Algèbre linéaire et géométrie vectorielle

Statut provincial:
201-105
bloc ministériel
pondération: 3-2-3
préalable: 064-536
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle
L’objet et la place du cours dans le programme
En Sciences humaines, c’est pendant la deuxième année du programme qu’un étudiant suit le cours Algèbre
linéaire et géométrie vectorielle; dans ce cours, on introduit une nouvelle branche importante des
mathématiques postsecondaires, celle de l’algèbre linéaire, où les notions de base qui y sont vues permettent
de traiter de la géométrie vectorielle dans l’espace.
L’étude des concepts faisant l’objet du cours exige peu de préalables; il suffit de connaître les mathématiques
de base et quelques éléments de géométrie élémentaire. Les notions du cours ont des applications diverses en
sciences humaines.
Dans ce cours, l’étudiant sera appelé à présenter sa démarche mathématique de façon rigoureuse, à visualiser
dans l’espace, à maîtriser de nouveaux algorithmes, à développer des habiletés mathématiques en résolution
de problèmes, problèmes associés aux concepts de matrice, de déterminant, de vecteur, de système
d’équations linéaires, de système d'inéquations linéaires et de géométrie analytique de l’espace.
Les objectifs généraux du cours
1.
1.1
Les connaissances: l’étudiant doit
connaître et savoir appliquer divers algorithmes de résolution de systèmes d’équations linéaires
(méthodes de Cramer, de la matrice inverse, de Gauss et de Gauss-Jordan *) et de système
d'inéquations linéaires, connaître la structure d’un espace vectoriel, savoir modéliser divers
problèmes à l’aide de l’algèbre linéaire ou de la géométrie vectorielle (systèmes de référence dans
l’espace, indépendance linéaire, base et dimension, droite et plan dans l’espace);
1.2
connaître et utiliser correctement les définitions, la terminologie, le symbolisme et les conventions
relatives à la géométrie analytique de l’espace et aux concepts de matrice, de déterminant et de
vecteur;
1.3
connaître et savoir utiliser diverses stratégies de résolution de problèmes relevant de l’algèbre linéaire
et de la géométrie vectorielle;
1.4
savoir situer le développement des concepts de l’algèbre linéaire et de la géométrie vectorielle dans
un contexte historique.
2.
2.1
Les habiletés: l’étudiant doit pouvoir
lire et interpréter correctement un texte ou un problème relatifs à l’algèbre linéaire ou la géométrie
vectorielle;
2.2
visualiser dans l’espace et dessiner une représentation géométrique d’un point, d’un vecteur, d’une
droite et d’un plan de l’espace;
2.3
reconnaître les hypothèses d’un problème théorique ou pratique, bien identifier ce qui est recherché;
résoudre le problème en appliquant une stratégie de résolution de problème développée dans le cours;
porter un jugement critique sur un résultat obtenu;
2.4
appliquer des algorithmes aux opérations de matrices et de vecteurs, au calcul d’un déterminant et à la
résolution d’un système d’équations linéaires et d'un système d'inéquations linéaires;
2.5
rédiger une solution d’un problème selon un déroulement logique, clair et complet, dans un français
convenable, tout en employant correctement le vocabulaire et la notation utilisés en algèbre linéaire
et en géométrie vectorielle;
2.6
utiliser l’ordinateur et la calculatrice à des fins de simulation, d’exploration ou de résolution de
problèmes d’algèbre linéaire et de géométrie vectorielle;
Collège de Maisonneuve
1
Mathématiques-105
2.7
relier les aspects géométriques et algébriques du cours;
2.8
établir, s’il y a lieu, des liens avec les connaissances mathématiques acquises dans les différents
cours du programme.
3.
3.1
Les attitudes: ce cours doit amener l’étudiant à
développer sa créativité et sa curiosité intellectuelle;
3.2
se responsabiliser face à son processus d’apprentissage;
3.3
développer sa capacité de collaborer avec autrui;
3.4
développer sa rigueur intellectuelle et son souci d’être clair, précis, ordonné et systématique;
3.5
accepter d’être confronté à des problèmes où la recherche de solutions demande temps et énergie;
3.6
augmenter sa confiance face aux mathématiques et se valoriser dans l’effort;
3.7
développer son initiative en utilisant ses connaissances mathématiques dans les différents cours du
programme;
Les objectifs spécifiques (le contenu)
Remarques
Les éléments marqués d’une étoile sont des éléments d’enrichissement.
Des notes historiques seront présentées au moment approprié tout au long du cours.
Matrice, déterminant et système d’équations linéaires
(25 périodes)
L’étudiant doit pouvoir...
