Chapitre 12 : Temps et relativité restreinte I

Chapitre 12 : Temps et relativité restreinte
I- Quelle est la « vraie » vitesse de la lumière ?
La vitesse d'un objet dépend du référentiel d'étude. À la fin du XIXe siècle, deux
physiciens américains, Albert Michelson et Edward Morley, cherchent à appliquer à la
lumière la relativité du mouvement de la physique classique.
La Terre tourne autour du Soleil avec une certaine vitesse. Si une lumière est émise dans
la même direction et le même sens que cette vitesse, un observateur terrestre, qui a la
même vitesse que la Terre, devrait alors pouvoir observer la lumière se déplacer avec
une vitesse inférieure à celle d'une lumière émise, par exemple, dans une direction
perpendiculaire.
Le dispositif, employé en 1881 par Michelson et repris en 1887 avec la collaboration de
Morley consiste à faire interférer deux faisceaux lumineux, issus d'une même source,
après leur avoir fait parcourir des trajets aller-retour égaux dans deux directions
perpendiculaires grâce à des miroirs. La figure d'interférences obtenue en sortie se
déforme si la lumière prend du retard dans l'une des directions : soit parce que la
distance parcourue est différente, soit parce que la vitesse de la lumière est différente.
Les deux physiciens s'attendent à voir se modifier la figure d'interférences, visible au
niveau du détecteur, en faisant tourner le dispositif sur lui même, ce qui mettrait en
évidence l'existence de différentes valeurs possibles de la vitesse de la lumière. Le
résultat est inattendu : la figure d'interférences reste inchangée. Michelson et Morley
sont forcés d'admettre que la vitesse de la lumière reste résolument constante, ce qui est
en contradiction avec la physique de l'époque et de la relativité du mouvement admise
jusqu'alors.
Dans un premier temps, personne ne saura expliquer cette découverte, qui reste l'une
des plus importante et des plus célèbre de l'histoire de la physique. Elle vaudra à
Michelson, qui était à l'initiative de l'expérience, le prix Nobel de physique en 1907.
1) Quel est le but initial de l'expérience mise en œuvre par Michelson et
Morley ? Etudier l'influence sur la vitesse de la lumière du mouvement du référentiel d'étude par rapport à
une source de lumière
2) En quoi le dispositif expérimental mis en œuvre peut-il permettre d'atteindre l'objectif fixé ? Les 2
sources sont les miroirs, si le dispositif est en rotation alors les miroirs sont en mouvement par rapport au
labo/écran → la figure devrait être déformée
3) Quel phénomène optique est ici utilisé ? interférences
4) Quels sont les paramètres identifiés par Michelson et Morley qui peuvent avoir une influence sur le
phénomène étudié ? Distance parcourue différente ou vitesse de la lumière différente ?????
Résultat :
5) Quel résultat important et imprévisible ont-ils mis en évidence grâce à leur expérience ? → la vitesse
de la lumière est constante, quelque soit le référentiel d'étude, quelque soit le mouvement de la source...
6) En quoi ce résultat est-il en contradiction avec la physique classique étudié jusque-là ? Les vitesses
devraient s’additionner (faire un schéma)
Bilan : S'appuyant sur cette expérience, A. Einstein
énonça en 1905, un postulat relatif à la vitesse de la
lumière. Énoncer ce postulat.
Postulat de Einstein : La valeur de la vitesse de la lumière
dans le vide est la même dans tous les référentiels
galiléens.
II- Quelle heure est-il ? Notion de relativité restreinte
1) Relativité du temps
Visionner la vidéo et répondre au questionnaire suivant
a) Quels physiciens ont travaillé sur la relativité ? A
quelle époque ? Newton (début 18e), Einstein (début 20e)
1
Dispositif de l'expérience
Albert Michelson (1852-1931) et
Edward Morley (1838-1923)
A : t = 0 Le faisceau laser est « tiré » dans le train et
sur le quai
B : Sur le quai : Le faisceau arrive au bout du wagon à
tquai = 10 min
Dans le wagon : Le faisceau arrive au bout du wagon à
twagon = 10 min (Cependant tquai = 27 min)
A

b) Que faut-il définir avant de déterminer la vitesse d'un objet ? Le référentiel, vitesse par rapport à quoi ?
c) Un objet peut-il se déplacer plus vite que la lumière ? Négatif !
d) Que peut-on dire de la vitesse de lumière dans le wagon et sur le quai. Elle est identique
e) Quelle est la conséquence pour les longueurs du wagon vu du quai ? Elles sont plus courtes
f) Quelle est la conséquence sur l'heure dans le wagon vu du quai? Le temps s'écoule plus lentement, il est
plus tot dans le wagon.
g) Comment nomme t-on ce phénomène ? Contraction des longueurs et dilatation du temps
2
B

