Université Paris 7 2005-2006 Algèbres de Banach - IMJ-PRG

Université Paris 7
2005-2006
Algèbres de Banach
Inversibles dans les quotients d’algèbres de Banach
Soit A une algèbre de Banach unifère et I un idéal bilatère fermé.
1. Soit E et F deux espaces de Banach et f une application linéaire continue de E vers F . Montrer
l’équivalence entre les trois affirmations :
(a) f est surjective
(b) f est ouverte
(c) il existe k > 0 tel que BF (0, 1) ⊂ f (BE (0, k))
(d) il existe k > 0 tel que BF (0, 1) ⊂ f (BE (0, k))
2. Quelle est la norme sur B = A/I qui en fait un espace de Banach ? Montrer que B est aussi une algèbre
de Banach et que la surjection canonique p : A → A/I est un homomorphisme. Quelle est sa norme ?
3. Montrer que pour tout x ∈ B, si ||x − 1|| < 1, alors il existe y ∈ A inversible tel que p(y) = x.
(On pourra utiliser 2. ou le calcul fonctionnel holomorphe). Généraliser aux cas des homomorphismes
d’algèbres de Banach surjectifs.
4. Si A = C([0, 1], R) et I l’idéal des fonctions qui s’annulent en 0 et 1. Que vaut B ? A-t-on p(A−1 ) =
B −1 ?
5. Soit X un espace compact. Montrer que p̃ : C(X, A) → C(X, B) définie par p̃(x)(t) = p(x(t)) est
surjective. (On pourra utiliser 1. et une partition de l’unité.) Comparer C(X, A−1 ) et (C(X, A))−1 .
6a. Soit y ∈ C([0, 1], B −1 ) avec y(0) = 1. Montrer qu’il existe x ∈ C([0, 1], A−1 ) tel que p̃(x) = y. (On
pourra d’abord montrer qu’il existe ǫ > 0 et x ∈ C([0, ǫ], A−1 ) tel que p(x(t)) = y(t) pour tout
0 ≤ t ≤ ǫ.)
6b. Montrer que l’image de C(X, A−1 ) dans C(X, B) est un sous-groupe ouvert et fermé. On suppose que
X est contractile (i.e. qu’il existe un point x0 de X et une application H continue de X × [0, 1] dans X
telle que H(x, 0) = x0 et H(x, 1) = x pour tout x ∈ X ). Montrer que p̃(C(X, A−1 )) = C(X, p(A−1 )).
(On pourra considérer y dans C(X, p(A−1 )) tel que y(x0 ) = 1 et montrer qu’il est dans la composante
connexe de 1.)
Spectre d’algèbres de Banach commutatives
1. Soit E un espace de Banach séparable. Montrer que la boule unité du dual de E est métrisable et
compacte. En déduire qu’il existe un espace compact X et un homomorphisme continu injectif de E
dans C(X).
2. Soit A une algèbre de Banach. Et soit χ un homomorphisme d’algèbre de A dans C. Montrer que χ est
continue si et seulement si ker χ est un idéal ( bilatère maximal) fermé. En déduire que tout caractère
d’une algèbre de Banach est continu.
3. Soit i : A → C(X) un homomorphisme d’algèbre continu injectif d’une algèbre de Banach unifère A
dans l’algèbre des fonctions continues sur un compact X. On suppose que i(A) est dense. Montrer que
X est alors le spectre de A. Exemple : Quel est le spectre de C 1 ([0, 1]) ?
4. Soit B une algèbre de Banach involutive avec unité. Expliquer comment on peut munir B ⊕ B d’une
structure d’algèbre de Banach involutive. avec unité. On va noter A l’algèbre de Banach B ⊕ B munie
d’une autre involution : (b1 ⊕ b2 )∗ = b∗2 ⊕ b∗1 . Montrer
(a) il existe a ∈ A tel que −1 = a∗ a
(b) si B est commutative, alors il n’existe pas de caractère auto-adjoint sur A.
(c) En s’inspirant du cas précédent, définir sur C(X) pour X un espace compact un involution telle
qu’il n’existe pas de caractère auto-adjoint pour C(X) en supposant l’existence d’une bijection
continue Σ de X dans X telle que Σ2 = Id et Σ 6= Id.
(d) B est maintenant quelconque. Soit ϕ de A dans C une fonctionnelle linéaire positive (i.e. ϕ(a∗ a) ≥
0 pour tout a dans A). Montrer que ϕ = 0. En déduire qu’il n’existe pas de *-homomorphisme
injectif de A dans une C ∗ -algèbre.
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