf. la
N.D.E. (84) dans 2.2.2.
(103) N.D.E. : On a introduit la numérotation 2.5.3 et 2.5.3.A à 2.5.3.C.
(104) N.D.E. : Cela coı̈ncide avec la notion « usuelle » de k-schéma en groupes unipotent, cf. l’ajout
2.8 à la fin de la Section 2.
(105) N.D.E. : L’original indiquait : « disons qu’un k-schéma en groupes commutatifs est de type
multiplicatif s’il est isomorphe à Spec H(G), où G est un k-groupe formel commutatif étale ». On
a donné ici la définition « usuelle », tirée de l’Exp. IX, 1.1, et l’on a montré l’équivalence avec la
condition précédente ; voir aussi [DG70], § IV.1, Th. 2.2.
2. GÉNÉRALITÉS SUR LES GROUPES FORMELS
559
bk K ≃
la formation de D(T) commute au changement de base (cf. 2.2.2), on a aussi A ⊗
D(TK ).
Supposons T de type multiplicatif, alors il existe une extension K de k telle que
O(T) ⊗k K soit isomorphe, comme K-algèbre de Hopf, à l’algèbre de groupe KM, pour
b k K est isomorphe à l’algèbre KM , munie de la
un certain groupe abélien M. Alors A ⊗
b k K)0 = A0 ⊗
b k K et ceci entraı̂ne que A0 = k,
topologie produit, donc on a K = (A ⊗
donc D(T) est étale.
b k ks = D(Tks ) est
Réciproquement, supposons que D(T) soit étale. Alors D(T) ⊗
un ks -groupe constant M, donc sa bigèbre covariante est l’algèbre de groupe ks M
(cf. la remarque 2.5.A), donc O(T) ⊗k ks = ks M, ce qui prouve que T est de type
multiplicatif, et déployé par l’extension k → ks . La proposition en découle.
D’après 2.2.2, 2.5.1, et 2.5, on obtient :
Corollaire 2.5.3.C. — Soit k un corps et soit G un k-schéma en groupes commutatifs
affine.
(i) G contient un sous-groupe de type multiplicatif Gm tel que G/Gm soit unipotent.
(ii) Lorsque k est parfait, il existe en outre une rétraction canonique de G sur Gm ,
de sorte que G est le produit d’un groupe unipotent et d’un groupe de type multiplicatif.
(iii) (106) Soient ks une clôture séparable de k et Γ = Gal(ks /k). La catégorie
des k-schémas en groupes de type multiplicatif est anti-équivalente à la catégorie des
Γ-modules continus.
2.6. Nous allons maintenant étudier les groupes formels infinitésimaux, auxquels sont
consacrés les paragraphes suivants. Dans cette étude, les algèbres de Lie jouent un
rôle primordial.
Supposons d’abord l’anneau de base k artinien et soit G un groupe formel sur k.
On peut donner de l’algèbre de Lie de G trois interprétations différentes que nous
utiliserons toutes :
a) Soient D l’algèbre k[d]/(d2 ) des nombres duaux sur k et δ l’homomorphisme de
D dans k qui annule d. Pour tout groupe formel G sur k, Lie(G) est le noyau de G(δ),
de sorte qu’on a par définition une suite exacte de groupes
1
/ Lie(G)
/ G(D)
G(δ)
/ G(k)
/1.
b) Soit A l’algèbre affine de G et IA = Ker εA son idéal d’augmentation. Le groupe
G(D) a pour éléments les morphismes de k-algèbres profinies f : A → D. La condition
G(δ)(f ) = 1 équivaut à δ ◦ f = εA . Comme x − εA (x) · 1A ∈ IA , pour tout x ∈ A, ceci
équivaut à f (IA ) ⊂ k · d, donc Ker(f ) contient I2A et donc aussi I2A , donc f induit une
application linéaire continue f ′ de IA /I2A = ωG/k dans k telle que, pour tout x ∈ A,
on ait l’égalité
f (x) = εA (x) · 1D + f ′ (x) · d,
(106) N.D.E.
: On a ajouté le point (iii), conséquence de la proposition 2.5.
524
560
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
où x désigne l’image de x−εA (x)·1A dans IA /I2A . On voit alors que l’application f 7→ f ′
†
définit une bijection de Lie(G) sur le dual topologique ωG/k
de ωG/k (cf. 0.2.2).
Cette bijection respecte les structures de groupe. En effet, soient f et g deux
éléments de Lie(G) ; leur produit f · g est l’application composée h ◦ ∆A , où h :
b A → D est tel que h(b ⊗
b b′ ) = f (b)g(b′ ). Or, si a ∈ IA on a, d’après 2.1 (ii),
A⊗
b 1−1⊗
b a ∈ IA ⊗
b IA , d’où (f · g)(a) = f (a) + g(a) (cf. aussi II 3.10).
∆A (a) − a ⊗
†
Dans la suite, nous identifions Lie(G) à ωG/k
au moyen de la bijection f 7→ f ′
décrite ci-dessus. Le groupe Lie(G) est donc muni d’une structure de k-module.
525
c) Soient A† et D† les k-modules duaux de A et D, {1†D , d† } la base duale de la base
{1D , d} de D sur k (on a 1†D = δ). Comme D est libre de rang fini sur k, l’application
canonique
Homc (A, D) −→ Homk (D† , A† ),
f 7→ tf
est bijective. D’un autre côté, tf est déterminé par les valeurs tf (1∗D ) et tf (d∗ ) = x.
La condition G(δ)(f ) = 1 équivaut à l’égalité tf (1∗D ) = εA . On voit aisément d’autre
part que f est compatible avec la multiplication si et seulement si l’on a (cf. 2.3) :
(∗)
δG (x) = ϕG (x ⊗ 1 + 1 ⊗ x).
Enfin, il est clair qu’une application linéaire continue f : A → D, qui est compatible
avec la multiplication et telle que δ ◦ f = εA , envoie l’élément unité de A sur celui de
D. (107) L’application f 7→ x nous permet donc d’identifier Lie(G) à l’ensemble des
« éléments primitifs » de H(G) (i.e. les x ∈ H(G) vérifiant la relation (∗)). Si x et y
sont deux tels éléments, on a
δG (xy) = δG (x)δG (y) = ϕG (x ⊗ 1 + 1 ⊗ x)(y ⊗ 1 + 1 ⊗ y)
= ϕG (xy ⊗ 1 + x ⊗ y + y ⊗ x + 1 ⊗ xy),
d’où δG (xy − yx) = ϕG (xy − yx) ⊗ 1 + 1 ⊗ (xy − yx) .
Ceci montre que le k-module Lie(G) est identifié à une sous-algèbre de Lie de H(G) :
nous dirons que Lie(G) est l’algèbre de Lie de G. (108)
526
2.6.1. — Lorsque k est un anneau pseudocompact arbitraire et G un groupe formel
sur k, nous appelons Ok -algèbre de Lie de G le foncteur Lie(G) qui associe à tout
b k C : (109) posons
objet C de Alf /k la C-algèbre de Lie du C-groupe formel G′ = G⊗
b k C = IA ⊗
b A A′ ,
b k C, comme IA est facteur direct de A, alors IA′ égale IA ⊗
A′ = A ⊗
(107) N.D.E.
: En effet, δ◦f = εA entraı̂ne que f (1) = 1+λd, avec λ ∈ k, et alors f (1) = f (1)2 = 1+2λd
donne λ = 0.
(108) N.D.E. : En comparant avec VII 2.5, on voit que si K est un k-schéma en groupes de type fini
A
et si G est le complété formel de K à l’origine (i.e. A (G) est le complété de l’anneau local OK,e pour
la topologie m-adique, où m est le noyau de l’augmentation ε : OK,e → k) alors H(G) s’identifie à
l’algèbre des distributions U(K), et Lie(G) à Lie(K). (La condition que K soit de type fini sur k est
utilisée pour assurer que m/m2 est un k-module de longueur finie, donc discret, de sorte que son dual
topologique coı̈ncide avec son dual ordinaire.) En particulier, lorsque G est un k-groupe formel fini
(i.e. tel que A (G) soit un k-module fini), auquel cas G peut aussi être considéré comme le k-schéma
en groupes Spec A (G), les deux définitions de Lie(G) coı̈ncident.
(109) N.D.E. : On a détaillé l’original dans ce qui suit.
2. GÉNÉRALITÉS SUR LES GROUPES FORMELS
561
b A k et de même ωG′ /C = IA′ ⊗
b A′ C, on obtient que ωG′ /C =
et puisque ωG/k = IA ⊗
b
ωG/k ⊗A C et donc
b A C, C)
Lie(G)(C) = Homc (ωG/k ⊗
i.e.
Lie(G) = Vkf (ωG/k )
(avec les notations de 1.2.3.B). Donc, d’après la proposition 1.2.3.E, Lie(G) est plate
sur Ok si et seulement si ωG/k est un k-module pseudocompact projectif.
2.6.2. — Réciproquement, toute algèbre de Lie L sur Ok définit un k-foncteur en
groupes. Désignons en effet par U(L) le foncteur qui associe à tout objet C de Alf /k
l’algèbre enveloppante U(L(C)) de la C-algèbre de Lie L(C). D’après VIIA , 3.2.2,
U(L) est une bialgèbre sur Ok et détermine donc, d’après 2.2, un k-foncteur en
groupes Spf ∗ U(L) que nous noterons désormais G (L). Ainsi, G (L)(C) est le groupe
des éléments z ∈ U(L(C)) d’augmentation 1 et tels que ∆U(L(C)) (z) = z ⊗ z.
De plus, lorsque L est plate sur Ok , on a la proposition suivante.
Proposition. — (110) Soit L une Ok -algèbre de Lie plate.
(i) G (L) est un groupe formel topologiquement plat sur k, qui a U(L) pour Ok bialgèbre.
(ii) G (L) est infinitésimal.
(iii) Pour tout objet C de Alf /k , Lie(G (L))(C) s’identifie à l’ensemble
Prim U(L(C)) = {x ∈ U(L(C)) | ε(x) = 0
et
∆(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x}
des éléments primitifs de U(L(C)). En particulier, on a un morphisme naturel de
Ok -algèbres de Lie τL : L → Lie(G (L)).
En effet, l’hypothèse que L soit plate sur Ok signifie que pour tout morphisme
C → D de Alf /k , on a L(D) = L(C) ⊗C D, et que pour chaque composante locale C′
de C, L(C′ ) est un C′ -module libre. La première condition entraı̂ne que U(L(D)) =
U(L(C)) ⊗ D (d’après la propriété universelle du produit tensoriel et celle du foncteur
L 7→ U(L)), et la seconde condition entraı̂ne, d’après le théorème de Poincaré-BirkhoffWitt (cf. Bourbaki, Groupes et algèbres de Lie, I 2.7), que U(L(C′ )) est un C′ -module
libre. Donc la bialgèbre U(L) est plate sur Ok .
Pour démontrer (ii) et (iii), on peut supposer que k est artinien. Posons alors
L = L(k), U = U(L), U0 = k · 1U et soit U+ l’idéal bilatère de U engendré par l’image
de L. Posons en outre, pour tout n > 1,
Un = {u ∈ U | ∆U (u) − u ⊗ 1 ∈ Un−1 ⊗ U+ }.
D’après 1.3.6, il suffit de montrer que U est la réunion des Un . Or, si l’on identifie L à
son image canonique dans U, L est évidemment contenu dans U1 . Si x1 , . . . , xn sont
des éléments de L, on a donc ∆U (x1 · · · xn ) = (x1 ⊗ 1 + 1 ⊗ x1 ) · · · (xn ⊗ 1 + 1 ⊗ xn ),
ce qui montre,
par récurrence sur n, que le produit x1 · · · xn appartient à Un , donc
S
que U = n Un . Ceci prouve (ii).
(110) N.D.E.
: On a mis en évidence les points (i) et (ii), et l’on a ajouté le point (iii), qui sera utile
en 2.6.3 et 3.3.2.
527
562
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
D’autre part, soit D = k[d]/(d2 ) l’algèbre des nombres duaux sur k. Par hypothèse,
on a L(D) ≃ L ⊗ D, d’où U(L(D)) ≃ U ⊗ D, d’après les propriétés universelles du
produit tensoriel et de l’algèbre enveloppante. Il en résulte que Lie(G (L))(k) s’identifie
à l’ensemble des éléments z = 1 + xd de U ⊕ Ud (où x ∈ U) tels que ε(z) = 1 et
∆(z) = z ⊗ z, ce qui équivaut à ε(x) = 0 et ∆(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x, c.-à-d., à x ∈ Prim U.
En particulier, l’application τL : x 7→ 1 + dx est un morphisme de Ok -algèbres de Lie,
de L vers Lie(G (L)).
2.6.3. — Si L est une algèbre de Lie plate sur Ok , le groupe formel G (L) peut être caractérisé par une propriété universelle. (111) En effet, tout morphisme φ de G (L) dans
un groupe formel G induit un morphisme Lie(φ) : Lie(G (L)) → Lie(G) ; composant
celui-ci avec le morphisme τL : L → Lie(G (L)) (cf. 2.6.2), on obtient un morphisme
φ′ : L → Lie(G), et l’on a :
Proposition. — Si G est un k-groupe formel et L une Ok -algèbre de Lie plate, l’application φ 7→ φ′ définie ci-dessus est une bijection
∼
HomGrf /k (G (L), G) −→ HomLie (L, Lie(G))
où le terme de droite désigne l’ensemble des morphismes de Ok -algèbres de Lie de L
dans Lie(G).
On se ramène en effet tout de suite au cas où k est artinien. Posons L = L(k).
D’après 2.3.1, HomGrf /k (G (L), G) est en bijection avec l’ensemble des morphismes
d’algèbres unitaires φ : U(L) → H(G) tels que le diagramme suivant soit commutatif :
U(L)
h
∆U(L)
U(L) ⊗ U(L)
528
h⊗h
/ H(G) U
UUUUδG
UUUU
*
kk5
kkk
kkk ϕG
/ H(G) ⊗ H(G)
H(G × G)
.
Or h est défini par sa restriction à L, qui est un morphisme d’algèbres de Lie de L dans
l’algèbre de Lie sous-jacente à H(G), et la commutativité du diagramme signifie que
h applique L dans la partie de H(G) formée des x tels que δG (x) = ϕG (x ⊗ 1 + 1 ⊗ x),
qui n’est autre que Lie(G), cf. 2.6 c).
2.7. Nous terminons ces généralités sur un énoncé qui remonte à S. Lie et qui nous
servira au paragraphe 5.1. Un monoı̈de formel sur k est par définition un couple
(M, m) formé d’une variété formelle M et d’un morphisme m : M × M → M tel que
m(C) fasse de M(C) un monoı̈de pour tout objet C de Alf /k . (112) En particulier,
la « section unité », qui associe à tout objet C l’élément unité de M(C), définit une
(111) N.D.E.
: On a modifié ce qui suit, en tirant profit de l’ajout fait dans 2.6.2.
: Ici et dans ce qui suit, on a écrit « monoı̈de » au lieu de « monoı̈de à élément unité »
(on rappelle qu’un monoı̈de est par définition un ensemble muni d’une loi de composition associative
et possédant un élément unité).
(112) N.D.E.
2. GÉNÉRALITÉS SUR LES GROUPES FORMELS
563
section εM de la projection canonique M → Spf(k). Nous dirons que le monoı̈de formel
M est infinitésimal si εM induit une bijection des ensembles sous-jacents.
Proposition. — Tout k-monoı̈de formel M topologiquement plat et infinitésimal est un
k-groupe formel. (113)
Nous devons montrer que M(C) est un groupe pour tout objet C de Alf /k . On
se ramène donc de suite au cas où k est artinien. Soit alors U = H(M) la coalgèbre
de M (1.3.5) ; la multiplication m : M × M → M induit un morphisme de coalgèbres
mU : U ⊗ U → U, qui fait de U une algèbre associative sur k ; cette algèbre a pour
élément unité l’image de l’élément unité de k par l’application de k dans U qui est
induite par la section unité εM de M. De même, la projection M → Spf(k) induit un
homomorphisme εU de U dans k ; nous noterons U+ le noyau de εU .
Nous devons montrer qu’il existe un antipodisme, c’est-à-dire un morphisme de
coalgèbres cU : U → U tel qu’on ait, pour tout u ∈ U :
(∗)
(mU ◦ (cn ⊗ idU ) ◦ ∆U )(x) = εU (u) · 1U .
+
Soit (Un ) la filtration de U définie en 1.3.6, posons U+
n = U ∩ Un . Comme M est
+
+ (114)
infinitésimal, U est la réunion des sous-modules Un .
On pose alors c0 (1) = 1 et
c1 (x) = −x si x ∈ U+
,
i.e.
si
x
est
un
élément
primitif.
