4e Développer, factoriser, réduire des expressions littérales Mots

4e
Développer,
littérales
factoriser,
réduire
des
expressions Objectifs 10 et 11
Livre 9.2 et 9.3
Mots clefs.
 Expression littérale
 Distributivité (simple)
 Développer
 Réduire
 Factoriser.
I. Distributivité de la multiplication sur l’addition et la soustraction.
1. Conventions d’écriture.
 On peut omettre le signe  lorsque son absence n’entraîne pas de confusion, c’est-à-dire
devant une lettre ou une parenthèse.
 En écriture fractionnaire, la barre de fraction tient lieu de parenthèses.
 On écrit les nombres devant les lettres et les parenthèses.
 Le nombre 1 × 𝑥 peut aussi s’écrire 𝑥.
 Le produit 𝑎 × 𝑎 s’écrit aussi 𝑎² et se lit « 𝑎 au carré ».
 Le produit 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 s’écrit aussi 𝑎3 et se lit « 𝑎 au cube ».
(𝑥 − 1) × (𝑥 + 2)
𝑦 × 5 = 5 × 𝑦 = 5𝑦
3 × (2 − 𝑥 ) = 3(2 − 𝑥 )
= (𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
2. Observation.
L’aire du rectangle I est 𝑘 × 𝑎.
𝑘
L’aire du rectangle II est 𝑘 × 𝑏.
L’aire du grand rectangle est donc : 𝑘 × 𝑎 + 𝑘 × 𝑏,
mais aussi 𝑘 × (𝑎 + 𝑏).
𝑎
𝑏
I
II
𝑎 + 𝑏
3. Propriété. Distributivité.
Si 𝑘, 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 désignent trois nombres quelconques alors on a les égalités :
𝑘 × (𝑎 + 𝑏 ) = 𝑘 × 𝑎 + 𝑘 × 𝑏
et
𝑘 × (𝑎 − 𝑏 ) = 𝑘 × 𝑎 − 𝑘 × 𝑏
On peut aussi supprimer le signe  entre deux lettres, ce qui donne :
𝑘(𝑎 + 𝑏) = 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏
et
𝑘(𝑎 − 𝑏) = 𝑘𝑎 − 𝑘𝑏
Autrement dit, multiplier une somme (une différence) par un nombre, revient à multiplier chaque
terme de cette somme (de cette différence) par ce nombre.
4. Vocabulaire.
Expression factorisée
𝑘 × (𝑎 + 𝑏)
𝑘 × (𝑎 − 𝑏)
Développement
Expression développée
=
𝑘 ×𝑎+𝑘×𝑏
=
𝑘 ×𝑎−𝑘×𝑏
Factorisation
5. Définition. Développer.
Développer une expression c’est transformer un produit en une somme ou une différence.
Exemples.
 Développer l’expression : 4 × (2𝑎 + 3)
4 × (2𝑎 + 3) = 4 × 2𝑎 + 4 × 3 = 8𝑎 + 12
6. Propriété. Opposé d’une somme.
L’opposé d’une somme est égal à la somme des opposés.
Démonstration.
Pour tout nombre 𝑎 et 𝑏 non nuls :
𝑜𝑝𝑝(𝑎 + 𝑏) = −(𝑎 + 𝑏) = (−1) × (𝑎 + 𝑏) = (−1) × 𝑎 + (−1) × 𝑏 = −𝑎 + (−𝑏)
= 𝑜𝑝𝑝(𝑎) + 𝑜𝑝𝑝(𝑏).

Utiliser la multiplication posée, ou un tableau multiplicatif pour développer une expression.
5 (2𝑥 + 3)
𝑘 (𝑎 + 𝑏)
2𝑥
+3
×
5
×
𝑎
+𝑏
10𝑥
+15
𝑘
𝑘𝑎
+ 𝑘𝑏
5 (2𝑥 + 3) = 10𝑥 + 15
𝑘(𝑎 + 𝑏) = 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏
6. Définition. Factoriser.
Factoriser une expression, c’est transformer une somme ou une différence en un produit. Pour cela,
on peut, par exemple, rechercher un facteur commun à tous les termes.
Exemple.
Factoriser l’expression : 6𝑏 − 15
Le facteur commun est 3 car 6𝑏 = 3 × 2𝑏 et 15 = 3 × 5
6𝑏 − 15 = 3 × 2𝑏 − 3 × 5 = 3 × (2𝑏 − 5)
7. Remarque.
Ces techniques de développement et de factorisation doivent aussi aider au calcul mental.
8. Définition. Réduire.
Réduire une expression littérale, c’est l’écrire avec le moins de symboles possible. Pour cela, on
regroupe les termes de même nature.
Une réduction fait généralement suite à un développement.
Exemple.
Développer et réduire l’expression : 2(𝑥 − 3) + 5𝑥
2(𝑥 − 3) + 5𝑥 − 2
= 2 × 𝑥 − 2 × 3 + 5𝑥 − 2
= 2𝑥 − 6 + 5𝑥 − 2
= 7𝑥 − 8