Cours de Mathématiques

ENSEIGNEMENT DE PROMOTION SOCIALE
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Cours de
MATHEMATIQUES
- Eléments de Trigonométrie -
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H. Schyns
Novembre 2008

Eléments de TrigonométrieSommaire
H. SchynsS.1
Sommaire
1.INTRODUCTION
1.1.Plan du document
1.2.Petit historique
2.PRINCIPES
2.1.Mesure des angles
2.2.Cercle trigonométrique
2.3.Variation du sinus et du cosinus
2.3.1.Premier quadrant
2.3.2.Deuxième quadrant
2.3.3.Troisième quadrant
2.3.4.Quatrième quadrant
2.4.Graphe de la fonction
2.5.Relation fondamentale
2.6.Autres fonctions trigonométriques
2.7.Unités de mesure
2.7.1.Le degré
2.7.2.Le radian
2.7.3.Le grade
2.7.4.Le mil angulaire
2.7.5.Conversions
2.8.Valeurs particulières
3.RÉSOLUTION DE TRIANGLES RECTANGLES
3.1.Objectif
3.2.Relations fondamentales
3.3.Mesurer la hauteur d'un arbre
3.4.Variante
3.5.Mesure d'une altitude
4.RÉSOLUTION DE TRIANGLES QUELCONQUES
4.1.Principe
4.2.Formule aux sinus
4.3.Formules aux cosinus
4.4.Triangulation
4.4.1.Illustration
4.4.2.Résolution

Eléments de TrigonométrieSommaire
H. SchynsS.2
5.FORMULES TRIGONOMÉTRIQUES
5.1.Avertissement
5.2.Angles complémentaires et supplémentaires
5.3.Relation fondamentale
5.4.Addition d'angles
5.5.Angles doubles
5.6.Formes tangente
5.7.Angles demis
5.8.Somme - Produit (Simpson)
6.TRIGONOMÉTRIE ET REPÈRES
6.1.Rotation de repères
6.1.1.Position du problème
6.1.2.Résolution
6.1.3.Illustration
6.2.Coordonnées polaires
6.2.1.Principe
6.2.2.Conversions
6.2.3.Rotations
7.RÉCRÉATION MATHÉMATIQUE
7.1.Déterminer le rayon de la Terre
7.2.Calculer la longitude d'un lieu
8.EXERCICES
9.LETTRES GRECQUES
10.SOURCES

Eléments de Trigonométrie1 - Introduction
H. Schyns1.1
1. Introduction
1.1. Plan du document
La trigonométrie est une branche des mathématiques qui traite des relations qui
existent entre la longueur des côtés et l'amplitude des angles dans les triangles.
Le but de ce document est de donner rapidement les notions fondamentales de cette
discipline mathématique aux personnes qui n'auraient pas eu l'occasion de voir cette
matière au cours de leurs études... ou qui l'auraient oubliée.
Le premier chapitre donne les définitions et introduit les principales fonctions
trigonométriques dont les plus utilisées en pratique sont les fonctions sinus,
cosinus et tangente.
Les deux chapitres suivants exposent d'abord la résolution de problèmes impliquant
des triangles rectangles et ensuite la résolution de problèmes impliquant des
triangles quelconques.
Les principales formules trigonométriques sont listées au chapitre 5 sans leur
démonstration car celle-ci sort du cadre de ce cours élémentaire. Un lecteur un peu
perspicace n'aura toutefois aucun mal à les démontrer.
Le chapitre suivant applique la trigonométrie au problème du changement de
coordonnées lors de la rotation du système d'axes. Il définit également les systèmes
de coordonnées polaires dans le plan et le passage d'un système rectangulaire à un
système polaire et réciproquement.
Une récréation mathématique, quelques exercices et la liste des lettres grecques
clôturent ce document.
1.2. Petit historique
La trigonométrie est une discipline très ancienne. Son développement a été stimulé
par les besoins de la géométrie, de la géographie et de l'astronomie. Ses origines
remontent aux civilisations d'Egypte antique, de Mésopotamie et de la vallée de
l'Indus, il y a plus de 4000 ans. La notion de sinus d'un angle apparaît pour la
première fois en Inde, entre 800 et 500 avant J.C. (1).
Les premières tables trigonométriques sont dues au mathématicien grec Hipparque
de Nicée (190 - 120 av. J.C.) : elles donnaient la longueur de la corde [ pp' ]
interceptée par un angle [ θ ] dont le sommet est au centre [ o ] d'un cercle de rayon
[ R ] fixé (fig. 1.1).
1A cette époque, nous (en Europe occidentale) dérivions encore en pleine préhistoire et nous n'étions même
pas encore des gaulois qui craignent que le ciel leur tombe sur la tête !

Eléments de Trigonométrie1 - Introduction
H. Schyns1.2
fig. 1.1 Relation entre angle et corde
Alors que la trigonométrie est utilisée couramment au premier millénaire par les
savants indiens puis arabes, elle ne se développera en Europe qu'au milieu du XIVe
siècle avec la traduction en latin des œuvres de l'astronome grec Ptolémée (90 -
168 ap. J.C.). Le premier ouvrage de référence est publié en 1595 par le
mathématicien Bartholomäus Pitiscus sous le titre "Trigonometria" qui donnera son
nom à cette branche des mathématiques.
Notons pour l'anecdote que c'est le mathématicien flamand Adrien Romain (1561 -
1615) qui introduira la notation moderne sin(α).