1s probabilites combinaisons exercices

1S
PROBABILITES ET COMBINAISONS
EXERCICES
1
C
On considère un jeu de 32 cartes. On tire simultanément 8 huit certes du jeu. Quelle est la probabilité des évènements
suivants :
A = « obtenir exactement un valet » ; B = « obtenir exactement trois cœurs » ;
C = « obtenir exactement un valet et trois cœurs » ; D = « obtenir au moins un as » ;
E = obtenir deux valets, trois dames, un roi et deux as »
2
C
On tire au hasard et simultanément 5 cartes parmi un jeu de 52.
Calculer la probabilité d’obtenir un full au roi par les valets (trois rois et deux valets).
3
C
On tire au hasard et simultanément 5 cartes parmi un jeu de 52. Calculer la probabilité d’obtenir :
a) un carré de dames
b) un carré de dames et un valet
c) une quinte au roi
d) une couleur
e) au moins un as.
4
C
Un touriste revient de vacances avec 15 films : 2 tournés en Italie, 5 en Allemagne, 8 en Grèce, mais aucune indication ne
permet de distinguer les films. Il décide de n’en faire développer que 11.
Quelle est la probabilité pour que, parmi les 11 films développés, il y ait :
a) tous les films de Grèce ?
b) aucun film d’Italie ?
c) autant de films d’Allemagne que de Grèce ?
d) deux fois plus de films d’Allemagne que d’Italie ?
5
C
Un jeu consiste à extraire au hasard et simultanément 3 boules d’une urne contenant 5 boules rouges et 5 boules vertes. Si le
joueur obtient 3 boules rouges, évènement que l’on note R3, il gagne 75 €. S’il obtient 2 boules rouges et 1 boule verte,
évènement que l’on note R2, il gagne 45 €. Enfin, s’il obtient moins de 2 boules rouges, évènement que l’on note E, il ne
gagne rien.
1)
2)
3)
-
6
C
Déterminer les probabilités des évènements R2 et R3.
On note X la variable aléatoire donnant le gain du joueur. Donner la loi de probabilité de X et calculer son
espérance mathématique.
Dans cette question, on modifie les règles du jeu de la façon suivante :
si le joueur réalise les évènements R2 ou R3, il ne gagne plus d’argent immédiatement mais est qualifié pour la suite
du jeu que l’on appelle le « Banco »
si l’évènement E est réalisé le joueur ne gagne rien et n’est pas qualifié pour le Banco
Le « Banco » consiste à extraire une boule parmi les 7 restées dans l’urne. Si celle-ci est verte, le joueur empoche
les 150 € du Banco et si elle est rouge, le joueur a perdu mais repart avec une prime de consolation de 30 €.
a) Quelle est la probabilité d’empocher les 150 € du Banco sachant que R3 est réalisé ?
b) Quelle est la probabilité d’empocher les 150 € du Banco sachant que R2 est réalisé ?
c) En déduire la probabilité d’empocher les 150 € du Banco.
d) On note Y la variable aléatoire donnant le gain du joueur dans ce nouveau jeu. Etablir la loi de
probabilité de Y. Calculer l’espérance mathématique de Y et comparer avec celle de X
Dans un sac, on a mis 5 jetons verts numérotés de 1 à 5 et 4 jetons rouges numérotés de 1 à 4. On prend simultanément 3
jetons dans le sac. On fait l’hypothèse que tous les tirages possibles ont la même probabilité.
1) Calculer la probabilité d’obtenir :
a) trois jetons verts ;
b) trois jetons rouges ;
c) trois jetons de la même couleur.
2) Calculer la probabilité des évènements suivants :
A = « on a sorti le jeton vert n°1 »
B = « on a sorti le jeton rouge n°1 »
C = « on a sorti le jeton vert n°1 et le jeton rouge n°1 »
D = « on a sorti un et un seul jeton portant le n°1 »
3) Calculer la probabilité pour qu’on ait deux numéros identiques. En déduire la probabilité pour qu’on ait trois numéros