Supposons
cn−1 : Un−1 → U
1
construite de façon à vérifier (∗) pour tout x ∈ Un−1 , et soit x ∈ U+
n . D’après
la démonstration du lemme 1.3.6.A, on a ∆U (x) − x ⊗ 1 ∈ Un−1 ⊗ U+ (c’est ici
qu’intervient
l’hypothèse que U soit plate sur k), donc P
on peut écrire ∆U (x) = x ⊗ 1+
P
y
⊗
z
,
avec
y
∈
U
;
on
pose
alors
c
(x)
=
−
i
i
i
n−1
n
i cn−1 (yi )zi . On obtient ainsi
i
une application k-linéaire c : U → U, qui est l’inverse à gauche de idU pour la loi de
monoı̈de sur Endk (U), définie par f · g = mU ◦ (f ⊗ g) ◦ ∆U (l’élément unité étant
l’application η : u 7→ ε(u) · 1U ). Il en résulte que c est uniquement déterminé, et est
aussi l’inverse à droite de idU , i.e. on a aussi mU ◦ (cn ⊗ idU ) ◦ ∆U = η (sans supposer
U cocommutative).
2.8. Schémas en groupes unipotents sur un corps. — (115) Soit k un corps.
« Rappelons » qu’un k-schéma en groupes G est dit unipotent s’il vérifie les deux
conditions suivantes (cf. [DG70], § IV.2, Prop. 2.5) :
(113) N.D.E.
: D’après l’équivalence de catégories de 1.3.5.D, un monoı̈de dans la catégorie des kvariétés formelles topologiquement plates « est la même chose » qu’un monoı̈de dans la catégorie des
Ok -coalgèbres cocommutatives plates, c.-à-d.une Ok -bigèbre cocommutative (au sens usuel, c.-à-d.,
pas nécessairement munie d’une antipode). De plus, d’après 1.3.6, l’hypothèse que M soit infinitésimal
équivaut à dire que la bigèbre correspondante est connexe. Donc, si k est un anneau artinien, la
proposition équivaut à dire que : toute k-bigèbre cocommutative connexe, plate sur k, est une kalgèbre de Hopf, i.e. possède une antipode (et l’hypothèse de cocommutativité est en fait superflue,
cf. la démonstration).
(114) N.D.E. : L’original continuait ainsi : « on montre alors facilement, par récurrence sur n, qu’il
existe une et une seule application linéaire cn : Un → Un telle que l’application composée mU ◦
(cn ⊗ idU ) ◦ ∆U : U+
n → U soit nulle » ; on a détaillé la démonstration, qui repose sur celle du lemme
1.3.6.A.
(115) N.D.E. : On a ajouté cette sous-section.
529
564
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
(a) G est affine.
(b) Tout O(G)-comodule simple est trivial, c.-à-d., si ρ : V → V ⊗k O(G) est une
structure de O(G)-comodule sur un k-espace vectoriel V 6= 0, et s’il n’existe pas de
sous-espace non nul W 6= V tel que ρ(W) ⊂ W ⊗k O(G), alors V est de dimension 1
et ρ(v) = v ⊗ 1 pour tout v ∈ V.
D’après loc. cit., lorsque G est de type fini sur k, ceci équivaut à la définition donnée
dans l’Exp. XVII, § 1, à savoir que G possède une suite de composition finie dont les
quotients successifs sont isomorphes à des k-sous-groupes de Ga, k .
Or, pour tout k-schéma en groupes affine G, la comultiplication de O(G) munit
le k-module pseudocompact A = O(G)∗ d’une structure de k-algèbre profinie, non
nécessairement commutative, l’élément unité 1A étant l’augmentation ε : O(G) → k.
D’autre part, soit I = {f ∈ A | f (1O(G) ) = 0} ; c’est un idéal bilatère de A, et l’on a
A = k · 1A ⊕ I, cf. 1.3.6.
Soit V un sous-espace de A de codimension finie, considérons l’application kbilinéaire continue ϕ : A × A → A/V, (a, b) 7→ ab + V ; d’après le lemme 0.3.1, il
existe deux sous-espaces L1 , L2 de codimension finie dans A tels que V contienne AL2
et L1 A, alors L = L1 ∩ L2 est un sous-espace de codimension finie de A, et V contient
l’idéal bilatère ALA, qui est de codimension finie. Ceci montre que les idéaux bilatères de codimension finie forment une base de voisinages de 0. On en déduit qu’un
O(G)-comodule « est la même chose » qu’un A-module continu, i.e. un A-module V
tel que l’application A × V → V soit continue, V étant muni de la topologie discrète.
Un tel module est évidemment réunion de sous-modules Vi de dimension finie sur k,
chacun étant un module sur une k-algèbre quotient Ai de A, de dimension finie sur
k. Il en résulte que si M est un module continu simple, il est de dimension finie sur k,
et est un module fidèle simple sur la k-algèbre de dimension finie A/ Ann(M) ; cette
dernière est donc une k-algèbre de dimension finie simple, i.e. Ann(M) est un idéal
maximal ouvert de A. Réciproquement, soit P un idéal premier (116) ouvert de A,
alors A/P est une k-algèbre de dimension finie dans laquelle l’idéal (0) est premier,
donc c’est une k-algèbre de dimension finie simple, donc il existe à isomorphisme
près un unique A-module continu simple dont l’annulateur est P. Il en résulte que
l’application M 7→ Ann(M) définit une bijection entre les classes d’isomorphisme de
A-modules continus simples et les idéaux premiers ouverts de A. En particulier, on
appelle « module trivial » le A-module A/I, qui est de dimension 1 sur k ; il correspond
au O(G)-comodule V de dimension 1 trivial, i.e. tel que ρ(v) = v ⊗ 1O(G) pour tout
v ∈ V. On obtient donc la proposition suivante :
Proposition 2.8.1. — Soient k un corps, G un k-schéma en groupes affine et A =
O(G)∗ .
(116) N.D.E.
: On rappelle qu’un idéal bilatère P d’un anneau A est dit premier si dans A/P le produit
de deux idéaux bilatères non nuls est non nul.
2. GÉNÉRALITÉS SUR LES GROUPES FORMELS
565
(i) Alors G est unipotent si et seulement si I est l’unique idéal premier ouvert de
A.
(117)
(ii) En particulier, si G est commutatif, de sorte que O(G) = H(D(G)), où D(G) =
Spf(A) désigne le dual de Cartier de G, alors G est unipotent si et seulement si D(G)
est infinitésimal.
2.9. Algèbres de Hopf cocommutatives pointées sur un corps. — (118)
Soient k un corps, C une k-cogèbre, A l’algèbre C∗ munie de la structure de kalgèbre profinie, non nécessairement commutative, décrite en 2.8 ; d’après 0.2.2, on a
C = A† = Homc (A, k). On en déduit que l’application D 7→ D⊥ = {f ∈ A | f (D) = 0}
est une bijection de l’ensemble des sous-cogèbres de C sur celui des idéaux bilatères
(dans la suite, on dira simplement « idéaux » ) fermés de A ; la bijection réciproque
étant donnée par I 7→ I⊥ = {x ∈ C = A† | x(I) = 0}. Comme tout idéal fermé
maximal est un idéal maximal ouvert (cf. 0.2.1), toute sous-cogèbre contient donc une
sous-cogèbre simple, nécessairement de dimension finie.
Rappelons qu’une sous-cogèbre D de C est dite irréductible si elle ne contient
qu’une seule sous-cogèbre simple S0 , ce qui équivaut à dire que m0 = S⊥
0 est l’unique
idéal maximal ouvert contenant D⊥ , i.e. que D⊥ + m = A pour tout idéal maximal
ouvert m 6= m0 . C’est en particulier le cas si D = S0 . Alors la somme Σ0 de toutes les
sous-cogèbres irréductibles Ci contenant S0 est évidemment une sous-cogèbre, et elle
est irréductible car, pour tout m 6= m0 , on a, d’après 0.2.D :
\
\
(m + C⊥
C⊥
m+
i ) = A.
i =
i
i
On dit que Σ0 est la composante irréductible de C correspondant à C0 .
D’autre part, on dit que C est pointée si toute sous-k-cogèbre simple de C est de
dimension 1 ; ceci équivaut à dire que pour tout idéal maximal ouvert m de A, on a
A/m = k. Rappelons aussi que C est dite connexe si elle est irréductible et pointée.
(Remarquons au passage que si C est une bigèbre, elle est connexe si et seulement si
elle est irréductible, puisque k · 1C est une sous-cogèbre simple.)
Supposons désormais que C soit cocommutative. Alors A est commutative et est
donc le produit de ses composantes locales Am , pour m ∈ Υ(A) (cf. 0.1.1) ; notons
Sm la sous-cogèbre simple m⊥ ≃ (A/m)∗ et Σm sa composante irréductible. On peut
décrire Σm comme suit. Notons Jm le noyau de la projection A → Am , il est contenu
dans m et c’est le plus petit idéal fermé I de m tel que I+m′ = A pour tout m′ 6= m. En
effet, si I a cette propriété, alors I contient Am′ pour tout m′ 6= m, donc contient Jm .
†
Comme A = Jm ⊕ Am , il en résulte que Σm = J⊥
m s’identifie à Am . On peut maintenant
démontrer la :
Proposition 2.9.1. — Soit k un corps.
(117) N.D.E. : Ceci équivaut aussi à dire que k · 1
O(G) est l’unique k-sous-cogèbre simple de O(G) ;
voir par exemple [Ab80], 3.1.4 ; signalons au passage une coquille dans loc. cit., p. 130, ligne 4 :
M ≃ C∗ / ann M est à remplacer par C∗ / ann M ≃ Endk (M).
(118) N.D.E. : On a ajouté ce paragraphe, pour traduire dans le langage des algèbres de Hopf cocommutatives la proposition 2.5.2, ainsi que la variante signalée dans la N.D.E. (100).
566
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
(i) Soit G un k-groupe formel tel que tous les corps résiduels de G égalent k. Alors
Ge est le k-groupe constant Mk , où M = G(k) = {x ∈ H(G) | ε(x) = 1 et ∆(x) =
x ⊗ x}, et H(G) est le produit semi-direct de H(G0 ) par kM (cf. 2.4.B).
(ii) De façon équivalente : soit H une k-algèbre de Hopf cocommutative pointée.
Alors H est le produit semi-direct de la composante irréductible H0 de l’élément unité
1H par kM, où M = {x ∈ H | ε(x) = 1 et ∆(x) = x ⊗ x}.
Démontrons (i). Comme tous les corps résiduels de G égalent k, alors la projection
π : G → Ge admet la section s : Ge → G définie par OG,g → κ(g) = k, pour
b k OG,h est local de corps résiduel
tout g ∈ G ; de plus, pour tout g, h ∈ G, OG,g ⊗
k, et l’on obtient donc que s × s est une section de la projection π × π : G × G →
(G × G)e = Ge × Ge . Comme π est un morphisme de groupes, il en résulte que
π ◦ mG ◦ (s × s) = mGe = π ◦ s ◦ mGe , et comme π est un épimorphisme ceci entraı̂ne
que s est un morphisme de groupes. On obtient donc que G = G0 ⋊ Ge , et donc H(G)
est le produit semi-direct de H(G0 ) par H(Ge ). De plus, comme tous les corps résiduels
de G égalent k, alors H(Ge ) est l’algèbre de groupe kM, où M = Ge (k) (cf. 2.5.A).
Enfin, comme G0 est infinitésimal, le morphisme G(k) → Ge (k) est injectif ; il est
donc bijectif (puisqu’il admet une section), donc M = G(k). Le point (i) en découle.
Pour prouver (ii), il reste juste à voir que H0 égale H(G0 ). Or l’élément unité 1H
de H n’est autre que l’augmentation εA : A → k, qui est la section unité de G(k),
donc la composante locale de A (G) correspondant à H0 n’est autre que A (G0 ) et
donc, d’après ce qu’on a vu plus haut, on a H0 = A (G0 )† = H(G0 ). Ceci prouve la
proposition.
Remarques 2.9.2. — (a) La proposition ci-dessus, contenue implicitement dans 2.5.2,
a été obtenue indépendamment par B. Kostant (cf. [Sw69], Preface). Combiné avec
le théorème de Cartier 3.3 plus bas (cf. [Ca62], § 12, Th. 3), aussi obtenu par Kostant
(cf. [Sw69], loc. cit.), ce résultat est souvent appelé « théorème de Cartier-GabrielKostant ».
(b) Sous la forme (ii), 2.9.1 a été étendu par R. G. Heyneman et M. E. Sweedler au
cas où l’on suppose que H est pointée et somme directe de ses composantes irréductibles (mais n’est pas nécessairement cocommutative), cf. [HS69], Th. 3.5.8.
530
3. Phénomènes particuliers à la caractéristique 0
Dans toute la Section 3, nous supposons que l’anneau pseudocompact k contient
le corps des nombres rationnels Q.
3.1. Lemme. — Soient C une Q-algèbre commutative unitaire, L une algèbre de Lie
sur C dont le C-module sous-jacent est libre. Alors l’application canonique L → U(L)
est un isomorphisme de L sur l’ensemble des éléments primitifs de U(L).
En effet, identifions L à son image canonique dans U(L) ; soient I un ensemble totalement ordonné et (xi )i∈I une base de L indexée par I ; désignons par N(I) l’ensemble
des familles n = (ni )i∈I d’entiers naturels telles que ni soit nul sauf peut-être pour
3. PHÉNOMÈNES PARTICULIERS À LA CARACTÉRISTIQUE 0
567
un nombre fini d’indices i1 < i2 < · · · < is (ces indices dépendent de n) ; posons enfin
ni
ni
n
xn = xi1 1 xi2 2 · · · xisis et n! = (ni1 !)(ni2 !) · · · (nis !).
On sait alors que les xn forment une base de U(L) (théorème de Poincaré-BirkhoffWitt) et on voit facilement qu’on a
n X m
x
x
xn−m
(∗)
∆U(L)
=
⊗
n!
m!
(n − m)!
la somme étant étendue à tous les éléments m de N(I) tels que 0 6 m 6 n (i.e. tels que
0 6 mi 6 ni pour tout i). Il s’ensuit évidemment qu’on a ∆U(L) (u) = u ⊗ 1 + 1 ⊗ u si
et seulement si u est une combinaison linéaire des xi .
3.2. Supposons maintenant C artinien, de radical r. Pour toute C-algèbre U (associative, unitaire), l’idéal rU est donc formé d’éléments nilpotents ; si x appartient à
rU, nous poserons
531
x2
(119)
+ ··· .
2!
On obtient ainsi une bijection de rU sur 1 + rU ; la bijection réciproque applique un
élément 1 + y de 1 + rU sur
expU x = 1 + x +
y2
y3
+
− ··· .
2
3
De plus, il est clair que l’application expU est fonctorielle en U. (120)
L’anneau C étant toujours artinien, supposons U muni d’une structure de bialgèbre
sur C (cf. 2.2). Pour tout élément primitif x de rU (cf. VIIA 3.2.3), on a alors
logU (1 + y) = y −
∆U (expU x) = expU⊗U (∆U (x))
= expU⊗U (x ⊗ 1 + 1 ⊗ x)
= expU⊗U (x ⊗ 1) · expU⊗U (1 ⊗ x)
= (expU x) ⊗ 1 · 1 ⊗ (expU x)
= (expU x) ⊗ (expU x).
On voit donc que la bijection expU transforme un élément primitif de rU en un
élément z de 1 + rU tel que ∆U (z) = z ⊗ z. Réciproquement, si z vérifie ces conditions
alors, posant x = logU (z), le calcul précédent montre que expU⊗U (x ⊗ 1 + 1 ⊗ x) égale
z ⊗ z = ∆(expU x) = expU⊗U (∆U (x)), d’où x ⊗ 1 + 1 ⊗ x = ∆U (x). (121) Notons de
plus que si z ∈ 1 + rU vérifie ∆U (z) = z ⊗ z, alors εU (z)2 = εU (z) et comme εU (z)
est inversible (puisque z l’est, r étant nilpotent), il en résulte que εU (z) = 1.
Considérons en particulier une algèbre de Lie L plate sur C, prenons pour U l’algèbre enveloppante U(L) de L sur C et identifions L à son image canonique dans U.
D’après le lemme 3.1, L est donc l’ensemble des éléments primitifs de U (en effet L
est un produit de modules libres sur les composantes locales de C). Considérons alors
(119) N.D.E.
: Si x, x′ ∈ rU commutent, on a donc expU (x + x′ ) = (expU x)(expU x′ ).
: c.-à-d., pour tout morphisme φ : U → V de C-algèbres, on a φ(expU (x)) = expV φ(x).
(121) N.D.E. : On a détaillé ce qui précède et ajouté la phrase qui suit.
(120) N.D.E.
532
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
568
le C-groupe formel G (L) = Spf ∗ U(L), qui a U = U(L) pour bialgèbre covariante
(cf. 2.6.2). Soient m un idéal maximal de C et C = C/m. Comme G (L) est infinitésimal (loc. cit.), l’élément unité de U = U ⊗C C est le seul élément z de U tel que (122)
εU (z) = 1 et ∆U (z) = z ⊗ z. Il s’ensuit que les éléments z de U tels que εU (z) = 1 et
∆U (z) = z ⊗ z appartiennent nécessairement à 1 + rU.
Enfin, comme L ∩ rU s’identifie à rL = L ⊗C r, on voit finalement que : expU définit
une bijection de L ⊗C r sur le groupe G (L)(C). Nous résumons :
Proposition. — Soient k un anneau pseudocompact contenant Q et L une Ok -algèbre
de Lie plate.
(i) Pour tout objet C de Alf /k , notons r(C) son radical ; alors l’application
expU(L(C)) :
L(C) ⊗C r(C) −→ G (L)(C)
est bijective et fonctorielle en C et L.