2) Durée propre et durée mesurée
Le temps (ou durée) propre, noté ΔT0 est la durée séparant deux événements ayant lieu au
même endroit, dans un référentiel galiléen (R). Dans ce référentiel, l'horloge mesurant cette
durée est fixe.
Le temps (ou durée) mesurée, ΔT' est la durée séparant deux événements mesurée par une
horloge fixe dans un référentiel galiléen (R') en mouvement par rapport au référentiel (R)
dans lequel on mesure le temps propre.
Si le référentiel (R') est en mouvement par rapport au
référentiel (R) la durée propre ΔT0 et la durée mesurée ΔT'
sont différentes : c'est la conséquence directe du phénomène
de dilatation des temps pour un observateur en mouvement.
Dans la vie courante, l'effet de cette dilatation n'est pas
perceptible.
a) On se place dans le cas de l'observateur terrestre
Exprimer, la durée propre ΔT0 mise par le rayon laser pour
effectuer l'aller-retour Terre-Lune, en fonction de la
distance d et de la vitesse de la lumière c
ΔT0=2d
c
b) On se place maintenant dans le cas de l'observateur embarqué dans la navette spatiale, qui se déplace à
la vitesse v.
i) Donner l'expression de la durée mesurée ΔT' mise par la lumière pour effectuer l'aller-
retour Terre-Lune en fonction de la distance D et de la vitesse de la lumière c.
ΔT ' =2D
c
ii) Exprimer la durée mesurée en fonction de la distance L et de la vitesse v du vaisseau
spatial.
La durée correspond à la durée nécessaire pour la Terre pour parcourir la distance L, sachant que d'un
point de vue de la navette la Terre se déplace à une vitesse v.
ΔT ' =L
v
c) Déduire une relation entre ΔT0 , ΔT' , c et v (Astuce : commencer par établir la relation entre D, d
et L)
relation entre les longueurs (Pythagore) :
D2=l2
4+d2
on injecte dans cette expression les valeurs des longueurs en fonction du temps données par les questions
précédentes :
ΔT ' 2×c2=Δ T ' 2×v2+Δ T0
2×c2
CQFD ! (à arranger par la suite … )
d) Montrer que la durée mesurée ΔT' et la durée propre ΔT0 sont liés par la relation de proportionnalité :
ΔT' = γ.ΔT0
3
Modélisation du parcours de la lumière