différents.
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PROBABILITES ET COMBINAISONS
EXERCICES
Antilles D 1992
Au cours d’une fête foraine, chaque heure, une loterie est organisée. Sur cent billets mis en vente, quinze sont gagnants.
Pierre a le choix entre deux méthodes de jeux :
a) Méthode 1 ; Pour un tirage donné, pierre prend simultanément 5 billets. On suppose l’équiprobabilité des choix.
Quelle est la probabilité pour que Pierre ait au moins un billet gagnant ? on donnera une valeur approchée au
millième.
b) Méthode 2 : Pierre participe à 5 tirages consécutifs pour lesquels il prend chaque fois un billet. On suppose les
tirages indépendants et l’équiprobabilité des tirages. Quelle est la probabilité pour que Pierre ait au moins un billet
gagnant ?
c) Entre les deux méthodes, laquelle est la plus avantageuse ?
8
C
Montpellier C 1976
Jean possède, dans le tiroir de son armoire, 5 paires de chaussettes noires, 3 paires de chaussettes vertes et 2 paires de
chaussettes rouges, mais ces chaussettes sont mélangées dans le plus grand désordre et indiscernables au toucher.
Lorsque Jean est en train de s’habiller survient une panne de lumière. Jean, qui est pressé et qui n’a pas de lampe de poche,
prend au hasard deux chaussettes dans le tiroir.
a) Calculer la probabilité, à 0,01 près, pour que Jean ait tiré deux chaussettes noires.
b) Calculer la probabilité, à 0,01 près, pour que Jean ait tiré deux chaussettes de même couleur.
c) En supposant que le nombre de chaussettes vertes et le nombre de chaussettes rouges restent inchangés, calculer
quel devrait être le nombre n de chaussettes noires contenues dans le tiroir pour que la probabilité d’avoir deux
chaussettes noires soit égale à 2/7.
9
C
Nouvelle Calédonie 2002
Un jeu consiste à tirer simultanément trois boules d'une urne contenant six boules blanches et quatre boules rouges.
On suppose que tous les tirages sont équiprobables. Si les trois boules tirées sont rouges, le joueur gagne 100 € ; si
exactement deux boules tirées sont rouges, il gagne 15 € et si une seule est rouge il gagne 4 €. Dans tous les autre cas, il ne
gagne rien. Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeurs le gain en euros du joueur lors d'un jeu.
1) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
2) Pour un jeu, la mise est de 10 €. Le jeu est−il favorable au joueur, c'est-à-dire l'espérance mathématiques est−elle
strictement supérieure à 10 ?
3) Pour l'organisateur, le jeu ne s'avérant pas suffisamment rentable, celui−ci envisage deux solutions:
_ soit augmenter la mise de 1 €, donc passer à 11 €,
_ soit diminuer chaque gain de 1 €, c'est-à-dire ne gagner que 99 €, 14 e ou 3€.
Quelle est la solution la plus rentable pour l'organisateur ?
10
Dakar C 1975
Au poker, on utilise un jeu de 32 cartes (7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as dans chacune des couleurs suivantes : pique, cœur,
carreau, trèfle) et l’on donne 5 cartes à chaque joueur.
Quelle est la probabilité pour qu’un joueur (déterminé) ait une échelle royale (cinq cartes de la même couleur qui se suivent
dans l’ordre précédemment mentionné) ?
11
C
France 2005
Un enfant joue avec 20 billes : 13 rouges et 7 vertes. Il met 10 rouges et 3 vertes dans une boîte cubique et 3 rouges et 4
vertes dans une boîte cylindrique.
1) Dans un premier jeu, il choisit simultanément trois billes au hasard dans la boîte cubique et il regarde combien de billes
