Mathematiques -Livret-corriges-Partie-02

c
Séquence 1
Séance Ce que tu devais faire
c
Les commentaires du professeur
Exercice 38
1)
%
*
I
'
&
+
0
,
-
1
2
.
Les commentaires du professeur :
1) On commence par bien lire le sommet duquel est issu la médiane : ici, c’est F.
La médiane issue de F est la droite qui passe par F et qui coupe le segment opposé, soit [EG] en son milieu.
On cherche donc le milieu de [EG]. On peut mesurer le segment [EG] à l’aide d’une règle graduée.
On trouve : EG = 4 cm. Le milieu de [EG] se trouve sur ce segment, à 2 cm de E.
On trace ensuite la droite qui passe par F et ce milieu.
On fait de même pour les 2, 3 et 4 (la moitié de 4,6 est 2,3 ; de 3,6 est 1,8 ; de 3,4 est 1,7).
Remarque : Il existe une méthode plus précise que celle utilisée précédemment pour construire le
milieu d’un segment. Reprenons la question 1 :
On peut en effet construire le milieu de [EG] à l’aide du compas (en traçant la médiatrice de
&
[EG]. On a vu cette méthode en 6è, dans la séance 6 de la séquence 5, exercices 38 et 39.
Exercice 39
3
%
'
a)
a)
On rappelle que la moitié de 6,3 est 3,15 ; de
5,6 est 2,8 ; de 4,8 est 2,4.
On n’oublie pas de coder sur la figure les
égalités de longueur.
4
5
b) Les trois médianes semblent concourantes.
b) Les trois médianes semblent de couper
en un même point (c’est-à-dire semblent
concourantes). En fait, ce résultat est vrai pour
n’importe quel triangle. Nous apprendrons à la
démontrer en 4e.
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c
c
Séquence 1
On peut commencer par tracer un segment
[BC] de 5,4 cm.
On cherche à placer le point A…
On sait que AC = 3,6 cm, on en déduit que le
point A est sur le cercle de centre C et de rayon
3,6 cm. On trace un grand arc de ce cercle.
Exercice 40
!
I
CM
CM
"
CM
CM
!
"
#
#
On sait que la médiane [AI] relative à [BC] a
pour longueur 4,2 cm.
On place le point I : c’est le milieu de [BC], il
se trouve donc sur [BC] à 2,7 cm de B.
On sait ensuite que le point A se trouve à 4,2
cm du point I, on trace donc un arc de cercle
de centre I et de rayon 4,2 cm.
Ces deux arcs de cercles se coupent en A.
CM
!
"
I
#
CM
Exercice 41
1)
a) une médiane : (CD) est la médiane issue de C dans le triangle ABC.
b) des hauteurs :
(DE) est la hauteur issue de D dans le triangle DCB.
(BI) est la hauteur issue de B dans le triangle ABC.
c) des médiatrices :
(FK) est la médiatrice de [AC].
(GK) est la médiatrice de [DC].
d) une bissectrice :
∑ du triangle BAI.
(BC) est la bissectrice de l’angle ABI
2)
K est le point d’intersection de deux médiatrices du triangle ADC, c’est donc le centre du cercle
circonscrit au triangle ADC
3)
(FK) est perpendiculaire à (AI).
(BI) est perpendiculaire à (AI).
Deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles. Les droites (FK) et (BI) sont
donc parallèles.
Les commentaires du professeur :
On n’oublie pas dans la question 2 et 3, de démontrer ce que l’on affirme. Même s’il n’est pas écrit « Justifie-le » ou « Prouve-le »,
il est sous-entendu qu’on attend une démonstration. Cette année, il va falloir s’y habituer.
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c
Séquence 1
c
Exercice 42
1)
Si un quadrilatère possède 3 angles droits, alors c’est un rectangle. ABCD est donc un rectangle.
2)
On connaît la propriété suivante :
« Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales ont le même milieu et la même longueur ».
[AC] et [BD] sont les diagonales du rectangle ABCD, donc (AC) coupe [BD] en son milieu.
