Corrections

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1èreS
Exercice 17
1°) cos 3x = cos (2x + x) = cos 2x
cos
= 2 cos
3
x - cos x
-
= 2 cos
3
x - cos x
-
2°) Soit f est définie sur IR par f(x)
f est dérivable sur IR et on a
f'(x)
f'(x) est du signe du trinôme 4x
2
On a
x →
-∞
lim f(x) =
x →
-∞
lim 4x
3
=
-
On peut alors donner le tableau de variations de
f - 1
2 = 4
- 1
2
3
- 3 - 1
2 = -
1
2
f
1
2 = 4
1
2
3
- 3
1
2 = 1 2 - 3 2 = -
En remarquant que 1
2
appartient à chacun des intervalles
variations de f
permet d'affirmer que l'équation
En utilisant une calculatrice pour faire des tableaux de valeurs de
des solutions .
Un premier tableau avec un pas de
0,1 permet de montrer qu'une des
solutions est comprise entre
-0,8 et -0,7
De la même façon on peut obtenir des valeurs approchées des autres solutions.
Les solutions de l'équation f(x)
=
-0,766 ; -0,173
3°)
D'après la première question pour tout réel
En utilisant cette égalité pour x
=
4 cos
3
π
9 - 3 cos π 9 = cos 3
x π
9
cos π
9
est donc une solution de l'équation
Comme on sait que π
9 ∈
0 ; π
2
1èreS
−
Trigonométrie
−
Repérage polaire
−
Corrections
cos
x - sin 2x sin x = (2 cos
2
x - 1) cos x - 2
sin
-
2 sin
2
x cos x = 2 cos
3
x - cos x - 2 (1 -
cos
-
2 cos x + 2 cos
3
x donc cos 3x = 4 cos
3
x
= 4x
3
- 3x
f'(x)
= 12x
2
- 3 = 3(4x
2
- 1) = 3(2x - 1)(2x + 1)
2
- 1 qui s'annule pour x = 1
2 et x = - 1 2 .
-
∞ et
x →
+∞
lim f(x) =
x →
+∞
lim 4x
3
= +∞
On peut alors donner le tableau de variations de
f :
1
2
+ 3
2 = 1
1
appartient à chacun des intervalles
]-∞ ; 1[ , ]-1 ; 1[ ,
]
permet d'affirmer que l'équation
f(x) = 1
2 a dans IR
trois solutions.
En utilisant une calculatrice pour faire des tableaux de valeurs de
f
, on obtient des valeurs appro
Un premier tableau avec un pas de
0,1 permet de montrer qu'une des
Un deuxième tableau avec un pas de
0,01 permet de montrer que cette
solution est comprise entre
-0,77 et -0,76
Un
dernier tableau avec un pas de
0,001 permet de montrer que cette
solution est comprise entre
-
0,767 et
De la même façon on peut obtenir des valeurs approchées des autres solutions.
=
1
2 ont pour valeurs approchées à 10
-3
près
; 0,939
D'après la première question pour tout réel
x on a : 4 cos
3
x - 3 cos x = cos 3x
=
π
9 , on obtient :
c'est-à-dire f cos π
9 = cos π 3 donc f
cos
est donc une solution de l'équation
f(x) = 1
2 .
, on a cos π
9 ³ 0 donc cos π 9 ≈ 0,939
x -∞
- 1
2
f'(x) +
0 -
1
f
-∞
1
2
1
2
sin
x cos x sin x
cos
2
x) cos x
x
- 3 cos x
]
-1 ; +∞[, le tableau de
trois solutions.
, on obtient des valeurs appro
chées
dernier tableau avec un pas de
0,001 permet de montrer que cette
solution est comprise entre
0,767 et
-0,766
cos
π
9 = 1 2
1
2 +∞
0 +
+∞
-1
1
2