Corrigé de la série 2

Cours d’Alg` ebre Semestre d’automne 2012
Prof. E. Bayer Fluckiger 1 octobre 2012
Corrig´e de la s´erie 2
Exercice 1.
(a) On a 28 = 24·7 et 55 = 5 ·11. Comme 28 et 55 sont premiers entre eux,
le plus petit commun multiple de 28 et 55 est 28 ·55 = 1540.
(b) On a 36 = 22·32et 81 = 34. Donc le plus petit commun multiple de 36
et 81 est 22·34= 324.
Exercice 2.
(a) On a 245 = 5 ·72. Tout diviseur de 245 est de la forme : 5a1·7a2o`u
0≤a1≤1 et 0 ≤a2≤2. Donc les diviseurs de 245 sont :
50·70= 1,
50·71= 7,
50·72= 49,
51·70= 5,
51·71= 35,
51·72= 245.
On a 360 = 23·32·5. Tout diviseur de 360 est de la forme : 2a1·3a2·5a3o`u
0≤a1≤3 et 0 ≤a2≤2 et 0 ≤a3≤1. Donc les diviseurs de 360 sont :
20·30·50= 1,21·30·50= 2,
20·30·51= 5,21·30·51= 10,
20·31·50= 3,21·31·50= 6,
20·31·51= 15,21·31·51= 30,
20·32·50= 9,21·32·50= 18,
20·32·51= 45,21·32·51= 90,

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22·30·50= 4,23·30·50= 8,
22·30·51= 20,23·30·51= 40,
22·31·50= 12,23·31·50= 24,
22·31·51= 60,23·31·51= 120,
22·32·50= 36,23·32·50= 72,
22·32·51= 180,23·32·51= 360.
(b) En sachant que 94 539 375 000 = 23·32·57·75, on conclut que tout diviseur
de 94 539 375 000 est de la forme : 2a1·3a2·5a3·7a4o`u
0≤a1≤3,
0≤a2≤2,
0≤a3≤7,
0≤a4≤5.
Donc 94 539 375 000 a 4 ·3·8·6 = 576 diviseurs.
Exercice 3.
(a) Supposons que nest un carr´e parfait. Donc il existe un entier naturel m
tel que n=m2. On sait que ms’´ecrit comme un produit de nombres
premiers. Ainsi
m=qf1
1qf2 2. . . qfl
l
o`u les qisont des nombres premiers distincts et les fisont des nombres
naturels. Puisque n=m2, on a
pe1
1pe2 2. . . pek
k=q2f1
1q2f2 2. . . q2fl
l.
Comme la factorisation en produit de nombres premiers est unique `a
l’ordre pr`es, on en d´eduit que eiest pair pour tout 1 ≤i≤k.
R´eciproquement, si eiest pair pour tout 1 ≤i≤k, alors eiest de la
forme 2fiavec fi∈Npour tout i. On pose
m=pf1
1pf2 2. . . pfk
k.
On a alors
m2=p2f1
1p2f2 2. . . p2fk
k=pe1
1pe2 2. . . pek
k=n.
Donc nest un carr´e parfait.

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(b) Tout diviseur de 94 539 375 000 qui est un carr´e parfait est de la forme :
22a1·32a2·52a3·72a4o`u
0≤2a1≤3,
0≤2a2≤2,
0≤2a3≤7,
0≤2a4≤5.
Donc il y a
2 choix possibles pour a1,
2 choix possibles pour a2,
4 choix possibles pour a3,
3 choix possibles pour a4.
Par cons´equent, 94 539 375 000 a 2 ·2·4·3 = 48 diviseurs qui sont des
carr´es parfaits.
Exercice 4. Soit nun nombre impair. nest donc de la forme 2k+ 1 avec k∈Z.
On a
n2−1 = (2k+ 1)2−1 = (4k2+ 4k+ 1) −1=4k(k+ 1).
Comme k(k+ 1) ∈Z, on en d´eduit que n2−1 est divisible par 4.