Page 1 Réponse : 381654729 Solution à l`énigme n°07 : On

Réponse : 381654729
Solution à l’énigme n°07 :
On note
abcdefghi
le nombre cherché .
Les lettres a,b,….h,i représentent donc des entiers naturels distincts de l’ensemble{1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Un nombre entier est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5 donc ici on a nécessairement e=5.
Un nombre divisible par 2, 4, 6 ou 8 est pair donc b,d,f et h sont nécessairement pairs et ce sont donc les 4
entiers naturels de l’ensemble {2,4,6,8}.
On en déduit que a, c, g et i sont impairs et dans {1,3,5,7}.
abcd
est un multiple de 4 donc
cd
est un multiple de 4. Comme c est impair d est dans {2,6}
(les multiples de 4 concernés sont 12, 16,32,36,52,56,….96).
Comme
abcd5fgh
est un multiple de 8, on a
fgh
qui est aussi un multiple de 8 et donc de 4 avec g impair
donc h est dans {2,6}.
Comme d et h sont les nombres de {2,6}, b et f sont les nombres de {4,8}.
On a donc pour l’instant notre nombre qui s’écrit sous l’une des formes suivantes :
a4c258g6i ou a8c254g6i ou a4c658g2i ou a8c654g2i.
abcd5f
est un multiple de 6 donc de 3. Comme
abc
est aussi un multiple de 3,
d5f
doit aussi être un
multiple de 3. Parmi les 4 possibilités précédentes, seuls 258 et 654 sont des multiples de 3 d’où deux
possibilités du type
a4c258g6i ou a8c654g2i.
a4c258g6
est un multiple de 8 donc
8g6
aussi et
1,3,7,9g
d’où g=1 ou g=9.
a8c654g2.
est un multiple de 8 donc
4g2
aussi et
1,3,7,9g
d’où g=3 ou g=7.
Notre nombre s’écrit donc sous l’une des 4 formes :
a4c25816i ou a4c25896i ou a8c65432i ou a8c65472i.
On revient au fait que le nombre formé par les 3 premiers chiffres est divisible par3 et l’on étudie les 4 cas
précédents.
a4c
est un multiple de 3 et
, sont dans 3,7,9ac
donc a+4+c=14, 16 ou 20 qui ne sont pas des
multiples de 3. Ce premier cas est impossible
a4c
est un multiple de 3 et
, sont dans 1,3,7ac
donc a+4+c=8,12 ou 14 . Seul 12 est un multiple
de 3 et il correspond à à
{ , } 1,7ac 
ce qui donne i=3 (seul nombre impair restant)

a8c
est un multiple de 3 et
, sont dans 1,7,9ac
donc a+8+c=16, 18 ou 24.
18 est un multiple de3 et il correspond à
{ , } 1,9ac 
ce qui donne i=7 (seul nombre impair restant)
24 est un multiple de3 et il correspond à
{ , } 7,9ac 
ce qui donne i=1 (seul nombre impair restant)
a8c
est un multiple de 3 et
, sont dans 1,3,9ac
donc a+8+c=12, 18 ou 20.
12 est un multiple de3 et il correspond à
{ , } 1,3ac 
ce qui donne i=9 (seul nombre impair restant).
18 est un multiple de3 et il correspond à
{ , } 1,9ac 
ce qui donne i=3 (seul nombre impair restant).
Finalement il nous reste 10 candidats :
147258963 , 741258963, 189654327, 981654327, 789654321, 987654321, 183654729, 381654729,
189654723 et 981654723.
Tous ces nombres sont divisibles par 9 car la somme de leurs chiffres 45 est divisible par9.
On teste à la calculatrice si le nombre formé par les 7 premiers chiffres est divisible par 7 et l’on constate que
seul le nombre 381654729 convient.