Fonctions polynômes du second degré. Fonctions homographiques

Chapitre 10 : Fonctions polynômes du second
degré. Fonctions homographiques
I
Fonctions trinômes du second degré
Définition
Une fonction du second degré est une fonction f qui a expression de la forme f (x) =
ax2 + bx + c, où a, b, c, sont des réels, a 6= 0.
Une telle fonction est définie sur R.
Définition (et théorème)
Pour toute fonction polynôme du second degré f (x) = ax2 + bx + c, il existe des réels α
et β uniques tels que, pour tout x ∈ R, f (x) = a(x − α)2 + β.
L’écriture f (x) = a(x − α)2 + β est appelée la forme canonique de f .
Exercice 1
1. Vérifier que −3(x + 1)2 − 4 = −3x2 − 6x − 7.
2. Montrer que 2(x − 7)2 − 1 = 2x2 − 28x + 97.
Exercice 2
Mettre sous forme canonique a(x − α)2 + β :
1. f (x) = 2x2 + 8x + 1.
2. g(x) = −3x2 + 12x + 5
Théorème (Tableau de variation)
Soit f (x) = a(x − α)2 + β une fonction du trinôme du second degré .
Si a > 0,
Si a < 0,
x
−∞
α
x
+∞
−∞
α
β
f (x)
f (x)
β
Exemple :
La fonction carré.
1
+∞
8
6
4
2
-4
-3
-2
-1
1
2
3
Propriété (Courbe représentative)
Soit f (x) = a(x − α)2 + β avec a 6= 0.
Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de f est une parabole :
– tournée vers le haut si a > 0,
– tournée vers le bas si a < 0.
Son sommet est le point S(α; β).
La droite parallèle à l’axe des ordonnées et passant par le sommet est axe de symétrie de
la parabole.
Remarque
En première, on verra que si f (x) = ax2 + bx + c, avec a 6= 0, l’abscisses du sommet est
b
xS = α = − .
2a
On peut alors déterminer le sommet sans passer par la forme canonique :
b
1. son abscisse est xS = − ,
2a
b
.
2. son ordonnée est yS = f −
2a
Exercice 3
Soit f (x) = x2 − 6x + 13.
Déterminer les coordonnées du sommet de la courbe de f .
Préciser comment est tournée la parabole.
Exercice 4
Soit f la fonction du second degré dont la courbe passe par A(1; 2) et a pour sommet
B(2; 5).
1. Déterminer l’expression de f .
2. Dresser le tableau de variation de f .
Exercice 5
1. Déterminer les coordonnées du sommet d’une parabole représentant une fonction
trinôme du second degré de forme canonique donnée : ressource 3135
2
2. Dresser le tableau de variations d’une fonction trinôme du second degré de forme
canonique donnée : ressource 3133
3. Indiquer l’extremum d’une fonction trinôme du second degré de forme canonique
donnée, sa nature et le nombre pour lequel il est atteint : ressource 3138
4. Déterminer l’axe de symétrie de la courbe représentative d’une fonction trinôme du
second degré de forme canonique donnée : ressource 3132
5. Déterminer le nombre d’antécédents d’un nombre par une fonction trinôme du second
degré suivant les valeurs de ce nombre : ressource 2349
II
Fonctions homographiques
Définition
ax + b
, où
Une fonction f est homographique si elle a une expression de la forme f (x) =
cx + d
a, b, c, et d sont des réels tel que c 6= 0 et ad − bc 6= 0.
Un telle fonction est définie pour tout x tel que cx + d 6= 0.
Exemple :
3x + 2
.
x−5
Rechercher l’ensemble de définition de f .
Valeur interdite : on résout x − 5 = 0.
Donc x = 5.
Df = R \ {5} =] − ∞; 5[ ∪ ]5; +∞[.
Soit f (x) =
Remarque
Que se passe-t-il lorsque c = 0 ?
Lorsque ad = bc ?
Exercice 6
2x − 2
.
