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Correction des exercices associés au cours sur les systèmes d’équations : Exercice 1 page 96 : a. On s’intéresse à l’équation 2 x 3 y = 1 On remplace x et y par les valeurs proposées pour voir si l’égalité est vérifiée : 2(–1)32=–26=4 le couple ( –1 ; 2 ) n’est pas solution 223(–1)=43=1 le couple ( 2 ; – 1 ) est solution 2 ( – 13 ) 3 9 = – 26 27 = 1 le couple ( –13 ; 9 ) est solution 2 7 3 ( – 3 ) = 14 9 = 5 le couple ( 7 ; – 3 ) n’est pas solution. b. On fait de même avec l’équation solutions : ( –13 ; 9 ) et ( 7 ; – 3 ). 3 x 5 y = 6 . On trouve que deux couples sont c. Pour être une solution du système, un couple doit vérifier chacune des deux équations qui forment le système : d’après les questions a. et b. , ( –13 ; 9 ) est solution du système proposé. Cet exercice permet d’insister sur le fait que l’on peut rapidement savoir si un couple donné est solution d’un système sans même effectuer la résolution de ce système. Cela rappelle aussi qu’il sera toujours possible de vérifier sa réponse après avoir fini de résoudre un système. Exercice 8 page 96 : 5 x y = 15 x2y=4 Pour écrire une formule de substitution facile à utiliser, il faut donc éviter les fractions. Pour cela, il faut choisir d’exprimer, en fonction de l’autre, une inconnue qui est seule, c'est-à-dire 1 x ou 1 y . Le meilleur choix pour ce système est donc x en fonction de y à partir de la 2ème équation : x = 4 – 2 y L’autre choix est d’exprimer y en fonction de x à partir de la 1ère équation, mais attention au signe – situé devant y : – y = 15 – 5 x et par conséquent, en prenant les opposés y = – 15 5 x Exercice 14 page 97 : x 4 y = 14 x 11 y = 35 La première équation x 4 y = 14 permet d’écrire que x = 14 4 y La deuxième équation x 11 y = 35 devient donc ( 14 4 y ) 11 y = 35 soit 14 4 y 11 y = 35 soit – 4 y 11 y = 35 – 14 soit 7 y = 21 soit y = 21 7 soit y = 3 Or x = 14 4 y = 14 – 4 3 = 14 – 12 = 2 La solution de ce système est le couple ( 2 ; 3 ) Vérification : 2 4 3= 2 12 = 14 et 2 11 3= 2 33 = 35 . Exercice 16 page 97 : – 2 x 5 y = – 53 4x y=7 La 2ème équation 4 x y = 7 permet d’écrire que y = 7 4 x La 1ère équation – 2 x 5 y = – 53 devient – 2 x 5 ( 7 4 x ) = – 53 soit – 2 x 5 7 5 ( 4 x ) = – 53 soit – 2 x 35 20 x = – 53 soit – 22 x = – 53 – 35 soit – 22 x = – 88 soit x = – 88 – 22 soit x = 4 Or y = 7 4 x = 7 – 4 4 = 7 –16 = – 9 La solution de ce système est le couple ( 4 ; – 9 ) Vérification : –2 4 5 ( – 9 )= – 8 45 = – 53 et 4 4 ( – 9 ) = 16 9 = 7. Exercice 28 page 97 : a. 4 enfants et 1 adulte payent 22 € se traduit par 4 x y = 22 ( soit 4 x 1 y = 22 ). x représente donc le prix d’un billet enfant et y le prix d’un billet adulte. b. L’équation E2 est 6 x 3 y = 42. 