Mathematiques -Livret-corriges-Partie-02

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c
Séquence 1
Séance 6
Ce que tu devais faire Les commentaires du professeur
Exercice 38
1)
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%
&
'
*
I
+
*
I
+
,
-
.
,
-
.
0
1
2
0
1
2
Les commentaires du professeur :
1) On commence par bien lire le sommet duquel est issu la médiane : ici, c’est F.
La médiane issue de F est la droite qui passe par F et qui coupe le segment opposé, soit [EG] en son milieu.
On cherche donc le milieu de [EG]. On peut mesurer le segment [EG] à l’aide d’une règle graduée.
On trouve : EG = 4 cm. Le milieu de [EG] se trouve sur ce segment, à 2 cm de E.
On trace ensuite la droite qui passe par F et ce milieu.
On fait de même pour les 2, 3 et 4 (la moitié de 4,6 est 2,3 ; de 3,6 est 1,8 ; de 3,4 est 1,7).
Remarque : Il existe une méthode plus précise que celle utilisée précédemment pour construire le
milieu d’un segment. Reprenons la question 1 :
On peut en effet construire le milieu de [EG] à l’aide du compas (en traçant la médiatrice de
[EG]. On a vu cette méthode en 6è, dans la séance 6 de la séquence 5, exercices 38 et 39.
Exercice 39
a)
3
4
5
b) Les trois médianes semblent concourantes.
a)
On rappelle que la moitié de 6,3 est 3,15 ; de
5,6 est 2,8 ; de 4,8 est 2,4.
On n’oublie pas de coder sur la figure les
égalités de longueur.
b) Les trois médianes semblent de couper
en un même point (c’est-à-dire semblent
concourantes). En fait, ce résultat est vrai pour
n’importe quel triangle. Nous apprendrons à la
démontrer en 4e.
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Séquence 1
Exercice 40
"
CM
CM
#
!
I
CM
On peut commencer par tracer un segment
[BC] de 5,4 cm.
On cherche à placer le point A…
On sait que AC = 3,6 cm, on en déduit que le
point A est sur le cercle de centre C et de rayon
3,6 cm. On trace un grand arc de ce cercle.
"
CM
#
!
On sait que la médiane [AI] relative à [BC] a
pour longueur 4,2 cm.
On place le point I : c’est le milieu de [BC], il
se trouve donc sur [BC] à 2,7 cm de B.
On sait ensuite que le point A se trouve à 4,2
cm du point I, on trace donc un arc de cercle
de centre I et de rayon 4,2 cm.
Ces deux arcs de cercles se coupent en A.
"
CM
#
!
I
CM
Exercice 41
1)
a) une médiane : (CD) est la médiane issue de C dans le triangle ABC.
b) des hauteurs :
(DE) est la hauteur issue de D dans le triangle DCB.
(BI) est la hauteur issue de B dans le triangle ABC.
c) des médiatrices :
(FK) est la médiatrice de [AC].
(GK) est la médiatrice de [DC].
d) une bissectrice :
(BC) est la bissectrice de l’angle
ABI
∑
du triangle BAI.
2)
K est le point d’intersection de deux médiatrices du triangle ADC, c’est donc le centre du cercle
circonscrit au triangle ADC
3)
(FK) est perpendiculaire à (AI).
(BI) est perpendiculaire à (AI).
Deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles. Les droites (FK) et (BI) sont
donc parallèles.
Les commentaires du professeur :
On n’oublie pas dans la question 2 et 3, de démontrer ce que l’on affirme. Même s’il n’est pas écrit « Justifie-le » ou « Prouve-le »,
il est sous-entendu qu’on attend une démonstration. Cette année, il va falloir s’y habituer.
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Séquence 1
Exercice 42
1)
Si un quadrilatère possède 3 angles droits, alors c’est un rectangle. ABCD est donc un rectangle.
2)
On connaît la propriété suivante :
« Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales ont le même milieu et la même longueur ».
[AC] et [BD] sont les diagonales du rectangle ABCD, donc (AC) coupe [BD] en son milieu.
La droite (AC) est donc la médiane issue de A du triangle ABD.
Exercice 43
+
,
-
D
Dg
I
y
Les commentaires du professeur :
Cet exercice est difficile. On commence par bien lire la consigne. On cherche à construire le point M.
• La donnée : « (d) est la bissectrice de
LKM
∑
» est directement exploitable : on connaît le côté [KL) de
LKM
∑
,
on peut alors construire le deuxième côté de cet angle, car on sait que (d) est sa bissectrice. On retrouve alors la construction
demandée dans l’exercice 9 de cette séquence. Appelons [Ky) ce deuxième côté.