rouges il a choisies. On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre de billes rouges choisies.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b) Calculer l'espérance mathématique de X.
2) Un deuxième jeu est organisé de telle sorte que l'enfant choisisse d'abord au hasard une
des deux boîtes, puis qu'il prenne alors une bille, toujours au hasard, dans la boîte choisie.
On considère les événements suivants :
C1 : « L'enfant choisit la boîte cubique », C2 : « L'enfant choisit la boîte cylindrique »,
R : « L'enfant prend une bille rouge », V : « L'enfant prend une bille verte ».
a) par un arbre pondéré la situation correspondant à ce deuxième jeu.
b) Calculer la probabilité de l'événement R.
c) Sachant que l'enfant a choisi une bille rouge, quelle est la probabilité qu'elle provienne de la boîte cubique ?
3) L'enfant reproduit n fois de suite son deuxième jeu, en remettant à chaque fois la bille tirée à sa place.
a) Exprimer, en fonction de n, la probabilité pn que l'enfant ait pris au moins une bille rouge au cours de ses n choix.
b) Calculer la plus petite valeur de n pour laquelle pn ≥ 0,99.
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C
PROBABILITES ET COMBINAISONS
EXERCICES
Pondichéry 2002
PARTIE A : Une urne contient n boules blanches (n dans N et n ≥ 2), 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire
simultanément et au hasard deux boules de l’urne.
1. Quelle est la probabilité de tirer deux boules blanches ?
2. On note p(n) la probabilité de tirer deux boules de même couleur.
n² − n + 26
a. Montrer que p(n) =
.
(n + 8)(n + 7)
b. Calculer la limite quand n tend vers + ∞ de p(n). Interpréter ce résultat.
PARTIE B : Pour les questions suivantes n = 4.
1. Calculer p(4).
2. Un tirage consiste à tirer simultanément et au hasard deux boules de l’urne.
Un joueur effectue deux tirages indépendants, en remettant dans l’urne avant le second tirage les deux boules tirées la
première fois. Il mise au départ la somme de 30 euros. Pour chaque tirage :
- si les deux boules sont de même couleur, il reçoit alors 40 euros,
- si elles sont de couleurs différentes, il reçoit alors 5 euros.
On appelle gain du joueur la différence, à l’issue des deux tirages, entre la somme reçue par le joueur et sa mise initiale (ce
gain peut être positif ou négatif). On désigne par X la variable aléatoire égale au gain du joueur.
a. Quelles sont les valeurs prises par X ?
b. Déterminer la loi de probabilité de X.
c. Calculer l’espérance de X.
13
Liban 2003
Une urne contient 4 boules noires et deux boules blanches. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On répète n fois
l’épreuve qui consiste à tirer une boule puis la remettre dans l’urne ; on suppose que toutes les boules ont la même
probabilité d’être tirées et que les tirages sont indépendants. On note pn la probabilité de tirer exactement une boule
blanche lors des n – 1 premiers tirages et une boule blanche lors du nième tirage.
1)
Calculer les probabilité p2, p3 et p4.
2)
On considère les évènements suivants : Bn : « on tire une boule blanche lors du nième tirage » et Un : « on tire une
boule blanche et une seule lors des n – 1 premiers tirages »
a) Calculer la probabilité de l’évènement Bn.
b) Exprimer la probabilité de l’évènement Un en fonction de n.
n
c)
3)
n −1  2 
  .
4 3
On pose Sn = p2 + p3 + …… + pn.
a)
b)
14
En déduire l’expression de pn en fonction de n et vérifier l’égalité : pn =
n  2
