Lycée Victor Hugo Mathématiques S 18-01

Lycée Victor Hugo
MARRAKECH Mathématiques
S 18-01-03 Classe de 1
ère
S1 et S2
Exercice n°1 :
Soit
f
la fonction définie sur R\{1} par :
( )
23
1
x
fx
x
+
=
−
.
1. Etudier le sens de variation et les limites de
f
.
2. Dresser le tableau de variations de
f
.
3. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout 1x
≠
,
( )
1
c
fxaxb
x
=++
−
.
4. Démontrer que la courbe f C de
f
admet une asymptote oblique
D
en
−∞
et en
+∞
. La
courbe f C admet-elle une autre asymptote ?
5. Montrer que le point
(
)
1;2A est un centre de symétrie de la courbe f C.
Exercice n°2 :
Soit
f
la fonction définie sur R par :
(
)
3
31
fxxx
=−−
.
1. Etudier les variations de
f
sur R. (sens de variation et limites)
2. Déterminer une équation de la tangente 0 T à la courbe f C de
f
au point d’abscisse 0 et
préciser sa position relative à f C.
3. Soit la parabole
P
d’équation : 2
21
yxx
=−+
.
a) Préciser les éléments caractéristiques de
P
.
b) Vérifier que le point
(
)
2;1A est un point qui appartient aux deux courbes f C et
P
.
c) Etudier la position de f C par rapport à
P
.
4. Tracer les courbes f C et
P
dans un même repère.
Exercice n°3 :
ABCD est un rectangle tel que
1AB
=
et
2AD
=
.
M est un point variable sur
[
]
DC : on pose
DMx
=
. Les droites
(
)
AM et
(
)
DB se coupent en I.
On désigne par
(
)
Sx
la somme des aires de triangles
ABI
et
DIM
.
1. Calculer
(
)
0S et
(
)
1S.
2. Démontrer que la hauteur
IK
du triangle
ABI
est égale à 2
1x
+
.
3. En déduire que :
( )
21
1
x
Sx
x
+
=
+
.
4. Pour quelle valeur de x,
(
)
Sx
est-elle minimale ? Que vaut cette aire minimale ?
Bon travail !

Corrigé du S 18-01-03
Exercice n°1 :
1. 23 :1
x
fx x+ →− est dérivable sur R\{1}, de dérivée :
( ) ( )
(
)
( ) ( )
22
22
213
23
'
11
xxx
xx
fx
xx
−−+
−−
==
−−
.
a. Sur R\{1},
(
)
'
fx
a le signe de 2
23xx
−−
car
( )
2
10
x
−>
.
b. 2
23xx
−−
est positif (coefficient de 2 x positif) à l’extérieur de ses deux racines –1 et 3.
c. fest donc croissante sur
]
]
;1
−∞− et sur
[
[
3;+∞ , et fest décroissante sur
[
[
1;1− et sur ]1;3].
• 22
3
limlimlim
1
xxx
xx
x
xx
→−∞→−∞→−∞
+===−∞
− et 22
3
limlimlim
1
xxx
xx
x
xx
→+∞→+∞→+∞
+===+∞
−.
•
(
)
( )
22
1
1
1
lim34 3
lim 1
lim10
x
x
x
xx
x
x−
−
→−→
→
+= +
⇒=−∞
−
−=
 et
(
)
( )
22
1
1
1
lim34 3
lim 1
lim10
x
x
x
xx
x
x+
+
→+→
→
+= +
⇒=+∞
−
−=
.
2.
( )
4
12
2
f−==−
− et
( )
12
36
2
f
==
.
x
−∞
1−
1
3
+∞
(
)
'
fx
+
0
−
−
0
+
f
2−
+∞
+∞
−∞
−∞
6
3. Après division,
(
)
(
)
2
3114
xxx
+=+−+
. Pour tout 1x
≠
,
( )
(
)
(
)
114 4
1
11
xx
fxx
xx
+−+
==++
−−
.
4. La courbe f C admet une asymptote verticale d’équation 1x
=
car 2
1
3
lim 1
x
x
x
−
→
+=−∞
− et 2
1
3
lim 1
x
x
x
+
→
+=+∞
−.
( )
4
11
44
limlim0
1
xx
fxx x
xx
→±∞→±∞
=++ 
−⇒
==
−
La courbe f C de fadmet pour asymptote oblique la droite
:1Dyx
=+
en
−∞
et en
+∞
.
5.
(
)
1;2A est un centre de symétrie de f Ccar :
( ) ( )
44
111111422
1111
fxfxxx
xx
−++=−++++++==×
−−+− et Df =R\{1} est centré en 1.
Exercice n°2 :
1. 3
:31fxxx
→−−
est dérivable sur R, de dérivée :
( )
(
)
22
'3331fxxx
=−=−
.
a. Sur R,
(
)
'
fx
a le signe de 21x−.
b. 21x− est positif (coefficient de 2 x positif) à l’extérieur de ses deux racines –1 et 1.
c. fest donc croissante sur
]
]
;1
−∞− et sur
[
[
1;+∞ , et fest décroissante sur
[
]
1;1−.
d.
33
lim31lim
xx
xxx
→−∞→−∞
−−==−∞ et
33
lim31lim
xx
xxx
→+∞→+∞
−−==+∞ .
2. Une équation de la tangente 0 T à la courbe f Cau point d’abscisse 0 est :
(
)
301
yx
=−−−
; soit
31yx=−−
.
(
)
(
)
3
31
fxxx
−−−=. Or 30x≤ sur
]
]
;0−∞ et 30x≥ sur
[
[
0;+∞ .
f
C est donc au-dessus de 0 T sur
[
[
0;+∞ et f C est donc au-dessous de 0 T sur
]
]
;0−∞ .
3. Soit la parabole
( )
2
2
:2110
Pyxxx
=−+=−+
.
a)
P
est une parabole de sommet
(
)
1;0S, d’axe la droite
:1
x
∆=
et orientée vers le haut.
b)
(
)
3
223211
f=−×−= et 2
22211
−×+=. Le point
(
)
2;1A est un point des deux courbes f Cet
P
.
c)
( )
(
)
232
212
fxxxxxx
−−+=−−−
. On vérifie que 2 est racine de 32 2xxx
−−−
.
Après division,
( )
(
)
322
221
xxxxxx−−−=−++. Or 21xx
++
est toujours positif car son discriminant est négatif et
le coefficient de 2 x est positif. 32 2xxx
−−−
est donc du signe de 2x
−
.

