INTERROGATION ECRITE : suites

EXERCICE D'AUTO-ÉVALUATION : DIVISIBILITÉ ET NOMBRE PREMIERS
N° Affirmations Vrai ou Faux ?
1Le carré d'un nombre impair est impair.
(2k +1)2=4k2+4k +1=2×(2k2+2k )+1
Vrai
2La somme de deux nombres premiers est un nombre premier.
5 + 3 = 8 qui n'est pas premier.
Faux
3Pour tout entier naturel n, (n + 1)² – (n – 1)² est un multiple de 4.
(n + 1)² – (n – 1)² = 4n
Vrai
4La somme de deux multiples de a est un multiple de a.
C'est une propriété du cours.
Vrai
5Le quotient de deux multiples de a est un multiple de a.
24 et 12 sont des multiples de 3, ce n'est pas le cas de leur
quotient.
Faux
6Si m est un multiple de a et n un multiple de b, alors m+n est un
multiple de a+b.
10 est un multiple de 5, 6 est un multiple de 2, pourtant 16 n'est
pas un multiple de 7.
Faux
7Pour tout entier naturel n, 6n+1 ou 6n-1 est premier.
Utiliser un tableau de valeurs sur la calculatrice et une table de
nombres premiers... pour n = 41, on obtient 241 et 243 qui ne
sont pas premiers.
Faux
8Un entier divisible par 3 et par 6 est divisible par 18.
12 n'est pas divisible par 18.
Faux
9Pour tout entier naturel n, n²+n+41 est premier.
Pour n = 41, n²+n+41 est clairement divisible par 41.
Faux
10 Si m est un multiple de a et n un multiple de b, alors mxn est un
multiple de axb.
Si m = ka et n = k'b, alors mn = (kk')ab...
Vrai
Approfondissement :
Affirmations Vrai ou Faux ?
ASi ab est impair, alors a+b est pair.
Si l'un au moins des nombres a ou b est pair, alors le produit ab est
pair. On en déduit que les nombres a et b sont tous les deux
impairs , il en résulte que leur somme est paire.
Vrai
BTout nombre entier peut s'écrire comme une somme de deux
carrés de nombres entiers.
7 n'est pas la somme de deux carrés d'entiers. (ni d'un dentier
carré d'ailleurs)
Faux
CPour tout entier naturel n, 199+210n est premier.
Pour n = 199, on obtient clairement un multiple de 199.
Faux
D672 est un nombre triparfait, c'est à dire que la somme de ses
diviseurs vaut 3x672.
Calculer la somme de ses diviseurs pour vérifier...
Vrai
E840 est le nombre inférieur à 1000 qui a le plus grand nombre de
diviseurs.
Un programme est nécessaire pour le vérifier : compter le nombre
de diviseurs de tous les nombres inférieurs à 1000 et garder en
mémoire celui qui en a le plus...
Vrai
F1729 est le plus petit nombre qui peut s'écrire de deux façons
différentes comme une somme de deux cubes d'entiers.
Là encore, un programme est nécessaire.
Vrai
GLe chiffre des unités de
62013
est 6.
En fait, quel que soit l'entier naturel n, le chiffre des unités de
6n
est 6 (démonstration par récurrence).
Vrai
HLe chiffre des unités de
22013
est 8.
21=2;22=4;23=8;23=8;24=16 ;25=32 ;26=64 ;27=128...
en observant le chiffre des unités des résultats, on observe un
cycle... si on admet provisoirement ce résultat, on constate que
2n
se termine par un 8 lorsque n est de la forme 4n+3.
Or 2013 = 2012 +1,
22013
se termine donc par un 2.
Faux