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a : Sn= 1 −  + 1  ×  
2  3
Déterminer la limite de la suite (Sn).
n
Une secrétaire effectue 3 appels téléphoniques vers 3 correspondants distincts.
1
Pour chaque appel, la probabilité d’obtenir le correspondant demandé est .
5
1) Pour k appartenant à [0 ; 3], on définit l’évènement Ak : « la secrétaire a contacté k correspondants lors de ces 3
appels ». Calculer la probabilité des évènements A0, A1, A2 et A3. On donnera les résultats sous la forme de
fractions irréductibles.
2) Après ces trois recherches, la secrétaire appelle une deuxième fois chacun des correspondants qu’elle n’a pas
obtenus la première fois. Par exemple, si elle a obtenu 1 correspondant lors de la première série d’appels, elle
rappelle les 2 autres correspondants. Pour k appartenant à [0 ; 3], on définit l’évènement Bk : « la secrétaire a
obtenu k correspondants lors des deux séries d’appels ».
Par exemple, si la secrétaire a obtenu 1 correspondant lors de la première série d’appels ( donc elle recontacte lors de la
seconde série d’appels les 2 correspondants non contactés la première fois) et qu’elle réussit à contacter 1 seul
correspondant lors de la seconde série d’appel, alors elle a contacté 1 + 1 = 2 correspondants lors des deux séries d’appels,
ce qui implique que l’événement B2 se réalise.
a) Calculer les 16 probabilités conditionnelles suivantes :
p(B0 / A0), p(B0 /A1), p(B0 / A2) et p(B0 / A3)
p(B1 / A0), p(B1 / A1), p(B1 / A2) et p(B1 / A3)
p(B2 / A0), p(B2 / A1), p(B2 / A2) et p(B2 / A3)
p(B3 / A0), p(B3 / A1), p(B3 / A2) et p(B3 / A3)
b) Calculer la probabilité des évènements B0, B1, B2 et B3.
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C
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C
PROBABILITES ET COMBINAISONS
EXERCICES
Un sac contient 36 boules indiscernables au toucher avec équiprobabilité de tirages : 2 blanches, 2 rouges, les autres étant
vertes.
1) On tire simultanément et au hasard, trois boules du sac. Calculer la probabilité des évènements suivants :
A : on obtient une boule de chaque couleur.
B : il n’y a pas de verte parmi les trois boules tirées.
C : il n’y a qu’une seule verte parmi les trois boules tirées.
2) On tire maintenant trois fois de suite une boule dans le sac avec remise à chaque fois. Soit X la variable aléatoire
égale au nombre de boules rouges obtenues après ces trois tirages. Donner la loi de probabilité de X.
3) On suppose maintenant que le sac contient encore 36 boules, dont n blanches et n rouges et les autres vertes ( n
quelconque avec 1 ≤ n ≤ 17 ) et on tire simultanément trois boules sans remise du sac.
Calculer P(A) en fonction de n ; déterminer n pour que cette probabilité soit maximum.
Calculer P(B) ; à partir de quelle valeur de n a-t-on : P(B) > 0,6 ?
Calculer P(C) ; trouver n pour que P(C) > 0,5.
Une grande enveloppe contient les douze figures d’un jeu de carte.
1)
2)
3)
On tire simultanément et au hasard 5 cartes de l’enveloppe. Soit X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe
le nombre de rois obtenus. Déterminer la loi de probabilité de X.
Dans la même enveloppe, on effectue successivement 5 fois le tirage au hasard d’une carte que l’on remet à
chaque fois dans l’enveloppe.
Soit Y la variable aléatoire dont la valeur est égale au nombre de rois obtenus au cours des 5 tirages. Déterminer la
loi de probabilité de Y.
Calculer les espérances mathématiques de X et Y.
CORRIGE :
1
2
 4  28 
  