(ii) Le morphisme naturel L → Lie(G (L)) (cf. 2.6.2) est un isomorphisme de Ok algèbres de Lie. (123)
3.2.1. — La bijection expU(L(C)) permet de définir par transport de structure une
loi de groupe sur l’ensemble L(C) ⊗C r(C) (qu’on identifie à une partie de U(L(C))
comme en 3.2). Si x et y sont deux éléments de L(C) ⊗C r(C), cette loi est telle que
X xp y q
)=
x · y = log (exp x)(exp y) = log(1 +
p! q!
p+q>0
=
X
X
m>1 pi +qi
533
X
(−1)m−1 xp1 y q1
xpm y qm
···
=
Pℓ (x, y)
m
p1 ! q1 !
pm ! qm !
>0
ℓ>1
où Pℓ (x, y) désigne la somme des monômes de degré total ℓ en x et y. On a par
exemple :
P1 (x, y) = x + y
P2 (x, y) =
1
y2 1 2
1
x2
− (x + xy + yx + y 2 ) = (xy − yx) = [x, y]
+ xy +
2
2
2
2
2
|
{z
} |
{z
}
m=1
m=2
et P3 (x, y) est la somme des trois termes suivants :
x3
x2 y
xy 2
y3 1 3 3 2
1
1
3
− x + x y + yx2 + xyx + yxy + y 2 x + xy 2 + y 3
+
+
+
2 {z 2
6} |2
2
2
2
2
|6
{z
}
m=1
m=2
1
+ (x3 + x2 y + yx2 + xyx + yxy + y 2 x + xy 2 + y 3 )
| 3
{z
}
m=3
(122) N.D.E.
(123) N.D.E.
: On a ajouté la condition εU (z) = 1, omise dans l’original.
: On a ajouté le point (ii), conséquence immédiate de 3.1.
3. PHÉNOMÈNES PARTICULIERS À LA CARACTÉRISTIQUE 0
569
1 2
1 [y, x], x + y, [y, x] .
(x y +yx2 −2xyx−2yxy +y 2x+xy 2 ) =
12
12
On peut montrer plus généralement qu’on a la formule de Campbell-Hausdorff :
d’où P3 (x, y) =
(124)
ℓ
X
(−1)m−1
Pℓ (x, y) =
m·ℓ
m=1
ℓ
X
(−1)m−1
+
m·ℓ
m=1
X
p1 ,...,pm
q1 ,...,qm−1
m−1
Y
(ad x)pi (ad y)qi
pi !
qi !
!
(ad x)pm
(y)
pm !
X
m−1
Y
(ad x)pi (ad y)qi
pi !
qi !
!
(x)
p1 ,...,pm−1
q1 ,...,qm−1
i=1
i=1
P
où les pj , qi ∈ N vérifient pi +qi > 1 pour i = 1, . . . , m−1 et pm + m−1
i=1 (pi +qi ) = ℓ−1
(i.e. dans les sommes ci-dessus, chaque « monôme de Lie » non nul est de degré total
ℓ) ; pour une démonstration, voir N. Jacobson, Lie Algebras (Interscience, 1962), § V.5,
ou [BLie], II § 6.4, Th. 2.
3.3. Si G est un k-groupe formel d’algèbre affine A, rappelons qu’on note IA l’idéal
b A k.
d’augmentation de A et ωG/k le k-module pseudocompact IA /I2A ≃ IA ⊗
Théorème (Cartier). — Soient k un anneau pseudocompact (125) contenant Q et G un
k-groupe formel. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) Il existe une Ok -algèbre de Lie plate L telle que G soit isomorphe à G (L) (et
dans ce cas L = Lie(G) d’après 3.2).
(ii) Il existe un k-module pseudocompact projectif ω tel que la variété formelle
sous-jacente à G soit isomorphe à la variété formelle Vf,0
k (ω) (cf. 1.2.5) d’algèbre
affine k[[ω]] (et dans ce cas ω ≃ ωG/k ).
(iii) G est infinitésimal et ωG/k est un k-module pseudocompact projectif.
(iv) G est infinitésimal et topologiquement plat sur k.
534
(i) ⇒ (ii) : Soit ω = Γ∗ (L) le k-module pseudocompact dual de L (cf. 1.2.3.D).
Pour tout objet C de Alf /k , nous devons exhiber un isomorphisme de Vf,0
k (ω)(C) sur
f,0
G (L)(C) qui soit fonctoriel en C. D’après 1.2.5, Vk (ω)(C) s’identifie à l’ensemble
Homc (ω, r(C)) des applications k-linéaires continues de ω dans le radical de C. Cet
b k C, r(C)) des applicaensemble est naturellement isomorphe à l’ensemble Homc (ω ⊗
b
b k C est un C-module
tions C-linéaires continues de ω ⊗k C dans r(C) ; enfin, comme ω ⊗
pseudocompact projectif, l’application canonique
b k C)† ⊗C r(C) −→ Homc (ω ⊗
b k C, r(C))
(ω ⊗
est bijective (cf. 0.3.6.A). Comme, d’après 1.2.3.E, L(C) s’identifie à Vkf (Γ∗ (L))(C) =
b k C)† , on obtient que Vf,0
(ω ⊗
k (ω)(C) est canoniquement isomorphe à L(C) ⊗C r(C),
lequel est canoniquement isomorphe à G (L)(C) d’après la proposition 3.2. Ceci prouve
(124) N.D.E.
(125) N.D.E.
: On a corrigé la formule donnée, qui était erronée, et ajouté la référence [BLie].
: On a supprimé l’hypothèse que k soit local (la démonstration se ramène à ce cas).
535
570
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
l’implication (i) ⇒ (ii).
(ii) ⇒ (iii) : Soient ω un objet projectif de PC(k) et h un isomorphisme de k[[ω]]
sur l’algèbre affine A de G. Composant h avec l’augmentation εA : A → k, on obtient
un homomorphisme εA ◦ h : k[[ω]] → k, qui est déterminé par sa restriction λ à ω ;
celle-ci envoie ω dans le radical r de k. Donc l’application x 7→ x − λ(x), de ω dans le
radical de k[[ω]], se prolonge d’après la propriété universelle de k[[ω]] (cf. 1.2.5) en un
endomorphisme ℓλ de k[[ω]]. Les égalités ℓλ ◦ ℓ−λ = ℓ−λ ◦ ℓλ = id montrent que ℓλ est
un automorphisme de k[[ω]]. Par conséquent, h ◦ ℓλ est, comme h, un isomorphisme
de k[[ω]] sur A et de plus εA ◦ h ◦ ℓλ applique ω sur 0. Quitte à remplacer h par h ◦ ℓλ ,
on peut donc supposer que εA ◦ h s’annule sur l’idéal fermé I de k[[ω]] qui est engendré
par ω. Dans ce cas, h induit un isomorphisme de I/I2 sur IA /I2A ; comme I/I2 ≃ ω,
il en résulte que ωG/k = IA /I2A est isomorphe à ω, donc projectif. Il est clair d’autre
part que Vf,0
k (ω) est infinitésimal, de même que G.
(iii) ⇒ (i) : Supposons que G soit infinitésimal et que ωG/k soit projectif. Soit L
la Ok -algèbre de Lie de G ; le Ok -module sous-jacent est Vkf (ωG/k ), d’après 2.6.1.
Par conséquent, L est plate sur Ok , et Γ∗ (L) ≃ ωG/k , d’après la proposition 1.2.3.E.
Donc, d’après la démonstration de (i) ⇒ (ii), l’algèbre affine du k-groupe formel G (L)
s’identifie à k[[ωG/k ]]. D’autre part, d’après 2.6.3, le morphisme identique de L est
associé canoniquement à un morphisme de groupes formels G (L) → G, donc à un
morphisme continu de k-algèbres
φ:
536
A −→ k[[ωG/k ]].
Soit I l’idéal fermé de k[[ωG/k ]] engendré par ωG/k , filtrons k[[ωG/k ]] (resp. A) par
les adhérences des idéaux In (resp. InA ). Il s’agit de montrer que φ, qui induit par
définition l’identité sur ωG/k = IA /I2A = I/I2 , est un isomorphisme.
Comme ωG/k est un objet projectif de PC(k), il existe une section τ de la projection
canonique IA → ωG/k . D’après la propriété universelle de k[[ωG/k ]] (cf. 1.2.5), τ définit
un morphisme continu d’algèbres
ψ:
k[[ωG/k ]] −→ A
et φ ◦ ψ induit l’application identique sur ωG/k , donc aussi sur le gradué associé à
k[[ωG/k ]]. Il en résulte que φ ◦ ψ est un isomorphisme, d’après [CA], § V.7, Lemme 1.
(126)
De plus, ψ induit un isomorphisme de I/I2 sur IA /I2A , donc une surjection des
gradués associés à k[[ωG/k ]] et A. D’autre part, comme G est radiciel, IA est contenu
dans le radical de A, de sorte que l’intersection des InA est nulle. Donc, d’après loc. cit.,
ψ est surjectif. Alors, comme φ ◦ ψ est un isomorphisme et ψ une surjection, ψ et φ
sont des isomorphismes. Ceci prouve que (iii) ⇒ (i).
Notons enfin qu’il est clair que (i) ou (ii) entraı̂nent (iv), de sorte qu’il reste à
prouver l’implication (iv) ⇒ (ii). Pour cela, on peut supposer k local, de corps résiduel
(126) N.D.E.
: cf. 5.1.5 plus loin ; voir aussi [BAC], III, § 2.8, Th. 1 et corollaires. D’autre part, on a
détaillé l’original dans ce qui suit.
3. PHÉNOMÈNES PARTICULIERS À LA CARACTÉRISTIQUE 0
571
b k k0 , ω = ωG/k , ω0 = ω ⊗
b k k0 , etc. (127) Comme k0 est un
k0 . Posons alors G0 = G ⊗
corps, le k0 -module pseudocompact ω0 possède une pseudobase (yλ )λ∈Λ ; notant ω ′ le
k-module topologiquement libre produit de copies kλ de k, pour λ ∈ Λ, et relevant
chaque yλ en un élément xλ de ω, on obtient une application k-linéaire continue
b k k0 soit inversible. (128) Comme ω ′ est un k-module
f : ω ′ → ω telle que f0 = f ⊗
pseudocompact projectif, f se relève en une application k-linéaire continue g : ω ′ → IA
telle que π ◦ g = f , où π est la projection IA → ω. D’après la propriété universelle de
k[[ω ′ ]] (cf. 1.2.5), g induit un morphisme d’algèbres topologiques φ : k[[ω ′ ]] → A.
b k k0 s’identifie à
b k k0 s’identifie à ω ⊗
b k k0 = ωG0 /k0 et donc k[[ω ′ ]] ⊗
Or ω ′ ⊗
k0 [[ωG0 /k0 ]]. Comme les hypothèses (iii) sont vérifiées pour k0 et G0 , la démonstration
b k k0 est inversible. Comme, d’autre part, k[[ω ′ ]] et
de (iii) ⇒ (i) montre que φ0 = φ ⊗
A sont des k-modules pseudocompacts projectifs, alors φ est inversible d’après 0.3.4.
(En particulier, notant I l’idéal d’augmentation de k[[ω ′ ]], φ induit un isomorphisme
de ω ′ = I/I2 sur IA /I2A = ω.)
3.3.1. Corollaire. — Soient S un schéma localement noethérien sur Q et G un Sschéma en groupes plat et localement de type fini. (129) Si ωG/S est un OS -module
localement libre, G est lisse sur S en tout point de la section unité.
En effet, soient x un point de la section unité, s son image dans S, Ox et Os les
algèbres locales de x et s. (130) Comme, par hypothèse, Os et Ox sont des anneaux
locaux noethériens, alors la topologie m-adique sur chacun de ces anneaux coı̈ncide
avec la topologie « pseudocompacte » définie par les idéaux de codimension finie.
Notons alors Obx et Obs les complétés pour cette topologie. D’après EGA IV4 , 17.5.3,
G est lisse sur S au point x si et seulement si Obx est formellement lisse sur Obs , ces
deux algèbres étant munies de la topologie m-adique ; il suffit donc de montrer cette
dernière propriété. Or Obx et Obs sont les anneaux locaux de x et s dans les variétés
b b
formelles G/
S et b
S définies en 1.2.6. Posons k = Obs et H = Spf(Obx ), alors H est une
b b
k-variété formelle infinitésimale et, comme la formation de G/
S commute au produit
(loc. cit.), H est un k-groupe formel infinitésimal. Notons I l’idéal d’augmentation de
Ox . D’après les hypothèses, ωG/S,x = I/I2 est un Os -module localement libre de rang
fini n. Comme Os est noethérien, il en résulte que ωH/k , qui est le complété de ωG/S,x ,
s’identifie à ωG/S ⊗OS Obs , donc est un k-module topologiquement libre de rang n.
Donc, d’après l’implication (iv) ⇒ (ii) de 3.3, Obx est isomorphe à k[[ωH/k ]], i.e. à une
algèbre de séries formelles k[[t1 , . . . , tn ]]. Enfin, celle-ci est formellement lisse sur k,
d’après EGA 0IV , 19.3.3. Ceci prouve le corollaire.
Nous retrouvons donc ainsi un résultat obtenu par ailleurs pour les schémas en
groupes localement de présentation finie sur un schéma arbitraire S, cf. VIB , 1.6.
(127) N.D.E.
: On a détaillé l’original dans ce qui suit.
: On ne sait pas a priori que ω est un k-module pseudocompact projectif, mais cela va
résulter de ce qui suit : comparer avec la démonstration de (iv) ⇒ (iii) dans VIIA , 7.4.
(129) N.D.E. : On a ajouté l’hypothèse de platitude, omise dans l’original.
(130) N.D.E. : On a détaillé l’original dans ce qui suit.
(128) N.D.E.
537
572
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
3.3.2. Corollaire. — Soit k un corps de caractéristique 0. Le foncteur L 7→ G (L) est
une équivalence de la catégorie des k-algèbres de Lie sur celle des k-groupes formels
infinitésimaux. (131)
538
En effet, quand G parcourt les k-groupes formels infinitésimaux, le foncteur G 7→
G (Lie G) est isomorphe, d’après le théorème 3.3, au foncteur identique de la catégorie
des k-groupes infinitésimaux. De même, d’après 3.2 (ii), le foncteur L 7→ Lie(G (L)) =
Prim U(L) est isomorphe au foncteur identique de la catégorie des k-algèbres de Lie.
3.3.3. — Supposons toujours que k est un corps de caractéristique 0. Soient k une
clôture algébrique de k et Γ le groupe de Galois topologique de k sur k.
Pour tout k-groupe formel G, nous notons Autk (G) le k-foncteur en groupes qui
associe à toute k-algèbre commutative de dimension finie C le groupe des automorb k C. (132) Comme G est topologiquement plat sur k
phismes du C-groupe formel G ⊗
(puisque k est un corps), i.e. son algèbre affine A = A(G) est topologiquement plate
sur k, ou, de façon équivalente, sa bialgèbre covariante H = H(G) est plate sur k, alors
ce k-foncteur est un k-groupe formel. En effet, comme Autk (G) s’identifie au produit
fibré du diagramme suivant (cf. Exp. I, 1.7.3) :
Endk (G) × Endk (G)
Spf(k)
/ End (G) × End (G)
k
k
où la flèche verticale (resp. horizontale) est donnée par (φ, ψ) 7→ (φ◦ψ, ψ ◦φ) (resp. est
la section unité), il suffit de voir que le k-foncteur Endk (G) est représenté par un
élément de Vaf /k , c.-à-d., (cf. 1.1 et 0.4.2) qu’il est est exact à gauche, i.e. commute
aux produits fibrés de k-algèbres. Or se donner un élément de Endk (G)(C) équivaut
à se donner, disons, un morphisme de k-algèbres φ : H → H ⊗k C qui respecte aussi
la structure de coalgèbre, i.e. tel que les diagrammes bien connus soient commutatifs ;
comme H est plat sur k, alors H ⊗k − commute aux produits fibrés de k-algèbres, et
(131) N.D.E. : Comme, d’après 2.7, 2.2.1 et 1.3.6, un k-groupe formel infinitésimal G est « la même
chose » qu’une k-bigèbre cocommutative connexe H (cf. 2.9), cet énoncé est équivalent au théorème cidessous, obtenu indépendamment par Kostant (cf. 2.9.2). Ce théorème avait été obtenu auparavant
par J. W. Milnor et J. C. Moore ([MM65]), sous l’hypothèse additionnelle que H soit engendrée
comme algèbre par ses éléments primitifs (bien que paru en 1965, ce texte avait circulé avant 1960,
cf. l’analyse [Ja65]), de sorte qu’il est souvent appelé « théorème de Cartier-Kostant-Milnor-Moore ».
Théorème (Cartier-Kostant-Milnor-Moore). — Soit k un corps de caractéristique 0. Les foncteurs
L 7→ U(L) et H 7→ Prim(H) définissent une équivalence entre la catégorie des k-algèbres de Lie et
celle des k-bigèbres cocommutatives connexes.