La droite (AC) est donc la médiane issue de A du triangle ABD.
Exercice 43
Dg
,
D
+
I
y
-
Les commentaires du professeur :
Cet exercice est difficile. On commence par bien lire la consigne. On cherche à construire le point M.
∑ » est directement exploitable : on connaît le côté [KL) de LKM
∑,
• La donnée : « (d) est la bissectrice de LKM
on peut alors construire le deuxième côté de cet angle, car on sait que (d) est sa bissectrice. On retrouve alors la construction
demandée dans l’exercice 9 de cette séquence. Appelons [Ky) ce deuxième côté.
On ne sait toujours pas où se trouve M sur cette demi-droite.
Voilà comment on construit M :
• Appelons I le point d’intersection de (d’) et de [Ky). D’après la donnée : « (d’) est la médiane issue de L » , nous savons que I
est le milieu de [KM]. On a donc IK = IM. On trace donc le cercle de centre I passant par K. Ce cercle coupe [Ky) en M.
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c
c
Séquence 1
Séance 7
Ce que tu devais faire
Les commentaires du professeur
Exercice 44
1)
1) a) b)
a) On a déjà effectué ce type de construction
(question a) dans l’exercice 2).
!
$
b) Pour construire le symétrique d’un point par
rapport à une droite, on utilise de préférence la
méthode au compas. Cette méthode est décrite
dans le « Je comprends la méthode » qui suit
l’exercice 40, séance 6, séquence 5, livret de
6e.
²
"
#
2)
∑ et
D’après l’énoncé, le triangle ABC a deux angles égaux : ABC
∑ .
ACB
Un triangle qui a deux angles de même mesure est un triangle
isocèle.
On peut donc conclure que ABC est isocèle (en A).
3) a) Par rapport à (AC) :
• A a pour symétrique A,
• B a pour symétrique D (d’après l’énoncé).
La symétrie centrale conserve les longueurs.
Par conséquent : AB = AD.
b) D’après le 2, le triangle ABC est isocèle en A.
D’après la définition d’un triangle isocèle en A, on a : AB = AC.
4) a) D’après le 3, on a : AD =AB = AC.
b) A est équidistant des sommets du triangle BCD.
On en déduit que A est le centre du cercle circonscrit au
triangle BCD.
2)
Á Propriété vue en 6e dans le «Je retiens» qui
suit l’exercice 48, séance 7, séquence 5.
4)
b) D’après le « Je retiens » qui suit l’exercice
24 de cette séquence, il existe un seul point à
égale distance de trois points non alignés B,
C et D : c’est le centre du cercle circonscrit au
triangle BCD.
Remarque : On a tracé le cercle circonscrit au
triangle BCD sur la figure : c’est le cercle de
centre A qui passe par le point B.
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c
Séquence 1
Exercice 45
• Je trace un triangle IEG tel que :
EG = 7,4 cm GI = 6,2 cm IE = 8 cm.
• Je trace le centre J du cercle circonscrit
&
au triangle IEG.
• Je trace à l’aide d’un compas :
∙ le point F tel que EJGF soit un losange,
∙ le point H tel que GJIH soit un losange,
∙ le point D tel que IJED soit un losange.
'
c
(
*
I
%
$
Les commentaires du professeur :
• Pour commencer, on observe la figure à main levée. On remarque qu’on connaît EG, GI et IE. On peut donc construire le
triangle IEG.
• On remarque que J est équidistant de E, I et G. J est donc le centre du cercle circonscrit au triangle EIG. On trace donc deux
médiatrices du triangle EIG, par exemple celles de [EI] et [EG].On obtient ainsi le point J.
• Les quadrilatères EJGF, GJIH, IJED ont leurs quatre côtés de même longueur. Ce sont donc des losanges.
On peut construire les points F, H puis D, à l’aide d’un compas. Pour construire F, par exemple, on pointe le compas en E, on
prend pour ouverture de compas EJ, puis, sans changer d’ouverture, on trace successivement un arc de cercle de centre E puis un
arc de cercle de centre G qui se coupent en F.