4 x y = 22 6 x 3 y = 42 c. Le système est La première équation 4 x y = 22 permet d’écrire que y = 22 – 4 x 6 x 3 y devient donc 6 x 3 ( 22 – 4 x ) = 42 soit 6 x 66 – 12 x = 42 soit – 6 x = 42 – 66 soit – 6 x = – 24 soit x = – 24 –6 soit x = 4 Or y = 22 – 4 x = 22 – 4 4 = 22 – 16 = 6 La solution est ( 4 ; 6 ). d. Trouver le prix des tarifs enfants et adultes revient à trouver x et y vérifiant le système écrit à la question c. Un billet enfant coûte donc 4 € et un billet adulte coûte 6 €. Exercice 23 page 97 : 4 x – 3 y = 32 –2x+3y = 2 On peut remarquer qu’il n’est pas nécessaire de multiplier les équations avant de les additionner : les y vont disparaître directement. 4 x ( – 2 x ) = 32 2 On ajoute les deux équations : 4 x – 3 y = 32 soit 2 x = 34 soit x = soit x = 17 34 2 4 17 – 3 y = 32 donc soit 68 – 3 y = 32 soit – 3 y = 32 – 68 soit – 3 y = – 36 soit y = – 36 –3 y = 12 soit La solution de ce système est ( 17 ; 12 ). Vérification : 4 17 3 12 = 68 36 = 32 et – 2 17 3 12 = – 34 36 = 2 Exercice 25 page 97 : 6x+7y = 7 – 3 x + 2 y = – 31 le système devient (2) 6x+7y = 7 – 6 x + 4 y = – 62 7 y 4 y = 7 ( – 62 ) On ajoute les deux équations : 6x+7y = 7 donc soit 11 y = – 55 soit y = – soit y = –5 6x+7(–5) = 7 55 11 soit 6 x – 35 = 7 soit 6 x = 7 35 soit 6 x = 42 soit x = 42 6 x = 7 soit La solution de ce système est ( 7 ; 5 ). Vérification : 6 7 7 ( – 5 ) = 42 35 = 7 et – 3 7 2 ( – 5 ) = – 21– 10 = – 31 Exercice 26 page 97 : – 2 x 3 y = 5 5x9y=–7 ((–3)) 6 x – 9 y = – 15 5x9y=–7 le système devient 6 x 5 x = – 15 – 7 On ajoute les deux équations : 5x+9y =–7 donc soit 11 x = – 22 soit x= – soit x = –2 22 11 5(–2)+9y = –7 soit – 10 9 y = – 7 soit 9 y = – 7 10 soit 9y = 3 soit y = 3 9 soit y = 1 3 on ne peut pas l’écrire plus simplement 1 La solution de ce système est ( – 2 ; ). 3 Vérification : – 2 ( – 2 ) 3 et 5 ( – 2 ) 9 1 = 4 1 = 5 3 1 = – 10 3 = – 7 3 Exercice 55 page 100 : 3 x 2 y = 850 2 x 4 y = 1100 ((–2)) – 6 x – 4 y = – 1700 2 x 4 y = 1100 le système devient – 6 x 2 x = – 1700 + 1100 On ajoute les deux équations : 3 x + 2 y = 850 soit – 4 x = – 600 soit x= soit x = 150 3 150 + 2 y = 850 donc soit 450 2 y = 850 soit 2 y = 850 – 450 soit 2 y = 400 soit y = soit y = 200 400 2 La solution de ce système est ( 150 ; 200 ). Exercice 32 page 98 : x y = 20 3 x – 4 y = 11 a. – 600 –4 (4) 4 x 4 y = 80 3 x 4 y = 11 le système devient 4 x 3 x = 90 11 On ajoute les deux équations : x + y = 20 donc soit 7 x = 91 soit x= soit x = 13 91 7 13 + y = 20 soit y = 20 – 13 soit y = 7 La solution de ce système est ( 13 ; 7 ). b. Si l’on désigne par x le nombre de parties que Fred a gagné et par y le nombre de parties qu’il a perdu, on peut alors écrire que x y = 20 puisqu’au total il a joué 20 parties. S’il remporte x parties, Fred gagne 3 x euros et s’il perd y parties alors il perd 4 y euros : le bilan de ses gains est par conséquent égal à 3 x – 4 y et on doit donc avoir 3 x – 4 y = 11. Le couple ( x ; y ) recherché doit donc être une solution du système x y = 20 3 x 4 y = 11 D’après la question a, la solution est ( 13 ; 7 ). Fred a donc perdu 7 parties. Exercice 57 page 100 : On appelle x le prix d’une heure de leçon et on appelle y le prix d’une journée de stage. Le prix du trimestre de Marie peut se traduire par 16 x 3 y = 344. Le prix du trimestre d’Anne peut se traduire par 18 x 2 y = 332. Il faut donc résoudre le système 16 x 3 