D’autre part, si k est un anneau artinien contenant Q, alors 3.2 (ii) et 3.3 (combinés avec 2.7, 2.2.1
et 1.3.6) montrent de même que le foncteur L 7→ G (L) (resp. L 7→ U(L)) est une équivalence de la
catégorie des k-algèbres de Lie plates sur celle des k-groupes formels infinitésimaux topologiquement
plats (resp. sur celle des k-bigèbres cocommutatives connexes plates).
(132) N.D.E. : L’original indiquait : « Ce k-foncteur est manifestement exact à gauche (H est topologiquement plat sur k !) ». On a détaillé cela dans ce qui suit.
4. PHÉNOMÈNES PARTICULIERS À LA CARACTÉRISTIQUE p > 0
573
on en déduit que le k-foncteur Endk (G) est exact à gauche, de sorte que nous pouvons
le traiter comme un k-groupe formel.
Si L est une k-algèbre de Lie et G le groupe formel G (L), le théorème 3.3 montre
que Autk (G) est isomorphe au k-foncteur en groupes Autk (L) qui associe à une kalgèbre de dimension finie C le groupe des automorphismes de la C-algèbre de Lie
C ⊗k L.
Si G est un k-groupe formel arbitraire, nous avons vu en 2.5.2 que G se décompose
canoniquement en un produit semi-direct d’un groupe formel étale Ge et d’un groupe
formel infinitésimal G0 . Ce produit semi-direct est déterminé par la donnée de L =
Lie(G) = Lie(G0 ), du Γ-groupe M = Ge (k) = G(k) et d’un morphisme de k-groupes
formels
Φ : Ge −→ Autk (G0 ) ≃ Autk (L).
Un tel morphisme envoie Ge dans la « partie étale » Autk (L)e de Autk (L), cf. 2.5.1.
Il est donc déterminé par la donnée d’un morphisme de Γ-groupes :
φ = Φ(k) :
M −→ (Autk L)(k) = Autk (L ⊗k k ).
Si l’on fait opérer Γ dans L ⊗k k au moyen de la formule γ(ℓ ⊗ t) = ℓ ⊗ γ(t), alors
φ fait opérer M dans L ⊗k k par automorphismes de k-algèbre de Lie de telle façon
qu’on ait φ(γ(m)) = γ ◦ φ(m) ◦ γ −1 , c.-à-d. :
γ(m)(ℓ ⊗ t) = γ m(ℓ ⊗ γ −1 (t))
539
pour tout m ∈ M, γ ∈ Γ et ℓ ⊗ t ∈ L ⊗k k. Nous exprimons cette dernière condition
en disant que M opère dans L ⊗k k de manière compatible avec Γ.
On peut résumer la situation à l’aide d’un énoncé « savant » : appelons Γ-algèbre
de Lie sur k la donnée d’un triplet (L, M, φ) formé d’une k-algèbre de Lie L, d’un
Γ-groupe M et d’une opération φ de M dans L ⊗k k qui soit « compatible avec l’action
de Γ dans M et dans L ⊗k k ».
Si (L, M, φ) et (L′ , M′ , φ′ ) sont deux telles Γ-algèbres de Lie, un morphisme de la
première dans la seconde est un couple (f, θ) formé d’un morphisme f : L → L′ de
k-algèbres de Lie et d’un morphisme θ : M → M′ de Γ-groupes tels que
(f ⊗ 1)(m · x) = θ(m) · (f ⊗ 1)(x)
pour tout x ∈ L ⊗k k et m ∈ M. On obtient alors :
Théorème. — Soit k un corps de caractéristique 0. Alors le foncteur qui associe à G le
triplet (Lie(G), G(k), Φ(k)) est une équivalence de la catégorie des k-groupes formels
sur celle des Γ-algèbres de Lie. (133)
4. Phénomènes particuliers à la caractéristique p > 0
Dans toute la Section 4, nous désignons par p un nombre premier, par k un anneau
pseudocompact de caractéristique p, par π l’endomorphisme continu x 7→ xp de k.
(133) N.D.E. : En particulier, lorsque k = k, on retrouve ainsi le « théorème de Cartier-GabrielKostant » signalé en 2.9.2.
540
574
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
4.1. Soit X une k-variété formelle d’algèbre affine A, on note X(p/k) ou X(p) la kb π k obtenue par le changement de base π : k → k (cf. 1.2.D), elle a
variété formelle X ⊗
b π k. Alors, le morphisme continu
pour algèbre affine le produit tensoriel complété A ⊗
b π k → A qui applique a ⊗
b π λ sur ap λ induit un morphisme de k-variétés formelles
A⊗
Fr(X/k) :
X −→ X(p/k) .
Dans la suite, nous dirons que Fr(X/k) est le morphisme de Frobenius de X relativement à k et nous écrirons souvent Fr au lieu de Fr(X/k).
4.1.1. — (134) Considérons maintenant un schéma S sur le corps premier Fp et un
S-schéma η : X → S ; soit fr(S) le morphisme de Frobenius « absolu » de S (il induit
l’identité sur l’espace topologique sous-jacent et applique toute section f du faisceau
structural sur f p ; cf. VIIA 4.1) et soit X(p) le S-schéma X ×fr(S) S (VIIA , loc. cit.),
i.e. le morphisme structural X(p) → S est fr(S) ◦ η.
Soit b
S le schéma formel dont l’espace topologique sous-jacent est l’ensemble des
points fermés de S, muni de la topologie discrète, l’anneau local ObS,s en un tel point
fermé s étant le séparé complété ObS,s de OS,s pour la topologie linéaire définie par les
idéaux de colongueur finie (cf. 1.2.6) ; son algèbre affine k = A (b
S) est donc le produit
des ObS,s , pour s parcourant les points fermés de S. Rappelons (loc. cit.) qu’on note
b b
X/
S la k-variété formelle formée des points x ∈ X tels que [κ(x) : κ(s)] < ∞, où s
est l’image de x dans S, l’anneau local O b b étant le séparé complété ObX,x de OX,x
X/S,x
pour la topologie linéaire définie par les idéaux I tels que OX,x /I soit de longueur finie
comme OX,x -module (et donc aussi comme OS,s -module). On peut donc former, par
b b
b b
b π k.
changement de base, la k-variété formelle (X/
S)(p) = (X/
S) ⊗
d
(p) /b
S : l’ensemble sous-jacent est
On peut considérer aussi la k-variété formelle X
formé des x ∈ X(p) = X tels que, notant s l’image de x dans S, le morphisme
κ(s)
fr
/ κ(s)
η♮
/ κ(x)
fasse de κ(x) une extension de degré fini de κ(s) ; dans ce cas, il en est de même de
b b
η ♮ : κ(s) → κ(x), i.e. x est un point de X/
S, et l’on a alors
541
b π ObS,s = ObX(p) ,x
OXd
= ObX,x ⊗
(p) /b
S,x
b b
(la deuxième égalité puisque X 7→ X/
S commute aux produits, cf. 1.2.6). On voit donc
d
(p)
b b
b
S)(p) . De plus, on a l’égalité
que : X /S s’identifie à une sous-variété formelle de (X/
si et seulement si pour tout point fermé s de S, κ(s) est de degré fini sur κ(s)p , ce qui
est le cas par exemple si S est un schéma localement de type fini sur un corps κ tel
que [κ : κp ] < +∞.
d
(p) /b
b b
: On a corrigé l’original, qui donnait l’inclusion (X/
S)(p) ⊂ X
S au lieu de l’inclusion
inverse. Signalons d’autre part que ce paragraphe n’est pas utilisé dans la suite.
(134) N.D.E.
4. PHÉNOMÈNES PARTICULIERS À LA CARACTÉRISTIQUE p > 0
575
b π k commute
4.1.2. — Soit G un k-groupe formel. Comme le foncteur X 7→ X(p) = X ⊗
aux produits finis, il transforme un k-groupe formel en un k-groupe formel. En outre,
comme Fr(X/k) est fonctoriel en X, le morphisme
Fr : G −→ G(p)
n+1
est un homomorphisme de k-groupes formels. Si l’on pose G(p
va de même pour le morphisme composé
Fr
Fr
Frn = Frn (G/k) :
2
G −→ G(p) −→ G(p
) Fr
Fr
)
n
= (G(p ) )(p) il en
n
−→ · · · −→ G(p ) .
Notons A l’algèbre affine de G et IA son idéal d’augmentation.
Définitions. — (a) Le noyau de Frn sera noté Frn G. Il résulte directement des défini{pn }
{pn }
tions que Frn G est infinitésimal et a pour algèbre affine le quotient A/IA , où IA
désigne l’idéal fermé de A engendré par les puissances pn -ièmes des éléments de IA .
{pn }
(b) On dit que G est de hauteur 6 n si IA
= 0, c’est-à-dire si l’on a
Frn G
= G.
4.2. Il est clair que l’algèbre de Lie Lie(G) d’un k-groupe formel G est une p-sousalgèbre de Lie de l’algèbre H(G) (cf. 2.3). En effet, on se ramène tout de suite au cas
où k est artinien ; dans ce cas, Lie(G) est la partie de H(G) formée des éléments x tels
que ϕG (x ⊗ 1 + 1 ⊗ x) = ∆G (x) avec les notations de 2.3 et 2.6 (c). On a alors
ϕG (xp ⊗ 1 + 1 ⊗ xp ) = ϕG (x ⊗ 1 + 1 ⊗ x)p
= ϕG (x ⊗ 1 + 1 ⊗ x)p = ∆G (x)p = ∆G (xp ).
4.2.1. — Réciproquement, toute p-algèbre de Lie L sur Ok définit un k-foncteur en
groupes. Désignons en effet par Up (L) le foncteur qui associe à tout objet C de Alf /k
l’algèbre enveloppante restreinte Up (L(C)) de la p-algèbre de Lie L(C) sur C (VIIA
5.3). D’après VIIA 5.4, Up (L) est une Ok -bialgèbre et détermine donc, d’après 2.2,
un k-foncteur en groupes Spf ∗ Up (L) que nous noterons désormais Gp (L).
Ainsi, Gp (L)(C) est le groupe des éléments z ∈ Up (L(C)) d’augmentation 1 et tels
que ∆Up (L(C)) (z) = z ⊗ z.
4.2.2. — Supposons que L soit une p-algèbre de Lie plate sur Ok . Alors, tenant compte
de VIIA 5.3.3, on montre comme dans le point (i) de la proposition 2.6.2 que Up (L)
est plate sur Ok ; donc Gp (L) est un k-groupe formel topologiquement plat qui a Up (L)
pour Ok -bialgèbre covariante.
(135)
D’après la démonstration de 2.6.2 (iii), pour toute k-algèbre C de longueur
finie, Lie(Gp (L))(C) est l’ensemble des éléments primitifs de Up (L)(C) = Up (L(C))
(voir aussi VIIA 3.2.3) ; de plus, d’après VIIA 5.5.3, le morphisme canonique L →
Up (L) induit un isomorphisme de p-algèbres de Lie
∼
τp,L : L −→ Lie(Gp (L))
(comparer avec 3.1 en caractéristique 0).
(135) N.D.E.
: On a détaillé ce qui suit.
542
576
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
Le groupe formel Gp (L) peut être caractérisé par une propriété universelle. En
effet, tout morphisme h de Gp (L) dans un groupe formel G induit un morphisme
Lie(h) : Lie(Gp (L)) → Lie(G). Composant celui-ci avec l’isomorphisme τp,L , on
obtient un morphisme h′ : L → Lie(G).
543
Proposition. — Si k est un anneau pseudocompact de caractéristique p > 0, G un
k-groupe formel et L une p-algèbre de Lie plate sur Ok , l’application h 7→ h′ définie
ci-dessus est une bijection
∼
HomGrf /k (Gp (L), G) −→ Homp-Lie (L, Lie(G))
où le terme de droite désigne l’ensemble des morphismes de p-algèbres de Lie de L
dans Lie(G).
(136)
On se ramène en effet tout de suite au cas où k est artinien. Posons L = L(k).
D’après 2.3.1, HomGrf /k (Gp (L), G) est en bijection avec l’ensemble des morphismes
d’algèbres unitaires h : Up (L) → H(G) tels que le diagramme suivant soit commutatif :
h
Up (L)
∆Up (L)
Up (L) ⊗ Up (L)
h⊗h
/ H(G) T
TTTT δG
TTTT
T*
H(G × G)
l5
l
l
lll
lll ϕG
/ H(G) ⊗ H(G)
.
Or h est défini par sa restriction à L, qui est un morphisme de p-algèbres de Lie de
L dans la p-algèbre de Lie sous-jacente à H(G), et la commutativité du diagramme
signifie que h applique L dans la partie de H(G) formée des x tels que δG (x) =
ϕG (x ⊗ 1 + 1 ⊗ x), qui n’est autre que Lie(G), cf. 2.6 (c).
544
4.3. Nous nous proposons maintenant d’étudier de façon plus détaillée le k-groupe
formel Gp (L) lorsque L est une p-algèbre de Lie plate sur Ok .
Pour cela, nous considérons d’abord un anneau C de caractéristique p et une palgèbre de Lie L sur C dont le module sous-jacent est libre de base (xi )i∈I . Désignons
en outre par P l’ensemble des familles n = (ni )i∈I formées d’entiers naturels tels que
0 6 ni < p et que les ni soient nuls hormis peut-être un nombre fini d’entre eux. Si
nous munissons I d’un ordre total et si nous appelons i1 , i2 , . . . , ir (i1 < i2 < · · · < ir )
les indices i tels que ni 6= 0, nous pouvons donc poser |n| = ni1 + · · · + nir et
ni
ni
n
xn = xi1 1 · xi2 2 · · · xirir ,
n
n! = (ni1 !) · · · (nir !).
On sait que les monômes x /n! forment une base de Up (L) (VIIA 5.3.3) et il est clair
qu’on a
n
X xm
xn−m
x
=
⊗
(∗)
∆
n!
m!
(n − m)!
m6n
(136) N.D.E.
: La démonstration est identique à celle de 2.6.3.
4. PHÉNOMÈNES PARTICULIERS À LA CARACTÉRISTIQUE p > 0
577
la somme étant étendue à tous les m ∈ P tels qu’on ait m 6 n (i.e. mi 6 ni pour tout
i ∈ I).
La formule (∗) permet une détermination aisée de la filtration naturelle de Up (L)
(cf. 1.3.6). Posons U = Up (L), soit U+ l’idéal bilatère engendré par L et soit U0 =
C · 1U . Comme en 1.3.6, on définit une filtration de U (par des sous-C-coalgèbres) en
posant, pour n > 1 :
Un = {u ∈ U | ∆U (u) − u ⊗ 1 ∈ Un−1 ⊗ U+ }.
La formule (∗) entraı̂ne alors que Un est le C-module libre qui a pour base les monômes
xm tels que |m| 6 n.
4.3.1. — Avec les notations de 4.3, déterminons les éléments ξ de
P U = Up (L) tels que
εU (ξ) = 1 et ∆U (ξ) = ξ ⊗ ξ. Tout élément ξ de U s’écrit ξ = n∈P ξn (xn /n!), avec
ξn ∈ C. La condition εU (ξ) = 1 entraı̂ne l’égalité ξ0 = 1, où 0 désigne l’élément de P
dont toutes les composantes sont nulles. La condition ∆Up (L) (ξ) = ξ ⊗ ξ entraı̂ne :
X
ξn
m6n
545
X
xm
xn−m
xr
xq
⊗
=
⊗
ξq ξr
m!
(n − m)!
q!
r!
q,r
c’est-à-dire
ξq+r = ξq ξr
si qi + ri < p et ξq ξr = 0
sinon.
Si l’on note ξi la valeur de ξn lorsque ni = 1 et nj = 0 pour j 6= i, ces conditions
signifient que l’on a
Y
et ξip = 0 ∀ i ∈ I.
ξini si n ∈ P
ξn =
i
On tire de là :
Proposition. — Soient k un anneau pseudocompact local (137) de
√ caractéristique p > 0,
L une p-algèbre de Lie plate sur Ok , C un objet de Alf /k et p 0C l’idéal de C formé
des éléments x tels que xp = 0. Il existe une bijection « fonctorielle en C » :
√
∼
L(C) ⊗C p 0C −→ Gp (L)(C)
D’après la remarque 1.2.3.F, on peut en effet choisir une base (C xi )i∈I de L(C) sur
C de telle façon que, pour tout morphisme ϕ : C → D de Alf /k , L(ϕ) applique C xi
sur D xi . D’après ce qui précède, l’application
!
C n
X
X Y
x
ni
C
ξi
xi ⊗ ξi 7→
n!
i
i
n∈P
√
est une bijection fonctorielle de L(C) ⊗C p 0C sur Gp (L)(C).
(137) N.D.E.
: On a ajouté l’hypothèse que k soit local, afin que tout k-module pseudocompact topologiquement plat soit topologiquement libre, cf. la démonstration.
546
578
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
4.3.2. — « Il n’y a pas de formule de Campbell-Hausdorff en caractéristique p > 0 ».
Expliquons-nous : l’isomorphisme fonctoriel de 4.3.1 dépend du choix des bases
(C xi )i∈I . À la différence de ce qui se passe en √3.2 (cas de la caractéristique 0), il
n’y a pas, en général, de bijection de L(C) ⊗C p 0C sur Gp (L)(C) qui soit « fonctorielle à la fois en C et en L ». L’argument qui suit montre par exemple qu’un tel
isomorphisme n’existe pas lorsque k est un corps contenant les racines (p2 − 1)-ièmes
de l’unité.
