exercices

Psi 945 2016/2017
Exercices
http://blog.psi945.fr
Espaces préhilbertiens
1
Espaces préhilbertiens
1.1
Produits scalaires, orthogonalité
Exercice 1 Un produit scalaire sur R[X]
Montrer que (P, Q) 7→
∞
P
n=0
P (n)Q(n)e−n constitue un produit scalaire sur R[X].
Exercice 2 Mines 2009
Pour P, Q ∈ E = R[X], on pose <P |Q>=
1
Z
0
P (t)Q(t)
√
dt.
1−t
1. Montrer qu'on a bien déni un produit scalaire sur E .
2. La base canonique de E est-elle orthonormée pour ce produit scalaire ?
3. On xe A ∈ Rn+1 [X] non constant et on dénit, pour P ∈ E , RA (P ) comme le reste dans la
division euclidienne de P par A.
(a) RA est-elle un projecteur ? Déterminer son image et son noyau.
(b) RA est-elle un projecteur orthogonal ?
Exercice 3 Petites mines 2016
On dénit, pour P, Q ∈ E = R2 [X] :
<P |Q>= P (−1)Q(−1) + P (0)Q(0) + P (1)Q(1)
1. Montrer qu'on dénit ainsi un produit scalaire.
2. Exhiber une base orthogonale (P0 , P1 , P2 ) de E .
Exercice 4 CCP 2015 [4/10]
On dénit, pour A, B ∈ Mn (R), <A|B>= tr(tAB).
1. Montrer que <·|·> est un produit scalaire.
2. Soient M ∈ Sn (R) et N ∈ An (R). Montrer : <M |N>= 0.
3. Soit A ∈ Mn (R). Calculer :
X
(ai,j − si,j )2
inf
S∈Sn (R)
16i,j6n
Exercice 5 ENSEA 2016
On dénit, pour f, g ∈ E = C 2 ([0, 1], R) : ϕ(f, g) =
Z
1
(f g + f 0 g 0 ).
0
1. Montrer qu'on dénit ainsi un produit scalaire.
2. Montrer que
H1 = {f ∈ E; f (0) = f (1) = 0} et H2 = {f ∈ E; f 00 = f }
constituent deux sous-espaces supplémentaires orthogonaux (pour ϕ).
Exercice 6 Décomposition OT ; aka QR
1. Soient E1 , E2 et E3 trois bases d'un même espace E . Exprimer Pas à l'aide de Pas et Pas .
E1 →E3
1
E1 →E2
E2 →E3
2. Soit P ∈ GLn (R). Montrer qu'il existe O ∈ On (R) et T triangulaire supérieure telles que P = OT .
3. Exemples : P =

