Variables aléatoires discrètes

Marino Alexandre
Massena ECS 1
Feuille d’exercices 20
Variables aléatoires discrètes
Les exercices à regarder sont mentionnés par une *.
Loi de probabilité et fonction de répartition
(*)Exercice 1 : Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On tire des boules successivement avec remise
jusqu’à ce qu’on obtienne un numéro supérieur ou égal à celui de la boule précédente. Soit X la variable aléatoire
discrète valant le nombre de tirages effectués avant de s’arrêter. Préciser X(Ω) et ∀k ∈ X(Ω), P (X > k) puis la loi de
probabilité de X.
Exercice 2 : On dispose d’une urne contenant 6 boules blanches et 4 boules noires. On procède à un tirage sans
remise. On appelle Xi le rang de sortie de la ième boule blanche. Déterminer la loi et la fonction de répartition de Xi ?
(*)Exercice 3 : Soit X une VAR discrète dont la loi est donnée par
i
0
P (X = i) p
1
2
1
−p
2 3
q p
1. Quelles sont les valeurs possibles de p ?
2. Préciser la valeur de q en fonction de p.
3. Calculer E[X] et V [X].
4. Donner les lois de probabilité de Y = X(X−1)(X−2)(X−3) , Z =
X(1 − X)(2 − X)
(1 − X)(2 − X)(3 − X)
,T =
.
6
6
(*)Exercice 4 : Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes. La loi de probabilité de X est donnée par le tableau :
i
1
2
3
4
5
6
P (X = i) 0, 1 0, 2 0, 1 0, 3 0, 1 0, 2
On donne également Y (Ω) = {3, 4, 5, 6}, P (Y > 5) = 1/2 , P (Y < 5) = 1/3 et P (Y = 3) = P (Y = 4).
Calculer les lois de probabilité de Y , ainsi que les espérances et les variances de X et Y .
(*)Exercice 5 : On dispose d’une urne contenant n boules numérotées de 1 a n. Il y a autant de chance de tirer chacune
des boules. On prend une boule au hasard dans l’urne et on note X la VAR discrète représentant le numéro obtenu.
Si cette boule porte le numéro k, on garde dans l’urne les boules dont le numéro est compris entre 1 et k et on enlève
les autres. L’urne est alors prête pour le deuxième tirage.
On tire à nouveau une boule, et on note Y le numéro de obtenu. Si ce dernier est p, on garde dans l’urne les boules
dont le numéro est compris entre 1 et p et on enlève les autres. On tire une dernière boule, et on note Z son numéro.
Calculer les lois et les espérances de X , Y et Z.
Exercice 6 : Soit X une VAR discrète avec X(Ω) = N et pour tout n ∈ N , P (X = n) = α
8k
.
k!
1. Déterminer α pour que cela définisse bien une loi de probabilité.
2. Calculer P (|X − 8| ≤ 2) , P (X ≥ 12) , PX≥8 (X ≥ 12).
(*)Exercice 7 : Pour quelle(s) valeur(s) de α l’expression suivante définit-elle une loi de probabilité : X(Ω) = N et
∀k ∈ X(Ω) ,
k3 + 1
α
1. P (X = k) = α
3. P (X = k) =
k!
(k + 1)(k + 2)
−2 k
3k
e
2
2. P (X = k) = α
(1 + αk ).
4. P (X = k) =
k
4 k!
Dans chacun des cas calculer E[X] et V [X].
(*)Exercice 8 : Soit X une VAR discrète avec X(Ω) = N et pour tout n ∈ N , P (X = n) = pn . On suppose que la
suite (pn ) vérifie la relation de récurrence linéaire : ∀n ∈ N , 3 pn+2 = 4pn+1 − pn .
1. Montrer que cela permet de définir la loi de probabilité de X que l’on précisera.
2. Donner l’espérance et la variance de X.
3. Soit Y la VAR discrète définie par Y = X − 1 si X ≥ 1 et Y = 0 sinon. Calculer E[Y ] et V (Y ).
1
Exercice 9 : Soit X une VAR discrète avec X(Ω) = N et pour tout n ∈ N , P (X = n) = 0 si le reste de la division
de n par 4 est 2 ou 3 et P (X = n) = λ 2−n sinon. Calculer λ , FX , E[X] et V (X).
Exercice 10 : Soient (Ω, A, P ) un espace probabilisé et X une VAR discrète à valeurs dans N∗ .