Choisissons en effet L de telle façon que, pour tout C ∈ Alf /k , L(C) soit la palgèbre de Lie abélienne sur C qui est engendrée par un élément x soumis à la relation
2
x(p ) = 0. On a donc
∼ k[x]/(xp2 ).
L(C) = Cx ⊕ Cx(p) ,
Up (L(C)) =
Nous allons montrer que le seul morphisme fonctoriel
√
χC : L(C) ⊗C p 0C −→ Up (L(C))
547
√
qui soit compatible avec les endomorphismes de L et qui applique L(C) ⊗C p 0C dans
Gp (L)(C), est le morphisme constant de valeur
1.
√
Soit en effet ψC la bijection de L(C)⊗C p 0C sur Gp (L)(C) = Prim Up (L(C)) donnée
par 4.3.1, c.-à-d.,
X
x ⊗ a + x(p) ⊗ b 7→
ai bj xi+pj .
06i,j<p
−1
En composant χC avec ψC
, on obtient un morphisme fonctoriel (en C) :
√
√
θC : L(C) ⊗C p 0C → L(C) ⊗C p 0C
x ⊗ a + x(p) ⊗ b 7→ x ⊗ P(a, b) + x(p) ⊗ Q(a, b).
La fonctorialité en C implique que P(a, b) et Q(a, b) sont les valeurs en (a, b) de deux
polynômes P, Q ∈ k[x, y] qu’on peut supposer de degré < p en X ainsi qu’en Y. (138)
Soit α un élément de k et ℓα l’endomorphisme de p-algèbre de Lie de L qui applique
x sur αx (et donc x(p) sur αp x(p) ). Alors Up (ℓα ) est l’endomorphisme d’algèbre qui
envoie x sur αx (et donc chaque xi sur αi xi , pour i < p2 ), et l’on voit facilement que
le carré ci-dessous
√
ψC
/ Up (L(C))
L(C) ⊗C p 0C
Up (ℓα )(C)
ℓα (C)⊗C id
√
L(C) ⊗C p 0C
ψC
/ Up (L(C))
est commutatif. L’hypothèse χC ◦ (ℓα (C) ⊗ id) = Up (ℓα )(C) ◦ χC entraı̂ne alors les
égalités :
P(αa, αp b) = α P(a, b)
et
Q(αa, αp b) = αp Q(a, b).
P
P
Écrivant P = i,j<p λij Xi Yj et Q = i,j<p µij Xi Yj , et prenant pour C l’algèbre
k[X, Y]/(Xp , Yp ), on en déduit que si λij 6= 0 (resp. µij 6= 0) alors αi−1+pj = 1
(138) N.D.E.
: On a détaillé l’original dans ce qui suit.
4. PHÉNOMÈNES PARTICULIERS À LA CARACTÉRISTIQUE p > 0
579
(resp. αi+p(j−1) = 1). Donc, prenant pour α une racine primitive de l’unité d’ordre
p2 − 1, on en déduit que P = λX et Q = µY, avec λ, µ ∈ k. Par conséquent, on a :
X
χC (x ⊗ a + x(p) ⊗ b) =
(λa)i (µb)j xi+pj .
06i,j<p
(138)
Considérons enfin l’endomorphisme f de L qui envoie x sur x + x(p) ; prenant
C = k[a]/(a3 ) et comparant les coefficients de xp et xp+1 dans (χC ◦ f (C))(x ⊗ a) et
dans (Up (f )(C) ◦ χC )(x ⊗ a), on obtient que λ = µ et λ2 a2 = 0, d’où λ = µ = 0.
4.4. Théorème. — Soient k un anneau pseudocompact de caractéristique p > 0 et G
un k-groupe formel. Les assertions suivantes sont équivalentes :
548
(i) Il existe une p-algèbre de Lie L plate sur Ok telle que G soit isomorphe à Gp (L)
(et dans ce cas L = Lie(G) d’après 4.2.2).
(ii) Il existe un k-module pseudocompact projectif ω tel que l’algèbre affine de G
soit isomorphe au quotient de k[[ω]] par l’idéal fermé engendré par les xp , pour x ∈ ω
(et dans ce cas ω ≃ ωG/k ).
(iii) G est de hauteur 6 1 et ωG/k est un k-module pseudocompact projectif.
(iv) G est de hauteur 6 1 et est topologiquement plat sur k.
(i) ⇒ (ii) : Soient ω = Γ∗ (L) (cf. 1.2.3.D) et A le quotient de k[[ω]] par l’idéal
fermé engendré par les xp , pour x ∈ ω. Tout morphisme continu h : A → C, où C
est un objet de Alf /k , est déterminé par sa restriction h′ à ω ; cette restriction h′
√
envoie ω dans p 0C . On obtient ainsi une bijection canonique de HomAlp/k (A, C) sur
√
√
l’ensemble Homc (ω, p 0C ) des applications k-linéaires continues
de ω dans p 0C . Ce
√
dernier ensemble est canoniquement isomorphe à L(C)⊗C p 0C (voir la démonstration
de 3.3). L’implication (i) ⇒ (ii) résulte donc de la bijection fonctorielle L(C) ⊗C
√
∼
p
0C −→ Gp (L)(C) établie en 4.3.1.
Pour les autres implications, consulter les démonstrations des théorèmes 3.3 et
VIIA 7.4.1, qui sont analogues.
Remarque 4.4.A. — (139) Soit G un k-groupe formel infinitésimal, d’algèbre affine A,
tel que ωG/k = IA /I2A soit un k-module pseudocompact projectif. Alors il existe une
section τ : ωG/k → IA de la projection IA → ωG/k , et τ induit un morphisme continu
d’algèbres ψ : k[[ωG/k ]] → A qui est surjectif, cf. la démonstration de l’implication
(iii) ⇒ (i) dans 3.3.
4.4.1 Corollaire. — Si k est un corps de caractéristique p > 0, le foncteur L 7→ Gp (L)
est une équivalence de la catégorie des p-algèbres de Lie sur k sur celle des k-groupes
formels de hauteur 6 1.
(139) N.D.E.
: On a ajouté cette remarque, utilisée en 4.4.2.
549
580
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
En effet, quand G parcourt les groupes formels de hauteur 6 1, le foncteur G 7→
Gp (Lie G) est isomorphe au foncteur identique d’après le théorème 4.4 ; de même, nous
avons vu en 4.2.2 que le foncteur L 7→ Lie Gp (L) est isomorphe au foncteur identique
(voir aussi VIIA , 5.5.3). (140)
4.4.2. — Prenons toujours pour k un corps de caractéristique p. Soit G un k-groupe
formel infinitésimal G, d’algèbre affine A. Comme G est infinitésimal, tout idéal ouvert
{pn }
pour n assez grand, donc G est la limite projective des algèbres
de A contient IA
{pn }
affines A/IA
des groupes Frn G (cf. 4.1.2). Tout k-groupe formel infinitésimal est
donc une limite inductive de k-groupes formels de hauteur finie.
Supposons G de hauteur 6 n et notons H = G/Fr G. (141) D’après 2.4 et 2.4.1,
Fr : G → G(p) se factorise en un épimorphisme π : G → H suivi d’un monomorphisme
i : H → G(p) . On a alors le diagramme commutatif suivant :
π
/H
GD
DD
DD
i
D
Fr DD
" G(p)
Frn−1
/ H(pn−1 )
i(p
Frn−1
n−1 )
/ G(pn )
n−1
et comme le foncteur X 7→ X(p) commute aux produits fibrés, i(p ) est encore
un monomorphisme. Comme Frn (G/k) est nul et comme π est un épimorphisme,
n−1
n−1
alors Frn−1 (G(p) /k) ◦ i = i(p ) ◦ Frn−1 (H/k) est nul et donc, puisque i(p ) est un
monomorphisme, Frn−1 (H/k) est nul, donc H est de hauteur 6 n − 1. On voit donc
que : tout k-groupe formel de hauteur finie possède une suite de composition dont les
quotients sont de hauteur 6 1, donc peuvent être décrits par des p-algèbres de Lie sur
k.
Enfin, l’algèbre affine A de G est un quotient de k[[ωG/k ]], cf. 4.4.A, donc si ωG/k est
{pn }
de dimension finie sur k, alors toutes les algèbres A/IA sont des k-espaces vectoriels
de dimension finie. On voit donc que : tout groupe formel infinitésimal G sur un corps
de caractéristique p > 0, tel que ωG/k soit de dimension finie sur k, est une limite
inductive de groupes formels finis (i.e. de longueur finie, cf. 1.2.6).
550
5. Espaces homogènes de groupes formels infinitésimaux sur un corps
5.0. (142) Supposons, pour simplifier, que k soit un corps. Soit G un k-groupe formel
d’algèbre affine A = A (G). Soit A+ l’idéal d’augmentation de A ; pour tout a ∈ A
on notera a = a − εA (a)1A sa projection sur A+ . Soit F un sous-groupe formel de
(140) N.D.E. : Si k est un anneau artinien de caractéristique p > 0, la même démonstration donne
une équivalence entre la catégorie des p-algèbres de Lie plates sur k et celle des k-groupes formels de
hauteur 6 1, topologiquements plats sur k.
(141) N.D.E. : On a détaillé l’original dans ce qui suit.
(142) N.D.E. : On a ajouté la sous-section 5.0, pour exprimer dans le langage des algèbres de Hopf
cocommutatives la proposition 5.1 qui va suivre, et citer les résultats obtenus depuis dans cette
direction.
5. ESPACES HOMOGÈNES DE GROUPES FORMELS SUR UN CORPS
581
G, défini par l’idéal fermé J de A, et soit π (resp. π) la projection A → A/J (resp. la
composée des projections A → A+ → A+ /J). Remarquons que, pour tout a ∈ A, la
b A+ est ∆A (a) − a ⊗
b 1.
projection de ∆A (A) sur A ⊗
D’après le théorème 2.4, on peut former la k-variété formelle quotient X = G/F,
son algèbre affine B est
τ1
/ b
B = Ker A
/ A⊗
k (A/J)
b π)∆A
(idA ⊗
b π)∆A (a) = a ⊗
b π(1)
= a ∈ A | (idA ⊗
b π )∆A .
= Ker (idA ⊗
C’est aussi la sous-algèbre de A formée des éléments φ tels que, pour tout C ∈
Ob Alf /k et g ∈ G(C), h ∈ F(C), on ait φ(gh) = φ(g). Pour tout g, g ′ ∈ G(C) et h ∈
b k (idA ⊗
b π)∆A ,
F(C), on a φ(gg ′ h) = φ(gg ′ ), donc ∆(φ) appartient au noyau de idA ⊗
b k B puisque A est topologiquement plate sur k. On a donc ∆A (B) ⊂
qui égale A ⊗
b k B, i.e. la sous-algèbre fermée B est aussi un coidéal à gauche.
A⊗
D’autre part, B détermine F puisque, d’après le corollaire 2.4.1, on a J = AB+ , i.e. J
est l’idéal fermé engendré par B+ = B ∩ A+ . On obtient donc ainsi une application
injective Q de l’ensemble F des sous-groupes formels de G dans l’ensemble B des
sous-algèbres fermées B de A qui sont des coidéaux à gauche. Se pose alors la question
de déterminer l’image de cette application, et la proposition 5.1 ci-dessous montre que
Q est bijective lorsque G est infinitésimal. En fait, ceci est vrai pour tout k-groupe
formel G.
En effet, rappelons (cf. 2.2.1) que le foncteur G → H(G) est une équivalence entre
la catégorie des k-groupe formels et celle des k-algèbre de Hopf cocommutatives ; si F
est un sous-groupe formel de G, défini par l’idéal fermé J de A, alors la sous-algèbre
de Hopf H(F) de H = H(G) est l’orthogonal de J pour la dualité entre A = H∗ et
H = A† (cf. 0.2.2). D’autre part, si B est une sous-algèbre fermée de A qui est aussi
un coidéal à gauche, alors son orthogonal I = B⊥ est un coidéal de H (i.e. ∆H (I) ⊂
I ⊗ H + H ⊗ I et εH (I) = 0) et un idéal à gauche. Notons H (resp. I ) l’ensemble
des sous-algèbres de Hopf (resp. idéaux à gauche qui sont des coidéaux) de H. Pour
tout I ∈ I , on notera πI (resp. π I ) la projection H → H/I (resp. la composée des
projections H → H+ → H+ /I), où H+ est l’idéal d’augmentation de H.
Soient K une sous-algèbre de Hopf de H et K+ = K ∩ H+ . Si F est le sous-groupe
formel correspondant à K, alors J = K⊥ et A+ /J s’identifie au dual de K+ , et comme
B = Q(F) est le noyau de l’application
A
∆A
/ A⊗
bk A
bπ
id ⊗
/ A⊗
b k (A+ /J)
on obtient que Q correspond par dualité à l’application Φ qui à K associe l’image de
Ho
mH
H ⊗k H o
b can.
id ⊗
H ⊗k K+
i.e. l’idéal à gauche HK+ , qui est aussi un coidéal. On voit de même que l’application
qui à B ∈ B associe AB+ correspond par dualité à l’application Ψ qui à tout I ∈ I
582
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
associe le noyau de (id ⊗k π I ) ◦ ∆H , i.e. on a
Ψ(I) = {x ∈ H | (id ⊗k πI )∆H (x) = x ⊗ πI (1)}.
On a alors le théorème suivant :
Théorème 5.0.1. — Soient k un corps et H une algèbre de Hopf cocommutative. Alors
les applications Φ et Ψ ci-dessus sont des bijections réciproques entre l’ensemble des
sous-algèbres de Hopf de H et celui des idéaux à gauche qui sont des coidéaux.
Ce théorème a d’abord été démontré par K. Newman, cf. [Ne75], Th. 4.1 (où le mot
« cocommutative » a été oublié). Sa démonstration utilise « le théorème de CartierGabriel-Kostant » (cf. 2.9) pour se ramener au cas où H est connexe, puis l’existence
dans ce cas d’une « base de Sweedler » (cf. [Sw67], Th. 3), un résultat dual du théorème de Dieudonné-Cartier 5.2.2 ci-dessous. Une autre démonstration, plus courte,
a été donnée par H. J. Schneider [Sch90], Th. 4.15. Une généralisation a ensuite été
obtenue par A. Masuoka lorsqu’on suppose seulement que le coradical H0 de H (i.e. la
somme des sous-cogèbres simples) est commutatif [Ma91], Th. 1.3 (3).
Signalons enfin que pour une k-algèbre de Hopf commutative, correspondant donc
à un k-schéma en groupes affine G, on ne peut s’attendre à un analogue de 5.0.1
sans hypothèses additionnelles, puisque pour un k-sous-groupe F de G, le quotient
G/F n’est pas nécessairement affine. Mais M. Takeuchi a établi dans [Tak72], Th. 4.3
(resp. [Tak79], Th. 3), une bijection analogue entre l’ensemble des k-sous-groupes F
de G qui sont invariants (resp. tels que G/F soit affine), et celui des sous-algèbres B
de O(G) telles que ∆(B) ⊂ A ⊗ B et qui sont stables par l’antipode (resp. et telles
que B → A soit fidèlement plat).
5.1. Soit k un anneau pseudocompact. (143) Soient G un k-groupe formel infinitésimal
topologiquement plat, A son algèbre affine, B une sous-algèbre fermée de A, X =
Spf(B) et r : G → X l’épimorphisme induit par l’inclusion de B dans A. On se
propose de voir sous quelle condition r fait de X le quotient à droite de G par un
sous-groupe H (cf. 2.4). (144)
Proposition. — Soient G un k-groupe formel infinitésimal topologiquement plat, A
son algèbre affine, IA l’idéal d’augmentation de A, B une sous-algèbre fermée de A,
et JB = AIB , où IB = B∩IA . On suppose que A est topologiquement plate sur k, ainsi
pour tout n > 0. Alors, les deux assertions suivantes sont équivalentes :
que JnB /Jn+1
B
b 1 appartient à A ⊗
b k JB .
(i) Pour tout x ∈ B, ∆A (x) − x ⊗
(143) N.D.E. : Dans l’original, il est supposé en 5.1 que k est un corps. En fait, cette hypothèse peut
être remplacée par des hypothèses de platitude ; on a modifié en conséquence les nos 5.1 à 5.1.5.
(144) N.D.E. : On a remplacé « gauche » par « droite » et l’on a modifié l’énoncé de la proposition 5.1,
afin de faire apparaı̂tre plus clairement, d’une part, les conditions équivalentes (i), (ii), et, d’autre
part, la conclusion Spf(B) ≃ G/H.
5. ESPACES HOMOGÈNES DE GROUPES FORMELS SUR UN CORPS
583
b 1 et π est la projection A → A/JB ) est
(ii) La suite ci-dessous (où τ1 (a) = a ⊗
exacte :
(∗)
τ1
/A
B
b idA )∆A
(π ⊗
/
b k (A/JB )
/ A⊗
b 1 appartienne à
c.-à-d., B est l’ensemble de tous les x ∈ A tels que ∆A (x) − x ⊗
b k JB .