Exercice 46
Hocine, Djamila et Mohamed sont à égale
distance du puits, le puits est donc le centre
du cercle circonscrit au triangle HDM. Je
construis le centre du cercle circonscrit et je
(OCINE
trace le cercle circonscrit C à ce triangle.
La maison de Yasmina est à égale distance des
maisons d’Hocine et Mohamed. Elle est donc
sur la médiatrice (d) de [HM]. La maison de
Yasmina se trouve aussi à la même distance
du puits que celles d’Hocine, Djamila et
Mohamed : elle est donc aussi sur le cercle
C . Elle se trouve donc à l’intersection de
(d) et de C .
(d) et C se coupent en deux points, mais
9ASMINA
comme Yasmina habite plus près de la maison
de Djamila que de celle de Mohamed, on peut
déterminer où se trouve la maison de Yasmina.
D
#
0UITS
-OHAMED
$JAMILA
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c
c
Séquence 1
Exercice 47
1)
%
&
D
'
2)
Le triangle EFG est isocèle en E donc EF = EG.
Le point E est donc équidistant de F et G, il est donc sur la
médiatrice de [FG].
3)
a)
(d) est la médiatrice de [FG], elle est donc perpendiculaire à
(FG). De plus, (d) passe par E. (d) est donc la hauteur issue de
E.
b)
(d) est la médiatrice de [FG], elle coupe donc [FG] en son
milieu.
De plus, (d) passe par E. (d) est donc la médiane issue de E.
4) On sait depuis la 6e que dans un triangle isocèle, la
médiatrice de la base est aussi bissectrice de l’angle au
sommet. La médiatrice (d) de [FG] est donc également la
∑ .
bissectrice de FEG
5) Dans un triangle EFG isocèle en E, la médiatrice de la base
est aussi la bissectrice de l’angle opposé à la base, la médiane
et la hauteur issues du sommet principal.
Les commentaires du professeur :
On retiendra le résultat démontré dans cet exercice, à savoir que : « Dans un triangle EFG isocèle en E, la médiatrice de la base
est aussi la bissectrice de l’angle opposé à la base, la médiane et la hauteur issues du sommet principal. ».
Exercice 48
(D) est la hauteur issue de E et (Δ)
est la médiane issue de E : ces deux
droites se coupent donc en E.
$
(d) est la médiatrice de [EF], le point
F est donc le symétrique de E par
rapport à (d).
(D) est la hauteur issue de E donc
(FG) est perpendiculaire à (D). Le
point G se trouve sur la droite (m)
perpendiculaire à (D) passant par le
point F. La droite (m) coupe (D) en I.
(Δ) est la médiane issue de E : le
point G est donc sur (m) et tel que
FI = GI. On trace donc le cercle de
centre I. Il recoupe (m) en G.
$
M
&
I
D
'
%
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c
Séquence 1
Séance 8
Ce que tu devais faire
Les commentaires du professeur
Exercice 49
On commence par faire une figure à main
levée.
!
c
CM
4,5 cm
A
" CM
(
B
H
3,2 cm
C
On connaît la longueur du côté [BC], on peut
donc commencer par construire ce côté.
Le triangle ABC est isocèle en A donc la
hauteur issue de A est aussi la médiatrice de
[BC]. Le point H est donc le milieu de [BC].
#
Le triangle ABC est isocèle en A donc la hauteur issue de A est
aussi la médiatrice de [BC]. Le point H est donc le milieu de
[BC].
On construit H.
On trace ensuite la droite perpendiculaire à
(BC) passant par H.
Le point A se trouve sur cette droite à 4,5 cm
de H.
On trace donc un arc de cercle de centre H et
de rayon 4,5 cm qui coupe cette droite en A.
Exercice 50
+
On trace le triangle KLM à l’aide d’une règle
non graduée et d’un compas. On a vu cette
construction en 6è ou encore dans le d) de
l’exercice 5).
I
,
LM = LK = KM = 4,4 cm
Dans le triangle équilatéral KLM :
∑ est la médiatrice de [KM],
• la bissectrice de KLM
∑
• celle de LMK est la médiatrice de [KL].
