Angle de déviation Modèle atomique de Rutherford

Angle de déviation
→
−
→r générée par une source située à
On considère une particule soumise à une force newtonienne F = −m rK2 −
u
→
−
−
→
l'origine O. La particule vient de l'inni avec une vitesse vi = v0 ux et un paramètre d'impact b ; on note sa
vitesse nale −
v→
f . On veut déterminer la déviation φ subie par la particule lors de son mouvement.
1. Montrez que le mouvement de la particule est plan et exprimez les grandeurs conservées lors du mouvement en fonction des paramètres initiaux.
2. En intégrant le principe fondamental de la dynamique, montrez la relation
´ tf −
→r
u
−
→
−
v→
f − vi = K ti r 2 dt
3. Justiez la relation
dθ
dt
=
v0 b
r2
et en déduire la relation
−
→
−
v→
f − vi =
1
vi b
´ θf −
→r dθ
u
θi
→y , déduire que la déviation φ de la particule α vérie la
4. En projetant la relation précédente sur l'axe −
u
relation
tan φ2 =
Modèle atomique de Rutherford
K
v02 b
En 1911, le néo-zélandais Ernest Rutherford propose le modèle atomique suivant :
• Les charges négatives sont portées par des électrons ponctuels qui orbitent en une sphère de rayon
a ' 0.5 nm.
• Les charges positives sont concentrées dans un noyeau de dimension rn a.
Ce modèle a été établi à la suite d'une expérience menée par Geiger et Marsden : on envoie une particuleα (2
protons, 2 neutrons, Ec = 5.3 MeV) vers une feuille d'or d'épaisseur d = 0.2 µm et de surface S . On suppose
que les atomes d'or (Z = 79) sont répartis uniformément dans la feuille avec une densité ρ = a−3 et sont
susamment peu nombreux pour qu'on puisse superposer simplement leurs eets.
1. Justiez rapidement qu'on puisse négliger l'eet des électrons des atomes d'or sur les particules α en
faisant abstraction des noyaux, puis qu'on puisse supposer les noyaux des atomes d'or immobiles.
2. Exprimez la probabilité pour que la particule α soit déviée d'un angle supérieure à une valeur φ0 donnée.
3. On mesure en moyenne qu'une particule sur un 1500 est déviée de plus de 10◦ . Commentez.
4. On mesure en moyenne qu'une particule sur 200 000 est déviée de plus de 90◦ . Commentez.
5. On mesure en moyenne qu'une particule sur 1 000 000 est déviée de plus de 150◦ . Commentez.
1
Daniel Suchet
Solution
On suppose le référentiel du centre diuseur galiléen.
→
−
−
−
−
0 donc la direction du produit vectoriel →
r ∧→
v est constante
1. Théorème du moment cinétique : ddtL = →
→
−
donc le mouvement est plan. Par
de la norme de L impose r2 θ̇ = cste. Le
 ailleurs,
 la conservation


x0
moment cinétique initial vaut m  b 
0
x,y,z
v0
∧ 0 
= mbv0 .
0
x,y,z
Le théorème de l'énergie mécanique donne dEdtm = PN.C. . Comme il n'y a pas de forces non conservatives,
on a Em = cste. L'énergie cinétique initiale vaut Em = Ep (r = +∞) + Ec0 = 12 mv02 .
2. Le principe fondamental de la dynamique donne
→
−
m ddtv
−
→
´ vf →
⇒ →
d−
v
−
v0
−
→
→
−
⇒ vf − vi
=
=
=
K
−
→
mK ur2r
´ tf u
−
→r
dt
ti r 2
´ tf −
→r
u
K
dt
ti
r2
r
3. La conservation du moment cinétique donne r2 dθ
dt = vi b ⇒ dt = vi b dθ . On a alors, par changement de
´
´ tf −
→
→r dθ avec θi = 0 et θf = π − φ.
variable, ti ur2r dt = v1i b θθif −
u
→y , on obtient (avec −
→r = − cos θ−
−
→
4. En projetant sur −
u
u
u→
x + sin θ uy et vf = vi = v0 ) :
2
⇒
vi sin φ
φ
2vi sin 2 cos φ2
´ π−φ
= vK0 b 0
sin θdθ
K
= v0 b (1 + cos φ)
= 2 vK0 b cos2 φ2
On trouve nalement
tan φ2 =
K
v02 b
5. Application à l'expérience de Rutherford
(a) Considérons le problème à deux corps {électron-particule α} . La particule α est beaucoup plus
massive que l'électron ; par conséquent, le centre de masse du système est confondu avec celui de
la particule α. Or le système est isolé ; le mouvement de son centre de masse est donc rectiligne
uniforme. On peut donc négliger l'eet des électrons sur la particule α. Le même raisonnement
s'appplique sur le système {noyau-particule α} .