8
1
1
−4
puis P =
2
9
1
3
−1

25 −22
−8 −7 .
11 −14
Exercice 7 TPE
(
t ln t si t 6= 0
Soit E = C([0, 1], R) et f (t) =
0
si t = 0
Z 1
2
(f (t) − (at + b)) dt lorsque a et b décrivent R.
Minimiser
0
Exercice 8 Peut-être une forme linéaire ?
Soit n ∈ N. Montrer qu'il existe un unique P ∈ Rn [X] tel que pour tout Q ∈ Rn [X],
Q(945) − 1515Q0 (42) =
2048
Z
P (t)Q(t) sin2 tdt.
2016
Exercice 9 Mines-télécom 2016
L'espace E = R3 est muni de sa structure euclidienne canonique.
1. Déterminer
 la matrice A dans la base canonique de la projection orthogonale sur le plan normal
1
−
à→
n = 1
1
2. La matrice A est-elle diagonalisable ? Déterminer ses éléments propres.
1.2
Quelques calculs
Exercice 10 Une orthonormalisation
Dans R3 euclidien, orthonormaliser la base F = (f1 , f2 , f3 ), avec f1 = (1, 1, 1), f2 = (1, −1, 1) et f3 =
(1, 0, 0).
Exercice 11 Une réexion dans R4
Déterminer la matrice dans la base canonique de R4 de la réexion par rapport à l'hyperplan H = Ker ϕ,
où ϕ(x1 , x2 , x3 , x4 ) = x1 + x3 .
Trace de la matrice obtenue ?
1.3
Polynômes orthogonaux
Exercice 12 Polynômes de Legendre ; Mines 2016
1. Déterminer une base orthonormée de R2 [X] pour :
Z
1
<P |Q>=
P (t)Q(t)dt.
−1
1
(n)
2. Montrer que les polynômes de Legendre (Pn =
(X 2 − 1)n
) constituent une base orthogon!
nale de R[X].
3. En dehors de toutes considérations d'orthogonalité, montrer que Pn possède n racines simples
dans ] − 1, 1[.
4. Déterminer kPn k2 .
Exercice 13 Polynômes de Tchebychev de première espèce
1. Déterminer une base orthonormée de R2 [X] pour :
Z
<P |Q>=
]−1,1[
2
P (t)Q(t)
√
dt.
1 − t2
2. Montrer que les polynômes de Tchebychev de première espèces (Tn (cos θ) = cos(nθ)) constituent
une base orthogonale de R[X].
3. Déterminer les racines de Tn .
Exercice 14 Polynômes de Tchebychev de seconde espèce
1. Déterminer une base orthonormée de R2 [X] pour :
Z
1
<P |Q>=
p
P (t)Q(t) 1 − t2 dt.
−1
2. Montrer que les polynômes de Tchebychev de seconde espèce (sin θ Un (cos θ) = sin ((n + 1)θ))
constituent une base orthogonale de R[X].
3. Déterminer les racines de Un .
Exercice 15 Racines des polynômes orthogonaux
Soit w une application continue par morceaux intégrable à valeurs strictement positives sur un intervalle
borné I .
1. Montrer qu'on dénit bien un produit scalaire sur E = R[X] en posant :
Z
∀P, Q ∈ E,
<P |Q>=
P (t)Q(t)ϕ(t)dt.
I
2. Montrer qu'il existe une unique base (Pn )n∈N de E , échelonnée en degrés, orthogonale, et constituée de polynômes unitaires.
3. Montrer que chaque Pn admet exactement n racines simples dans I .
1.4
Divers
Exercice 16 Navale 2016
Soient M ∈ Mn (R), et u l'endomorphisme de Rn canoniquement associé. On considère
  H l'hyperplan
a1
 .. 
d'équation a1 x1 + · · · + an xn = 0. Montrer que H est stable par u si et seulement si  .  est un vecteur
