Td 5 : Endomorphismes des espaces euclidiens

Université François Rabelais de Tours
Département de Mathématiques
Td 5 : Endomorphismes des espaces euclidiens
Algèbre
Semestre 4
Exercice 5
Soient (E, h., .i) un espace euclidien de dimension n, où n ∈ N∗ , et f un endomorphisme
normal de E, c’est-à-dire qui vérifie f ∗ ◦ f = f ◦ f ∗ .
1. Vérifier que les endomorphismes symeetriques, antisymétriques et orthogonaux de E sont normaux.
2. Montrer que f est normal si et seulement si pour tout x ∈ E, on ||f (x)|| = ||f ∗ (x)||.
3. En déduire que si x est un vecteur propre de f , alors x est un vecteur propre pour f ∗ .
Solution. 1. C’est clair puisque f commute avec lui même, avec −f et avec son inverse f −1 .
2. Supposons que f est normal. Soit x ∈ E. On a
||f (x)||2 = hf (x), f (x)i = hf ∗ ◦ f (x), xi = hf ◦ f ∗ (x), xi = hf ∗ (x), f ∗ (x)i = ||f ∗ (x)||2 .
Réciproquement, supposons que ||f (x)||2 = ||f ∗ (x)||2 pour tout x ∈ E. Soient (x, y) ∈ E 2 . On sait que
||f (x + y)||2 = ||f ∗ (x + y)||2 par hypothèse. De plus
||f (x + y)||2 = hf (x + y), f (x + y)i
= hf (x) + f (y), f (x) + f (y)i
= ||f (x)||2 + ||f (y)||2 + 2hf (x), f (y)i
= ||f (x)||2 + ||f (y)||2 + 2hf ∗ ◦ f (x), yi
et
||f ∗ (x + y)||2 = hf ∗ (x + y), f ∗ (x + y)i
= ||f ∗ (x)||2 + ||f ∗ (y)||2 + 2hf ∗ (x), f ∗ (y)i
= ||f ∗ (x)||2 + ||f ∗ (y)||2 + 2hf ◦ f ∗ (x), yi
|
{z
}
=|f (x)||2 +||f (y)||2
Ainsi, on a hf ∗ ◦ f (x), yi = hf ◦ f ∗ (x), yi pour tout couple (x, y) d’éléments de E. Ceci montre que
f ∗ ◦ f = f ◦ f ∗.
3. Soit x un vecteur propre de f associé à la valeur propre λ. On a (f − λ Id)(x) = 0E . On remarque
aussi que (f − λ Id)∗ = f ∗ − λ Id ce qui montre que l’endomorphisme (f − λ Id) est normal. Ainsi
0 = ||(f − λ Id)(x)|| = ||(f ∗ − λ Id)(x)|| et donc (f ∗ − λ Id)(x) = 0, c’est-à-dire f ∗ (x) = λx.
Exercice 6


6 3 a
1
−2 6 b  ∈ O3+ (R).
1. Déterminer les réels a, b, c, d tels que : A =
7
3 d c
2. Déterminer les matrices réelles orthogonales et triangulaires d’ordre 2, puis d’ordre 3.
Généraliser.
Solution. 1. La matrice A est orthogonale si et seulement ses colonnes forment une b.o.n de R3 .
On désigne par Ci la iième colonne de A. On doit donc avoir
C1 ⊥ C2 ⇐⇒ 18 − 12 + 3d = 0
⇐⇒
d = −2
C1 ⊥ C3 ⇐⇒
6a − 2b + 3c = 0
C2 ⊥ C3 ⇐⇒ 3a + 6b + dc = 0
⇐⇒ 3a + 6b − 2c = 0.
De plus, si A ∈ O3+ (R) alors
3 6
1 −2
det(A) =
7 3
det(A) = 1 :
2
3 a 3
1
1
6 b =
(−14a + 21b + 42c) =
(−2a + 3b + 6c) = 1.
7
7
d c
Finalement, on a


6a − 2b + 3c = 0
+
A ∈ O3 (R) =⇒ 3a + 6b − 2c = 0


−2a + 3b + 6c = 49


a = −2
=⇒ b = 3


c=6


6
3 −2
1
3  alors t A · A = I3 . Ainsi
Réciproquement, on vérifie facilement que si A =  −2 6
7
3 −2 6
A ∈ O3+ (R) si et seulement si a = 2, b = 3, c = 6, d = −2.