1. Montrer que pour tout n ∈ N∗ ,
n
X
n−1
X
P (X = k) =
k=1
!
P (X > k)
− nP (X > n)
k=0
2. Si X admet une espérance, montrer que
convergente et que
lim
n→+∞
+∞
X
nP (X > n) = 0. En déduire que la série de t.g P (X > n) est
P (X > n) = E[X]
n=0
3. Réciproquement, si la série
P
P (X > n) converge, montrer que X admet une espérance et que
E[X] =
+∞
X
P (X > n)
n=0
(*)Exercice 11 : Soit X une VAR discrète avec X(Ω) = N. On suppose que X admet une espérance. Montrer que
E[X] =
+∞
X
P (X ≥ k)
k=1
Exercice 12 : Soit (un )n≥0 une suite vérifiant la relation de récurrence un+2 = 4un+1 + 4un pour tout n ∈ N, u0 = 0
λn
.
et u1 = 1. Soit X une VAR discrète telle que X(Ω) = {un | n ∈ N} et ∀n ∈ N , P (X = un ) = α
n!
Calculer α et E[X].
(*)Exercice 13 : On jette 5 dés simultanément. Après le premier lancer, on reprend les dés qui n’affichent pas 6 et on
les relance tous ensemble. On recommence ainsi en laissant à chaque lancer les dés qui affichent 6 et en relançant les
autres, jusqu’à ce qu’on n’ait que des 6. Soit X le nombre de lancers nécessaires pour y parvenir (et X = 0 si même
après une infinité de lancers on n’y est pas arrivé).
Calculer la loi de probabilité de X. Combien de lancers faut il faire en moyenne pour n’avoir que des 6 ?
Loi, espérance et variance
Exercice 14 : On lance deux dés non pipés et on note D1 et D2 la valeur obtenue sur les dés 1 et 2. On note ensuite
X = D1 − D2 .
On dispose également de 3 urnes : l’urne 1 contient 3 boules noires et 3 boules blanches, l’urne 2 contient 3 boules
blanches, l’urne 3 contient 4 boules blanches et 1 boule noire.
Si X > 0 (resp. X = 0 , X < 0) on tire simultanément 3 boules de l’urne 1 (resp. l’urne 2, l’urne 3). On note B le
nombre de boules blanches obtenues.
Quelle est la loi de B ? Son espérance ? Sa variance ?
(*)Exercice 15 : Une urne contient 2 boules blanches et 4 boules noires. On tire les boules une à une sans remise
jusqu’à ce qu’il ne reste plus dans l’urne que des boules d’une seule couleur. Soit X le nombre de tirages nécessaires.
Quelle est la loi de X ? Son espérance ? Sa variance ?
Exercice 16 : On lance un dé non pipé. Soit X la variable aléatoire discrète qui prend comme valeur le nombre de
jets à effectuer pour obtenir une fois un nombre un nombre inférieur ou égal à 2 ou quatre fois de suite un nombre
supérieur ou égal à 3. Quelle est la loi de X ? Son espérance ? Sa variance ?
Exercice 17 : Une urne contient n boules : 2 rouges et n − 2 noires. On effectue des tirages sans remise et on appelle
X la VAR discrète donnant le rang de la première boule rouge obtenue. Quelle est la loi de X ? Son espérance ? Sa
variance ?
(*)Exercice 18 : L’urne 1 contient deux boules portant le numéro 0, et l’urne 2 contient deux boules portant le numéro
1. On prend au hasard et simultanément une boule dans chaque urne et on les repose respectivement dans l’autre
2
urne. On effectue n fois cette opération et on note Xn la VAR discrète égale à la somme des numéros des boules de
l’urne 1 après le nième échange. Quelle est la loi de probabilité de X0 , X1 , X2 , Xn ? Quelle est l’espérance de Xn ?
Exercice 19 : On lance deux dés non pipés et on note P le produit des deux nombres obtenus. Quelle est la loi de
P ? Son espérance ? Sa variance ?
Exercice 20 : Une urne U1 contient 7 boules rouges et 4 boules bleues. Une urne U2 contient 4 boules rouges et 6
boules bleues.
On commence par lancer une pièce de monnaie non pipée, si on obtient pile, les tirages auront tous lieu dans U1 et si
on obtient face ils auront lieu dans U2 .