A⊗
Dans ce cas, H = Spf(A/JB ) est un sous-groupe formel de G, et la suite ci-dessous
(où λ est la restriction à G × H de la multiplication de G) est exacte :
(∗∗)
pr1
G×H
λ
/
/G
/ Spf(B)
c.-à-d., Spf(B) est isomorphe à G/H.
Posons A = A/JB et H = Spf(A) ; alors H est une sous-variété formelle de G.
Comme JB ⊂ IA , l’augmentation εA induit un morphisme continu de k-algèbres ε :
A → k.
b 1+A⊗
b JB , et donc ∆A induit par passage
Si (i) est satisfaite, alors ∆A (IB ) ⊂ IB ⊗
au quotient un morphisme diagonal ∆. Alors ∆ et ε munissent H d’une structure de
sous-monoı̈de formel de G. Comme G est infinitésimal, il en est de même de H ; donc,
d’après la proposition 2.7, H est un sous-groupe formel de G. Il résulte alors de la
définition de G/H (cf. 2.4), que (ii) entraı̂ne la dernière assertion de la proposition.
D’autre part, il est clair que (ii) implique (i). La démonstration de la réciproque
occupe les paragraphes 5.1.1 à 5.1.5.
5.1.1. — Considérons d’abord la catégorie C qui suit : un objet de C est un couple
(A, J) formé d’une k-algèbre profinie A et d’un idéal fermé J de A ; un morphisme
ψ : (A, J) → (A′ , J′ ) de C est un homomorphisme continu de k-algèbres A → A′ qui
applique J dans J′ . Si l’on associe à (A, J) le couple (Spf(A/J), Spf(A)), on obtient
évidemment une anti-équivalence de C sur la catégorie des couples (Z, Y) formés d’une
k-variété formelle Y et d’une sous-variété formelle Z, un morphisme φ : (Z, Y) →
(Z′ , Y′ ) étant un morphisme de k-variétés formelles Y → Y′ qui applique Z dans Z′ .
Une structure de cogroupe sur un objet (A, J) de C consiste en la donnée d’une
structure de groupe formel sur Spf(A) telle que les conditions suivantes soient réalisées
(notations de 2.1) :
bk A + A ⊗
bk J ;
(1) ∆A (J) ⊂ J ⊗
(2) εA (J) = 0 ;
(3) cA (J) ⊂ J.
Ces conditions signifient aussi que H = Spf(A/J) est un sous-groupe formel de G =
Spf(A). (145)
(145) N.D.E. : Notons que si (A′ , J′ ) est un second cogroupe de C , correspondant à un couple H′ ⊂ G′
de k-groupes formels, alors se donner un morphisme de cogroupes (A′ , J′ ) → (A, J) équivaut à se
donner un morphisme de k-groupes formels G → G′ qui applique H dans H′ .
551
584
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
Supposons de plus que A soit locale, i.e. que Spf(A) soit un groupe formel infinitésimal. Alors, si J 6= A, les conditions (2) et (3) sont conséquence de (1). En effet, si J
est un idéal fermé distinct de A, il est contenu dans l’idéal d’augmentation IA , donc
(2) est vérifiée, et M = Spf(A/J) est un sous-monoı̈de formel de G. Comme G est
infinitésimal, il résulte de 2.7 que M est un sous-groupe formel de G, i.e. la condition
(3) est vérifiée.
552
5.1.2. — Désignons par Alpg/k la catégorie des k-algèbres « profinies graduées » :
un objet de cette catégorie consiste en la donnée d’une suite A0 , A1 , . . . , An ,Q
. . . de kmodules pseudocompacts et d’une structure d’algèbre profinie sur le produit n>0 An
Q
telle qu’on ait An · Am ⊂ Am+n (An est identifié à une partie de i>0 Ai au moyen
de l’injection canonique) ; un morphisme ψ : (An ) → (Bn ) est une suite d’applications
linéaires continues ψn : An → Bn telles qu’on ait ψm+n (a · a′ ) = ψm (a) · ψn (a′ ) si
a ∈ Am et a′ ∈ An .
Définitions. — Il est clair que deux k-algèbres profinies graduées (An ) et (Bn )
ont un coproduit (146) dans Alpg/k , qui a pour n-ième composante le produit
Qn
b
b
i=0 Ai ⊗k Bn−i des k-modules pseudocompacts Ai ⊗k Bn−i . Ce coproduit sera noté
b
(An ) ⊗k (Bn ).
Alors, une structure de cogroupe sur un objet (An ) de Alpg/k est la donnée d’appliQn
b
cations
Q k-linéaires continues ∆n : An → i=0 Ai ⊗k An−i et ε : A0 → k, qui induisent
sur n>0 An (posant ε(Ai ) = 0 pour i > 1) une structure de cogroupe dans Alp/k .
Enfin, pour tout objet (A, J) de C , on note GrJ (A) l’algèbre profinie graduée associée à la filtration de A par les adhérences Jn des puissances de J ; on a donc
GrJ (A)n = Jn /Jn+1 et la multiplication de GrJ (A) est induite par celle de A.
553
Lemme. — (147) Soient U, V deux k-modules pseudocompacts, avec U topologiquement plat, et soient U = U0 ⊃ U1 ⊃ · · · et V = V0 ⊃ V1 ⊃ · · · deux suites décroisbk V
santes de sous-k-modules fermés. Filtrons le produit tensoriel complété W = U ⊗
à l’aide des sous-modules fermés
b k V0 + Un−1 ⊗
b k V1 + · · · + U0 ⊗
b k Vn .
Wn = Un ⊗
On suppose que chaque Ui /Ui+1 est topologiquement plat sur k (de sorte que U/Un
et donc Un le sont aussi, pour tout n). Alors, pour tout n, on a un isomorphisme
M
b k (Vj /Vj+1 ).
(Ui /Ui+1 ) ⊗
Wn /Wn+1 ≃
i+j=n
b Vj et Wi,j = (Ui /Ui+1 ) ⊗
b k (Vj /Vj+1 ), pour
Démonstration. Posons Wi,j = Ui ⊗
tout i, j > 0. Montrons par récurrence sur n que l’application naturelle
M
Wi,j
πn : Wn −→
i+j=n
(146) N.D.E.
: On a remplacé « somme directe » par « coproduit ».
: Dans l’original, le lemme est énoncé lorsque k est un corps, la démonstration étant
dans ce cas laissée au lecteur.
(147) N.D.E.
5. ESPACES HOMOGÈNES DE GROUPES FORMELS SUR UN CORPS
585
est surjective et que l’inclusion Wn+1 ⊂ Ker(πn ) est une égalité. Pour n = 0, la
projection
b k V0 −→ (U0 /U1 ) ⊗
b k (V0 /V1 )
π0 : U0 ⊗
est surjective et, comme U0 , U0 /U1 et donc U1 sont topologiquement plats sur k,
b k V1 + U1 ⊗
b k V0 et que, de plus, U0 ⊗
b k V1 ∩ U1 ⊗
b k V0 =
on voit que Ker(π0 ) = U0 ⊗
b k V1 .
U1 ⊗
b k Vn et
Supposons
donc n > 0 et le résultat établi pour n − 1. Posons M0 = U0 ⊗
Pn
b k Vn−i . On a S0 ⊂ U1 ⊗
b k V0 et donc, d’après ce qui précède appliqué
S0 = i=1 Ui ⊗
à V0 ⊃ Vn au lieu de V0 ⊃ V1 , on a
b k Vn ∩ U1 ⊗
b k V = U1 ⊗
b k Vn
M0 ∩ S0 ⊂ U0 ⊗
b k Vn . Comme Wn = M0 + S0 , on obtient un
d’où l’on déduit que M0 ∩ S0 = U1 ⊗
diagramme commutatif à lignes exactes, où l’on a posé U′i = Ui+1 et W′i,n−1−i =
Wi+1,n−1−i pour i = 0, . . . , n − 1 :
0
/ S0
′
πn−1
0
/ Ln−1 W′
i,n−1−i
i=0
/ Wn
πn
/ Ln Wi,n−1
i=0
/ (U0 /U1 ) ⊗
b k Vn
/0
p
/ W0,n
/ 0.
b k Vn+1 . De plus, d’après l’hypothèse de
Alors p est surjectif, de noyau (U0 /U1 ) ⊗
′
′
′
récurrence
appliquée
à
la
suite
(U
),
π
n−1 est surjectif, de noyau égal à Wn =
i
Pn
i=1 Wi,n+1−i . Il en résulte que πn est surjectif, et que l’inclusion Wn+1 ⊂ Ker(πn )
est une égalité. Ceci prouve le lemme.
Revenons à un objet (A, J) de C et notons que, d’après 0.2.G, l’hypothèse que
chaque Jn /Jn+1 soit topologiquement plat sur k équivaut à dire que GrJ (A) est topologiquement plate sur k.
Corollaire. — Soit P la sous-catégorie pleine de C formée des objets (A, J) tels que
A et GrJ (A) soient topologiquement plats sur k. Alors le foncteur P → Alpg/k ,
(A, J) 7→ GrJ (A) commute aux coproduits finis, donc transforme un cogroupe de P
en un cogroupe de Alpg/k .
En particulier, si k est un corps alors, pour tout cogroupe (A, J) de C , GrJ (A) est
un cogroupe de Alpg/k . (148)
5.1.3. — Identifions toute k-algèbre profinie Γ à la k-algèbre profinie graduée (Γn )n>0
telle que Γ0 = Γ et Γn = 0 si n > 0. En particulier, si (An )n>0 est une k-algèbre
profinie graduée, nous considérerons indifféremment A0 comme une k-algèbre profinie
ou bien comme une k-algèbre profinie graduée. Nous désignerons alors par ρ : (An ) →
bH
: À un couple H ⊂ G de k-groupes formels, on associe donc le « complété formel G
de G le long de H », qui est un k-groupe formel ; de plus on va voir en 5.1.3–5.1.4 que l’inclusion
b H possède une rétraction π : G
b H → H et que le k-groupe formel N = Ker(π) s’identifie,
σ : H ֒→ G
comme variété formelle, au complété de l’espace homogène G/H le long de la section unité. Ceci sera
utile en 5.2.2.
(148) N.D.E.
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
586
A0 le morphisme de Alpg/k tel que ρ0 = idA0 et ρn = 0 si n > 0. De même,
τ : A0 → (An ) désignera la section de ρ telle que τ0 = idA0 et τn = 0 si n > 0.
Toute structure de cogroupe sur (An )n∈N induit une structure de cogroupe sur A0
telle que ρ et τ soient des homomorphismes de cogroupes. Dans ce cas, notons I0
l’idéal d’augmentation de A0 et posons A′n = An /I0 An pour tout n > 0 (de sorte que
A′0 = k).
Alors, (A′n )n∈N est un cogroupe dans Alpg/k (noter que, comme A0 = I0 ⊕ k · 1,
b k An ≃ I0 An est facteur direct de An , pour tout n). Puisque τ est une section
alors I0 ⊗
de ρ alors, d’après 2.4.A, le cogroupe (An )n∈N est le « coproduit semi-direct » de A0
et du cogroupe (A′n )n∈N . De façon précise, (A′n )n∈N est isomorphe, comme objet de
Alpg/k , au noyau du couple :
τ1
(An )
b ρ)∆
(id ⊗
/
b k A0
/ (An ) ⊗
b n ) est la comultiplication de (An ) et τ1 (x) = x ⊗
b 1), et,
(où ∆ : (An ) → (An ) ⊗(A
identifiant A′n à son image dans An , l’application
b k A0 ) −→ (An ),
(A′n ⊗
b a0 7→ a′n a0
a′n ⊗
est un isomorphisme de Alpg/k . (N. B. Ce n’est pas un isomorphisme de cogroupes,
b A′ et (γρ′ ⊗
b id) ◦ ∆| ′ = ∆′ , où ∆′ est la comultiplication de A′ et
mais ∆(A′ ) ⊂ A ⊗
A
′
′
γρ la projection A → A , cf. 2.4.A.)
554
5.1.4. — Soient (A, J) un objet de C et (An ) = GrJ (A) l’objet de Alpg/k associé,
Q
i.e. An = Jn /Jn+1 pour tout n > 0. Il est clair que l’algèbre A = n>0 An est
engendrée par A0 et A1 , c’est-à-dire que, pour n > 1, l’application
b A0 A1 −→ An
b A0 · · · ⊗
b A0 A1 ⊗
A1 ⊗
(1)
définie par la multiplication est surjective.
Supposons de plus que (A, J) soit un cogroupe de C et que A et les quotients
Jn /Jn+1 soient plats sur k. Alors, d’après le corollaire 5.1.2, GrJ (A) est un cogroupe
de Alpg/k . Donc, d’après 5.1.3, si l’on pose
(2)
n
L
b1∈
b i /Ji+1 ) ,
A′n = x ∈ Jn /Jn+1 | ∆(x) − x ⊗
(Jn−i /Jn−i+1 ) ⊗(J
i=1
b A0 ) → (An ), a′n ⊗
b a′n 7→ a′n a0 est un isomorphisme de
alors l’application (A′n ⊗
(149)
Alpg/k .
b H les k-groupes formels correspondant à A, A0 = A/J et GrJ (A) ;
: Soient G, H et G
b H → H de l’inclusion H ֒→ G
b H , et ce qui
alors τ : A0 ֒→ GrJ (A) correspond à une rétraction π : G
b H est le produit semi-direct de N = Ker(π) par H.
précède signifie que G
(149) N.D.E.
5. ESPACES HOMOGÈNES DE GROUPES FORMELS SUR UN CORPS
587
Notant I0 l’idéal d’augmentation de A0 , on déduit de (1) et du diagramme combn
bk · · · ⊗
b k A′1 (n facteurs) :
mutatif ci-dessous, où A′1 ⊗
désigne A′1 ⊗
∼
b A0 A1 o
b A0 · · · ⊗
A1 ⊗
bn b
A′1 ⊗
⊗k A0 o
b id
m′ ⊗
m
An o
b k A0 o
A′n ⊗
∼
que l’application
(3)
∼
bn b
(A′1 ⊗
⊗ k I0 )
L
bn
A′1 ⊗
b id ⊕m′
m′ ⊗
L
b k I0 ) A′n
(A′n ⊗
∼
bk . . . ⊗
b k A′1 −→ A′n
m′ : A′1 ⊗
induite
par la multiplication est surjective ; autrement dit, la k-algèbre profinie A ′ =
Q
′
A
n>0 n est engendrée par ses termes de degré 1.
(150)
Revenons maintenant à l’hypothèse (i) de la proposition 5.1 : soient G un
k-groupe formel infinitésimal topologiquement plat, A son algèbre affine, IA l’idéal
d’augmentation de A, B une sous-algèbre fermée de A, et J = AIB , où IB = B ∩ IA .
On note H le sous-groupe formel Spf(A/J) et π la projection A → A/J. On suppose
que A/Jn est topologiquement plat sur k, pour tout n > 1, et que B est contenue
e du couple :
dans le noyau B
τ1
A
b k π)∆A
(idA ⊗
/ b
/ A⊗
k (A/J) .
Soit (An ) = GrJ (A), soit I0 = IA /J l’idéal d’augmentation de A0 = A/J, et définissons
e n )n∈N ) l’objet de Alpg/k
(A′n )n∈N comme en (2) plus haut. On note (Bn )n∈N (resp. (B
e induite par celle de A, i.e. définie par les idéaux
associé à la filtration de B (resp. B)
e ∩ Jn ). Alors, il est clair que Bn ⊂ B
e n ⊂ A′n pour tout n, et que
B ∩ Jn (resp. B
B=
Y
n>0
sont des sous-algèbres de A ′ =
Q
n>0
e=
Bn ⊂ B
A′n .
Y
n>0
en
B
b k A (resp. de I2B ⊗
b k A). Par
D’autre part, J (resp. J2 ) est l’image dans A de IB ⊗
conséquent, l’application
b k A −→ J/J2 = A1 ≃ A′1 ⊗
b k A0
(IB /I2B ) ⊗
(150) N.D.E. : On a détaillé l’original dans ce qui suit, et l’on a mis à la fin le « supplément » In = B∩Jn
B
(qui n’est pas nécessaire pour établir la proposition 5.1).
588
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
b k A0 . Comme A0 = k · 1 ⊕ I0 , on déduit
est surjective, et elle se factorise par (IB /I2B ) ⊗
du diagramme commutatif et exact :
L
b k A0 o ∼ (IB /I2B ) ⊗
b k I0 (IB /I2B )
(IB /I2B ) ⊗
J/J2 o
0
∼
L
b k I0 A′1
A′1 ⊗
0
que A′1 est l’image de IB /I2B , de sorte qu’on a B1 = A′1 . Comme A ′ est engendrée par
A′1 , il en résulte que, pour tout n > 1, on a
555
e n ⊂ A′n ,
A′n ⊂ Bn ⊂ B
e n = A′n . (151)
d’où Bn = B
Enfin, comme le groupe formel G est infinitésimal, on a r(A) = IA et donc les
idéaux InA tendent vers 0 (cf. 0.1.2) ; a fortiori, les idéaux Jn tendent vers 0, et donc
e et B sont séparées. De plus, comme B est une sous-algèbre
les filtrations induites sur B
fermée de A, elle est complète pour la topologie définie par les idéaux B ∩ Jn . Par
e
conséquent, il résulte de [CA], § V.7, Lemme 1 (voir aussi 5.1.5 ci-dessous) que B = B.