1 7
A = « obtenir exactement un valet » p(A) =   
 32 
 
8 
 8  24 
  
3 5
B = « obtenir exactement trois cœurs » p(B) =   
 32 
 
8 
C = « obtenir exactement un valet et trois cœurs »
On obtient soit un valet de cœur, 2 cœurs et 5 cartes quelconques ; soit 1 valet pris parmi le valet de trèfle, de carreau ou de
 7  23   3  3  21 
1x   +    
2 5
1 7 4
pique, trois cœurs pris parmi les 7 cartes de cœurs (sans le valet de cœurs) p(C) =       
32
 
 
8 
 28 
 
8
D = « obtenir au moins un as » p(D) = 1 −  
 32 
 
8 
 4  4  4  4 
    
2 3 1 2
E = obtenir deux valets, trois dames, un roi et deux as » p(E) =     
 32 
 
8 
 4  4 
4 x3
  
4x
1
 3  2  =
2
=
52
x
51
x
50
x
49
x
48
108290
 52 
 
5x 4x3x2x1
5
 
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PROBABILITES ET COMBINAISONS
EXERCICES
a)
 4  48 
  
4 1
1
un carré de dames    =
54145
 52 
 
5 
b)
 4  4 
  
4 1
1
un carré de dames et un valet    =
649740
 52 
 
5 
c)
4
5 
1
1
une quinte au roi   =
 52  129948
 
5 
d)
 13 
5 
1
1
une couleur   =
 52  39984
 
5 
e)
 48 
 
5
554161
au moins un as. 1 −   =
 52  162435
 
5 
3
4
 8  7 
  
8 3
a) tous les films de Grèce ?   
 15 
 
 11 
 13 
 
11
b) aucun film d’Italie ?  
 15 
 
 11 
 8  5  2 
   
5 5 1
c) autant de films d’Allemagne que de Grèce ?    
 15 
 
 11 
5
 2  5  8   2  5  8 
    +    
1 2 8
2 4 5
d) deux fois plus de films d’Allemagne que d’Italie ?        
 15 
 
 11 
Un jeu consiste à extraire au hasard et simultanément 3 boules d’une urne contenant 5 boules rouges et 5 boules vertes. Si le
joueur obtient 3 boules rouges, évènement que l’on note R3, il gagne 75 €. S’il obtient 2 boules rouges et 1 boule verte,
évènement que l’on note R2, il gagne 45 €. Enfin, s’il obtient moins de 2 boules rouges, évènement que l’on note E, il ne gagne
rien.
1) Déterminer les probabilités des évènements R2 et R3.
 5  5 
 5
  
 
2
1
3
5
1
p(R2 ) =    =
; p(R3 ) =   =
12
 10 
 10  12
 
 
3 
3 
2) On note X la variable aléatoire donnant le gain du joueur. Donner la loi de probabilité de X et calculer son espérance
mathématique.
75
45
0
xi
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PROBABILITES ET COMBINAISONS
EXERCICES
P(X=xi)
1
12
5
12
1
2
E(X)=25.
3) Dans cette question, on modifie les règles du jeu de la façon suivante :
- si le joueur réalise les évènements R2 ou R3, il ne gagne plus d’argent immédiatement mais est qualifié pour la suite du jeu
que l’on appelle le « Banco »
- si l’évènement E est réalisé le joueur ne gagne rien et n’est pas qualifié pour le Banco
Le « Banco » consiste à extraire une boule parmi les 7 restées dans l’urne. Si celle-ci est verte, le joueur empoche les 150 € du
Banco et si elle est rouge, le joueur a perdu mais repart avec une prime de consolation de 30 €.
e)
Quelle est la probabilité d’empocher les 150 € du Banco sachant que R3 est réalisé ?
5
pR 3 (V) =
7
f) Quelle est la probabilité d’empocher les 150 € du Banco sachant que R2 est réalisé ?
4
pR2 (V) =
7
g) En déduire la probabilité d’empocher les 150 € du Banco.
5 4 5 1 25
p(V) = p(R2 ∩ V) + p(R3 ∩ V) = x + x =
12 7 7 12 84
h) On note Y la variable aléatoire donnant le gain du joueur dans ce nouveau jeu. Etablir la loi de probabilité de Y.
Calculer l’espérance mathématique de Y et comparer avec celle de X
yi
150
30
0
P(Y=yi)
25
16
1
84
84
2
E(Y) = 50.36.
6
Dans un sac, on a mis 5 jetons verts numérotés de 1 à 5 et 4 jetons rouges numérotés de 1 à 4. On prend simultanément 3
jetons dans le sac. On fait l’hypothèse que tous les tirages possibles ont la même probabilité.
1) Calculer la probabilité d’obtenir :
 5
 
3
a) trois jetons verts ;  
9
 
3
4
 
3
b) trois jetons rouges ;  
9
 
3
 5  4 
  +  
3
3
c) trois jetons de la même couleur.    
9
 
3
2) Calculer la probabilité des évènements suivants :
8
1 
2
A = « on a sorti le jeton vert n°1 »  
9
 
3
8
1 
2
B = « on a sorti le jeton rouge n°1 »  
9
 
3
 7
1x1x 
1 
C = « on a sorti le jeton vert n°1 et le jeton rouge n°1 »
9
 
3
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PROBABILITES ET COMBINAISONS
EXERCICES
7
7
1x  + 1x 
2
2
D = « on a sorti un et un seul jeton portant le n°1 »  
9
 