an
propre de tM .
Exercice 17 TPE 2016
Soient F et G les sous-espaces de l'espace euclidien E engendrés respectivement par (x1 , ..., xn ) et
(y1 , ..., yn ). On suppose :
∀(i, j) ∈ [[1, n]]2 ,
<xi |xj >=<yi |yj >
1. Montrer que (x1 , ..., xn ) est libre si et seulement si (y1 , ..., yn ) l'est.
2. Montrer que F et G ont même dimension.
Exercice 18 ENSAM 2016
Soit p un projecteur, l'espace ambiant E étant euclidien.
1. Diagonaliser p.
2. Montrer qu'il y a équivalence entre :
p est un projecteur orthogonal ;
p est auto-adjoint ;
pour tout x ∈ E , kp(x)k 6 kxk.
Exercice 19 CCP 2016
Soit (e1 , ..., en ) une base orthonormée d'un espace euclidien E . On suppose que f ∈ L(E) préserve
l'orthogonalité :
∀x, y ∈ E,
<x|y>= 0 =⇒ <f (x)|f (y)>= 0
3
1. Que dire de (f (e1 ), ..., f (en )) ?
2. On considérant <f (ei ) + f (ej )|f (ei ) − f (ej )>, montrer que les f (ei ) ont tous la même norme.
3. Trouver une décomposition de f en deux endomorphismes connus.
2
Isométries vectorielles, matrices orthogonales
Exercice 20 CCP 2009 (MP)
Soient n ∈ N∗ et M ∈ On (R). Montrer :
X
X
6n6
|mi,j | 6 n3/2 .
m
i,j
i,j
i,j
Exercice 21 ENSAM 2015 [4/10]
Soit f ∈ O(E), avec E un espace vectoriel de dimension nie (> 2). On dénit, pour n ∈ N∗ :
gn =
1.
2.
3.
4.
1
IdE + f + f 2 + · · · + f n−1
n
Montrer que Ker (f − IdE ) et Im (f − IdE ) sont supplémentaires.
Pour x ∈ Ker (f − IdE ), calculer gn (x).
Même chose pour x ∈ Im (f − IdE ).
Calculer g = lim gn .
n→∞
Exercice 22 TPE 2016
Soit T un endomorphisme orthogonal de l'espace euclidien E .
1. Montrer :
<u|T (v) − v>=<T −1 (u) − u|v>
∀u, v ∈ E,
2. Soit S = T − Id. Montrer : (Im (S))⊥ = Ker (S)
3. On dénit, pour n ∈ N∗ : Tn = n1 Id + T + T 2 + · · · + T n−1 . Montrer que pour tout x ∈ E , la
suite (Tn (x))n∈N∗ converge, vers un certain P (x) (au sens : la norme de la diérence tend vers 0).
4. Caractériser P .
Exercice 23 Vos papiers !
Donner la nature précise
de E dont les matrices dans une base orthonormée directe
des endomorphismes
sont respectivement
1
5
3
4
−4
3
et
1
5
3
4
4
.
−3
Exercice 24 Division vectorielle
Soient a, b ∈ E . Déterminer l'ensemble des vecteurs x ∈ E tels que a ∧ x = b.
On pourra commencer par une petite analyse éventuellement informelle donnant des conditions
nécessaires simples portant sur a et b.
Exercice 25 Une réexion
Donner la matrice dans la base canonique de R3 de la réexion par rapport à l'hyperplan (2e1 + e2 )⊥ .
Exercice 26 Une rotation
Donner la matrice dans la base canonique (e1 , e2 , e3 ) de R3 de la rotation d'axe dirigé et orienté par
π
π
e1 + e3 (resp. e1 − e3 ) et d'angle
(resp. ).
2
3
Exercice 27 CCP 2016
Caractériser complètement l'endomorphisme de R3 (euclidien) canoniquement associé à :