Matrice
donner la définition d’une matrice, identifier ses éléments (terme général aij),
déterminer ses dimensions
définir et utiliser l’égalité de deux matrices
effectuer les opérations (addition et soustraction, multiplication par un scalaire,
produit matriciel), énoncer les principales propriétés de ces opérations
identifier différents types de matrices (matrice-ligne, matrice-colonne, matrice
carrée et sa diagonale principale, matrice nulle, matrice identité, matrice
inverse, matrice triangulaire, matrice diagonale, matrice transposée), utiliser les
principales propriétés.
. identifier les matrices symétriques et antisymétriques
. appliquer les notions matricielles dans diverses situations (par exemple, matrice
des distances, matrice d'interaction, matrice de communication, matrice de
production, matrice de transformation linéaire, matrice de codage, matrice de
transition, chaînes de Markov et autres)
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Déterminant
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Collège de Maisonneuve
évaluer le déterminant d’une matrice carrée d’ordre n (n ≤ 4) suivant une ligne
ou une colonne
évaluer le mineur et le cofacteur d’un élément aij
énoncer les principales propriétés d’un déterminant et les utiliser
identifier une matrice singulière et une matrice régulière (matrice inversible)
trouver la matrice des cofacteurs et la matrice adjointe d’une matrice carrée
(n ≤ 3)
trouver la matrice inverse d’une matrice carrée (n ≤ 3) par la méthode des
cofacteurs et utiliser ses principales propriétés
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Mathématiques-105
Système d’équations
linéaires
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définir et trouver des matrices équivalentes à une matrice donnée (opérations
élémentaires sur les lignes)
transformer une matrice en une matrice-échelon ou matrice-échelon réduite
équivalente*
définir et trouver le rang d’une matrice à partir de la matrice-échelon ou matrice
échelon-réduite *
identifier un système linéaire, deux systèmes équivalents, un système
homogène
écrire un système linéaire sous sa forme matricielle (matrices des coefficients,
des inconnues, des constantes)
écrire la matrice augmentée d’un système linéaire et trouver une matrice-échelon
ou la matrice-échelon réduite équivalente
résoudre un système linéaire par la méthode de Gauss ou de Gauss-Jordan*
(système incohérent et système cohérent avec une solution unique ou une
infinité de solutions)
résoudre un système linéaire par la méthode de Cramer
résoudre un système linéaire par la méthode de la matrice inverse *
situer au niveau historique les différents éléments de l'algèbre linéaire *
Espace vectoriel
(12 périodes)
L’étudiant doit pouvoir...
Vecteur algébrique
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Vecteur géométrique
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Espace vectoriel
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Collège de Maisonneuve
définir un vecteur algébrique (n-uple) et identifier ses composantes
définir l’égalité de deux vecteurs algébriques
effectuer les opérations sur deux vecteurs algébriques (addition, soustraction,
multiplication par un scalaire) et utiliser les principales propriétés
donner les caractéristiques d’un vecteur géométrique (direction, sens, longueur)
représenter un vecteur géométrique (origine, extrémité, support, longueur)
identifier un vecteur nul, deux vecteurs de sens opposé
déterminer l’équipollence (égalité) de deux vecteurs géométriques
additionner deux vecteurs géométriques (méthode du triangle, méthode du
parallélogramme et relation de Chasles), multiplier un vecteur géométrique par
un scalaire et vérifier les principales propriétés de ces opérations
identifier deux vecteurs parallèles
donner la définition d’un espace vectoriel, des opérations et des propriétés qui
définissent cette structure algébrique
identifier certains espaces vectoriels (matrices, vecteurs algébriques, vecteurs
géométriques)
établir une correspondance entre un vecteur algébrique et un vecteur géométrique
d’un plan et de l’espace
évaluer la longueur d’un vecteur
trouver un vecteur unitaire dans une direction donnée
définir une combinaison linéaire de vecteurs
vérifier si un vecteur est une combinaison linéaire de vecteurs donnés
donner la définition de l’indépendance et de la dépendance linéaire et vérifier que
des vecteurs sont linéairement indépendants ou linéairement dépendants
définir une base d’un espace vectoriel
donner la dimension d’un espace vectoriel
interpréter géométriquement les notions d’indépendance linéaire, de base et de
dimension et les propositions s’y rapportant, pour des vecteurs du plan et de
l’espace (colinéarité, coplanarité)
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Mathématiques-105
Produits de vecteurs
(8 périodes)
L’étudiant doit pouvoir...