On fait alors trois tirages successifs avec remise de la manière suivante :
Si lors du premier tirage, la boule tirée est rouge on rajoute deux boules bleues et si elle est bleue on rajoute deux
boules rouges. On ne rajoute plus de boule lors des tirages suivants.
Quel est en moyenne le nombre total de boules bleues tirées au cours des trois tirages ?
Exercice 21 : La roulette du casino comprend 36 cases numérotées de 1 à 36, dont 18 sont rouges et 18 sont noires,
ainsi que la case numérotée 0 qui est verte. Un joueur qui mise sur la couleur rouge ou noire gagne deux fois sa mise
si sa couleur est tirée au sort. Si ce joueur mise sur un numéro compris entre 1 et 36 et que ce numéro sort, il gagne
36 fois sa mise. Toute mise sur la case 0 est interdite. La mise est automatiquement perdue.
1. Le joueur mise au hasard a euros sur une couleur. Soit C son gain. Quelle est la loi de C ? Son espérance ? Sa
variance ?
2. Le joueur mise au hasard a euros sur un nombre compris entre 1 et 36. Soit N son gain. Quelle est la loi de N ?
Son espérance ? Sa variance ?
3. Si vous aviez a euros à miser, le feriez-vous sur une couleur ou sur un nombre ? Expliquez votre choix.
(*)Exercice 22 : Une urne contient 6 boules bleues, 5 boules blanches et 5 boules rouges.
1. On tire 4 boules successivement et sans remise et on désigne par X le nombre de boules rouges obtenues.
Quelle est la loi de X ? Son espérance ? Sa variance ?
2. Reprendre la question 1. dans le cas où les tirages ont lieu avec remise, en notant Y le nombre de boules rouges.
3. Comparer E[X] et E[Y ]. Conclusion ? Comparer σ(X) et σ(Y ). Commentaire ?
(*)Exercice 23 : On dispose d’une pièce de monnaie qui donne pile avec une probabilité p = 0, 3. On effectue 10 lancers
successifs et on note X le nombre total de pile obtenus au cours des 10 lancers.
1. Quelle est la loi de X ? Son espérance ? Sa variance ?
2. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins 4 pile ? au plus 4 pile ?
3. Sachant qu’on a obtenu au plus 5 pile, quelle est la probabilité d’en avoir obtenu exactement 3 ? Au moins 3 ?
Au plus 4 ?
Exercice 24 : On lance deux dés non pipés, et on note X le plus grand et Y le plus petit des deux nombres obtenus.
Donner les lois de X et Y , puis leurs espérances. Commenter. Quelles sont les variances ?
(*)Exercice 25 : On tire au hasard simultanément 5 cartes dans un jeu de 32 cartes. Soit X la VAR discrète égale au
nombre de rois obtenus.
1. Quelle est la loi, l’espérance et la variance de X ?
2. On procède à la même expérience, mais en prenant les cartes une à une avec remise. Soit Y le nombre de rois
obtenus. Quelle est la loi, l’espérance et la variance de Y ?
Exercice 26 : Un lot de n pièces contient une pièce défecueuse. Un robot les teste une à une jusqu’à detecter la
pièce défectueuse. Il fait le dernier test même si les n − 1 premières pièces sont en bon état.
1. On note X le nombre de test effectués. Loi de X ? E[X] ? V [X] ?
2. Si les tests sont réalisés par un robot qui ne fait pas le dernier test lorsque les n − 1 premières pièces sont en bon
état, comment les résultats précédents sont ils modifiés ?
Suppléments
Exercice 27 : Un fermier possède un troupeau de N vaches parmi lesquelles chacune a 15% de (mal)chance d’attraper
la maladie de la Vache Folle. Pour dépister cette maladie on leur fait une prise de sang et on analyse ce sang. On peut
procéder de deux manières différentes :
3
1. analyser chaque prise de sang séparément.
2. analyser un mélange des N prises de sang, et si le test se révèle positif, analyser ensuite chaque prise séparément.
On recherche la méthode la plus économique. Soit XN le nombre d’analyses réalisées par la méthode 2 et YN =
XN
N
.
1. Quelle est la loi de YN ? Son espérance ?
2. On pose f (x) = x·ln 0, 85+ln x. Montrer que f admet un maximum strictement positif. Quelle est la plus grande
valeur entière de x pour laquelle f (x) > 0 ?