(b) Pour qu'une particule soit déviée d'un angle φ ≥ φ0 , il faut que son paramètre d'impact soit plus
K
petit qu'une valeur critique b0 = v2 tan(φ/2)
. Chaque noyau représente donc une cible de surface πb20 .
0
2
La probabilité de toucher une cible donnée est p = πbS0 . Il y a en tout ρSd noyaux ; la probabilité
2
da−3
pour qu'une particule soit déviée de plus de φ0 vaut donc v4πK
2
0 tan (φ/2)
(c) Les deux premiers résultats sont compatibles avec l'analyse précédente et montrent que
i. La matière est essentiellement vide (presque aucune particule n'est déviée, résultat 1)
ii. Le noyau est de taille inférieure à b0 (90◦ ) ' 2.5 10−14 m (puisque le résultat 2 est cohérent)
iii. Le troisième résultat n'est pas cohérent avec la théorie, ce qui veut dire d'autre eets interviennent
quand le paramètre d'impact est plus petit, donc la distance minimale entre la particule α et
le noyau se réduit. La prise en compte de la taille du noyau et des eets d'interactions fortes
devient nécessaire.
2
Daniel Suchet
Bonus application à un ux de particules, section ecace diérentielle
En réalité, on n'envoie pas une seule particule α mais un ux uniforme J par unité de temps et de surface.
−
On suppose que toutes les particules α ont la même vitesse initiale →
vi normale à la surface de la feuille.
1. Exprimez le nombre de particules par unité de temps présentant un paramètre d'impact compris entre
une valeur b et b + db.
La couronne comprise entre
b
et
b + db
dS = 2πb db.
dn(b) = JdS = 2πJb db.
représente une surface
traversant cette surface par unité de temps est alors
Le nombre de particules
2. En déduire le nombre de particules dn(φ) déviées d'un angle compris entre φ et φ + dφ par unité de
temps.
Les particules déviées d'un angle compris entre φ et φ+dφ ont initialement un paramètre d'impact compris
−2πJK 2
db
dφ.
dφ = − 2v2 sinK2 (φ/2) dφ. On a donc dn(φ) = 2πJb db = 2v4 tan(φ/2)
b et b + db avec db = dφ
sin2 (φ/2)
0
0
entre
3. On dénit la section ecace diérentielle
dσ
dΩ (φ)
par la relation
dn(φ) = J
Montrez que
dσ
dΩ
∝
1
sin4 (φ/2)
dσ
dΩ
2π sin φdφ.
.
dσ
Par identication, on trouve dΩ
=
Bonus Comparaison au modèle de Thomson
JK 2
2v04 sin φ tan(φ/2) sin2 (φ/2)
JK 2
1
4v04 sin4 (φ/2)
=
J.J. Thomson avait proposé le modèle atomique suivante :
• Les charges positives sont uniformément réparties en volume dans une sphère de rayon a.
• Les électrons sont des particules positives susceptibles de se déplace à l'intérieur de l'atome.
1. Exprimez le champ électrique produit par les charges positives en tout point de l'espace et en déduire la
valeur maximale prise par le champ.
Le théorème de Gauss donne immédiatement
→
−
E (r < a) =
→
−
E (r > a) =
Ze
−
→
4π0 a3 r ur
Le champ est donc maximal en
r=a
et vaut alors
Emax =
Ze 1 −
→
4π0 r 2 ur
Ze
4π0 a2 .
2. On se donne un modèle simplié pour estimer la déviation maximale attendue : on suppose que les
→y constant durant leur traversée du noyau. De quelle angle sont
particules α subissent un champ Emax −
u
elles alors déviées ? Commentez
α mettent au plus un temps 2a
v0 à traverser le noyau. Elles subissent pendant ce temps une
−
→y . Leur vitesse nale est donc v−
→
−
→y . L'angle de déviation est alors
−
→ 2eEmax 2a u
2eEmax u
f = v0 ux +
Les particules
force
m
donné par
tan φ =
2eEmax 2a 1
m
v0 v0
=
Ze2
π0 amv02
v0
< 1 mrad.
La déviation attendue pour le modèle de Thomson est très inférieure à celles mesurées expériementalement. Alors qu'il pensait vérier expérimentalement le modèle de Thomson, Rutherford a donc été surpris
de voir les particules
α
rebondir avec des angles supérieurs à
π/2.
Il dira à ce propos :
It was quite the most incredible event that has ever happened to me in my life. It was almost
as incredible as if you red a 15-inch shell at a piece of tissue paper and it came back and hit
you.
3
Daniel Suchet