Produit scalaire
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Produit vectoriel
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Produit mixte
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donner la définition du produit scalaire de deux vecteurs
évaluer un produit scalaire
énoncer les principales propriétés du produit scalaire
interpréter géométriquement le produit scalaire (projection, angle entre deux
vecteurs)
évaluer l’angle entre deux vecteurs
interpréter un produit scalaire nul (vecteurs orthogonaux)
donner la définition du produit vectoriel de deux vecteurs
évaluer un produit vectoriel
énoncer les principales propriétés d’un produit vectoriel
interpréter géométriquement le produit vectoriel de deux vecteurs linéairement
indépendants (vecteur perpendiculaire à un plan engendré par ces deux vecteurs)
évaluer l’aire d’un parallélogramme ou d’un triangle construit sur deux vecteurs
donner la définition du produit mixte de trois vecteurs
évaluer un produit mixte
énoncer les principales propriétés d’un produit mixte
interpréter géométriquement le produit mixte de trois vecteurs linéairement
indépendants (volume d’un parallélépipède construit sur ces trois vecteurs)
interpréter un produit mixte nul (trois vecteurs coplanaires ou dépendants )
évaluer le volume d’un prisme triangulaire
Droite et plan dans l’espace
(20 périodes)
L’étudiant doit pouvoir...
Droite
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Plan
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Collège de Maisonneuve
écrire les équations vectorielle, paramétriques et symétriques d’une droite
trouver des points d’une droite et vérifier si un point appartient à une droite
identifier un vecteur parallèle ou perpendiculaire à une droite
établir les équations d’une droite déterminée par deux points ou par un point et
un vecteur directeur
étudier la position relative de deux droites (parallèles, concourantes,
perpendiculaires, gauches)
évaluer l’angle entre deux droites
trouver l’intersection de deux droites
calculer la distance d’un point à une droite, entre deux droites parallèles
trouver le point d’une droite le plus rapproché d’un point donné de l’espace
écrire les équations paramétriques et linéaire d’un plan
trouver des points d’un plan et vérifier si un point appartient à un plan
identifier un vecteur parallèle ou perpendiculaire à un plan
établir les équations d’un plan défini par trois points, par un point et un vecteur
normal au plan, par un point et deux vecteurs qui engendrent un plan
étudier la position relative de deux plans (parallèles, sécants, perpendiculaires)
évaluer l’angle entre deux plans
établir les équations de la droite d’intersection de deux plans
étudier la position relative de trois ou plusieurs plans
étudier la position relative d’une droite par rapport à un plan (parallèle, sécante,
perpendiculaire)
évaluer l’angle entre une droite et un plan
trouver le point de percée d’une droite sécante à un plan
calculer la distance d’un point à un plan, entre une droite parallèle et un plan
qui lui est parallèle, entre deux plans parallèles
résoudre des problèmes faisant appel à la géométrie vectorielle de la droite et du
plan dans l’espace
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Mathématiques-105
programmation linéaire
(10 périodes)
L’étudiant doit pouvoir...
inéquations linéaires
. représenter graphiquement l'ensemble-solution d'une inéquation linéaire à deux
et à trois variables
. représenter graphiquement par un polygône ou polyèdre convexe l'ensemblesolution d'un système d'inéquations linéaires à deux et à trois variables
programmation
linéaire
•
reconnaître un problème de programmation linéaire (production, transport,
réseau et affectation)
. exprimer sous forme d'inéquations linéaires les contraintes d'un problème de
programmation linéaire à deux et à trois variables
. trouver la fonction à optimiser dans un problème de programmation linéaire à
deux et à trois variables
. résoudre algébriquement et graphiquement un problème de programmmation
linéaire à deux et à trois variables
. interpréter le(s) résultat(s) dans le contexte présenté
. résoudre un problème de programmation linéaire à l'aide de la méthode
du simplexe à deux et à trois variables
. résoudre algébriquement un problème de programmmation linéaire à n
variables *
. résoudre un problème de programmation linéaire à l'aide de la méthode du
simplexe à n variables*
Les objectifs relatifs aux technologies de l'information sont:
1. d'utiliser un logiciel dans le but de solutionnner des problèmes utilisant les notions matricielles (chaînes
de Markov, etc.);
3. d'utiliser un logiciel dans le but de résoudre des systèmes d'équations linéaires à n variables.
2. d'utiliser un logiciel dans le but de résoudre des problèmes de programmation linéaire (problème
d'affectation, problèmes de transport et de production);
Évaluation
L’évaluation sommative de 100 points se fait dans le cadre suivant:
un minimum de 4 examens durant la session;
un maximum de 30 points pour un examen;
un maximum de 20 points pour d’autres formes d’évaluation.
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Collège de Maisonneuve
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Mathématiques-105