a b c
2. Soit A = 0 d e  ∈ M2 (R). On sait que A ∈ O3 (R) ssi ses colonnes forment une b.o.n de R3 .
0 0 f
De plus si A ∈ O3 (R) alors det(A) = ±1. On a donc
det(A) = ±1 ⇐⇒ a · d · f = ±1
=⇒
a, d, f 6= 0
C1 ⊥ C2
⇐⇒
⇐⇒
a·b=0
b=0
car a 6= 0
⇐⇒
⇐⇒
a·c=0
c=0
car a 6= 0
⇐⇒
⇐⇒
d·e=0
e=0
car d 6= 0
||C1 || = 1
⇐⇒
⇐⇒
a2 = 1
a = ±1
||C2 || = 1
⇐⇒
⇐⇒
d2 = 1
d = ±1
||C3 || = 1
⇐⇒
⇐⇒
f2 = 1
f = ±1
C1 ⊥ C3
C2 ⊥ C3
On a donc montrer que si A est orthogonale et triangulaire, alors A doit être une matrice diagonale
avec des 1 ou des −1 sur la diagonale. Réciproquement, toutes matrices diagonales avec ±1 sur la
diagonale est orthogonale.
On géneralise facilement au cas de la dimension n : les matrices triangulaires et orthogonales d’ordre
n sont les matrices diagonales avec ±1 sur la diagonale.
Exercice 7
Soit A une matrice de Mn (R) symétrique et orthogonale.
1. Caractériser géométriquement l’endomorphisme f de Rn canoniquement associé à A.
2. Dans les deux cas suivants, caractériser
fi de R3
 géométriquement
 l’endomorphisme

−8 4 1
−1 2
2
1
1
canoniquement associé à Ai : A1 =  4 7 4  et A2 =  2 −1 2 .
9
3
1 4 −8
2
2 −1
Solution. 1. Puisque A est symétrique, A est diagonalisable dans une b.o.n de Rn . Puisque A est
orthogonale, le spectre de f est inclu dans {1, −1}. Ainsi, il existe une b.o.n dans laquelle la matrice de
f est diagonale avec ±1 sur la diagonale. On voit donc que f est un symétrie orthogonale par rapport
au s.e.v E1 = {u ∈ Rn | f (u) = u}.
2. Un simple calcul montre que t A1 · A1 = I3 et comme A1 est symétrique, on en déduit que f1 est une
symétrie orthogonale
par rapport au s.e.v F = {X ∈ R3 | A1 .X = X}.
 
x

Soit X = y . On a
z


−8x + 4y + z = 9x
A1 .X = X ⇐⇒ 4x + 7y + 4z = 9y


x + 4y − 8z = 9z


−17x + 4y + z = 0
⇐⇒ 4x − 2y + 4z = 0


x + 4y − 17z = 0
(
4x − 2y + 4z = 0
⇐⇒
−9x + 9z = 0
(
2x − y + 2z = 0
⇐⇒
.
−x + z = 0
 
1
On trouve donc F = Vect(u) où u = 4. Finalement f1 est un retournement par rapport à F .
1
Un simple calcul montre que t A2 · A2 = I3 et comme A2 est symétrique, on en déduit que f2 est une
symétrie orthogonale
par rapport au s.e.v F = {X ∈ R3 | A1 .X = X}.
 
x

Soit X = y . On a
z


−x + 2y + 2z = 3x
A2 .X = X ⇐⇒ 2x − y + 2z = 3y


2x + 2y − z = 3z
(
x + y − 2z = 0
⇐⇒
.
−x + z = 0
 
1
On trouve donc F = Vect(u) où u = 1. Finalement f2 est un retournement par rapport à F .
1
Exercice 8
Soit f un endomorphisme symétrique de l’espace euclidient (E, h·, ·i).
1. Démontrer que si λ1 ≤ . . . ≤ λn désignent ses valeurs propres alors
λ1 ||x||2 ≤ hf (x), xi ≤ λn ||x||2 .
2. En deduire que si λ1 > 0, alors l’application b(x, y) = hf (x), yi définit un produit scalaire sur E.
Interprétez géormétriquement, quand n = 2, l’inégalité de la question 1.
Solution 1. Puisque f est symétrique, f est diagonalisable et les sous-espaces propres de f sont
orthogonaux deux à deux. Tout x ∈P
E s’écrit sous la forme x = x1 + . . . xn où xi ∈ Eλi et par le
2
théorème de pythagore, on a ||x|| = i ||xi ||2 . On a
X
hf (x), xi = hλ1 x1 + . . . λn xn , x1 + . . . xn i =
λi ||xi ||2 .
Puisque λi ≥ λ1 pour tout i on obtient
X
X
hf (x), xi =
λi ||xi ||2 ≥ la1
||xi ||2 = λ1 ||x||2 .
De même, puisque λi ≤ λn pour tout i on obtient
X
X
hf (x), xi =
λi ||xi ||2 ≤ λn
||xi ||2 = λn ||x||2 .
2. Il est clair que b est symétrique et bilinéaire. Reste à montrer que b est définie positive. Soit x ∈ E.
On a
b(x, x) = hf (x), xi ≥ λ1 ||x||
et puisque λ > 0, λ1 ||x|| = 0 si et seulement si x = 0.