Distributivité et expressions littérales

Distributivité et expressions littérales
I. Distributivité
Règle
Le produit d’un nombre par la somme de deux autres nombres est égal à la somme des produits du
premier par chacun des deux autres.
On dit que la multiplication est distributive par rapport à l’addition.
Autrement dit, pour tous nombres k, a et b, on a :
k×(a+b)=k×a+k×b
La multiplication est également distributive par rapport à la soustraction.
k×(a–b)=k×a–k×b
a
Illustrations
a
b
k
k
Aire du grand rectangle :
k × ( a + b ) ou
Application
b
Aire du rectangle de gauche :
k × ( a – b ) ou k × a – k × b
k×a+k×b
La distributivité peut servir à calculer astucieusement des produits :
A = 7 ×16
B = 998 × 3,5
C = 7 × 0, 3 + 7 × 2, 7
D = 26 ×11,1
A = 7 × (10 + 6 )
B = (1000 − 2 ) × 3,5
D = 26 × (10 + 1 + 0,1)
A = 7 ×10 + 7 × 6
A = 70 + 42
A = 112
B = 1000 × 3,5 − 2 × 3,5
C = 7 × (0,3 + 2, 7)
C = 7×3
B = 3500 − 7
C = 21
D = 260 + 26 + 2, 6
B = 3493
D = 26 ×10 + 26 × 1 + 26 × 0,1
D = 288, 6
II. Expressions littérales
Définition
Une expression littérale est une expression dans laquelle des lettres représentent des nombres.
L
Exemples
Formules :
Les lettres L et l remplacent la longueur et la largeur du rectangle.
l
On calcule l’aire du rectangle avec la formule :
A=L×l
« en fonction de … » :
La longueur AB s’exprime en fonction de x :
ou
AB = 3 × x + 5
AB = x + x + x + 5
Nombre inconnu :
« Le triple d’un nombre est égal à la somme de ce nombre et de cinq. Quel est ce nombre ? »
Cette question peut se traduire par la recherche du nombre x rendant vraie l’égalité 3 × x = x + 5 .
III. Simplification d’écritures littérales
Convention On peut simplifier certaines écritures littérales en supprimant le signe « × » lorsqu’il est suivi d’une
lettre ou d’une parenthèses :
Exemples
3 × a peut s’écrire 3a .
k × a peut s’écrire ka .
2 × ( x + 3) peut s’écrire 2 ( x + 3) .
Les égalités du I peuvent donc s’écrire :
k ( a + b ) = ka + kb
k ( a − b ) = ka − kb .
Remarques
4 × 5 ne s’écrit pas 45.
x × 3 s’écrit 3x (plutôt que x3 ).
1× x peut s’écrire x .
0 × x peut s’écrire 0.
Notations
Le produit a × a s’écrit a 2 (se lit « a au carré »).
Le produit a × a × a s’écrit a 3 (se lit « a au cube »).
IV. Développer et factoriser
Définition
Développer un produit c’est l’écrire sous la forme d’une somme (ou d’une différence).
Factoriser une somme (ou une différence) c’est l’écrire sous la forme d’un produit.
Développer
Vocabulaire
k (a + b)
ka + kb
Factoriser
Produit d’un
nombre par une
somme
Exemples
Somme de produits
ayant un facteur
commun
A = a ( a − 10 )
A = a × a − a × 10
C = 7 x + 8x
je développe
C = ( 7 + 8) x
A = a 2 − 10a
C = 15 x
B = (a + b + c)× 3
D = 7 xy − 14 y
B = a×3+ b×3+ c×3
B = 3a + 3b + 3c
je factorise
D = 7y× x −7y×2
D = 7 y ( x − 2)