y = 344 ( ( – 2 ) ) (3) 18 x 2 y = 332 16 x 3 y = 344 18 x 2 y = 332 – 32 x – 6 y = – 688 54 x 6 y = 996 le système devient – 32 x 54 x = – 688 + 996 On ajoute les deux équations : 16 x + 3 y = 344 donc soit 22 x = 308 soit x= soit x = 14 308 22 16 14 + 3 y = 344 soit 224 3 y = 344 soit 3 y = 344 – 224 soit 3 y = 120 soit y = soit y = 40 120 3 La solution de ce système est ( 14 ; 40 ) Une heure de leçon coûte 14 € et une journée de stage coûte 40 €. Exercice 29 page 97 : Cet exercice ne semble pas porter sur les systèmes. C’est pourtant en en résolvant un que l’on peut trouver la forme générale d’une fonction affine si l’on connait deux nombres et leurs images respectives. f est une fonction affine donc elle est de la forme f : x On sait que f (1 ) = 1 mais f (1) = a 1 b = a b axb donc a b = 1 On sait aussi que f ( – 1 ) = 5 mais f ( – 1 ) = a ( – 1 ) b = – a b donc – a b = 5 On connait donc deux équations que doivent vérifier a et b : le couple ( a ; b ) doit être ab=1 solution du système – a b = 5 bb = 1+5 On ajoute les deux équations : ab=1 donc soit 2b = 6 soit b = 6÷2 soit b = 3 a3 = 1 soit a = 1–3 soit a = –2 La solution de ce système est ( – 2 ; 3 ) f est donc la fonction affine définie par f ( x ) = – 2 x 3 On peut vérifier que f ( 1 ) = 1 et f ( – 1 ) = 5. Exercice 10 page 96 : a. La droite (d1) a une pente égale à – 1 et elle passe par le point de coordonnées ( 0 ; 4 ) donc son coefficient directeur est – 1 et son ordonnée à l’origine est 4. La droite (d1) a pour équation y = – 1 x 4 = – x 4 La droite (d2) a son coefficient directeur égal à 3 et son ordonnée à l’origine est 0. La droite (d1) a pour équation y = 3 x 0 = 3 x b. y = – x 4 peut aussi s’écrire y x = 4 soit x y = 4 y = 3 x peut aussi s’écrire 3 x – y = 0 On retrouve les deux équations du système donc on peut trouver la solution par lecture graphique en lisant les coordonnées du point d’intersection des droites (d 1) et (d2). Le point d’intersection de (d1) et (d2) a pour coordonnées ( 1 ; 3 ) donc la solution du système est le couple ( 1 ; 3 ). Exercice 35 page 98 : a. 5 x 2 y = 12 équivaut à x 2 y = 8 équivaut à 2 y = – 5 x 12 2y= –x8 soit y = soit y = – 5 x 12 = – 2,5 x 6 2 (–x8) = – 0,5 x 4 2 b. Soit f la fonction définie par f ( x ) = – 2,5 x 6 f est affine donc sa représentation graphique est une droite (d 1). f ( 0 ) = 6 et f ( 2 ) = – 2,5 2 6 = – 5 6 = 1 donc A ( 0 ; 6 ) et B ( 2 ; 1 ) appartiennent à (d1). soit g la fonction définie par g ( x ) = – 0,5 x 4 g est affine donc sa représentation graphique est une droite (d 2). g ( 0 ) = 4 et g ( 4 ) = – 0,5 4 4 = – 2 4 = 2 donc C ( 0 ; 4 ) et D(4;2) appartiennent à (d2). A C D 1 o B 1 (d2) (d1) c. Les deux droites se coupent au point de coordonnées ( 1 ; 3,5 ) qui est donc la solution du système. 5 x 2 y = 12 x2y=8 ((–1)) 5 x 2 y = 12 –x–2y=–8 le système devient 5 x x = 12 – 8 On ajoute les deux équations : x+2y =8 donc soit 4x = 4 soit x = 4÷4 soit x = 1 1+2y = 8 soit 2y = 8–1 soit 2y = 7 soit y = 7÷2 soit y = 3,5 La solution de ce système est donc bien le couple ( 1 ; 3,5 ).