I est donc le point d’intersection de deux médiatrices du
triangle KLM.
I est donc le centre du cercle circonscrit au triangle KLM.
On trace les deux bissectrices à l’aide d’un
compas et d’une règle non graduée. On a vu
comment construire ainsi une bissectrice en 6e,
séquence 5, séance 8.
On sait que dans un triangle équilatéral, la
bissectrice d’un angle est aussi la médiatrice de
son côté opposé. Les deux bissectrices sont donc
également deux médiatrices du triangle. Leur
point d’intersection est donc le centre du cercle
circonscrit au triangle.
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c
c
Séquence 1
Exercice 51
D
+
*
/
I
#
Pour résoudre ce type d’exercice, il faut bien
lire et décortiquer la consigne : le cercle C
circonscrit au triangle IJK a pour centre O. Les
points J et K, qu’il reste à trouver sont donc
sur ce cercle. On le trace : c’est le cercle de
centre O qui passe par I.
Les points J et K sont sur ce cercle, mais où ?
On sait que la hauteur relative à [IJ] est (d),
la droite (IJ) est donc perpendiculaire à (d).
En d’autre termes, le point J est sur la droite
perpendiculaire à (d) et passant par I. On
trace cette droite.
Le point J est donc le point d’intersection de
cette droite et du cercle C .
Il nous reste à trouver le point K .On sait que
la hauteur relative à [IJ] est (d), c’est-à-dire la
hauteur issue de K est (d). Le point K est donc
sur (d). Il est de plus sur le cercle C . Le point
K est donc un des deux points d’intersection
du cercle C et de la droite (d). Comment
savoir lequel ?
∑ est obtus. Il
D’après la consigne, l’angle IKJ
n’y a donc plus qu’une possibilité !
Exercice 52
1)
La droite (KI) est perpendiculaire à (LM) et passe par le milieu
de [LM]. C’est donc par définition sa médiatrice.
2)
Le triangle a deux angles égaux. D’après la propriété :
« Si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle », on
peut déduire que ce triangle est isocèle.
3)
a)
D’après le 1), (KI) est la médiatrice de [LM], donc : KL = KM.
b)
D’après le 2), Le triangle KMN est isocèle en K, donc : KM = KN.
4)
D’après le a) et le b) précédents, on a : KL = KM = KN.
Le point K est donc à égale distance de L, M et N. C’est donc le
centre du cercle circonscrit au triangle LMN.
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1) Il suffit de bien lire les codages de la figure
et d’utiliser la définition de la médiatrice d’un
segment.
2) On applique une propriété vue en 6e qui
permet de reconnaître un triangle isocèle.
3)
a) Tout point de la médiatrice de [LM] est
équidistant de L et de M.
b) C’est la définition d’un triangle isocèle en
K.
4)
Le seul point qui se trouve à égale distance de
trois points non alignés est le centre du cercle
circonscrit au triangle ayant ces trois points
comme sommets.
c
Séquence 1
Exercice 53
Maïs
c
Eglise
W
V
U
T
R
Pins
Habitation
J
Ifs
Chêne
Scierie
ch
em
in
Abri
Les commentaires du professeur :
• Tracé de R : on commence par tracer la hauteur du triangle APC relative à [AC], c’est-à-dire la droite qui passe par P et qui
est perpendiculaire à (AC).Le point d’intersection de cette droite avec (AC) est par définition le pied R de la hauteur relative à
[AC] du triangle APC.
• Tracé de U : le point U du chemin tel que MEU soit isocèle en U est le point d’intersection du chemin avec la médiatrice de [ME].
• Tracé de T : UT + TR = UR donc T ∈ [UR]. (ST) est une médiane du triangle HIS donc T appartient à la droite qui passe
par S et par le milieu J de [HI] . T ∈ [UR] et T ∈ (SJ) donc T est le point d’intersection de [UR] et (SJ).
• Tracé de W : Avant de le commencer, on essaie de visualiser où va être W. Il va être sur [EV] « au-dessus » de (TV).
