8-Primitives ∫= x ∫x ∫= x

8-Primitives
1 Intégrales et primitives
1-1 Généralités
1-1-1 Définition
f étant définie sur un intervalle I de l’ensemble des nombres réels, une fonction F,
définie sur I, est une primitive de f sur I si et seulement si
=∈∀ )x(f)x('FIx
IsurdérivableestF
1-1-2 Théorèmes
Deux primitives de f sur l’intervalle I diffèrent d’une constante. C’est-à-dire que, si F
est une primitive de f sur I, alors toute primitive de f sur I est de la forme :
C)x(Fx
+
a
où C est une constante réelle.
Si f est continue sur un intervalle I, alors f admet des primitives sur cet intervalle et
pour tout a de l’intervalle I la fonction F définie par :
∫
=x
adt)t(f)x(F
est une primitive de f sur I. C’est l’unique primitive de f qui s’annule en a.
Rappel : La fonction logarithme, définie sur l’ensemble des réels strictement positifs,
est la primitive de la fonction
x
1
xa qui s’annule en 1.
∫x
1dt
t
1
x:ln adonc ∫ =x
1dt
t
1
)x(ln
on a donc par définition :
( )
x
1
'xlnet0)1ln( ==
On note
∫
dx)x(f l’une quelconque des primitives de f

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Pour toute primitive F de f sur I, contenant a, on a :
∫−=
x
a)a(F)x(Fdt)t(f
Le calcul d’intégrales des fonctions continues se ramène donc à la recherche de
primitives.
1-1-3 Propriété de linéarité
Soient α et β deux réels, f et g deux fonctions réelles admettant des primitives F et G
sur un intervalle I de l’ensemble des réels alors :
GF
β
+
α
est une primitive de gf
β
+
α
sur I
et on écrit :
∫ ∫ ∫
β+α=β+αdx)x(gdx)x(fdx))x(g)x(f(
Exemple :
(
)
C
x
x
cos
5
x
xdx2xdxsin5dxx3dxx2xsin5x3)x(P
23
22
+++=
+−=+−= ∫∫∫∫
C étant une constante réelle

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1-2 Primitives usuelles
f(t) I Intervalle de validité Une primitive de f
sur I
0Rk
aRat
{{ }}
1Qr,tr−−−−∈∈ si r<0 alors R+*
si r>0 alors R 1r
t1r
++
++
cos t Rsin t
sin t R−− cos t
t
1R+* ou R− ∗ tln
t
eRt e
tan t
ΖΖ
∈∈
 ππ++
ππ
ππ++
ππ
−− k,k
2
;k
2tcosln−−
2
t1
1
−−
]] [[
1;1−−
t
sin
Arc
tcos
1
ttan12
2==++
ΖΖ
∈∈
 ππ++
ππ
ππ++
ππ
−− k,k
2
;k
2
t
tan
sh t Rch t
ch t Rsh t
tth1
tch
12
2−−== Rth t
2
t11 ++ RArctan t
22
t
a
1
++
Ra
t
tanArc
a
1
22
t
a
1
−−
]] [[
a;∞∞−− ou
]] [[
a;a−− ou
]] [[
∞∞++;atata
ln
a2
1−− ++

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Exemple :
( )
3
352422
3
2
32
2
1
3
2
1
Cxx2x
5
9
dx)1x6x9(dx)1x3()x(P
C)1x2(
6
1
dx)1x2()x(P
C2x
3
1
dx)2x()x(P
+++=++=+=
+−=−=
+−=−=
∫∫
∫
∫
C1, C2, et C3 sont des constantes réelles.
(MATH08E01A)
Donner les intervalles d’existence et calculer les primitives suivantes :
dx)1x()x(P
dx)
x
1
x()x(P
2
2
2
1
∫
∫
+=
+=
dx
)x1(x
)x(P
dx
x1x
)x(P
24
3
4
4
3
3
∫
∫
+
=
+
=
2 Méthodes de calcul
2-1 Intégration par parties
2-1-1 Théorème
Soient u et v deux fonctions dérivables, de dérivées continues sur un intervalle I de
l’ensemble des réels, et deux réels a et b de I. On a alors :
[ ]
∫∫ −= b
a
b
adt)t(v)t('u)t(v)t(udt)t('v)t(ub
a
Et pour la notation des primitives adoptée :
∫
∫
−= dt)t(v)t('u)t(v)t(udt)t('v)t(u

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2-1-2 Exemples d’utilisation
• Produit d’une fonction polynôme et d’une fonction dont on connaît une primitive.
L’idée est de baisser le degré du polynôme par des intégrations par parties
successives en posant u la fonction polynôme
Exemple :
∫
=dxxcosx)x(F
En posant :
Cxcosxsinxdxxsin1xsinx)x(F
xcos'vxsinv
1'uxu
++=−=
==
=
=
∫
C étant une constante réelle
• Produit d’une fonction polynôme par une fonction logarithme, une fonction
trigonométrique réciproque ou d’une fonction hyperbolique réciproque.
On pose u la fonction logarithme, la fonction trigonométrique réciproque ou la
fonction hyperbolique réciproque
Résultat classique :
Sur tout intervalle I de l’ensemble des réels strictement positifs :
∫
+−= Cxxlnxdxxln
C étant une constante réelle
Exemples :
• Calculons :
( )( )( )
∫∫ −−=+−= 5
4
5
4dx1x3xlndx)3x4xln(I2
Cette intégrale est bien définie car :
[
]
(
)
(
)
∫ ∫ ∫ −+−=+−=
>
−
−
>
−
>
−
5
4
5
4
5
4dx)1xln(dx)3xln(dx)3x4xln(I
01x3xdonc5;4sur01xet03x
2
on pose 1xtpuis3xt
−
=
−
=
dxdt
=
En effectuant le changement de variables et en modifiant les bornes,
comme
∫
+−= Cxxlnxdxxln (C constante réelle)