 
3
7
4x  
2
3) Calculer la probabilité pour qu’on ait deux numéros identiques.
9
 
 
3
7
4x 
2
En déduire la probabilité pour qu’on ait trois numéros différents. 1 −  
9
 
3
8
Montpellier C 1976
Jean possède, dans le tiroir de son armoire, 5 paires de chaussettes noires, 3 paires de chaussettes vertes et 2 paires de
chaussettes rouges, mais ces chaussettes sont mélangées dans le plus grand désordre et indiscernables au toucher. Lorsque
Jean est en train de s’habiller survient une panne de lumière. Jean, qui est pressé et qui n’a pas de lampe de poche, prend au
hasard deux chaussettes dans le tiroir.
a)
Calculer la probabilité, à 0,01 près, pour que Jean ait tiré deux chaussettes noires.
 10 
10!
 
2
8
! 2!
9
p=   =
=
≈ 0.34
20
!
20
38
 
 
18!2!
2 
b) Calculer la probabilité, à 0,01 près, pour que Jean ait tiré deux chaussettes de même couleur.
 10   6   4 
  +   +  
2
2
2
33
p=       =
95
 20 
 
2
 
c) En supposant que le nombre de chaussettes vertes et le nombre de chaussettes rouges restent inchangés, calculer
quel devrait être le nombre n de chaussettes noires contenues dans le tiroir pour que la probabilité d’avoir deux
chaussettes noires soit égale à 2/7.
n
 
2
2
2
p = ⇔   = ⇔ n² − 9n − 36 = 0 ⇔ n = 12
7
 10 + n  7


2

9
Nouvelle Calédonie 2002
Un jeu consiste à tirer simultanément trois boules d'une urne contenant six boules blanches et quatre boules rouges.
On suppose que tous les tirages sont équiprobables.
Si les trois boules tirées sont rouges, le joueur gagne 100 € ; si exactement deux boules tirées sont rouges, il gagne 15 € et si
une seule est rouge il gagne 4 €. Dans tous les autre cas, il ne gagne rien.
Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeurs le gain en euros du joueur lors d'un jeu.
1) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
 10 
Il y a   = 120 choix possibles.
3 
Xi
0
4
15
100
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PROBABILITES ET COMBINAISONS
EXERCICES
P(X=xi)
 6
 
3 
  1
=
120 6
 4  6 
  
1  2 
   1
=
120
2
 4  6 
  
 2  1 
3
  
=
120
10
 4
 
3 
1
 
=
120 30
2) Pour un jeu, la mise est de 10 €. Le jeu est−il favorable au joueur, c'est-à-dire l'espérance mathématiques est−elle
strictement supérieure à 10 ?
1
1
3
1 59
E(X) = 0x + 4x + 15x + 100x
=
≈ 9.833 < 10 ; le jeu n est pas favorable au joueur.
6
2
10
30 6
3) Pour l'organisateur, le jeu ne s'avérant pas suffisamment rentable, celui−ci envisage deux solutions:
_ soit augmenter la mise de 1 €, donc passer à 11 €,
_ soit diminuer chaque gain de 1 €, c'est-à-dire ne gagner que 99 €, 14 e ou 3€.
Quelle est la solution la plus rentable pour l'organisateur ?
11
France 2005
Un enfant joue avec 20 billes : 13 rouges et 7 vertes. Il met 10 rouges et 3 vertes dans une boîte cubique et 3 rouges et 4
vertes dans une boîte cylindrique.
1) Dans un premier jeu, il choisit simultanément trois billes au hasard dans la boîte cubique et il regarde combien de billes
rouges il a choisies. On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre de billes rouges choisies.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
 13 
Il y a   = 286 choix possibles.
3 
Xi
P(X=xi)
0
1
2
 10  3 
 10  3 
 10  3 
  
  
  
