G G G
C8G
C3
2
G a
G s 6=a2< a >
sas1=a sas1=a1
sas1=a G C4×C2sas1=a1G
D4
a2G G =< a, b > b
bab1=a1aba1=b1
G
G=<(1,2,5,4)(3,8,6,7),(1,8,5,7)(2,3,4,6) >S8
HG={1,1, i, i, j, j, k, k}
H?
G n2n3
G
n2n3
n2= 3 n3= 4
n2= 1 n3= 1 G C4×C3'C12 C2×C2×C3'
C2×C6
n2= 1 n3= 4 H G P 'C3
G G =HoP H H ZG(H)
ZG(H)H G ZG(H)
ZG(H)P H G
ZG(H) = H
ϕ:P(H)
pϕ(p):(hphp1)
(H)
(C4)'C2(C2×C2)'S3
H G
G G
ψ:GSG/P 'S4G G 'A4
n2= 3 n3= 1 P=<t>'C3G
G Q =<
u, v >
ut =tu vtv1=t1
utu1=t1vtv1=t1uvtv1u1=ut1u1=t
u uv
s=ut =tu K =< u, t >=<s>
G G =Ko< v > vsv1=vutv1=ut1=s1
G D6
G
Q=< v > G vtv1=t1G
W=< t, v > t v
vtv1=t1
Gn(C)G
G N 2gN=e g G
XN1C[X]g g g G
gG N
T={(g)/g G}
{g1,· · · , gd} ⊂ Gn(C)G
τ:GTd
g( (ggi))1id
τ G
g, g0G τ(g) = τ(g0) (ggi) = (g0gi) 1 id
hG h =
d
P
i=1
cigi(gh) = (g0h)
h=g01(gg01) = n k 2h= (gg01)k1g01
((gg01)k) = ((gg01)k1)
((gg01)k) = n k 1
k0
((gg01e)k) = (
k
X
i=1
Ci
k(gg01)i(1)ki=n
k
X
i=1
Ci
k(1)ki= 0
gg01e gg01e gg01G
gg01e= 0 g=g0τ G
Gn(Z)
p6= 2 G
π:n(Z)n(Z/Zp)
G N gN=e g G
XN1C[X]g g g G
gG N
gG g =e+ph h n(Z)
χgg
χg(X) = (Xe g) = ((X1)eph) = pnχh(1
p(X1))
χg= (X1)ng
g g =e
P, Q Z[X]n λ P |λ|= 1
P(X) = pnQ(1
p(X1)) P= (X1)n
P=Q
λ
(Xλ)P(1) = Q
λ
(1 λ) = pnQ(0) Q(0)
|P(1)|=pn|Q(0)| ≤ 2np3|Q(0)| ≤ (2
p)nQ(0) = P(1) = 0 P=
(X1)P Q =XQ P (X) = pn1Q(1
p(X1))
K q
(n(K)) = (qn1) · · · (qnqn1)
gn(K)C1(g)g Kn
qn1C1(g)C2(g)g
KnC1(g) (qn1) (q1) = qnq)
C1(g)C2(g)C3(g)
KnKn(C1(g), C2(g)) qnq2
G G n(Z)
(G)(3n1) · · · (3n3n1)
p= 3
(n(Z/Z3)) = (3n1) · · · (3n3n1)
G2(Z)
G3(Z)
59
G n < 60
G n 59
< n
n=prp r = 1
G r 2G
p
(G)
( (G)) (G)p
(G)6={e}p
n=pq p < q
nq=kq + 1|p nq= 1 Q q G
Q'CqQ G G/Q 'Cppq
n=pqr p < q < r G
nr=λr + 1|pq nr=pq
nq=µq + 1|pr nq=r pr
np=νp + 1|qr np=q, r qr
(G)1 + pq(r1) + p(q1) + q(p1) = 1 + pqr + (pq (p+q))
| {z }
0
> pqr
G
n=p2q
p > q np=kp + 1|q np= 1 G
p2nq=kq + 1|p2nq= 1
n= 12 = 223n2
n3n2= 3 n3= 4 n3= 4
n= 45 = 325n5= 1
n=p3q p > q n = 40 = 235n5= 1
56 = 237n7= 1
n= 24
n= 24 n2= 2k+ 1|3n2= 1 3 n2= 1
n2= 3 P1P2G
(P1.P2) = (P1) (P2)
(P1P2)=64
(P1P2)24
8
3(P1P2)|8
(P1P2)=4
G=< P1, P2>
P1P2P1P2P1P2
G
n= 48 = 243n2= 2k+ 1|3n2= 1 3 n2= 1
n2= 3 P1P2G
(P1.P2) = (P1) (P2)
(P1P2)=28
(P1P2)243
16
3(P1P2)|16
(P1P2)=8
G=< P1, P2>
P1P2P1P2P1P2
G
n= 36 = 2232n3= 3k+ 1|4n3= 1 4 n3= 1
n3= 4 P1P2G
(P1.P2) = (P1) (P2)
(P1P2)=81
(P1P2)36
9
4(P1P2)|9
(P1P2)=3
G=< P1, P2>
P1P2P1P2P1P2
G
A E/Q
=e2π i
nK=Q[]K/Qϕ(n)
GK/Q(Z/Zn)?
σkσ
σ() = kσ
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