f
C est donc au-dessus de
P
sur
[
[
2;+∞ et f C est donc au-dessous de
P
sur
]
]
;2−∞ .
4. Courbes f C et
P
.
Exercice n°3 :
ABCD est un rectangle tel que :
1AB
=
et
2AD
=
. M est un point variable sur
[
]
DC : on pose
DMx
=
. Les droites
(
)
AM et
(
)
DB se coupent en I. On désigne par
(
)
Sx la somme des aires de triangles
ABI
et
DIM
.
1. Calcul de
(
)
0S et
(
)
1S.
Si 0x
=
,
MD
=
et
(
)
0S est l’aire du triangle
ABD
; soit
( )
21
01
2
S×
==
.
Si 1x
=
,
MC
=
et
(
)
1S est la somme des aires des triangles
ABI
et DIC ; soit
( )
1111
11
22
S××
=+=
.
2. Calcul de
IK
.
Dans les triangles IBA et IDM, les points B, I, D et A, I, M sont alignés et
(
)
AB et
(
)
DM sont parallèles.
On peut donc utiliser Thalès : 1
IDIMDMIDx IDxIB
IBIABAIB
==⇒=⇒= .
Dans les triangles BIK et BDA, les points B, I, D et B, K, A sont alignés et
(
)
AD et
(
)
KI sont parallèles.
On peut donc utiliser Thalès :
22
BIBKIKBIIKBIIK
BDBADABDBIID
==⇒=⇒=
+.
Or
IDxIB
=
. On obtient ainsi :
12
2121
BIIKIK IK
BIxBIxx
=⇔=⇔=
+++
.
La hauteur
IH
du triangle
DIM
est
3. Calcul de
(
)
Sx.
La hauteur
IH
du triangle
DIM
est obtenue par :
22
2
11
x
IH
xx
=−=
++
.
On obtient ainsi :
( )
1212
1
222121
ABIKDMIHx
Sxx
xx
××
=+=××+××
++
; soit
( )
2
1
1
x
Sx x
+
=+.
4. M est un point variable sur
[
]
DC et
DMx
=
appartient à
[
]
0;1 .
2
1
:1
x
Sx x
+
→+ dérivable sur R\{-1}, donc sur
[
]
0;1 , de dérivée :
( ) ( )
(
)
( ) ( )
22
22
211
21
'
11
xxx
xx
Sx
xx
+−+
+−
==
++
.
• Sur R\{-1},
(
)
'
Sx
a le signe de 2
21xx
+−
car
( )
2
10
x
+>
.
• 2
21xx
+−
est positif (coefficient de 2 x positif) à l’extérieur de ses deux racines
12
−− et
12
−+ .
• Sest décroissante sur
0;12
−+ et croissante sur 12;1 −+ .
2
1
:1
x
Sx x
+
→+ admet donc un minimum en
12
x=−+ égal à
(
)
12222
S
−+=−
.
(
)
Sx est donc minimale pour
12
x=−+ et cette aire minimale vaut
222
−.