INTERROGATION ECRITE : suites

EXERCICE D'AUTO-ÉVALUATION : DIVISIBILITÉ ET NOMBRE PREMIERS
Approfondissement :
Vrai ou Faux ?
Affirmations
N°
1
Affirmations
Le carré d'un nombre impair est impair.
2
2
Vrai
B
Tout nombre entier peut s'écrire comme une somme de deux
carrés de nombres entiers.
Faux
Vrai
2
La somme de deux nombres premiers est un nombre premier.
5 + 3 = 8 qui n'est pas premier.
Faux
3
Pour tout entier naturel n, (n + 1)² – (n – 1)² est un multiple de 4.
(n + 1)² – (n – 1)² = 4n
Vrai
4
La somme de deux multiples de a est un multiple de a.
C'est une propriété du cours.
Vrai
5
Le quotient de deux multiples de a est un multiple de a.
24 et 12 sont des multiples de 3, ce n'est pas le cas de leur
quotient.
Faux
Si m est un multiple de a et n un multiple de b, alors m+n est un
multiple de a+b.
Faux
6
Si ab est impair, alors a+b est pair.
Si l'un au moins des nombres a ou b est pair, alors le produit ab est
pair. On en déduit que les nombres a et b sont tous les deux
impairs , il en résulte que leur somme est paire.
Vrai ou Faux ?
(2k +1) =4k + 4k +1=2×( 2k +2k )+ 1
2
A
7 n'est pas la somme de deux carrés d'entiers. (ni d'un dentier
carré d'ailleurs)
C
Pour tout entier naturel n, 199+210n est premier.
Pour n = 199, on obtient clairement un multiple de 199.
Faux
D
672 est un nombre triparfait, c'est à dire que la somme de ses
diviseurs vaut 3x672.
Vrai
Calculer la somme de ses diviseurs pour vérifier...
E
840 est le nombre inférieur à 1000 qui a le plus grand nombre de
diviseurs.
Un programme est nécessaire pour le vérifier : compter le nombre
de diviseurs de tous les nombres inférieurs à 1000 et garder en
mémoire celui qui en a le plus...
Vrai
F
1729 est le plus petit nombre qui peut s'écrire de deux façons
différentes comme une somme de deux cubes d'entiers.
Vrai
10 est un multiple de 5, 6 est un multiple de 2, pourtant 16 n'est
pas un multiple de 7.
7
8
Pour tout entier naturel n, 6n+1 ou 6n-1 est premier.
Utiliser un tableau de valeurs sur la calculatrice et une table de
nombres premiers... pour n = 41, on obtient 241 et 243 qui ne
sont pas premiers.
Faux
Un entier divisible par 3 et par 6 est divisible par 18.
Faux
Là encore, un programme est nécessaire.
G
En fait, quel que soit l'entier naturel n, le chiffre des unités de
n
6 est 6 (démonstration par récurrence).
12 n'est pas divisible par 18.
9
10
Pour tout entier naturel n, n²+n+41 est premier.
Pour n = 41, n²+n+41 est clairement divisible par 41.
Si m est un multiple de a et n un multiple de b, alors mxn est un
multiple de axb.
Si m = ka et n = k'b, alors mn = (kk')ab...
Faux
Vrai
Vrai
62013 est 6.
Le chiffre des unités de
H
1
2
3
3
Faux
2 2013 est 8.
Le chiffre des unités de
4
5
6
7
2 =2 ; 2 =4 ;2 =8 ; 2 =8 ; 2 =16 ; 2 =32 ; 2 =64 ; 2 =128...
en observant le chiffre des unités des résultats, on observe un
cycle... si on admet provisoirement ce résultat, on constate que
2
n
se termine par un 8 lorsque n est de la forme 4n+3.
Or 2013 = 2012 +1,
2 2013 se termine donc par un 2.