avec γ un coefficient à exprimer en fonction de v et c.
A partir de la relation précédente on peut isolé
ΔT '
, on passe tout de l'autre coté, on factorise … :
ΔT ' 2(c2– v2)=c2×Δ T0
2
soit :
ΔT ' 2=c2
(c2−v2)ΔT0
2
ΔT ' =
√
c2
(c2−v2)ΔT0
Aller on est bon en maths : on factorise par c et on simplifie la fraction !
ΔT ' =
√
1
(1−v2
c2)
ΔT0
on retourne bien l'expression demandée avec
γ=
√
1
(1−v2
c2)
e) La relativité restreinte est la limite de la mécanique classique (Newtonienne). Les lois de Newton sont
applicables lorsque la durée mesurée est égale (ou quasi-égale) à la durée propre. Remplir le tableau
suivant :
Vitesse de
l'observateur
Voiture
v=108 km.h-1
Fusée :
v = 8000 m.s-1
2,6.108
γ1 1 2
f) Quelles sont donc les cas où il est indispensable de prendre en
compte la dilatation des durées ?
Lorsqu'on s'approche de la vitesse de la lumière
g) Une particule peut-elle atteindre la vitesse de la lumière ?
Non, on peut s'en approcher mais ce n'est pas possible, car sinon le
temps serait infini !
III- Manifestation de la relativité
1) Positionnement GPS
« […] Aujourd'hui, la plupart des récepteurs GPS grand public peuvent localiser votre position avec une
précision de 15 mètres. Cela implique que le système de localisation intègre la théorie de la relativité. Si
l'on n'en tenait pas compte, les horloges en orbite ne seraient pas synchronisées avec les horloges au sol.
La relativité prédit que le temps s’écoule plus lentement pour des objets se déplaçant rapidement. Chaque
satellite GPS parcourant environ 14 000 kilomètres par heure, leur horloge atomique retarde d'environ
sept microsecondes par jour par rapport à une horloge au sol. L’effet de la gravitation sur l'écoulement du
temps est plus important encore. À une altitude moyenne de 20 000 kilomètres, les satellites GPS
subissent une attraction gravitationnelle 17 fois moindre qu’au sol. Cet effet avance leurs horloges de 45
microsecondes par jour. Ainsi, le GPS doit corriger un décalage global de 38 microsecondes. Si les
satellites n'effectuaient pas cette compensation, on aboutirait à une erreur de 11 kilomètres par jour. Dans
les années 1970, la nécessité de corriger les effets relativistes n'était pas évidente aux yeux des premiers
concepteurs du GPS, ingénieurs militaires pour la plupart. Il y eut une controverse, et le premier satellite
GPS fut lancé sans correction de fréquence, mais avec une commande à distance pour l'activer en cas de
4
Évolution du coefficient γ en
fonction du rapport v/c

besoin. Il fut vite évident que la correction devait être activée en permanence. […] »
Extrait du journal Pour la Science n° 326 Décembre 2004
Données : Masse de la Terre : M = 5,98.1024 kg
Rayon de la Terre R = 6380 km
Constante gravitationnelle universelle : G = 6,67.10-11 m3.kg-1.s-2
Les satellites GPS sont en orbite quasi-circulaire.
1) Calculer leur période de révolution et leur vitesse orbitale en m/s et en km/h (Rappel : loi de Kepler
T2
a3=4π2
G.M
). Comparer à l’extrait précédent.
T2
a3=4π2
G.M
Avec a = R + h = (6380+20000).103 = 2,638.104 m → T= 4,26.104 s
Dans l'extrait : v = 14 000 km.h-1 = 3,9.104m.s-1
et la circonférence de la trajectoire vaut : d = 2πa = 1,658.108 m
d'où :
T=d
v=1,658.108
3,9.104
= 4,26.104 s
On retrouve le même résultat
On considère que le temps propre est défini par l’horloge atomique embarquée à bord du satellite. Sur de
petites distances, le mouvement circulaire du satellite peut être considéré comme rectiligne uniforme et le
référentiel propre du satellite peut être considéré comme galiléen.
2) L’intervalle de temps propre (ΔT0) associé à 2 événements dans le référentiel du satellite est-il plus
court que l’intervalle de temps ΔT entre ces 2 événements mesuré dans tout autre référentiel galiléen ?
ΔT0 > ΔT
Retrouver la phrase de l’extrait qui confirme ce résultat.
« leur horloge atomique retarde d'environ sept microsecondes par jour par rapport à une horloge au sol »
3) Calculer en seconde la durée d’une journée terrestre mesurée sur Terre.
J = 24h=8,64.104 s
4) Calculer le retard τ accumulé en une journée terrestre par l’horloge embarquée à cause de l’effet
relativiste précédent.
γ= 1
√
(1−( v
c)
2
)
=1
√
1−
(14000
3,6 )
2
(3.108)2
= 1,00000000008402
τ = (γ-1).J = 7.10-6 s = 7 µs
Comparer à l’indication fournie dans l’extrait (il est probable que la mémoire de votre calculatrice soit
insuffisante, utiliser un tableur le cas échéant).
5) Calculer l’incertitude Δd sur la position du récepteur qu’engendrerait cette dérive journalière. Peut-on
négliger cette incertitude ?
Δd=c.τ = 2100 m.
Non négligeable
6) A l’altitude des satellites GPS, l’attraction gravitationnelle est-elle effectivement « 17 fois moindre
qu’au sol » comme indiqué dans le texte?
Fsol=GM.m
R2
Et
FAlt =GM.m
(R+H)2
Calculons le rapport entre ces deux forces :
5