0
3
1
2
1
30
   =
   =
 2  1  = 135
286
286
286
286
286
286
b) Calculer l'espérance mathématique de X.
1
30
135
120 660
E(X) = 0x
+ 1x
+ 2x
+ 3x
=
≈ 2.307
286
286
286
286 286
2) Un deuxième jeu est organisé de telle sorte que l'enfant choisisse d'abord au hasard une
des deux boîtes, puis qu'il prenne alors une bille, toujours au hasard, dans la boîte choisie.
On considère les événements suivants :
C1 : « L'enfant choisit la boîte cubique »,
C2 : « L'enfant choisit la boîte cylindrique »,
R : « L'enfant prend une bille rouge »,
V : « L'enfant prend une bille verte ».
a. par un arbre pondéré la situation correspondant à ce deuxième jeu.
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3
 10  3 
  
 3  0 
286
=
120
286
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PROBABILITES ET COMBINAISONS
EXERCICES
10
13
R
C1
1/2
V
3
13
3
7
R
4
7
V
1/2
C2
109
182
c) Sachant que l'enfant a choisi une bille rouge, quelle est la probabilité qu'elle provienne de la boîte cubique ?
70
PR (C1 ) =
109
3) L'enfant reproduit n fois de suite son deuxième jeu, en remettant à chaque fois la bille tirée à sa place.
a) Exprimer, en fonction de n, la probabilité pn que l'enfant ait pris au moins une bille rouge au cours de ses n choix.
Loi Binomiale de paramètre n (inconnu) et p = probabilité de tirer une rouge
b) Calculer la probabilité de l'événement R. : P(R) =
0
n
n
 n  109   73 
 73 
P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 −  
 
 =1−

0
182
182




 182 
 
b) Calculer la plus petite valeur de n pour laquelle pn ≥ 0,99.
ln 0.01
pn ≥ 0.99 ⇔ n ≥
≅ 5.04 ; il faut donc n supérieur ou égal à 6.
73
ln
182
12
Pondichéry 2002
PARTIE A
Une urne contient n boules blanches (n dans N et n ≥ 2), 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire simultanément et au
hasard deux boules de l’urne.
1. Quelle est la probabilité de tirer deux boules blanches ?
 n + 8  (n + 8)(n + 7)
 =
Il y a 
choix possibles.
2
2 
n 
 
n(n − 1)
2
;
P("2 blanches") =
=
(n + 8)(n + 7) (n + 8)(n + 7)
2
2. On note p(n) la probabilité de tirer deux boules de même couleur.
n² − n + 26
a. Montrer que p(n) =
.
(n + 8)(n + 7)
 5
 3
 
 
2
20
6


2
; P("2 vertes" ) =
P("2 rouges") =
=
=
(n + 8)(n + 7) (n + 8)(n + 7)
(n + 8)(n + 7) (n + 8)(n + 7)
2
2
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PROBABILITES ET COMBINAISONS
EXERCICES
Donc p(n) =
n(n − 1)
20
6
n² − n + 26
+
+
=
(n + 8)(n + 7) (n + 8)(n + 7) (n + 8)(n + 7) (n + 8)(n + 7)
b. Calculer la limite quand n tend vers + ∞ de p(n). Interpréter ce résultat.
lim p(n) = 1 ; si le nombre de boules blanches devient très grand, la probabilité de tirer 2 boules de même couleur se
n− > +∞
rapproche de 1 ; En effet, dans ce cas, il est quasiment certain de tirer 2 boules blanches.
PARTIE B
Pour les questions suivantes n = 4.
1. Calculer p(4).
3
p(4) =
11
2. Un tirage consiste à tirer simultanément et au hasard deux boules de l’urne.
Un joueur effectue deux tirages indépendants, en remettant dans l’urne avant le second tirage les deux boules tirées la
première fois.
Il mise au départ la somme de 30 euros.
Pour chaque tirage :
- si les deux boules sont de même couleur, il reçoit alors 40 euros,
- si elles sont de couleurs différentes, il reçoit alors 5 euros.
On appelle gain du joueur la différence, à l’issue des deux tirages, entre la somme reçue par le joueur et sa mise initiale (ce
gain peut être positif ou négatif). On désigne par X la variable aléatoire égale au gain du joueur.
a. Quelles sont les valeurs prises par X ? – 20 € ; 15 € ; 50 €
b. Déterminer la loi de probabilité de X.
Xi
- 20
15
50
P(X=xi)
8 8
64
3 8 8 3
48
3 3
9
x
=
x + x
=
x
=
11 11 121
11 11 11 11 121
11 11 121
c. Calculer l’espérance de X.
64
48
9
10
E(X) = −20x
+ 15x
+ 50x
=−
≈ −0.91
121
121
121
121
15
Un sac contient 36 boules indiscernables au toucher avec équiprobabilité de tirages : 2 blanches, 2 rouges, les autres étant
vertes.
a) On tire simultanément et au hasard, trois boules du sac. Calculer la probabilité des évènements suivants :
A : on obtient une boule de chaque couleur.
B : il n’y a pas de verte parmi les trois boules tirées.
C : il n’y a qu’une seule verte parmi les trois boules tirées.
 2  2  32 
 2  2 
 2  32   2  2  32 
   