2 −2
1
2
1
M=
3
−1 −2
4

−1
2
2
Exercice 28 CCP 2016 (deux fois)
Caractériser complètement l'endomorphisme de R3 (euclidien) canoniquement associé à :

2
1
1
M=
3
2
2
−2
−1

1
2
−2
Exercice 29 Mines 2010 (MP)


a c b
Soient (a, b, c) ∈ R3 . Montrer que  b a c  appartient à SO3 (R) si et seulement s'il existe t ∈ [0, 4/27]
c b a
tel que a, b et c soient les racines de X 3 − X 2 + t.
Exercice 30 CCP 2015 [6/10]
Soit v un endomorphisme d'un espace euclidien E de dimension n.
n
P
1. Montrer que S =
<v(ei )|ei> ne dépend pas de la base orthonormée (e1 , ..., en ) choisie.
i=1
n
P
2. Montrer que T =
n
P
<v(ej )|fi >2 ne dépend pas des bases orthonormées E et F choisies.
i=1 j=1
Donner la valeur de T lorsque v est un projecteur orthogonal de rang r.
Exercice 31 Centrale 2016
Soit E un espace euclidien de dimension n. On considère deux familles de n vecteurs X = (x1 , ..., xn ) et
Y = (y1 , ..., yn ) telles que pour tout (i, j), <xi |xj >=<yy |yj >.
1. Pour n = 2, montrer que si X est libre, alors Y aussi.
2. Montrer qu'il existe un automorphisme orthogonal ψ tel que pour tout i ∈ [1, n]], ψ(xi ) = yi .
3. Montrer qu'il existe une unique famille (f
xk )16k6n telle que :
∀k ∈ [[1, n]],
3
<xk |f
xk>= 0 et Vect(x1 , ..., xk ) = Vect(f
x1 , ..., x
fk )
Endomorphismes et matrices symétriques
Exercice 32 Mines 2013
Soit E un espace euclidien. Pour v1 , ..., vp ∈ E , on dénit :
G(v1 , ..., vp ) = ((<vi |vj >))16i,j6p ∈ Mp (R)
(matrice de Gram).
1. Montrer que si (v1 , ..., vp ) est liée, alors det (G(v1 , ..., vp )) = 0.
2. Montrer la réciproque.
3. Montrer que si x ∈ E et F = Vect(v1 , ..., vp ), alors :
d(x, F )2 =
det (G(v1 , ..., vp , x))
det (G(v1 , ..., vp ))
Exercice 33 CCP 2016
Soit a un vecteur non nul d'un espace euclidien E . Pour α ∈ R, on dénit uα ∈ L(E) par :
∀x ∈ E,
uα (x) = x + α <x|a> a
Trouver les valeurs de α telles que uα est une isométrie.
Exercice 34 CCP 2016 [7/10]
Soit ∈ Mn (R) telle que tM M = M tM et M 2 = −In . Montrer que M ∈ On (R).
5
Exercice 35 Un endomorphisme symétrique
Sur E = C ([−1, 1], R) muni du produit scalaire <f |g>=
∞
Z
1
−1
f g , montrer que l'endomorphisme
ϕ : f 7→ x 7→ (1 − x2 )f 00 (x) − 2xf 0 (x)
est autoadjoint.
Exercice36 CCP 2008

−2
Soit A = −2
1
−2
1
−2
1
−2
−2
1. Justier que A est diagonalisable.
2. Expliciter P ∈ O3 (R) telle que tP AP soit diagonale.
Exercice 37 CCP 2016

−1
Orthodiagonaliser A =  1
1
1
−1
1

1
1 .
−1
Exercice 38 ENSEA 2009 (MP)
Trouver les M ∈ Sn (R) telles que M 3 − M 2 + M − In = 0.
Exercice 39 TPE 2012 (MP)

6
Peut-on trouver B non symétrique telle que B 2 = 5
5
5
6
5

5
5 ?
6
Exercice 40 CCP 2013
Soit f ∈ L(E), avec E un espace euclidien muni d'une base orthonormée (e1 , ..., en ).
1. Montrer :
n
tr(f ) =
X
<f (ek )|ek>
k=1
2. On suppose f auto-adjoint, avec Sp(f ) ⊂ R+ . Montrer :
∀x ∈ E,
<f (x)|x>> 0
3. Montrer que si u et v sont deux endomorphismes auto-adjoints à valeurs propres positives, alors :
0 6 tr(u ◦ v) 6 tr(u)tr(v)
Exercice 41 TPE 2014 (MP)
Soit M ∈ Mn (R). Déterminer l'ensemble des matrices symétriques S telles que
S 3 + 3S − 4In = M
Exercice 42 TPE 2013 (MP)
Dans Mn (R), on note An (R)et Sn (R) les sous-espaces des matrices antisymétriques (resp. symétriques).
1. Montrer que pour le produit scalaire usuel, An et Sn sont des supplémentaires orthogonaux.

1
2
2. Calculer la distance de 
 ..
.
n
...
...
...

