Université Paris 7 2005-2006 Algèbres de Banach - IMJ-PRG

Université Paris 7 2005-2006
Algèbres de Banach
Inversibles dans les quotients d’algèbres de Banach
Soit Aune algèbre de Banach unifère et Iun idéal bilatère fermé.
1. Soit Eet Fdeux espaces de Banach et fune application linéaire continue de Evers F. Montrer
l’équivalence entre les trois affirmations :
(a) fest surjective
(b) fest ouverte
(c) il existe k > 0tel que BF(0,1) ⊂f(BE(0, k))
(d) il existe k > 0tel que BF(0,1) ⊂f(BE(0, k))
2. Quelle est la norme sur B=A/I qui en fait un espace de Banach ? Montrer que Best aussi une algèbre
de Banach et que la surjection canonique p:A→A/I est un homomorphisme. Quelle est sa norme ?
3. Montrer que pour tout x∈B, si ||x−1|| <1, alors il existe y∈Ainversible tel que p(y) = x.
(On pourra utiliser 2.ou le calcul fonctionnel holomorphe). Généraliser aux cas des homomorphismes
d’algèbres de Banach surjectifs.
4. Si A=C([0,1],R)et Il’idéal des fonctions qui s’annulent en 0et 1. Que vaut B? A-t-on p(A−1) =
B−1?
5. Soit Xun espace compact. Montrer que ˜p:C(X, A)→C(X, B)définie par ˜p(x)(t) = p(x(t)) est
surjective. (On pourra utiliser 1.et une partition de l’unité.) Comparer C(X, A−1)et (C(X, A))−1.
6a. Soit y∈C([0,1], B−1)avec y(0) = 1. Montrer qu’il existe x∈C([0,1], A−1)tel que ˜p(x) = y. (On
pourra d’abord montrer qu’il existe ǫ > 0et x∈C([0, ǫ], A−1)tel que p(x(t)) = y(t)pour tout
0≤t≤ǫ.)
6b. Montrer que l’image de C(X, A−1)dans C(X, B)est un sous-groupe ouvert et fermé. On suppose que
Xest contractile (i.e. qu’il existe un point x0de Xet une application Hcontinue de X×[0,1] dans X
telle que H(x, 0) = x0et H(x, 1) = xpour tout x∈X). Montrer que ˜p(C(X, A−1)) = C(X, p(A−1)).
(On pourra considérer ydans C(X, p(A−1)) tel que y(x0) = 1 et montrer qu’il est dans la composante
connexe de 1.)
Spectre d’algèbres de Banach commutatives
1. Soit Eun espace de Banach séparable. Montrer que la boule unité du dual de Eest métrisable et
compacte. En déduire qu’il existe un espace compact Xet un homomorphisme continu injectif de E
dans C(X).
2. Soit Aune algèbre de Banach. Et soit χun homomorphisme d’algèbre de Adans C. Montrer que χest
continue si et seulement si ker χest un idéal ( bilatère maximal) fermé. En déduire que tout caractère
d’une algèbre de Banach est continu.

3. Soit i:A→C(X)un homomorphisme d’algèbre continu injectif d’une algèbre de Banach unifère A
dans l’algèbre des fonctions continues sur un compact X. On suppose que i(A)est dense. Montrer que
Xest alors le spectre de A. Exemple : Quel est le spectre de C1([0,1]) ?
4. Soit Bune algèbre de Banach involutive avec unité. Expliquer comment on peut munir B⊕Bd’une
structure d’algèbre de Banach involutive. avec unité. On va noter Al’algèbre de Banach B⊕Bmunie
d’une autre involution : (b1⊕b2)∗=b∗
2⊕b∗
1. Montrer
(a) il existe a∈Atel que −1 = a∗a
(b) si Best commutative, alors il n’existe pas de caractère auto-adjoint sur A.
(c) En s’inspirant du cas précédent, définir sur C(X)pour Xun espace compact un involution telle
qu’il n’existe pas de caractère auto-adjoint pour C(X)en supposant l’existence d’une bijection
continue Σde Xdans Xtelle que Σ2=Id et Σ6=Id.
(d) Best maintenant quelconque. Soit ϕde Adans Cune fonctionnelle linéaire positive (i.e. ϕ(a∗a)≥
0pour tout adans A). Montrer que ϕ= 0. En déduire qu’il n’existe pas de *-homomorphisme
injectif de Adans une C∗-algèbre.
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