Exercice 17 1°) cos 3x = cos (2x + x) = cos 2x cos x - sin 2x sin x = (2 cos2 x - 1) cos x - 2 sin x cos x sin x = 2 cos3 x - cos x - 2 sin2 x cos x = 2 cos3 x - cos x - 2 (1 - cos2 x) cos x = 2 cos3 x - cos x - 2 cos x + 2 cos3 x donc cos 3x = 4 cos3 x - 3 cos x 2°) Soit f est définie sur IR par f(x) = 4x3 - 3x f est dérivable sur IR et on a f'(x) = 12x2 - 3 = 3(4x2 - 1) = 3(2x - 1)(2x + 1) f'(x) est du signe du trinôme 4x2 - 1 qui s'annule pour x = 1 et x = - 1 . 2 2 On a lim f(x) = lim 4x3 = -∞ - x→-∞ x→-∞ et lim f(x) = lim 4x3 = +∞ x→+∞ x→+∞ On peut alors donner le tableau de variations de f : 3 f- 1 = 4- 1 - 3- 1 = - 1 + 3 = 1 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 3 f = 4 - 3 = - = - 1 2 2 2 2 2 x -1 2 0 1 -∞ f'(x) + 1 2 f - 1 2 0 +∞ + +∞ 1 2 -∞ -1 1 2 En remarquant que 1 appartient à chacun des intervalles ]-∞ ; 1[ , ]-1 ; 1[ , ]-1 ] ; +∞[, le tableau de 2 variations de f permet d'affirmer que l'équation f(x) = 1 a dans IR trois solutions. 2 En utilisant une calculatrice pour faire des tableaux de valeurs de f,, on obtient des valeurs approchées appro des solutions . Un premier tableau avec un pas de 0,1 permet de montrer qu'une des solutions est comprise entre -0,8 et -0,7 Un deuxième tableau avec un pas de 0,01 permet de montrer que cette solution est comprise entre -0,77 et -0,76 Un dernier tableau avec un pas de 0,001 permet de montrer que cette solution est comprise entre -0,767 0,767 et -0,766 De la même façon on peut obtenir des valeurs approchées des autres solutions. Les solutions de l'équation f(x) = 1 ont pour valeurs approchées à 10-3 près 2 -0,766 ; -0,173 ; 0,939 3°) D'après la première question pour tout réel x on a : 4 cos3 x - 3 cos x = cos 3x En utilisant cette égalité pour x = π , on obtient : 9 4 cos3 π - 3 cos π = cos 3 x π c'est-à-dire fcos π = cos π donc fcos π = 1 9 9 9 9 3 9 2 π 1 cos est donc une solution de l'équation f(x) = . 9 2 π π π Comme on sait que ∈ 0 ; , on a cos ³ 0 donc cos π ≈ 0,939 9 2 9 9 http://xmaths.free.fr 1èreS − Trigonométrie − Repérage polaire − Corrections