1
2

..  à Sn .
.
n
6
Exercice 43 CCP 2010, 2015
Soit M ∈ Mn (R) vériant M tM M = In . Montrer que M est inversible et symétrique. Déterminer M .
Exercice 44 CCP 2016
Soit A ∈ Sn (R) tel qu'il existe p ∈ N∗ tel que Ap = In . Montrer : A2 = In .
Exercice 45 TPE 2016
Soit A ∈ Mn (R). Montrer qu'il y a équivalence entre :
A est symétrique réelle à valeurs propres dans R+ .
Il existe M ∈ Mn (R) telle que A = tM M .
Exercice 46 TPE 2015 [5/10]
On munit E = Mn, (R) de son produit scalaire usuel <M |N>= tr(t M N ). On suppose que A ∈ E vérie
Ap = tA, avec p > 2 xé. On pose B = Ap+1 .
1. Montrer que pour tout X ∈ E , <BX|X>= kAXk2 .
2. Montrer que B p = B . Que peut-on dire sur les valeurs propres de B ?
3. Montrer que B 2 = B .
4. Montrer que Ker (A) = Ker (B) et Im (A) = Im (B).
Exercice 47 Petites mines 2015
Déterminer les matrices carrées complexes 2 × 2 symétriques non diagonalisables.
Exercice 48 Mines 2015 [5/10]
Soient A ∈ Mn,p (R) et B ∈ Mp (R). On suppose le système AX = B incompatible, et on cherche à
minimiser kAX0 − Bk (norme euclidienne).
1. Est-ce que X0 existe ? Est-il unique ? Exprimer AX0 à l'aide d'une projection.
2. Exprimer Ker (t AA) en fonction de Ker (A). De même, que dire de rg(t AA) et rg(A) ?
3. Montrer que kAX0 − Bk est minimale si et seulement si t AAX0 = t AB .
Exercice 49 Minettes 2015 [4/10]
Soit A ∈ Sn (R) non nulle. Montrer que
tr2 (A)
6 rg(A).
tr(A2 )
Exercice 50 ENSAM 2016
Soit f une application linéaire de C dans lui-même, vu comme R-espace vectoriel.
1. Montrer qu'il existe a, b ∈ C tels que pour tout z ∈ C, f (z) = az + bz .
2. Calculer la trace et le déterminant de f à l'aide de a et b.
3. Donner une condition nécessaire et susante pour que f soit autoadjoint (C ' R2 étant muni de
sa structure euclidienne canonique).
4
Indications, solutions partielles
Exercice 1 : penser à prouver que cette série est bien convergente, tout de même !
Exercice 2 : RA ◦ RA = ?
Exercice 3 : attention, il n'est pas utile de normaliser les Pk ... mais quand on les calcule, il faut
normaliser les précédents ! Par exemple, P0 = 1 vérie kP0 k2 = 1 + 1 + 1 = 3...
Exercice 4 : Sn (R) et An (R) sont deux supplémentaires orthogonaux. Un dessin plus tard, on
voit que Pythagore pourrait être d'un certain intérêt. Et comme on connaît explicitement la
décomposition d'une matrice selon
deux supplémentaires préalablement cités...
R 1 les
0 0
Exercice 5 : intégrer par parties 0 f g (pour le caractère orthogonal de la somme). Pour montrer
qu'ils sont supplémentaires, la n de l'analyse me conduit à utiliser le cours sur les équations
diérentielles linéaires...
Exercice 6 : c'est du cours... et les exemples ont été construits (comment, à votre avis ?) pour que
les calculs soient raisonnables !
7
Z 1
1
1
·
· Allez, cadeau :
tk ln tdt = −
108
(k
+
1)2
0
Exercice 8 : dans ma boule de cristal, je vois une forme linéaire sur Rn [X]. Je vois également un
Exercice 7 : géométrisation standard ; on trouvera
produit scalaire.
Exercice 9 : par exemple (après un dessin) via p(x) = x −
<x|n>
2
knk
n. On vériera que cette matrice
évidemment symétrique possède la bonne trace...
Exercice 10 : à la n, merci de vérier que votre base est bien orthonormée...
Exercice 11 : après un dessin, s(x) = x − 2
<x|n>
2 n... et on vérie la trace.
knk