∑ , on
Pour faire le tracé, on utilise le « Je comprends la méthode » de la séance 2. Pour tracer un angle de même mesure que IST
peut utiliser, le point I de [SI) et le point J de [ST). Il est inutile d’introduire un nouveau point sur [SI) et sur [ST).
On trace à l’aide du compas : le point I’ de [TV) tel que TI’ = SI, puis, « au-dessus » de (TV)
∙ un arc de centre T et de rayon SJ
∙ et un arc de centre I’ et de rayon IJ qui se coupent en J’.
∂ = I∑
Par construction, on a : ISJ
' TJ ' . W est le point d’intersection de [EV] et [TJ’).
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c
c
Séquence 1
Séance 9
Ce que tu devais faire
Les commentaires du professeur
Exercice 54
$
"
On sait reproduire à l’identique un triangle
connaissant la longueur de ses trois côtés.
#
Pour reproduire la figure donnée, on peut
donc, par exemple, reproduire successivement à
l’identique les triangles ACE, ACB et CED.
!
%
• On commence par placer le point F.
Exercice 55
Méthode :
x
(d) est la hauteur issue de F donc F appartient
à (d).
(∆)
'
∑ donc F
(d’) est la bissectrice de EFG
appartient à la droite (d’).
F ∈ (d) et F ∈ (d’) donc F est le point
d’intersection des droites (d) et (d’). On place
F.
• On cherche à placer G.
(d) est la hauteur issue de F donc (d) est
perpendiculaire à (EG).
On trace la perpendiculaire à (d) qui passe par
E. Je la nomme (Δ). On a : G ∈ (Δ)
∑ donc (d’)
(d’) est la bissectrice de EFG
Dg
%g
D
On trace donc à l’aide d’un compas et d’une
règle non graduée la demi-droite [Fx) telle que
∑ en deux angles de même
(d’) partage EFx
mesure.
(
&
%
(∆)
∑ en deux angles de même
partage EFG
mesure.
Méthode : Je prends un point H (autre que F)
sur la demi-droite représentée en bleu sur la
figure ci-contre. Je trace E’ tel que :
FE’ = FE et HE’ = HE.
Par construction, les triangles HEF et HE’F
∂ = HFE
∑' .
sont superposables, d’où EFH
[Fx) est la demi-droite d’origine F qui passe
par E’.
G ∈ (Δ) et G ∈ [Fx) donc G est le point
d’intersection de (Δ) et [Fx).
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c
Séquence 1
Exercice 56
I
1) 2) a)
I
c
b) Deux triangles
répondent à l’énoncé : IJK
et I’JK.
/
*
/
‚…´
€Ú[e
+
²
*
+
I'
Les commentaires du professeur :
On construit un segment [JK] de 3 cm. Comment construire le point I ?
Le triangle IJK est isocèle en I donc IJ = IK. Le point I est donc sur la médiatrice de [JK]. On trace cette médiatrice.
∑ = 58° . On peut donc
Le point O (centre du cercle circonscrit à IJK) est également sur la médiatrice de [JK], et on a OJK
construire le point O.
On peut tracer le cercle circonscrit au triangle IJK : c’est le cercle de centre O qui passe par J.
Le point I est sur la médiatrice de [JK] et le cercle circonscrit au triangle, c’est donc un de leur deux points d’intersection (on a le choix).
Exercice 57
2
Je cherche à trouver l’emplacement de M sur la droite (d) tel que CM + MR
est le plus petit possible.
Je trace C’ le symétrique de C par rapport à (d).
RIVIÒRE
#
M appartient à (d). Son symétrique par rapport à (d) est donc lui même.
Comme la symétrie orthogonale conserve les distances, on déduit de ce
qui précède que :
CM = C’M.
D
On a donc : CM + MR = C’M + MR.
Je conclus que la position de M pour laquelle CM + MR est la plus petite
possible est celle pour laquelle C’M + MR est la plus petite possible.
#g
On sait que le plus court chemin d’un point à un autre est la ligne droite.
Je déduis que C’M + MR est la plus petite possible lorsque M est à l’intersection de (C’R) et de (d).
