Sur les espaces de Banach injectifs qui sont des biduaux

Séminaire Choquet.
Initiation à l’analyse
R ICHARD H AYDON
Sur les espaces de Banach injectifs qui sont des biduaux
Séminaire Choquet. Initiation à l’analyse, tome 16 (1976-1977), exp. no 16, p. 1-2
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Séminaire CROQUET
(initiation
16e
année,
16-01
l’analyse)
à
1976/77,
16,
n°
31
2 p.
SUR LES ESPACES DE BANACH INJECTIFS
mars
1977
QUI SONT DES BIDUAUX
par Richard HAYDON
On dit
~~ ~
qu’un
espace de Banach
est
pour tout espace de Banach
si,
et toute
X
que
est
un
espace de
tout sous-espace vectoriel fermé
Z ,
u E
f(y ; X) ,
v
satisfasse
il existe
v E
Y
type
de
E(Z ; X)
Z,
qui
u .
demande de
on
(ou
injectif
application linéaire continue
satisfait
Si
X
tion
plus que l’extension
type f1 . Les espaces
J)v() = ~~u~~ ~
on a
la défini-
d’espace
de type
~’ 1 sont bien-compris (voir par
exemple, ~2~9 p. 160-162), mais il reste beaucoup de problèmes sur les injectifs.
La plupart des résultats connus sur les injectifs sont dus à ROSENTHAL
[3~] ;9 on
en
sait,
particulier, que si l’espace injectif X est isomorphe à un sous-espace
de
de ~‘~ ~
alors
ROSENTHAL
est
a
toujours
L oo (~) / B
est
morphes à
isomorphe
aucun
ensemble
il remarque
qu’on
r
est
espace de
un
X"
tel que
qu’il
précise
les
injectifs qui
des biduaux.
X
un
est
et
X"
est
injectif,
suggéré par ROSENTHAL dans
démontrer la proposition suivante.
programme
suffit de
X
Banach,
isomorphe
son
alors il existe
article
espace de Banach tel que X" soit injectif.
le caractère de densité de xt (cardinal minimal d’une
partie
un
C 3~~
sous-espace
Pour cette
métrique) , et par
Y
de
proposition,
X’
on
tel que
utilise
r
un
Y
ensemble
soit
avec T~ ~
T .
Alors,
où
Désignons
partout
pour la topologie
te
(qui
l’espace
~, ,
ici caractérise d’une façon
annonce
PROPOSITION. - Soit
un
finie
espace bidual.
La démonstration suit
par
une mesure
type b~1 ~ est isomorphe à un espace bidual si, et seulement si,
isomorphe à & oo . Donc il existe des espaces injectifs qui ne sont iso-
isomorphes à
T
à ~
montré aussi que, pour
Si
un
est
de
Le théorème
sont
X
dense
il exis-
isomorphe à
quelques améliorations
des
techniques de [l].
16-02
RÉFÉRENCES
[1]
HAYDON
[2]
l1(03C4)
(R. G.). -
compact
On Banach spaces containing
spaces, Israel J. Math., 1977 (to appear).
LINDENSTRAUSS
(J.)
and TZAFRIRI
Springer-Verlag, 1973
[3]
(Lecture
(L.). -
and
types
of
on
Classical Banach spaces. - Berlin,
Notes in
Mathematics, 338).
ROSENTHAL (H. P.). - On injective Banach spaces and the spaces
nite measures
, Acta Math., Uppsala, t. 124, 1970, p. 205-248.
L~( )
(Texte
Richard HAYDON
Brasenose College
OXFORD (Grande-Bretagne)
measures
reçu le 18
for fi-
juillet
1977)