Exercice 12 : pour l'orthogonalité, intégrer n fois par parties dans <X k |Pn>, avec k < n. Ensuite,
rolliser pour obtenir de plus en plus de racines pour ((X − 1)n (X + 1)n )(k) en n'oubliant pas la
caractérisation de l'ordre de multiplicité des racines d'un polynôme. Pour la norme, rééchir à la
valeur de <Pn |X n> (d'une part, d'autre part...).
π pour k ∈ [[0, n − 1]].
Exercice 13 : changement de variable t = cos θ ; racines : les cos (2k + 1)
2n
kπ
Exercice 14 : changement de variable t = cos θ ; racines : les cos
pour k ∈ [[1, n]].
n+1
Exercice 15 : raisonner par l'absurde, noter x1 , . . . , xr les racines de Pn de multiplicité impaire
incluses dans I , puis considérer <Pn |Q>, où Q = (X − x1 ) . . . (X − xr ).
Exercice 16 : notons A le vecteur (colonne) en jeu. Sous l'hypothèse tM A = λA, il est aisé de voir
que tAX = 0 implique tA(M X) = 0 , soit encore : H est stable par u. Réciproquement, si H
est stable par u, alors tAHX est nul pour tout X de H , donc t X(tHA) également, donc tHA est
orthogonal à H , donc est dans H ⊥ = Vect(A) !
Exercice 17 : les deux implications sont symétriques. Pour la première par exemple, on
P raisonne
par la contraposée en supposant que y1 est combinaison linéaire de yP
αi yj est
2 , ..., yn : y1 −
nul donc orthogonal à chaque yi ; il en va alors de même pour x1 − αj xj . Pour la deuxième
question, extraire une base de F : elle fournit une famille libre des (xi ) donc des (yi ), prouvant
dim(F ) 6 dim(G) ; puis on retourne l'argument.
Exercice 18 : le premier point implique évidemment les deux autres. Le deuxième aussi, si on
commence par réduire p en base orthonormée. Enn, on montre de façon classique (mais non
évidente) que le troisième point implique le premier : pour x et y dans les deux sous-espaces
propres de p, on écrit kp(λx + y)k2 6 kλx + yk2 ; etc.
Exercice 19 : la famille à l'arrivée est bien entendu orthogonale, et avec l'indication on montre
que les images des vecteurs de la base initiale ont tous la même norme, disons α. Si α 6= 0 (sans
quoi...), alors f = (αId) ◦ g , avec g un automorphisme orthogonal.
Exercice 20 : Cauchy-Schwarz entre v = e1 + · · · + en et u(v) à gauche. À droite : sommer n
inégalités de Cauchy-Schwarz. Au milieu : (|a| + |b|)2 > a2 + b2 !
Au fait, quels sont les cas d'égalité ?
Exercice 21 : orthogonalité et dimensions. La suite (gn )n∈N converge (simplement) vers la projection orthogonale sur Ker (f − IdE ).
Exercice 22 : très proche de l'exercice précédent ! Pour la deuxième question, penser aux dimensions.
Exercice 23 : je verrais bien la rotation d'angle Arccos(3/5) et la réexion par rapport... à Ker (s −
Id) !
Exercice 24 : on peut travailler géométriquement (analyse : il faut déjà avoir a et b orthogonaux...).
On peut aussi travailler de façon analytique, en calculant dans une base orthonormée raisonnable...
après avoir évacué les cas où a et b ne sont pas orthogonaux.
Exercice 25 : voir l'exercice 11. On vériera que la trace vaut... ce qu'il faut.
Exercice 26 : au choix, r(x) = ... ou bien passer par une (autre) base orthonormée puis revenir à
la canonique. Vérier la trace à la n, ainsi que le caractère orthogonal.
Exercice 27 : c'est un endomorphisme orthogonal (trois produits scalaires, trois normes), de déterminant 1 (u(e1 ) ∧ u(e2 ) = +u(e3 )) donc une rotation d'axe Ker (u − IdE ). En regardant la trace
