Relativité restreinte

LA RELATIVITE RESTREINTE
I) L’expérience de Michelson et Morley (1887)
Compte-tenu de la vitesse de la terre sur son orbite,
la vitesse d’un rayon de lumière devrait être de
300 030 000 m/s lorsqu’on se dirige vers la source
cosmique qui l’émet et de 299 970 000 m/s lorsqu’on
s’en éloigne (cours de seconde sur la relativité du
mouvement qui dépend du référentiel d’étude).
Mais, lors d’une expérience en 1887, au cours de
laquelle Michelson et Morley essayèrent de mesurer
cette modification de la valeur mesurée de la vitesse
de la lumière du fait de la vitesse de déplacement de
la Terre, les deux scientifiques constatèrent que la lumière a tout le temps la même vitesse, quelle que soit la
manière dont on se déplace par rapport à elle.
Einstein en 1905, énonça un postulat qui allait bouleverser le monde de la physique
Le postulat d’Einstein (1870 – 1952) :
Les lois de la physique sont les mêmes dans tout
référentiel galiléen. La vitesse de la lumière dans le vide
est indépendante du référentiel d’étude et vaut :
c = 299 792 458 m·s‒1 par rapport à tout référentiel
galiléen.
II) Activité sur le muon page 211
III) La dilatation du temps : Relation entre temps propre et temps mesuré
Un astronaute dans une fusée éclaire un miroir placé au dessus de lui à une distance L'. Le référentiel R1 (lié à la
fusée) est supposé galiléen. On place une horloge dans ce référentiel. La durée mise par l'éclair pour parcourir
un aller retour entre le point d'émission et de réception du signal est:
c
2 .L '
To
c = 3,00x108m.s-1 : célérité de la lumière
To est appelé le temps propre car il est mesurée par une horloge placé dans le référentiel ou se passe
l'évènement « aller retour de l'éclair ».
Plaçons-nous sur le référentiel terrestre. On considère que la fusée a un mouvement rectiligne uniforme par
rapport au référentiel terrestre R2. Sa vitesse est notée v.
Durant cet événement, La fusée se déplace d'une distance d = v T' par rapport au référentiel terrestre R2.
L'éclair parcourt donc une distance 2a. Etant donné que c ne dépend pas du référentiel d’étude, on a
c=
Etablir une relation entre T0 et T’
2a
T '
IV) Le facteur de Lorentz
Dans les activités précédentes, vous avez mis en évidence le caractère relatif du temps : la durée d’un
événement, mesurée depuis un point fixe n’est pas la même mesurée depuis un point mobile.
Dans l’expression de T’ en fonction de T0 apparait un facteur appelé facteur de Lorentz et dont l’expression
est :
Ce facteur permet de quantifier les effets relativistes liés à la vitesse v.
L’utilisation d’un tableur permet d’afficher les valeurs de en fonction de v exprimée en pourcentage de la valeur
de c (voir graphe ci-après)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Quelle est la valeur minimale du facteur
de Lorentz ? Indiquez-la sur le graphe cicontre.
Pour quelle valeur de v le facteur de
Lorentz est-il minimum ? Quelle relation
y a-t-il alors entre T0 et T’ ?
Justifier à l’aide du graphe qu’il ne soit
pas nécessaire de tenir compte des
phénomènes relativistes pour des faibles
vitesses.
Pour quelle valeur de v le facteur de
Lorentz n’est-il pas
défini mathématiquement? Vers quelle
valeur T’ tend t-il lorsque v approche
cette valeur indéfinie
mathématiquement?
Pour quelle vitesse v en km/s a-t-on un
facteur de Lorentz égal à 7,0 ?
Quelle est la durée d’un événement,
mesurée par un observateur se déplaçant
par rapport à lui à la vitesse v calculée à
la question 5. si la durée propre de cet
événement est T0=1s ?
Y=f(% c)
25
20
%c
Gamma
0
10
50
90
99
99,9
1
1,005
1,155
2,294
7,089
22,366
15
Y
10
5
0
0
50
100
150
%c
V) Le système GPS (Voir animation livre)
« C’est avec le lancement du Spoutnik en 1957 que l’idée du GPS (Global Positioning System) est née. En admettant que la
position des satellites dans le ciel soit bien connue, comment depuis la Terre puis-je connaître ma distance par rapport à un
satellite ? Cela est simple : depuis le point où je me trouve, il suffit que j’émette un signal électromagnétique vers un
satellite et que j’attende son retour après réflexion ; connaissant la vitesse de propagation du signal (300 000 km/s) je
pourrais déterminer ma distance. Si par exemple, l’aller-retour dure 0,2 seconde, je saurai que je me trouve à 30 000 km du
satellite. Il suffira donc que je répète cette opération avec trois ou quatre satellites différents pour me localiser
précisément. Pour atteindre cet objectif, nous avons donc besoin d’horloges parfaitement synchronisées qui garantissent une
précision atomique. Or, en raison de sa vitesse(*), une horloge à bord d’un satellite GPS prend environ 7s de retard par
jour par rapport à une horloge au sol (principe de relativité restreinte). Donc, la correction qu’il faut introduire dans la
lecture précise de l’heure est principalement due à la relativité dans son ensemble. Sans cette correction, l’estimation de la
durée du voyage des signaux GPS serait erronée et la localisation précise serait impossible. »
D’après Kamil Fadel pour Science.gouv.fr (20 décembre 2007)
( * 14 000 km/h )
1- Calculez en microsecondes le retard, T’-T0, pris sur une journée par l’horloge interne du satellite
relativement à une horloge identique sur Terre et comparer avec la donnée de l’énoncé
2- A quelle valeur d’imprécision de distance sur une journée le retard temporel conduirait-il sans correction
des effets relativistes?