Ceci achève la démonstration de la proposition 5.1.
On a de plus le supplément suivant. Pour tout n, Jn = AInB est l’image dans A
b B InB et aussi de A ⊗
b B (B ∩ Jn ). Or, d’après hypothèse, l’algèbre affine A/J du
de A ⊗
sous-groupe formel H est topologiquement plate sur k. Donc, d’après le théorème 2.4,
le morphisme G = Spf(A) → G/H = Spf(B) est surjectif et topologiquement plat ; on
a donc
b B (B ∩ Jn ),
b B InB = Jn = A ⊗
A⊗
et ceci entraı̂ne que InB = B ∩ Jn pour tout n. Ceci découle aussi du fait que les
applications
InB /In+1
−→ A′i = (B ∩ Jn )/(B ∩ Jn+1 )
B
sont surjectives, et de 5.1.5 (ii) ci-dessous, appliqué à B′n = InB et Bn = B ∩ Jn .
5.1.5. Lemme. — (152) (i) Soient M et N deux groupes abéliens filtrés par des suites
décroissantes de sous-groupes (Mn )n∈Z et (Nn )n∈Z . On suppose que la réunion des
Mn (resp. Nn ) égale M (resp. N), que l’intersection des Mn (resp. Nn ) est nulle, et
que M est complet pour la topologie définie par les Mn . Soit f : M → N un morphisme
de groupes filtrés.
(151) N.D.E.
: Avec les notations
Q de la N.D.E. (149), ceci entraı̂ne que le complété formel de G/H le
long de la section unité (qui a n Bn pour algèbre affine) est isomorphe, comme variété formelle, au
k-groupe formel N.
(152) N.D.E. : L’original énonçait uniquement le point (ii) ; pour la commodité du lecteur, on a énoncé
en (i) le lemme 1 de [CA], § V.7.
5. ESPACES HOMOGÈNES DE GROUPES FORMELS SUR UN CORPS
589
a) Si f induit une surjection des gradués associés, alors f est une surjection et N
est complet pour la topologie définie par les Nn .
b) Si f induit une injection des gradués associés, alors f est une injection.
(ii) Soient B un groupe abélien, B = B′0 ⊃ B′1 ⊃ · · · et B = B0 ⊃ B1 ⊃ · · ·
deux filtrations séparées de B par des sous-groupes tels que B′n ⊂ Bn pour tout n. On
suppose B complet pour la topologie définie par la filtration (B′n ).
Si l’application B′i /B′i+1 → Bi /Bi+1 est surjective pour tout i, alors B′n = Bn pour
tout n.
En effet, (i) est le lemme 1 de [CA], § V.7 (voir aussi [BAC], III, § 2.8), et (ii) en
découle en prenant M = B′n ⊃ B′n+1 ⊃ · · · et N = Bn ⊃ Bn+1 ⊃ · · · .
5.2. Dans toute la suite de la Section 5, k désigne un corps parfait de caractéristique
p > 0.
Nous posons N = N ∪ {∞}. Si B est une k-algèbre profinie et si r ∈ N, nous notons
r
r
((xp ))x∈r(B) l’idéal fermé de B qui est engendré par les éléments xp , où x parcourt
le radical r(B) de B. Si r = ∞, nous utilisons la même notation en convenant que
∞
r
((xp ))x∈r(B) est l’idéal nul. Dans les deux cas, Br désigne le quotient B/((xp ))x∈r(B) .
r
Nous disons que B est de hauteur 6 r si ((xp ))x∈r(B) est l’idéal nul ; si cela a lieu
et si r est fini, nous disons que B est de hauteur finie.
Considérons en particulier le cas où B est de la forme k[[ω]], ω étant un k-espace
vectoriel pseudocompact (cf. 1.2.5). (153) Nous disons alors que B est une algèbre de
séries formelles et que Br est une algèbre de séries formelles tronquée (r ∈ N ; nous
convenons donc de dire que B = B∞ est également « tronquée » ). Si B = k[[ω]], nous
r
r
écrivons aussi ((xp ))x∈ω au lieu de ((xp ))x∈r(B) .
Notations. — Soit ω un k-espace vectoriel pseudocompact filtré par une suite croissante de sous-espaces vectoriels fermés
0 = ω0 ⊂ ω1 ⊂ ω2 ⊂ ω3 ⊂ · · ·
r
(a) L’idéal fermé de k[[ω]] qui est engendré par les éléments xp , où r parcourt N
r
et x parcourt ωr , sera noté ((xp ))r∈ωr .
(b) D’autre part, nous désignerons par r ω l’espace vectoriel pseudocompact filtré
tel que
r ωi = ωi si i < r et r ωi = ω si i > r.
Théorème (Dieudonné-Cartier). — Soit H → G un monomorphisme de groupes formels infinitésimaux sur un corps parfait k de caractéristique p > 0. Soit B l’algèbre
affine de l’espace homogène G/H et supposons vérifiée l’une des trois conditions suivantes : (154)
(153) N.D.E. : Dans l’original, l’auteur utilise « espace vectoriel linéairement compact », ce qui équivaut
à « espace vectoriel pseudocompact » (cf. [BAC], § III.2, Exercices 15 a), 19 a) et 20 d)). On a préféré
conserver la terminologie « pseudocompact », utilisée jusqu’ici.
(154) N.D.E. : D’une part, on a remplacé H\G par G/H, et de même dans la démonstration ; d’autre
part, on a ajouté la condition (iii).
556
590
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
(i) B est de hauteur finie (ceci a lieu en particulier si G est de hauteur finie).
(ii) B est un anneau local noethérien complet.
(iii) B est un anneau réduit.
Alors B est isomorphe au produit tensoriel complété d’une famille finie d’algèbres
de séries formelles tronquées.
557
La démonstration de ce théorème occupe les paragraphes 5.2.1 à 5.2.5.
5.2.1. — Soient A l’algèbre affine de G, IA son idéal d’augmentation, et I = B ∩ IA .
b x ∈ A⊗
b AI}. Posons
D’après 2.4, on a H = Spf(A/AI) et B = {x ∈ A | ∆(x) − 1 ⊗
r
ω = I/I2 . On désigne par Ir le sous-idéal fermé de I formé des x tels xp = 0, par ωr
l’image canonique de Ir dans ω. Nous allons démontrer :
Proposition. — S’il existe une section continue σ : ω → I de la projection I → I/I2 ,
r
telle que σ(ωr ) ⊂ Ir pour tout r, alors B est isomorphe à k[[ω]]/((xp ))x∈ωr .
Une telle section se prolonge en effet en un morphisme continu k[[ω]] → B, qui
r
se factorise à travers B′ = k[[ω]]/((xp ))x∈ωr . Nous prouvons de 5.2.2 à 5.2.5 que le
morphisme
r
φ : B′ = k[[ω]]/((xp ))x∈ωr −→ B
ainsi obtenu est un isomorphisme.
5.2.1.A. — (155) Pour chaque r ∈ N, posons Ir = I2 + Ir , de sorte que Ir /I2 ≃ ωr ; on
a alors un diagramme commutatif à lignes exactes
0
/ Ir−1
/ Ir
0
/ ωr−1
/ ω r
/ Ir /Ir−1
≀
/ ωr /ωr−1
/0
/0
et puisque k est un corps, les lignes sont scindées : on peut compléter une pseudobase
Br−1 de Ir−1 en une pseudobase Br−1 ∪ Br′ de Ir , et alors le sous-espace fermé Sr
de pseudobase Br′ est un supplémentaire de Ir−1 dans Ir , et la projection π : I → ω
induit un isomorphisme de Sr sur un supplémentaire ωr′ de ωr−1 dans ωr . Notons
S
I∞ l’idéal fermé r Ir , il admet de même un supplémentaire S∞ dans I, et π induit
un isomorphisme de I∞ /I2 (resp. de S∞ ) sur l’adhérence ω∞ de la réunion des ωr
∼
′
′
.
(resp. sur un supplémentaire ω∞
de ω∞ dans ω). Notons η l’isomorphisme S∞ −→ ω∞
On obtient alors des applications linéaires continues :
L
I2 × S∞ × c r Sr
φ
η ×θ
′
ω = ω∞
× ω∞
(155) N.D.E.
: On a ajouté les paragraphes 5.2.1.A et 5.2.1.B.
/I
5. ESPACES HOMOGÈNES DE GROUPES FORMELS SUR UN CORPS
591
Q
L
où c r Sr est la somme directe des Sr dans PC(k), i.e. ( r S†r )∗ (cf. N.D.E. (16) de
L
∼
0.2.2) et où θ : c r Sr → ω∞ est induite par les applications Sr −→ ωr′ ֒→ ω∞ . On voit
donc qu’une condition suffisante (mais non nécessaire, voir ci-dessous) pour obtenir
une section σ : ω → I comme désiré, est que θ soit un isomorphisme.
Par dualité
Q
†
(cf. 0.2.2), ceci équivaut à dire que l’application linéaire ω∞
→ r S†r est bijective.
S
5.2.1.B. — Notons comme précédemment ω∞ = n∈N ωn . Un second cas où une section σ : ω → I comme désiré existe, est le cas où ω∞ possède une pseudobase B∞ qui
est réunion de pseudobases des ωn /ωn−1 , pour n ∈ N∗ (on peut alors la compléter
′
par une pseudobase B∞
de ω/ω∞ pour obtenir une pseudobase de ω compatible avec
†
la filtration). Posant V = ω∞
et notant Vn l’orthogonal dans V de ωn , ceci équivaut à dire que, dans la catégorie des k-espaces vectoriels « ordinaires », la filtration
décroissante séparée
V = V0 ⊃ V1 ⊃ V2 ⊃ · · ·
est scindée, i.e. que V est la somme directe, pour n ∈ N, de sous-espaces Fn tels que
Fn ≃ Vn /Vn+1 . Ceci n’est pas nécessairement le cas : par exemple si V est l’espace
S = k N des suites d’éléments de k et Sn le sous-espace des suites (ui ) telles que
ui = 0 pour i < n, de sorte que dim Sn /Sn+1 = 1, alors S n’est pas isomorphe
à la somme directe des Sn /Sn+1 puisque S n’est pas de dimension dénombrable
(par contre, S est ici le produit des Sn /Sn+1 , cf. 5.2.1.A). C’est cependant le cas si
V est de dimension dénombrable. (156) En effet, soit (en )n∈N une base de V, on va
construire par récurrence sur n une fonction croissante g : N → N et des sous-espaces
Lg(n)
Fi , pour i = 0, . . . , g(n), tels que Fi ≃ Vi /Vi+1 et que F6g(n) =
i=0
L Fi soit un
supplémentaire de Vg(n)+1 contenant e0 , . . . , en ; on aura alors V =
i>0 Fi . Soit
n + 1 ∈ N, on peut supposer l’assertion établie pour n (l’assertion étant vide pour
n = −1). Si en+1 ∈ F6g(n) , on pose g(n + 1) = g(n), sinon on écrit en+1 = f + x
avec f ∈ F6g(n) et x ∈ Vg(n)+1 non nul. Soit alors j le plus petit entier tel que
x ∈ Vj − Vj+1 ; pour i = g(n) + 1, . . . , j, choisissons un supplémentaire Fi de Vi+1
dans Vi , de sorte que en+1 ∈ Fj , on pose alors g(n + 1) = j.
5.2.1.C. — (157) En particulier, les deux conditions précédentes (5.2.1.A et B) sont
vérifiées quand la filtration de ω est stationnaire, i.e. quand il existe un entier n0 tel
que ωn = ωn0 pour n0 6 n < +∞. Dans ce cas, on obtient un isomorphisme de
r
k[[ω]]/((xp ))x∈ωr sur le produit tensoriel complété :
k[[ωn′ 0 ]]
k[[ω1 ]]
k[[ω2′ ]]
′
b
b k[[ω∞
b
b
⊗
⊗
]]
⊗
·
·
·
⊗
n
((xp ))x∈ω1 ((xp2 ))x∈ω2′
((xp 0 ))x∈ωn′ 0
′
où ωn′ (resp. ω∞
) est un supplémentaire de ωn−1 dans ωn (resp. de ω∞ = ωn0 dans
ω). La filtration de ω est évidemment stationnaire dans le cas (i), i.e. si ωr = ω pour
r assez grand, et dans le cas (ii), i.e. si ω est de dimension finie, et aussi dans le cas
(iii), i.e. si Ir = 0 pour tout r (et dans ce cas B sera isomorphe à l’algèbre de séries
(156) N.D.E.
: Ce paragraphe est le fruit de discussions avec J.-M. Fontaine et E. Bouscaren ; en
particulier Bouscaren nous a indiqué la démonstration qui suit.
(157) N.D.E. : On revient ici à l’original, qu’on a raccourci en tenant compte des ajouts précédents.
592
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
formelles k[[ω]]). Les remarques ci-dessus impliquent donc notre théorème, modulo les
points 5.2.2–5.2.5 ci-dessous.
558
5.2.2. — Supposons d’abord B de hauteur 6 1, c.-à-d., que xp = 0 si x ∈ I. D’après
5.1.4, le gradué GrI (B) associé à B pour la filtration I ⊃ I2 ⊃ I3 ⊃ · · · est muni
d’une structure de cogroupe dans la catégorie Alpg/k , i.e. l’algèbre profinie C =
Q
n>0 GrI (B)n est l’algèbre affine d’un k-groupe formel N. Il est clair qu’on a ωN/k =
I/I2 et que N est infinitésimal de hauteur 6 1. D’après 4.4, l’application identique
de ωN/k induit donc un isomorphisme de B′ = k[[ωN/k ]]/((xp ))x∈ωN/k sur C. Ceci
implique en particulier que l’application φ de 5.2.1 induit un isomorphisme des gradués
associés à B′ et B lorsqu’on filtre B′ et B par les puissances de l’idéal d’augmentation.
Donc φ est un isomorphisme, d’après [CA], § V.7, Lemme 1 (voir aussi 5.1.5).
5.2.3. — Supposons maintenant B de hauteur finie 6 r. Soit π l’isomorphisme x 7→ xp
b π k dans B qui envoie b ⊗
b π x sur bp x = (bx1/p )p
de k sur k. L’application linéaire de B ⊗
a une image fermée qui n’est autre que la sous-algèbre fermée Bp = {bp | b ∈ B} de
B. Posons J = Bp ∩ I = Bp ∩ IA .
(158)
Notons G1 le noyau du morphisme de Frobenius Fr : G → G(p) et HG1 le
sous-groupe formel de G image réciproque du sous-groupe formel H(p) de G(p) . Alors
HG1 est défini par l’idéal fermé engendré par les puissances p-ièmes d’éléments de
AI, qui égale AJ. D’autre part, comme la formation de G/H commute au changement
de base (puisque G/H représente le faisceau-quotient pour la topologie plate, cf. 2.4),
alors (G/H)(p) = G(p) /H(p) et l’on a donc des diagrammes commutatifs :
G
G/H
Fr
Fr
/ G(p)
/ G(p) /H(p)
AO o
b 17→ap
a⊗
b
p
bπ k
A⊗
O
b ⊗ 17→b
bπ k
Bo
B⊗
dont on déduit que Bp est l’algèbre affine du quotient G/HG1 . (159) Notons provisoirement C l’algèbre affine du quotient HG1 /H. Comme la formation de G/H commute
au changement de base, on a un carré cartésien :
HG1
/G
HG1 /H
/ G/H
b B (B/BJ), et comme A est topologib B C ≃ A/AJ = A ⊗
d’où un isomorphisme A ⊗
quement libre sur B (d’après 2.4, puisque A et B sont locales), il en résulte que le
(158) N.D.E.
: On a ajouté ce qui suit.
5. ESPACES HOMOGÈNES DE GROUPES FORMELS SUR UN CORPS
593
morphisme naturel B/BJ → C est un isomorphisme, donc B/BJ est l’algèbre affine
de HG1 /H (159) et bien sûr B/BJ = B1 est de hauteur 6 1 puisque J = ((xp ))x∈r(B) .
r
Soient B′ = k[[ω]]/((xp ))x∈ωr , φ : B′ → B le morphisme introduit en 5.2.1, B′p
la sous-algèbre {xp | x ∈ B′ }, et J′ l’idéal d’augmentation de B′p . Alors, on a un
diagramme commutatif :
φ
B′
B′1 = B′ /B′ J′
φ1
/B
/ B1 = B/BJ
et, d’après 5.2.2, φ1 est un isomorphisme.
D’autre part, d’après 2.4, A est topologiquement plat sur B = A (G/H) et sur
Bp = A (G/HG1 ) donc, d’après 1.3.3, B est topologiquement plat sur Bp . De plus,
d’après 5.2.4 ci-dessous, le morphisme B′p → Bp induit par φ est un isomorphisme.
On peut alors appliquer 0.3.4 à l’anneau pseudocompact B′p = Bp et aux Bp -modules
b Bp k est un
pseudocompacts M = B′ , N = B : d’après ce qui précède, φ1 = φ ⊗
isomorphisme, et il en résulte que φ est un isomorphisme. Ceci prouve 5.2 lorsque B
est de hauteur finie, modulo le point 5.2.4 ci-dessous.