Les commentaires du professeur :
Cet exercice est très difficile, ne t’inquiète pas si tu n’as pas réussi à trouver la solution.
La solution proposée ici est basée sur deux principes :
• la propriété de conservation des longueurs par une symétrie axiale
• le fait que le chemin le plus court pour aller d’un point à un autre est la ligne droite.
Remarque : Pour avoir une idée de la réponse, au départ, il ne faut pas hésiter à effectuer des essais de différentes positions de
M. On pouvait par exemple tracer les figures ci-dessous.
2
2
RIVIÒRE
#
2
RIVIÒRE
#
RIVIÒRE
#
-
-
-
D
D
#g
D
#g
#g
A partir de là, on pouvait par intuition, se dire « J’ai l’impression que le trajet est le plus court quand les points R, M et C’ sont
alignés ». On doit alors ensuite chercher à démonter ce résultat, car de simples constatations par des mesures ne suffisent pas.
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c
c
Séquence 1
Je m’évalue
1)
® KL = 13,7 cm
® KL = 3,4 cm
˛ KL = 8,7 cm
˛ KL = 94 mm
LM = 4,85 cm KM = 8,95 cm
LM = 7,8 cm KM = 4,35 cm
LM = 6,9 cm KM = 15,6 cm
LM = 1,3 dm KM = 3,6 cm
2)
Si tu n’as pas bien compris, revois l’exercice 14
de cette séquence.
® 4,3 ; 4,9 ; 9,3
® 3,4 ; 7,1 ; 3,4
˛ 4,3 ; 7,9 ; 9,3
® 3,8 ; 1,4 ; 9,3
3)
∑ = 35°
® RPQ
Si tu n’as pas bien compris, revois l’exercice 15
de cette séquence.
94 mm = 9,4 cm
1,3 dm = 13 cm
∑ = 90°
PRQ
® QR = 5 cm RP = 3,5 cm
˛ QR = 5 cm QP = 3,5 cm
∑ = 23° PQ = 5,2 cm
˛ RPQ
4)
® [KL]
˛ [KM]
® [LM]
˛ [MK]
∑
PQ
R = 35°
PQR 35o
∑
RQP = 95°
Si tu n’as pas bien compris, revois le « Je
retiens » qui suit l’exercice 3 de cette séquence.
Si tu n’as pas bien compris, revois le « Je
retiens » qui suit l’exercice 3 de cette séquence.
5)
˛ la hauteur issue de A
® la médiane relative à [BC]
® la médiatrice de [BC]
∑
® la bissectrice de BAC
38
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Si tu n’as pas bien compris, revois dans
ton cahier de cours le paragraphe « droites
remarquables ».
c
Séquence 1
6)
® la hauteur issue de C
˛ la médiane relative à [AB]
® la médiatrice de [AB]
∑
® la bissectrice de BCA
Si tu n’as pas bien compris, revois dans
ton cahier de cours le paragraphe « droites
remarquables ».
® la hauteur relative à [AC]
® la médiane relative à [AC]
˛ la médiatrice de [AC]
µ
® la bissectrice de A
On rappelle que la médiatrice d’un segment
est la droite perpendiculaire à ce segment qui
passe par son milieu.
c
7)
8)
µ
˛ la bissectrice de A
µ
® la bissectrice de B
® la médiane issue de B
® la hauteur issue de C
9)
® quelconque
˛ isocèle en O
® équilatéral
® rectangle en O
10)
˛ les hauteurs et les médianes sont confondues
˛ les médianes et les médiatrices sont confondues
˛ les médiatrices et les bissectrices sont confondues
˛ les médiatrices et les hauteurs sont confondues
On rappelle que la bissectrice d’un angle est
la droite qui coupe cet angle en deux angles
adjacents de même mesure.
O est le centre du cercle circonscrit au triangle
KLM donc OK = OL.
Le triangle OKL est donc isocèle en O.
Si tu n’as pas bien compris, revois le « Je
retiens » qui suit l’exercice 47 de cette
séquence.
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