Le paradoxe de Zenon ou comment la notion d`infini vint aux Grecs

Université en Ligne
Mathématiques
Annette Decomps
Université Pierre et Marie Curie
Séries à termes réels ou complexes
Introduction
1. Définitions et théorèmes généraux
1.1. Définitions
1.2. Exemples
1.3. Condition nécessaire de convergence
1.4. Propriétés de linéarité
1.5. Critère de Cauchy pour les séries
1.6. Convergence absolue
2. Séries à termes positifs. Règles de convergence absolue
2.1. Critère de convergence
2.2. Théorème de comparaison
2.3. Comparaison à une série géométrique : règles de d’Alembert et de Cauchy
2.4. Séries de Riemann. Conséquences
3. Propriétés des séries absolument convergentes
3.1. Produit de deux séries absolument convergentes
3.2. Séries commutativement convergentes
4. Critères de semi-convergence
4.1. Théorème des séries alternées
4.2. Théorème d’Abel
5. Intégrales impropres et séries
5.1. Théorème général
5.2. Cas des fonctions positives
5.3. Cas des fonctions positives décroissantes
5.4. Séries de Bertrand
6. Calcul approché de la somme d’une série

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6.1. Cas de calculs exacts
6.2. Méthode générale
6.3. Séries satisfaisant aux hypothèses du théorème des séries alternées
6.4. Séries à convergence géométrique
6.5. Séries comparables à des intégrales impropres
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Introduction : le paradoxe de Zénon ou comment la notion d’infini vint aux Grecs
Dans la seconde moitié du Ve siècle avant J.C. les Grecs commençaient à entrevoir les notions
d’infini et de continu opposées à celles de fini et de discret moins abstraites. Le paradoxe du
coureur de Zénon illustre leurs difficultés à formuler ces notions qui ne seront correctement
définies qu’au… XIXe siècle.
Un coureur part d’un point A pour arriver à un point B à une distance d de A. Avant d’arriver
en B, il doit parcourir la distance d/2 et arriver en C1, milieu de AB, puis en C2 milieu de C1B
et ainsi de suite. Conclusion : le coureur n’arrivera jamais en B.
Figure 1 avec animation
Que faisait Zénon mathématiquement parlant ? Il considérait la somme
1
2+1
2
⎛
⎝ ⎞ ⎠
2
+1
2
⎛
⎝ ⎞ ⎠
3
+...+1
2
⎛
⎝ ⎞ ⎠
n,
qui vaut 1
2
1−1
2n
1−1
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟ =1−1
2n . Puis il prenait des valeurs de n de plus en plus grandes. Ainsi la
somme comportait de plus en plus de termes, mais la valeur des termes ajoutés, quand n
augmentait, était de plus en plus petite. Le paradoxe tenait en ce que, comme ses
contemporains, Zénon ne pouvait concevoir qu’une somme infinie de quantités de plus en
plus petites puisse être égale à une grandeur finie. En fait, comme Monsieur Jourdain faisait
de la prose sans le savoir, Zénon considérait mentalement la série géométrique de raison 1/2,
dont la somme vaut 1. L’expérience lui disait qu’elle vaut 1, mais il ne pouvait le concevoir.
On retrouve souvent dans la vie pratique cette série géométrique de raison 1/2, ainsi dans ce
problème de gastronomie élémentaire bien connu.
J’achète une tarte
- le premier jour je mange la moitié soit 1/2 tarte,
- le second jour je mange la moitié de ce qui reste soit (1/2).(1/2)=1/4 tarte,
- le troisième jour je mange la moitié de ce qui reste soit (1/2).(1/4)=1/8 tarte.
Au bout de n jours j’ai donc mangé 1
2+1
2
⎛
⎝ ⎞ ⎠
2
+1
2
⎛
⎝ ⎞ ⎠
3
+...+1
2
⎛
⎝ ⎞ ⎠
n tarte, soit
3

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1
2
1−1
2n
1−1
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟ =1−1
2n tarte.
Figure 2 avec animation
Comme dit Woody Allen, l’éternité c’est long surtout à la fin, mais j’aurai alors mangé toute
la tarte.
Dans les deux cas, on a donné un sens à une somme d’un nombre infini de nombres :
1
2+1
2
⎛
⎝ ⎞ ⎠
2
+1
2
⎛
⎝ ⎞ ⎠
3
+...+1
2
⎛
⎝ ⎞ ⎠
n
+... =1.
Le problème général schématisé dans ces deux exemples est le suivant :
peut-on donner un sens à une somme d’un nombre infini de termes ?
C’est l’objet de ce chapitre dans lequel on considère des suites un
(
) dont les termes sont des
nombres, réels ou complexes, (suites numériques). Dans les chapitres suivants, nous
considèrerons des éléments de certains espaces vectoriels, en particulier des espaces de
fonctions. Dans tous les cas, on cherche à quelles conditions on peut donner un sens à
l’expression . On associe pour cela à la suite
un
n=0
+∞
∑un
(
) la suite sn
(
) définie par s; on
cherche alors des conditions, en général suffisantes, sur la suite
n=uk
k=0
n
∑
un
(
) pour que la suite soit
convergente. Lorsque la suite est convergente, on peut se demander si les propriétés de
commutativité et d’associativité des sommes finies s’étendent à des sommes comportant un
nombre infini de termes.
sn ()
sn ()
L’étude des séries joue un rôle fondamental en analyse : les séries réelles permettent de
construire des nombres comme e qui ne sont ni rationnels ni même algébriques (un nombre
algébrique est un nombre qui est racine d’une équation algébrique
P
(
x
)=0 , où P est un
polynôme à coefficients entiers) et d’en calculer des valeurs approchées. Les séries de
fonctions conduisent à définir de nouvelles fonctions. Les séries entières et les séries de
Fourier, en particulier, sont à la base d’une partie importante de l’analyse : l’analyse
harmonique.
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1. Définitions et théorèmes généraux
1.1. Définitions
Définition. Série convergente, série divergente. Soit un
(
) une suite de nombres réels ou
complexes, et, pour tout n, soit
∈N
sn=u0+u1+...+un=uk
k=0
n
∑,
la somme des n+1 premiers termes de cette suite.
Si la suite est convergente, on dit que la série de terme général u
sn () n (ou série ) est
convergente. La limite, notée s, de la suite
un
∑
sn
(
) est la somme de la série . On écrit
alors : .
un
∑
s=un
0
+∞
∑
Si la suite est divergente, on dit que la série de terme général u
sn () n (ou série ) est
divergente.
un
∑
Il existe donc pour les séries numériques, deux sortes de séries divergentes :
- les séries telles que la suite n’a pas de limite,
sn ()
- les séries telles que la suite tend vers
sn ()
+
∞ ou
−
∞
.
Définition. Somme partielle d’ordre n. Le nombre sn=u0+u1+...+un=uk
k=0
n
∑ est appelé
somme partielle d’ordre n de la série un
∑
.
Remarques
a. Du point de vue purement logique la série de terme général un s’identifie complètement
avec la suite et le mot série ne désigne pas une notion réellement nouvelle. La théorie des
séries pourrait se ramener à celle des suites, mais du point de vue pratique, il est plus
commode d’étudier la convergence de la série à partir de la donnée de u
sn ()
n. C’est pour une
grande part l’objet de ce chapitre.
Réciproquement, si une suite est donnée, on peut lui associer la série de terme général
sn ()
u0=s0 et ∀. On a alors : ∀. n≥1, un=sn−sn−1n≥0, sn=uk
k=0
n
∑
b. À propos des notations
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