Montrer que f (n) > 0 ⇔ E(YN ) < 1. Conclusion ?
3. Proposer une méthode plus économique que celles décrites ci dessus et qui conviendrait pour un troupeau de 100
vaches (essayez d’optimiser votre démarche).
Exercice 28 :
1. On considère les nombres de n chiffres écrits en binaire et dans lesquels il n’y a jamais deux 1 consécutifs. On
appelle un le nombre de telles suites se terminant par un 0 et vn le nombre de celles qui se terminent par un 1.
Pour n ≥ n, donner une relation de récurrence entre les termes d’indice n + 1 et ceux d’indice n.
En déduire un et vn en fonction de n.
2. On joue à pile ou face avec une pièce bien équilibrée jusqu’à ce qu’on obtienne deux face de suite.
On note X le nombre de lancers juste nécessaires, et pn = P (X = n).
Calculer pn et sa limite lorsque n tend vers +∞. Commentaire ?
Exercice 29 : Une urne contient n boules blanches et n boules noires. On tire ces boules une à une sans remise
jusqu’à ce que l’urne soit vide.
1. Soit X la VAR discrète égale au rang de sortie de la première boule blanche. Quelle est la loi de X ?
q
P
m+q+1
Calculer E(2n + 1 − X) puis E[X]. (Rappel : on pourra démontrer que
(m+k
m ) = ( m+1 ).)
k=0
2. Soit Y la VAR discrète égale au rang de la deuxième boule blanche dans le tirage. Quelle est la loi de Y ?
n
X
(j + 1)(2n−2−j
).
En déduire la valeur de
m−2
j=0
Exercice 30 : On effectue des tirages successifs dans une urne contenant initialement a ≥ 1 boules blanches et b ≥ 1
boules noires de la façon suivante : à chaque tirage, on remet la boule tirée ainsi que c boules de la même couleur.
1. (a) Calculer la probabilité pn d’obtenir pour la première fois une boule blanche au ne tirage.
(b) On considère les événements Cm : “ Les m premiers tirages amènent m boules noires " et Nj : “ on obtient
une boule noire au j e tirage ".
Exprimer Cm en fonction des Nj . Donner l’expression de ln P (Cm ) sous forme d’une somme, et montrer
que cette somme tend vers +∞ quand m → +∞. Conclusion ?
Soit C l’événement : “ Il n’apparaît que des boules noires ". Exprimer C en fonction des Cm et calculer
P (C).
(c) Que vaut
+∞
X
pn ? Interprétation ?
n=1
∗
2. Notons, ∀i ∈ N , Bi l’événement : “ on obtient une boule blanche au ie tirage " et Xi la VAR discrète valant 1
si Bi est réalisé et 0 sinon. On note enfin, ∀n ∈ N∗ , Sn = X1 + X2 + · · · + Xn .
(a) Que représente Sn ?
(b) Montrer que X1 suit une loi de Bernoulli de paramètre p =
a
a+b
(ce que l’on note X1 ,→ B(p)).
(c) Montrer que X2 ,→ B(p) et X3 ,→ B(p).
(d) On suppose que pour un certain n ≥ 1, on a : X1 ,→ B(p) , X2 ,→ B(p) , . . . , Xn ,→ B(p).
Le but est de calculer P (Bn+1 ), c’est à dire P (Xn+1 = 1), pour montrer par récurrence que ∀n ≥ 1 , Xn ,→
B(p), et que donc le choix de c n’influence rien...
i. Calculer E(Sn ).
ii. Evaluer P (Bn ) en utilisant le système complet d’événements (Sn = k)0≤k≤n .
iii. Aboutir à P (Bn ) =
1
a+b+nc [a
+ cE(Sn )] et en déduire le résultat cherché.
Exercice 31 : N urnes contiennent chacune n jetons numérotés de 1 à n. On tire au hasard et de façon indépendante
un jeton dans chaque urne et on appelle X le plus grand des numéros obtenus.
1. Quelle est la fonction de répartition FX de X. Tracer son graphique si N = 3 et n = 6.
2. Donner la loi de X.
3. Calculer E[X]. Quelle est la limite de
n tend vers +∞.
E[X]
lorsque n tend vers +∞ ? En déduire un équivalent de E[X] lorsque
n
4. Quelle est la limite de E[X] lorsque N tend vers +∞ ? Conclure.
5