2x  
2x   +    
1
1
1
1
2
2 1
1 1 1
128
4
192
; p(B) =    =
; p(C) =        =
p(A) =     =
36
36
36
7140
7140
7140
 
 
 
 
 
 
3
3
3
 
 
 
b) On tire maintenant trois fois de suite une boule dans le sac avec remise à chaque fois. Soit X la variable aléatoire égale au
nombre de boules rouges obtenues après ces trois tirages. Donner la loi de probabilité de X.
2
1
X suit une loi binomiale de paramètre n = 3 et p =
=
36 18
Xi
0
1
2
3
0
3
1
2
2
1
3
0
P(X=xi)
 3  1   17 
 3  1   17 
 3  1   17 
 3  1   17 
    
    
    
    
 0  18   18 
 1  18   18 
 2  18   18 
 3  18   18 
c) On suppose maintenant que le sac contient encore 36 boules, dont n blanches et n rouges et les autres vertes ( n
quelconque avec 1 ≤ n ≤ 17 ) et on tire simultanément trois boules sans remise du sac.
Calculer P(A) en fonction de n ; déterminer n pour que cette probabilité soit maximum.
 n  n  36 − 2n 
  

3
1 1 1
 = − 2n + 36n² .
p(A) =   
7140
 36 
 
3
 
3
On étudie les variations de la fonction f définie par f(x) = -2x + 36x². f’(x) = 0 ssi x = 0 ou x = 12.
Donc la probabilité de A est maximum pour n = 12
Calculer P(B) ; à partir de quelle valeur de n a-t-on : P(B) > 0,6 ?
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PROBABILITES ET COMBINAISONS
EXERCICES
 n  n 
2  
2 1
n3 − n²
p(A) =    =
> 0.6 ⇔ n3 − n² > 4284 pour n > 17
7140
 36 
 
3 
16
Calculer P(C) ; trouver n pour que P(C) > 0,5.
 n  36 − 2n   n  n  36 − 2n 
 +   

2x  
3
2 1
  1  1  1
 = n(n − 1)(36 − 2n) + n²(36 − 2n) = − 4n + 74n² − 36n > 0.5 ⇔ n > 8
p(C) =  
7140
7140
 36 
 
3 
1) Une grande enveloppe contient les douze figures d’un jeu de carte. On tire simultanément et au hasard 5 cartes de
l’enveloppe. Soit X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de rois obtenus. Déterminer la loi de probabilité
de X.
k
0
1
2
3
4
P(X=k)
56
280
336
112
8
792
792
792
792
792
2) Dans la même enveloppe, on effectue successivement 5 fois le tirage au hasard d’une carte que l’on remet à chaque fois
dans l’enveloppe. Soit Y la variable aléatoire dont la valeur est égale au nombre de rois obtenus au cours des 5 tirages.
Déterminer la loi de probabilité de Y.
1
Y suit une loi binomiale de paramètre n = 5 et p =
3
5
3) Calculer les espérances mathématiques de X et Y.E(X) = E(Y) =
3
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