On ne sait toujours pas où se trouve M sur cette demi-droite.
Voilà comment on construit M :
• Appelons I le point d’intersection de (d’) et de [Ky). D’après la donnée : « (d’) est la médiane issue de L » , nous savons que I
est le milieu de [KM]. On a donc IK = IM. On trace donc le cercle de centre I passant par K. Ce cercle coupe [Ky) en M.
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Séquence 1
Séance 7
Ce que tu devais faire Les commentaires du professeur
Exercice 44
1) a) b)
!
"
$
#
²
2)
D’après l’énoncé, le triangle ABC a deux angles égaux :
ABC
∑
et
ACB
∑
.
Un triangle qui a deux angles de même mesure est un triangle
isocèle.
On peut donc conclure que ABC est isocèle (en A).
3) a) Par rapport à (AC) :
• A a pour symétrique A,
• B a pour symétrique D (d’après l’énoncé).
La symétrie centrale conserve les longueurs.
Par conséquent : AB = AD.
b) D’après le 2, le triangle ABC est isocèle en A.
D’après la définition d’un triangle isocèle en A, on a : AB = AC.
4) a) D’après le 3, on a : AD =AB = AC.
b) A est équidistant des sommets du triangle BCD.
On en déduit que A est le centre du cercle circonscrit au
triangle BCD.
1)
a) On a déjà effectué ce type de construction
(question a) dans l’exercice 2).
b) Pour construire le symétrique d’un point par
rapport à une droite, on utilise de préférence la
méthode au compas. Cette méthode est décrite
dans le « Je comprends la méthode » qui suit
l’exercice 40, séance 6, séquence 5, livret de
6e.
2)
Á Propriété vue en 6e dans le «Je retiens» qui
suit l’exercice 48, séance 7, séquence 5.
4)
b) D’après le « Je retiens » qui suit l’exercice
24 de cette séquence, il existe un seul point à
égale distance de trois points non alignés B,
C et D : c’est le centre du cercle circonscrit au
triangle BCD.
Remarque : On a tracé le cercle circonscrit au
triangle BCD sur la figure : c’est le cercle de
centre A qui passe par le point B.
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Séquence 1
Exercice 45
• Je trace un triangle IEG tel que :
EG = 7,4 cm GI = 6,2 cm IE = 8 cm.
• Je trace le centre J du cercle circonscrit
au triangle IEG.
• Je trace à l’aide d’un compas :
∙ le point F tel que EJGF soit un losange,
∙ le point H tel que GJIH soit un losange,
∙ le point D tel que IJED soit un losange.
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*
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Les commentaires du professeur :
• Pour commencer, on observe la figure à main levée. On remarque qu’on connaît EG, GI et IE. On peut donc construire le
triangle IEG.
• On remarque que J est équidistant de E, I et G. J est donc le centre du cercle circonscrit au triangle EIG. On trace donc deux
médiatrices du triangle EIG, par exemple celles de [EI] et [EG].On obtient ainsi le point J.
• Les quadrilatères EJGF, GJIH, IJED ont leurs quatre côtés de même longueur. Ce sont donc des losanges.
On peut construire les points F, H puis D, à l’aide d’un compas. Pour construire F, par exemple, on pointe le compas en E, on
prend pour ouverture de compas EJ, puis, sans changer d’ouverture, on trace successivement un arc de cercle de centre E puis un
arc de cercle de centre G qui se coupent en F.
Exercice 46
Hocine, Djamila et Mohamed sont à égale
distance du puits, le puits est donc le centre
du cercle circonscrit au triangle HDM. Je
construis le centre du cercle circonscrit et je
trace le cercle circonscrit C à ce triangle.
La maison de Yasmina est à égale distance des
maisons d’Hocine et Mohamed. Elle est donc
sur la médiatrice (d) de [HM]. La maison de
Yasmina se trouve aussi à la même distance
du puits que celles d’Hocine, Djamila et
Mohamed : elle est donc aussi sur le cercle
C . Elle se trouve donc à l’intersection de
(d) et de C .
(d) et C se coupent en deux points, mais
comme Yasmina habite plus près de la maison
de Djamila que de celle de Mohamed, on peut
déterminer où se trouve la maison de Yasmina.
(OCINE
$JAMILA
-OHAMED
0UITS
9ASMINA
D
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