on obtient le cosinus de l'angle. En orientant l'axe par exemple par n dirigeant Ker (u − IdE ) et
en xant x ⊥ n, le signe du sinus sera celui de <u(x)|n ∧ x>.
Exercice 28 : idem !
8
Exercice 29 : classique (sans être facile)... Relations coecients/racines ; conditions d'orthogonalité
<fi |fj >= δi,j , déterminant, et brassage d'air algébrique. Équivalences déconseillées . Dans le
sens direct, on localise t en étudiant tout bêtement les variations du polynôme, qui doit posséder
trois racines réelles (comptées avec leur multiplicité).
Exercice 30 : S est la trace de v . Pour T , il s'agit de montrer que
n
P
kv(ej )k est indépendant de
2
j=1
E . Mais si V représente v dans E , alors
n
P
kv(ej )k = tr(t V V ), quantité qui ne doit pas changer
2
j=1
si on change V par V 0 = P −1 V P , avec P orthogonale.
Exercice 31 : voir l'exercice 17 pour le début. Ensuite, on extrait une famille libre maximale des
(xi ). La sous-famille correspondante des (yi ) sera également libre maximale. On complètes ces
deux familles en deux bases (pas complètement nimporte comment ; cf plus tard), on considère
l'endomorphisme envoyant la première sur la deuxième... et yapluka montrer que c'est un endomorphisme orthogonal d'une part, et qu'il envoie bien les xi sur les yi , y compris ceux qu'on avait
laissé sur le bord de la route ! Exercice n, je trouve sauf si je suis passé à côté de plus simple.
Au fait : j'ai laisé l'énoncé initial, mais un dessin vous aura convaincu qu'il n'y a pas unicité, dans
la dernière question...
Exercice 32 : (voir encore l'exercice 17) que se passe-t-il quand on réalise l'opération C1 ←
C1 −
p
P
αk Ck dans la matrice de Gram ?
k=2
Exercice 33 : et si on travaillait dans une base adaptée, pour changer ?
Exercice 34 : S = tM M est une symétrie (son carré vaut In ) ; c'est même une symétrie orthogonale.
Mais t XSX = · · · > 0,Zdonc Ker (S + I) est réduit à {0}.
Exercice 35 : intégrer
1
−1
(x2 − 1)f 00 (x)g(x)dx par parties en primitivant f 00 .
Exercice 36 : si on ouvre les yeux, on trouve que la matrice ressemble furieusement à une matrice
1
orthogonale rencontrée n fois (n > 5) : A est orthogonale et symétrique ; c'est la matrice d'une
3
symétrie orthogonale (et même d'une réexion, d'après la trace). Il reste à déterminer le noyau
de A − 3I3 (c'est une droite) et celui de A + 3I3 (un plan).
Exercice 37 : on a déjà rencontré A + 2I une ou deux fois : ses valeurs propres sont 0 (double)
et 3 ; celles de A sont donc −2 (double) et 1. Je commencerais par prendre un vecteur normé de
Ker (A − I) ; tout vecteur orthogonal sera dans Ker (A + 2I) ; en le normant puis avec un produit
vectoriel, c'est terminé. Ha oui au fait : un dessin avec un plan et une droite orthogonale pourrait
aider...
Exercice 38 : X 3 − X 2 + X − 1 = (X − 1)(X 2 + 1), donc les valeurs propres possibles pour cette
matrice symétrique réelle sont limitées...
Exercice 39 : notons A la matrice du membre de droite. La matrice de petit rang (A − I3 )/5 a
déjà été réduite n fois : ses valeurs propres sont 0 (double) et 3 ; A est donc semblable puis orthosemblable à Diag(16, 1, 1). Peut-on trouver unematricenon symétrique dont le carré vaut cette
matrice diagonale ? Je pense que oui : prendre
1
0
945
−1
pour commencer... La n est laissée au
lecteur.
n
P