Soit f la fonction définie par f (x) =
x+1
1. Déterminer l’ensemble de définition de f .
2. Déterminer le point d’intersection de Cf avec l’axe des ordonnées.
3. Rechercher les points d’intersection de Cf avec l’axe des abscisses.
4. Quel est point de Cf qui a pour ordonnée 4 ?
5. 2 admet-il des antécédents par f . Comment cela se traduit-il sur la courbe représentative ?
4
6. Vérifier que pour tout x 6= −1, f (x) = 2 −
.
x+1
7. Déterminer le sens de variation de f sur ] − 1; +∞[.
8. En déduire un encadrement de f (x) pour x ∈ [1; 2].
Exercice 7
1. Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction homographique : ressource 2881
2. Déterminer l’image d’un entier relatif par une fonction homographique : ressource 2025
3. Déterminer les antécédents d’un nombre par une fonction homographique : ressource 2064
4. Résoudre une équation de la forme f (x) = k où f est une fonction homographique
et k un nombre réel : ressource 2835
3
III
Méthode de dichotomie
Il est parfois difficile de trouver les solutions exactes d’une équation du type f (x) = 0 sur
un intervalle [a; b].
On cherche alors des solutions approchées.
Méthode par dichotomie :
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a; b].
On suppose que l’équation f (x) = 0 a une unique solution x0 dans l’intervalle [a, b].
Pour approcher la solution x0 , on réduit l’intervalle contenant x0 de moitié à chaque étape
de l’algorithme. Pour cela on calcule la moyenne m des deux extrémité de l’intervalle, puis
l’image de m par f .
a+b
.
On a donc m =
2
Algorithme de dichotomie
Exemple dans le cas où la fonction f est croissante : f (x) = x3 − 2, sur l’intervalle [1; 2].
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
VARIABLES
a EST_DU_TYPE NOMBRE
b EST_DU_TYPE NOMBRE
m EST_DU_TYPE NOMBRE
N EST_DU_TYPE NOMBRE
p EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
a PREND_LA_VALEUR 1
b PREND_LA_VALEUR 2
N PREND_LA_VALEUR 0
AFFICHER "precision ?"
LIRE p
TANT_QUE (b-a>p) FAIRE
DEBUT_TANT_QUE
m PREND_LA_VALEUR (a+b)/2
SI (F1(m)>0) ALORS
DEBUT_SI
b PREND_LA_VALEUR m
FIN_SI
SINON
DEBUT_SINON
a PREND_LA_VALEUR m
FIN_SINON
N PREND_LA_VALEUR N+1
FIN_TANT_QUE
AFFICHER "Valeur de a : "
AFFICHER a
AFFICHER "Valeur de b : "
AFFICHER b
AFFICHER "Nombre d’etapes : "
AFFICHER N
FIN_ALGORITHME
Fonction numerique utilisee : F1(x)=pow(x,3)-2
4
Exercice 8
1. Recopier cet algorithme dans algobox et l’utiliser pour donner une valeur approchée
de la solution de l’équation x3 − 2 = 0 par défaut à 10−5 près.
La solution approchée à 10−5 par défaut est x0 ≈ . . ..
Le nombre détape de l’algorithme est : . . ..
2. On s’intéresse à l’équation 3x5 − x3 + x2 − 1 = 0. On pose f (x) = 3x5 − x3 + x2 − 1.
(a) Calculer f (0) et f (1).
f (0) = . . ..
f (1) = . . ..
(b) On admet que l’équation a une seule solution x0 ∈ [0; 1], et que f est croissante
sur [0; 1].
Adapter l’algorithme pour donner un encadrement de la solution d’amplitude
inférieure à 10−4 . L’encadrement souhaité est : . . .
Nombre détapes : . . .
3. Désormais f (x) = x4 − 4x − 1 (voir exercice 82 page 67).
L’équation f (x) = 0 a une unique solution x0 dans [−1; 0].
Adapter l’algorithme pour donner un encadrement de la solution d’amplitude inférieure
à 10−4 .
Attention : f est décroissante sur [−1; 0].
L’encadrement souhaité est : . . .
Nombre d’étapes : . . .
5