559
5.2.4. — Pour tout espace vectoriel pseudocompact V sur k, nous notons π V l’espace
b π k déduit de V par l’extension x 7→ xp du corps des scalaires. (160) On a alors un
V⊗
diagramme commutatif à lignes exactes
/ π I2
0
0
α
u
v
/ J2
/J
γ
β
/ πI
/ πω
/0
w
δ
/ω
/0
,
J/J2
où l’on a posé ω =
et où les applications u, v, w sont induites par l’application
b a 7→ xp a de π B dans Bp . Comme u et v sont des surjections, w est une
linéaire x ⊗
surjection et a pour noyau l’image π ω1 de π I1 = Ker(v).
n
Alors, posant Jn = {x ∈ J | xp = 0} et ω n = δ(In ), on a Jn = v(π In+1 ) et
ω n = w(π ωn+1 ), pour tout n > 0. La section π σ : π ω → π I, qui est induite par la
section σ de 5.2.1, définit donc par passage au quotient une section τ : ω → J qui
est compatible avec les filtrations de J et ω. Comme Bp est de hauteur 6 r − 1, cette
section induit, par hypothèse de récurrence, un isomorphisme
ψ:
n
∼
B′′ = k[[ω]]/((xp ))x∈ωn −→ Bp .
Or B′′ s’identifie à B′p et ψ au morphisme B′p → Bp induit par φ, et donc notre
(159) N.D.E.
: Comme indiqué dans l’original, ceci se déduit aussi de la proposition 5.1, mais on a
préféré indiquer l’argument ci-dessus, qui n’utilise pas l’implication (i) ⇒ (ii) de loc. cit..
(160) N.D.E. : Comme k est parfait, on peut identifier V au groupe abélien V sur lequel k agit par
π
λ · v = λ1/p v.
560
594
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
théorème est démontré quand B est de hauteur finie.
Remarque 5.2.4.A. — (161) Supposons B de hauteur 6 r + 1 (avec r ∈ N∗ ), alors
Ir+1 = I et l’on a un isomorphisme
(1)
B≃
k[[S1 ]]
k[[Sr ]]
k[[Sr+1 ]]
bk · · · ⊗
bk
bk
⊗
⊗
p
r+1
pr
p
((x1 ))x1 ∈S1
((xr ))xr ∈Sr
((xr+1 ))xr+1 ∈Sr+1
où chaque Sn est un supplémentaire de I2 +In−1 dans I2 +In . Alors ω = I/I2 s’identifie
Qr+1
à i=1 Si , etQl’on voit facilement que, pour n = 1, . . . , r + 1, l’image ωn de In dans ω
n
s’identifie à i=1 Si .
r
Ceci a la conséquence suivante. Soit Br = B/Jr , où Jr = ((xp ))x∈r(B) , et soit
m = I/Jr l’idéal d’augmentation de Br ; comme Jr ⊂ I2 , alors ω(r) = m/m2 s’identifie
à ω. Pour n = 1, . . . , r, notons ω(r)n l’image dans ω(r) de mn ; c’est aussi l’image
n
dans ω de {x ∈ I | xp ∈ Jr }, donc ω(r)n contient ωn . D’autre part, il résulte de
r
l’isomorphisme (1) que l’on a Jr = ((xpr+1 ))xr+1 ∈Sr+1 , d’où
k[[Sr ]]
k[[S1 ]]
k[[Sr+1 ]]
bk · · · ⊗
bk
bk
⊗
⊗
pr
pr
((xp1 ))x1 ∈S1
((xr ))xr ∈Sr
((xr+1 ))xr+1 ∈Sr+1
Qn
et donc, d’après ce qui précède, ω(r)n s’identifie à i=1 Si pour n = 1, . . . , r − 1. On
obtient donc que l’inclusion ωn ⊂ ω(r)n est une égalité, pour n = 1, . . . , r − 1.
(2)
Br ≃
5.2.5. — Il reste à considérer le cas où B est de hauteur infinie, et où la projection
I → ω possède une section σ compatible avec les filtrations de ω et I. Considérons le
morphisme
n
φ : B′ = k[[ω]]/((xp ))x∈ωn −→ B
induit par σ ; il suffit de montrer que pour tout r ∈ N, l’application φr : B′r → Br
induite par φ est inversible. (162)
r
Pour tout r ∈ N∗ , notons Gr le noyau du morphisme de Frobenius itéré G → G(p )
r
et HGr le sous-groupe formel de G image réciproque du sous-groupe formel H(p )
r
de G(p ) , de sorte que HGr est défini par l’idéal fermé engendré par les puissances
r
pr -ièmes d’éléments de AI, qui égale AJr , où Jr = {xp | x ∈ I}. On obtient alors,
exactement comme en 5.2.3, que Br = B/BJr est l’algèbre affine de HGr /H (et est
bien sûr de hauteur 6 r).
Notons m(r) = I/BJr l’idéal d’augmentation de Br ; la projection canonique de
B sur Br induit évidemment un isomorphisme de ω = I/I2 sur ω(r) = m(r)/m(r)2 ,
qui nous permet d’identifier ces deux espaces. Soit ω(r)n l’image dans ω(r) de l’idéal
n
fermé m(r)n = {y ∈ m(r) | y p = 0} ; c’est aussi l’image dans ω de l’idéal fermé
(161) N.D.E.
: On a ajouté cette remarque, utilisée en 5.2.5.
: En effet, B′ (resp. B) est la limite projective des B′r (resp. Br ). D’autre part, on a
modifié l’original dans ce qui suit, en tenant compte de l’ajout fait dans 5.2.3.
(162) N.D.E.
5. ESPACES HOMOGÈNES DE GROUPES FORMELS SUR UN CORPS
595
n
I(r)n = {x ∈ I | xp ∈ BJr }. (163) Il est clair que ωn (r) = ω si n > r ; montrons que
ωn (r) = ωn si n < r. Pour tout r, n, la suite ci-dessous est exacte :
0 −→ I(r)n ∩ I2 −→ I(r)n −→ ω(r)n −→ 0.
T
T
De plus, pour n fixé, on a r I(r)n = In , puisque r BJr = 0. Comme dans PC(k)
les limites projectives filtrantes sont exactes (cf. 0.2), il en résulte que, pour tout n,
on a
T
(∗)
ωn = ω(r)n .
r
D’autre part, d’après la remarque 5.2.4.A, on a ω(r)n = ω(r + 1)n si n < r. Combiné
avec (∗), ceci entraı̂ne que ω(r)n = ωn si n < r.
Par conséquent, l’espace vectoriel ω filtré par les sous-espaces (ω(r)n )n>0 n’est autre que r ω (Notations 5.2). A fortiori, l’application σ(r) composée de σ : ω → I et
de la projection I → m(r) est compatible avec les filtrations (ω(r)n ) et (m(r)n ) de ω
n
et m(r). Comme k[[r ω]]/((xp ))x∈r ωn n’est autre que B′r et que φr : B′r → Br est le
morphisme induit par σ(r), le résultat déja établi pour les algèbres de hauteur finie
montre que φr est un isomorphisme.
5.2.6. Définition. — (164) Soit (Aλ )λ∈Λ une famille de k-algèbres profinies, chacune
munie d’une augmentation ελ : Aλ → k (c’est le cas, en particulier, si chaque Aλ
est locale de corps résiduel k). On définit alors le produit tensoriel complété infini
N
N
A = c λ∈Λ Aλ comme la limite projective dans Alp/k des AF = c λ∈F Aλ , pour
F parcourant les partie finies de Λ, les morphismes de transition AF′ → AF , pour
b ελ . En particulier, si Λ = N∗ et si l’on note Xn la k-variété
F′ = F ∪ {λ}, étant id ⊗
formelle Spf(An ), alors Spf(A ) représente leQfoncteur qui à tout C ∈ Alf /k associe
l’ensemble des suites « finies » d’éléments de n>1 Xn (C), i.e. des suites
Y
(x1 , x2 , . . .) ∈
Xn (C)
n>1
telles que xn = εn pour n assez grand, où εn désigne par abus de notation la composée
de εn : An → k et du morphisme structural k → C. (Si de plus chaque An est un
quotient d’une algèbre k[[ωn′ ]], on peut noter 0 l’unique morphisme An → C qui
s’annule sur ωn′ , et l’on obtient donc l’ensemble des suites telles que « xn = 0 » pour
n assez grand.)
5.3. Remarques. — (a) Appelons stationnaire toute k-algèbre profinie qui est le produit tensoriel complété d’une famille d’algèbres de séries formelles tronquées. (165)
(163) N.D.E.
: On a détaillé l’original dans ce qui suit.
: On a ajouté cet numéro, afin de définir les produits tensoriels infinis utilisés en 5.3 (a).
N
′
pn ))
(165) N.D.E. : L’auteur pensait sans doute à un produit tensoriel A = c
′ , où
x∈ωn
n∈N∗ k[[ωn ]]/((x
′
les ωn sont des k-espaces vectoriels pseudocompacts arbitraires. Dans ce cas, on voit sans difficultés
Qn
′
′ , et la filtration (ω )
que ω = ωA/k s’identifie au produit des ωn
n n∈N∗ est donnée par ωn =
i=1 ωi ,
i.e. on est dans le cas 5.2.1.B. Pour cette raison, il serait préférable de nommer ces algèbres stables
′ = 1 pour tout
(plutôt que « stationnaires » ), cf. [Di73], II § 2.9, p.75. Si par exemple dim ωn
n ∈ N∗ , alors A représente le foncteur qui à tout C ∈ Alf /k associe l’ensemble des suites (xn )n∈N∗
(164) N.D.E.
561
596
EXPOSÉ VII. ÉTUDE INFINITÉSIMALE DES SCHÉMAS EN GROUPES
Si G est un k-groupe formel infinitésimal et B l’algèbre affine d’un espace homogène
r
de G, il résulte du théorème 5.2 que l’algèbre B/((xp ))x∈r(B) est stationnaire pour tout
entier r ∈ N. Cela implique en particulier que B est une limite projective d’algèbres
stationnaires. (166)
(b) Je ne sais pas si, avec les notations de 5.2.1, on peut choisir A et B de telle
façon qu’il n’existe pas de section σ : ω → I compatible avec les filtrations. (167)
On remarquera cependant qu’on peut avoir pour ω n’importe quel espace vectoriel
pseudocompact filtré par une suite croissante de sous-espaces fermés. En effet, si
ω1 ⊂ ω2 ⊂ · · · ⊂ ω est un tel espace filtré, on peut définir dans l’algèbre B = A =
r
b k A vérifiant les conditions
k[[ω]]/((xp ))x∈ωr un morphisme diagonal ∆A : A → A ⊗
b 1+1⊗
b y lorsque y est l’image dans
(i), (ii), (iii) de 2.1 ; il suffit de poser ∆A (y) = y ⊗
A d’un élément de ω.
562
5.4. Corollaire. — Soient G un groupe algébrique sur un corps parfait k de caractéristique p > 0, H un sous-groupe algébrique de G, e l’image de l’élément neutre de G
b est isomorphe à une algèbre de
dans G/H et A l’algèbre locale de G/H en e. Alors A
la forme
n1
nr
k[[X1 , . . . , Xr , . . . Xs ]]/(Xp1 , . . . , Xpr ).
b = Spf(ObG,e ) et H
b =
En effet, considérons les groupes formels infinitésimaux G
b de A = OG/H,e est isomorphe à A (G/
b H),
b et
Spf(ObH,e ) ; d’après 1.3.4, le complété A
(168)
le corollaire découle donc du théorème 5.2 (ii).
5.5. Compléments. — (169) Rappelons les définitions suivantes. D’une part, on dit
b est quotient
qu’un anneau local noethérien A est intersection complète si le complété A
d’un anneau local noethérien complet régulier B par un idéal I engendré par une suite
régulière d’éléments de B (cf. EGA IV4 , 19.3.1). D’autre part, soit τ : Y ֒→ X une
immersion fermée de schémas. Si y ∈ Y, on dit que τ est une immersion régulière au
point y si le noyau de OX,y → OY,y est engendré par une suite régulière ; si de plus
X est localement noethérien et si τ est une immersion régulière en tout point, on dit
que τ est une immersion régulière (cf. loc. cit., Prop. 16.9.10 et Déf. 16.9.2).
n
d’éléments deQC tels que xpn = 0, et xn = 0 pour n assez grand. Notons enfin que ce cas (i.e. le
′
cas où ω =
n∈N∗ ωn ) correspond au cas étudié, dans la situation duale des algèbres de Hopf
cocommutatives connexes, par M. E. Sweedler, cf. [Sw67], Th. 3.
(166) N.D.E. : Mais une telle limite projective n’est pas nécessairement une k-algèbre profinie stable
(au sens de la N.D.E. précédente). Par exemple, soit S le k-espace vectoriel « ordinaire » des suites
(u1 , u2 , . . .) d’éléments de k et soit ω = S ∗ , alors ω est la somme directe dans PC(k) de copies kn de
k, pour n ∈ N∗ , i.e. on est dans le cas 5.2.1.A. Si l’on note xn l’élément de ω défini par xn (u) = un ,
n
pour toute suite u = (ui )i∈N∗ , alors la k-algèbre A = k[[ω]]/((xpn ))n∈N∗ est telle que ωA/k = ω et
Qn
ωn = i=1 kxi , mais n’est pas stable : Spf(A) représente le foncteur qui à tout C ∈ Alf /k associe
n
l’ensemble des suites « infinies » (xn )n∈N∗ d’éléments de C tels que xpn = 0 pour tout n ∈ N∗ .
(167) N.D.E. : Les éditeurs ne le savent pas non plus, en dehors des cas considérés en 5.2.1.A et B.
(168) N.D.E. : Voir aussi [DG70], § III.3, Th. 6.1.
(169) N.D.E. : On a ajouté cette sous-section, pour donner quelques conséquences de 5.4, mentionnées
dans les exposés III et VIA .
BIBLIOGRAPHIE
597
Corollaire 5.5.1. — Si G est un groupe algébrique sur un corps k, l’anneau local OG,e
est intersection complète.
En effet, d’après EGA IV4 , 19.3.4, on peut supposer k algébriquement clos. Si
car(k) = 0, on sait déjà que G est lisse (cf. 3.3.1 ou VIB , 1.6.1) et donc OG,e est
une k-algèbre de séries formelles, d’après EGA IV4 , 17.5.3 (d′′ ). Si car(k) = p > 0, il
résulte de 5.4, appliqué à H = {e}, que OG,e est intersection complète.
Remarques 5.5.2. — Soient k un corps, G un k-groupe algébrique lisse, et H un sousgroupe fermé de G.
a) On a vu dans l’Exp. III, 4.15, que l’immersion H ֒→ G est régulière ; ceci peut
aussi se déduire de 5.4, comme suit. Comme dans loc. cit., on peut supposer k algébriquement clos, et il suffit de montrer que le noyau I de OG,e → OH,e est engendré
b = Spf(A)
b et H
b = Spf(ObH,e ). Comme A
par une suite régulière. Posons A = OG,e , G
est noethérien, on a une suite exacte
0
/ I ⊗A A
b
/A
b
π
/ A (H) → 0
b est fidèlement plat sur A. Donc, d’après EGA IV4 , 16.9.10 (ii) et 19.1.5 (ii), il
et A
b de π est engendré par une suite régulière
suffit de montrer que le noyau bI = I ⊗A A
b
d’éléments de A.
b est réduit ; d’après 5.4, la sous-algèbre B = A (G/
b H)
b est
Or, comme G est lisse, A
donc isomorphe à une algèbre de séries formelles k[[x1 , . . . , xn ]], et donc la section
b H
b est définie dans B par la suite régulière (x1 , . . . , xn ). Comme A
b est
unité de G/
b engendré par x1 , . . . , xn est fermé donc égal à bI, d’après le
noethérien, l’idéal J de A
b est topologiquement plat, donc plat sur B (cf. 0.3.8),
corollaire 1.4. De plus, comme A
b d’après EGA IV4 , 19.1.5 (ii).
alors (x1 , . . . , xn ) est une suite régulière dans A,
b) On peut aussi déduire de 5.2 (ii) le résultat plus précis suivant. Supposons k
parfait. D’après 5.2 (ii) appliqué à l’algèbre C = A (H), il existe une base (y1 , . . . , yr+s )
de ωH et des entiers 1 6 n1 6 · · · 6 nr tels que A (H) soit isomorphe au quotient de
ni
k[[y1 , . . . , yr+s ]] par l’idéal engendré par les yip pour i = 1, . . . , r. Relevons les yi en
des éléments xi de ωG et complétons (x1 , . . . , xr+s ) en une base (x1 , . . . , xn ) de ωG .
Puisque A (G) est réduit, le morphisme k[[x1 , . . . , xn ]] → A (G) est un isomorphisme,
d’après 5.2 (iii). On obtient donc : il existe un « système de coordonnées » (x1 , . . . , xn )
de G (i.e. un isomorphisme A (G) ≃ k[[x1 , . . . , xn ]]) tel que H soit défini par les
ni
équations xpi
= 0 pour i = 1, . . . , r et xi = 0 pour i > r + s (« théorème de
Dieudonné », comparer avec [Di55], § 19, Th. 6 et [Di73], II § 3.2, Prop. 3 et ce qui la
précède).
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