Feuille 2 : Applications linéaires continues

Master de mathématiques
ANALYSE FONCTIONNELLE
ET INTÉGRATION
Universite de Nice Sophia Antipolis
2015-16
Feuille 2 : Applications linéaires continues
Exercice
1. On considère l’espace `1 (N, C) des suites complexes u = (un ) telles que kuk`1 :=
P
n∈N |un | < ∞.
(1) Montrer que `1 muni de cette norme est un espace de Banach.
(2) Soit a ∈ `∞ (N, C) une suite bornée et soit Ma : `1 → `1 donnée par (Ma (u))n = an un pour
tout n ∈ N. Montrer que Ma est linéaire continue sur `1 et calculer sa norme.
Exercice 2. Soit k : [0, 1] × [0, 1] → R une fonction continue et pour tout f ∈ C([0, 1]), soit
R1
K(f )(x) = 0 k(x, y)f (y)dy. Soit E = C([0, 1]) muni de la norme kukE = sup[0,1] |f |. Montrer que
R1
l’application K est linéraire continue de E dans lui même et que kKkE→E = supx∈|0,1] 0 |k(x, y)|dy.
Exercice 3. Soit E un espace de Banach et u ∈ L(E).
(1) On suppose que kukE→E < 1. Montrer que Id +u est inversible et continue.
(2) Montrer que l’ensemble des applications linéaires inversibles est un ouvert de L(E)
Exercice 4. Soit E un espace de Banach et A ∈ L(E). Pour tout polynôme P (X) =
on définit
N
X
P (A) =
a n An
PN
n=0 an X
n,
n=0
où An = A ◦ . . . ◦ A, n fois.
(1) Montrer que pour tout A ∈ L(E), P (A) ∈ L(E).
(2) Montrer que pour tout A ∈ L(E), l’application φA : R[X] → L(E) définie par φA (P ) = P (A)
est un morphisme d’algèbre.
(3) Montrer que les résultats précédents se généralisent au cas où f est une fonction holomorphe.
Exercice 5. Soit E = `∞ (N, C) l’espace des suites complexes bornées muni de la norme kuk =
supn∈N |un |. Soit a ∈ E et soit Ma : E → E définie par Ma (u) = v = (vn ) avec vn = an un .
(1) Montrer que Ma est linéraire continue sur E et que kMa kE→E = kakE .
(2) Soit A = {an , n ∈ N}. Montrer que pour tout λ ∈ C, (Ma −λId) est inversible si et seulement
si λ ∈
/ A.
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Exercice 6. Soit E un espace de Banach et I = [a, b] un intervalle compact de R. On cherche à
Rb
définir a f (s)ds pour toute fonction f ∈ C(I, X).
P
(1) Soit g : I → X une fonction constante par morceaux, g = Jj=1 xj 1[aj ,aj+1 ] , xj ∈ X. On
P
définit I(g) = Jj=1 (aj+1 − aj )xj . Montrer que pour toutes f, g constantes par morceaux et
λ ∈ R, on a I(f + λg) = I(f ) + λI(g).
(2) Soit f ∈ C(I, X). Montrer qu’il existe une suite de fonctions fn : R → X constantes par
morceaux qui converge vers f uniformément.
(3) Montrer que la suite In = I(fn ) est de Cauchy.
Rb
Rb
(4) On note a (f (s)ds la limite de la suite précédente. Montrer que l’application f → a f (s)ds
est linéaire sur C(I, X).
Rx
(5) Pour f ∈ C(I, X), on note F (x) = a f (s)ds. Montrer que l’application F apartient à
C 1 (I, X) et que F 0 (x) = f (x) pour tout x ∈ I.
Rb
(6) Pour f ∈ C 1 (I, X), montrer que a f 0 (t)dt = f (b) − f (a).
(7) Soit f ∈ C 1 (I, X) et soit ϕ : [α, β] → [a, b] un C 1 diffeormorphisme croissant. Montrer que
Z β
Z b
f ◦ ϕ(s)ϕ0 (s)ds =
f (t)dt.
α
a
Exercice 7. Soit E un espace de Banach.
(1) Soit A ∈ L(E). Pour tout t ∈ R, on pose etA =
suivantes :
P∞
n=0
(tA)n
n! .
Démontrer les propriétés
(a) La fonction P : t 7→ etA est continue de R dans L(E).
(b) P (0) = Id et ∀t, s ∈ R, P (t)P (s) = P (t + s).
(c) La fonction P : t 7→ etA est de classe C 1 et P 0 (t) = AP (t) pour tout t ∈ R.
(2) Réciproquement, on suppose que P : R → L(E) vérifie les assertions a) et b) ci-dessus.
Rh
(a) Montrer qu’il exsite h > 0 tel que l’opérateur Qh = 0 P (s)ds soit inversible.
(b) Démontrer que pour tout t ∈ R,
Z h
Z
(
P (s)ds)P (t) =
0
t+h
P (s)ds.
t
En déduire que P vérifie la propriété c) ci-dessus avec A = Q−1
h (P (h) − Id).
(c) Calculer la dérivée de P (t)e−tA . Que peut on en déduire ?
Exercice 8. Soient E un espace de Banach et F, G deux evn. Soit B : E × F → G une application
bilinŕaire. On suppose que pour tout x ∈ E et y ∈ F les application partielles E 3 z 7→ B(z, y) et
F 3 w 7→ B(x, w) sont continues. Montrer qu’il existe C > 0 tel que
∀(x, y) ∈ E × F, kB(x, y)kG ≤ CkxkE kykF .
Indication : appliquer le théorème de Banach-Steinhaus
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Exercice 9. Soit E un espace de Banach. On suppose qu’il existe A, B, deux sous espaces fermés
de E tels que E = A ⊕ B. Montrer qu’il existe γ > 0 telle que
∀(a, b) ∈ A × B, kakE + kbkE ≤ γka + bkE
Exercice 10. Soient (X, k.kX ) et (Y, k.kY ) deux espaces de Banach tels que Y ⊂ X est dense dans
(X, k.kX ) et Y 6= X, ∅. On suppose que l’injection i : y ∈ Y 7→ y ∈ X est continue, c’est à dire qu’il
existe C > 0 tel que
∀y ∈ Y, kykX ≤ CkykX .
(1) En procédant par l’absurde, montrer que les normes k.kX et k.kY ne peuvent pas être equivalentes.
(2) Montrer que i∗ : X 0 → Y 0 associe à tout f ∈ X 0 sa restriction f|Y ∈ Y 0 .
(3) Montrer que i∗ est injective.
(4) Montrer que i∗ n’est pas surjective.
(5) Soit ϕ ∈ Y 0 . Montrer que
ϕ ∈ i∗ (X 0 ) ⇐⇒ ∃C > 0, ∀y ∈ Y, |ϕ(y)| ≤ CkykX .
(6) Soit X = L1 (R) muni de sa norme usuelle et Y = {f ∈ X, kf kY < ∞} où
Z
kf kY = (1 + |t|)f (t)dt.
R
Montrer qu’on est bien dans la situation précédente. Donner un exemple de forme linéaire
ϕ ∈ Y 0 qui n’appartient pas à X 0 .