Exercice 40 : écrire f (ek ) =
Mi,k ei avec M = Mat(f, E) où E est orthonormée ; puis cogner
i=1
contre ek . Pour le deuxième point, décomposer x dans une base orthonormée de diagonalisation.
Enn, travailler dans une base orthonormée de diagonalisation de u (par exemple). Les matrices
de u et v y sont respectivement diagonale et symétrique ; etc. Attention, la dernière inégalité est
plus niaise/bizarre que ne !
Exercice 41 : je serais bien tenté par une analyse-synthèse. Déjà, il est probablement nécessaire que
M soit symétrique ; et sous cette hypothèse, en supposant l'équation vériée et après géométrisation, on a deux endomorphismes qui commutent ; je serais alors tenté de regarder les restrictions
de l'un aux sous-espaces propres de l'autre : ne seraient-elles pas diagonalisables ? Etc.
Exercice 42 : le point de vue le plus éclairant consiste probablement à considérer l'application
Φ : M 7→ tM : c'est une involution linéaire, donc une symétrie... Cela fournit en particulier la
décomposition explicite de toute matrice selon ces deux sous-espaces, ce qui sera utile lors du
9
calcul de distance.
Exercice 43 : pour le caractère symétrique, écrire M = M −1 (t M )−1 . Ensuite, on a M 3 = 1 avec
M symétrique réelle, donc M est diagonalisable, avec 1 comme seule valeur propre...
Exercice 44 : après une orthodiagonalisation, ça doit tomber vite (les valeurs propres sont réelles
et racines de l'unité...)
Exercice 45 : pour le sens direct, et si X est un vecteur propre, tXAX nous donnera la positivité
des valeurs propres. Pour la réciproque, orthodiagonalise A, écrire la matrice diagonale comme le
carré d'une autre ; etc.
Exercice 46 : avec B = tAA, beaucoup de choses tombent facilement... Une fois qu'on sait que le
spectre (complexe) de B est constitué de complexes de modules 1... mais est inclus dans R (B est
symétrique réelle), ça limite fortement les possibilités.
Exercice 47 : si une telle matrice est non diagonalisable, alors elle possède une seule valeur propre,
donc le discriminant du polynôme caractéristique
est nul ; etc. Je trouve
nalement comme solu
α
i(α − β)/2
avec α 6= β .
i(α − β)/2
β
Exercice 48 : faire un dessin ! AX décrit un sous-espace de Rp auquel B n'appartient pas. La
norme de AX0 −B est minimale si et seulement si AX0 −B est orthogonal à Im (A) (Pythagore...).
Mais ceci s'exprime également sous la forme : pour tout X , <AX0 − B|AX>= 0, ou encore : <
t
A(AX0 −B)|X>= 0. Ceci étant vrai pour tout X , ça l'est en particulier pour X = t A(AX0 −B)...
Pour les histoires de noyaux, une inclusion est évidente, et il y a en fait égalité (si t AAX = 0,
alors en multipliant à gauche par t X ... et le théorème du rang permet de prouver (en utilisant
l'inclusion triviale des images) : rg(t AA) = rg(A)(= rg(t A)).
Au fait, vous savez toujours montrer qu'une matrice et sa transposée ont toujours le même rang ?
tions l'ensemble des matrices de la forme
Exercice 49 : les trois quantités sont des invariants de similitudes : elles ne dépendent que de
l'endomorphisme canoniquement associé... qu'on préférera
regarder dans une base orthonormée
de diagonalisation. Il s'agit alors de montrer :
r
P
i=1
2
αi
6 r
r
P
i=1
αi2 . Vous ne reniez pas du
Cauchy-Schwarz ?
Exercice 50 : je regarderais bien les matrices des applications élémentaires z 7→ z, iz, z, iz ...
10